（篇一）第五单元简易方程·用字母表示数篇【十二大考点】-2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

1 / 17 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 10 月 25 日 2 / 17 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元简易方程·用字母表示数篇【十二大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元简易方程·用字母表示数篇 专题内容 本专题是用字母表示数与式子。 总体评价 讲解建议 初次接触代数式，难度不大，但较为抽象，部分同学可能理 解起来稍显吃力，建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 十二个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】关于代数式的基本书写格式 ..............................................................3 【考点二】关于代数式的简单计算 ................................................................................... 4 【考点三】用字母或含字母的式子表示数或数量关系 .....................................................5 【考点四】用字母或含字母的式子表示运算律 ................................................................ 6 【考点五】用字母或含字母的式子表示倍数关系 .............................................................6 【考点六】用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 ................................................. 7 【考点七】五种新型题型其一：数形规律 ...................................................................... 11 【考点八】五种新型题型其二：定义新运算 .................................................................. 12 【考点九】五种新型题型其三：材料定义 ...................................................................... 13 【考点十】五种新型题型其四：程序框图 ...................................................................... 14 【考点十一】五种新型题型其五：数列与算式规律探索 ............................................... 15 3 / 17 【考点十二】含有字母的式子求值 .......................................................... 16 【第三篇】典型例题篇 【考点一】关于代数式的基本书写格式。 【方法点拨】 关于代数式的基本书写格式是学习代数的基本知识，从编者教学情况来看， 对于正确规范的代数式书写重视还不够重视，导致部分学生出现一些低级书写错 误，尤其是在新初一学习代数运算时，致使经常出现笔误错算的情况。 1.关于字母与字母相乘的书写。 中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：A×B可写成 A·B或 AB。 2.关于数字与字母相乘的书写。 把数字放到字母前，中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：3×B可写成 3·B 或 3B。 注意：乘 1的字母就等于这个字母的本身。 3.关于两个或多个相同字母相乘的书写。 需要写成平方或立方的形式，例如：B×B可写成 B2，B×B×B可写成 B3。 4.关于分数的书写。 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5. 关于除法的书写。 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以 a 写作 a 5 ，不要写成 5÷a。 6. 关于单位的书写。 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后 面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 例如：甲同学买了 5本书，乙同学买了 a本书，他们一共买了（5+a）本。 【典型例题】 2×a×b可简写成( )，c×c×5可简写成( )。 【对应练习 1】 4 / 17 省略乘号，写出下面各式。 c×b＝( ) n×5.6＝( ) a×a＝( ) 1×x＝( ) 【对应练习 2】 省略乘号写出下面各式。 a x x x 8b 1b 【对应练习 3】 省略乘号，写出下面各式。 b x  b b  5x  12a  a b  5 x  1a  3 a  35m  30b  7x y   2 c c   【考点二】关于代数式的简单计算。 【方法点拨】 代数式的简单计算，把字母前的数字相加减，字母不变。 【典型例题】 计算下面各题。 1.1a＋3.4a＝ 5.8x－x＝ 6c－5c＝ 0.8a＋a＝ 11y－4.5y＝ 5b＋4b－9b＝ 【对应练习 1】 计算下面各题。 3m＋6m＝ 4.5b＋2.5b＝ 24x－6x＝ 4.5b－0.5b＝ 3b×2b＝ 45b÷0.9＝ 【对应练习 2】 直接写出运算结果。 3.9 2.01x x  3.7x x  0.64y y  1.5y y  3 6 5x x x   10 3.7 6.3x x x   【对应练习 3】 计算下面各题。 5 / 17 12 5 x x 2  a a 0.8 5  b 9 5 k k 20 3  m m m 8 2  n n n  5 3 1 y y 0.6 3 t 【考点三】用字母或含字母的式子表示数或数量关系。 【方法点拨】 用字母或者含字母的式子表示数或数量关系时，先分析关系再列式子。 【典型例题 1】含字母式子的意义。 甲、乙两支施工队一起修路。甲施工队修了 4天，平均每天修 x千米；乙施工队 修了 9天，平均每天修 0.3千米。一共修了 4.3千米。4 x表示 ( )，4 x＋9×0.3表示( )。 【典型例题 2】用字母表示数量关系。 在括号里填上含有字母的式子。 (1)一辆卡车运 x吨煤，共运了 3次，平均每次运煤( )吨。 (2)五年级学生小丽和爸爸妈妈一起去公园，公园的成人门票是每张 a元，学生门 票是每张 b元。小丽一家三口共需付( )元购买门票。 【对应练习 2】 小轿车的速度是 a千米/时，它从黄山市开往杭州市，行了 3小时后，距离杭州 市还有 35千米。 (1)3a表示( )。 (2)杭州市距离黄山市有( )千米。 【对应练习 3】 一桶乒乓球有 a个。 2.7g/个，3元/个。 (1)体育老师又买来了 3个，现在有( )个乒乓球； (2)塑料桶重 100g，原来这一桶乒乓球连瓶共重( )g； (3)如果这一桶乒乓球连瓶共重 154g，买来的时候是整桶购买的，花费 50元，那 么每个便宜了( )元。 6 / 17 【考点四】用字母或含字母的式子表示运算律。 【方法点拨】 用字母或者含字母的式子表示运算律时，关键在于熟练掌握运算律公式。 【典型例题】 （a＋b）×c＝( )·( )＋( )·( )，这是应用了 ( )。 【对应练习 1】 在横线上填上适当的数或字母。 5.3×3.4＋3.4×4.7＝ ×（ ＋ ） （a－b）×c＝ × － × 【对应练习 2】 在横线上填上适当的数。 600÷25÷4＝600÷（ × ） a×8＋8×15＝ ×（ ＋ ） 【对应练习 3】 根据运算定律在横线上填上适当的数或字母。 a＋b＋c＝ ＋（ ＋ ） 5.3×a×b＝5.3×（ × ） 34×（x－y）＝ × － × 【考点五】用字母或含字母的式子表示倍数关系。 【方法点拨】 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式子的 含义。 【典型例题】 五（1）班同学收集树种 a千克，五（2）班同学收集的树种的数量是五（1）班 收集数量的 3倍少 5千克，五（2）班同学收集树种( )千克，两个班同 学一共收集树种( )千克，五（2）班比五（1）班多收集树种( ) 千克。 7 / 17 【对应练习 1】 比 a的 3倍多 1.8的数，用含有字母的式子表示是( )。 【对应练习 2】 最新研究发现，真空管道中高速列车的时速（即每小时行的路程），比现在高铁 时速的 3倍还快 150千米。高铁时速 a千米，真空管道中高速列车的时速是 ( )千米。 【对应练习 3】 庆祝“六一”儿童节的会场上，红花的盆数是黄花的 3倍。黄花有 b盆，红花和黄 花一共有( )盆，红花比黄花多( )盆。如果 b＝30，两种颜色的花 一共有( )盆，黄花比红花少( )盆。 【考点六】用字母或含字母的式子表示周长和面积关系。 【方法点拨】 与多边形周长或面积相关的关系式，一是直接利用周长或面积公式进行表示，二 是可以利用画图的方法求解。 【典型例题 1】直接表示。 用字母表示长方形和正方形的面积和周长公式。 正方形的面积=边长×边长 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 长方形的周长=（长+宽）×2 【对应练习 1】 一个长方形的宽是 a，长比宽长 4，长是( )，当 a＝8厘米时，它的周长 是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【对应练习 2】 一个长方形的宽是 a厘米，长是宽的 4倍，这个长方形的长是( )厘米， 若 a＝3时，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 8 / 17 【对应练习 3】 一个长方形的长是 4a厘米，是宽的 2倍，这个长方形的周长是( )厘米， 面积是( )平方厘米；当 a＝3时，长方形的面积是( )平方厘米。 【典型例题 2】图形表示。 一块长 10米，宽 8米的长方形菜地，将它的长增加 a米，宽不变。 （1）用含有字母的式子表示这块菜地面积增加了多少平方米？ （2）如果当 a＝4时，这块菜地的面积增加了多少平方米？ 【对应练习 1】 如图所示，一个边长为x米的正方形草坪中间有一个边长为y米的正方形小水池。 （1）用含有字母的式子表示草坪的面积？ （2）当 x＝10，y＝3时，求草坪的面积？ 【对应练习 2】 如图所示，一个边长为 a米的正方形草坪中间有一个边长为 b米的正方形小水池。 （1）用含有字母的式子表示草坪的面积。 （2）当 a＝15，b＝6时，草坪的面积是多少平方米？ 9 / 17 【对应练习 3】 现有长为 20米的篱笆，利用它和一面墙围成长方形状的养鸡场。设养鸡场的宽 为 a米。（如下图） （1）用式子表示出养鸡场的长：________米。 （2）用式子表示出养鸡场的面积：________平方米。 （3）若墙长只有 15米，请你从 1、2、4中选取一个合适的数作为 a的值，并求 出此时养鸡场的面积。 【典型例题 3】图形探究。 如图， 10AB  厘米，点 P是线段 AB上的一个动点，分别以 AP，BP为边作正方 形。当 P点运动时，两个正方形的大小会随着改变。 （1）当点 P运动时，两个正方形的周长的和会改变吗？若不会改变，请求出来。 （2）猜想：当点 P运动时，两个正方形的面积的和会改变吗？请说明理由。 【对应练习 1】 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等 式例如由图①可以得到（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2，请解答下列问题写出 图②中所表示的数学等式__________； 10 / 17 （1）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 a＋b＋c＝11，ab＋bc ＋ac＝38，则 a2＋b2＋c2的值为________； （2）图③中给出了若干个边长为 a和边长为 b的小正方形纸片，若干个长为 a 和宽为 b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出个几何图形，使得计算它的面积能 得到数学公式：2a2＋5ab＋2b2＝（2a＋b）（a＋2b）。 【对应练习 2】 如下图①，边长分别为 a、b的两个正方形重叠。 （1）图①两个正方形重叠后形成的阴影部分的面积是：________。 （2）图①阴影部分沿虚线裁剪转换成图②长方形后，长方形的长是________， 宽是________，因此，这个长方形的面积就是________。 （3）根据上面两图关系，补充等式： 2 2a b  ________。（以上都请用含字母的 算式表示）。 （4）根据上述规律对下面算式进行简算： 2 2155 145 11 / 17 【对应练习 3】 将边长为（a＋b）的正方形剪成如图所示的两个正方形和两个长方形，其中标② 的面积可以用 a2表示，标③的面积可以用 ab表示，则（a＋b）×（a＋b）＝（a ＋b）2表示 的面积。此时，你能发现（a＋b）2与 a2＋2ab＋b2的大小 关系吗？说说你的想法。 【考点七】五种新型题型其一：数形规律。 【方法点拨】 表示数形规律时，首先要把图形规律转化为数字规律，再根据数字规律用含字母 的式子进行表示。 【典型例题】 如下图，用小棒摆正方形。 摆 1个正方形要 4根小棒，摆 2个正方形要 7根小棒，摆 3个正方形要 10根小 棒。继续这样摆，摆 10个正方形要( )根小棒；摆 n个正方形需要的小 棒根数是( )。 【对应练习 1】 用小棒摆图形。 …… 12 / 17 第 1个 第 2个 第 3个 第 4个 摆第 1个图形需要 3根小棒，第 2个图形需要 5根小棒……照这样，摆第 n个图 形需要( )根小棒。 【对应练习 2】 用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第 4个图形用了( )根 小棒，第 n个图形用了( )根小棒。 【对应练习 3】 一些小三角形按下面的方式摆放，用含有字母的式子表示第 n幅图有( ) 个小三角形。 【考点八】五种新型题型其二：定义新运算。 【方法点拨】 1. 定义新运算。 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2. 解题方法。 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计 算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3. 注意事项。 （1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：✱、▲、◉ 、◎等，它们 并不表示实际意义。 （2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和 小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。 【典型例题】 如果 a◆b＝4a－b，那么 20◆（24◆32）＝( )。 13 / 17 【对应练习 1】 设 a，b表示两个不同的数，规定 3 4a b a b     则  6 4 2   ( )。 【对应练习 2】 对于两个数 a，b，规定 a〇b＝（a＋1）×（b－2），则 2〇（3〇4）＝( )。 【对应练习 3】 现定义两种运算“※”和“*”，对于整数 a、b有 a※b＝a＋b－1，a*b＝ab－1.例如 1※2＝1＋2－1，1*2＝1×2－1，则（6※8）※（3*5）＝( )。 【考点九】五种新型题型其三：材料定义。 【方法点拨】 读懂材料含义，再根据所给材料的公式或规律解决问题。 【典型例题】 鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系是 m＝2n－10（m表 示码数，n表示厘米数）。根据这个关系，把下表填写完整。 男鞋 女鞋 童鞋 n（厘米） 23.5 15.5 m（码） 43 【对应练习 1】 鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，他们之间的关系是 2 10(b a b  表示码数，a 表示厘米数）根据这个关系，中国篮球协会主席姚明的鞋码是 53码，那么他的 脚长( )厘米。 【对应练习 2】 预测孩子成年后身高的方法有很多，其中“父母身高预测法”是以父母身高与子女 身高的关系创造出的一组预测公式，用 F表示父亲身高，M表示母亲身高，具 体公式如下。 男孩身高＝（F＋M）×1.08÷2 女孩身高＝（F×0.923＋M）÷2 14 / 17 王强是一个男孩，他父亲的身高是 170cm，母亲的身高是 160cm。按照上面的公 式预测，王强成年后的身高是( )cm。 【对应练习 3】 昆虫爱好者发现，在一定温度范围内，某地蟋蟀每分钟叫的次数与气温有如下近 似关系：h＝t÷7＋3，h表示当时的气温（℃），t表示蟋蟀每分钟叫的次数。如 果蟋蟀每分钟叫 112次，那么当时的气温大约是( )℃；当气温达到 30℃ 时，蟋蟀每分钟大约叫( )次。 【考点十】五种新型题型其四：程序框图。 【方法点拨】 理解程序框图的基本运行逻辑，再解决问题。 【典型例题】 猜年龄。明明设计的猜年龄的程序是： （1）小军输入的年龄是 a，那么输出的结果是( )。 （2）李大爷输入自己的年龄后，输出的结果是 68，李大爷的年龄是( ) 岁。 【对应练习 1】 王强设计的猜年龄的程序如下： 输入你的年龄→乘 2→减去 2→→输出结果。 （1）小丽输入的年龄为 a，请用含有 a的式子表示输出的结果。 （2）奶奶输入自己的年龄，输出的结果是 118，请你根据王强设计的猜年龄的 程序计算出奶奶的年龄。 【对应练习 2】 刘刚在人工智能课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会 输出另一个数（如图）。根据这个计算程序： 15 / 17 (1)输入数 6会输出数( )； (2)输入数( )会输出数 25； (3)小程序的运算规律是什么？用你喜欢的方式写出来： ( )。 【对应练习 3】 如图所示，某数学兴趣小组成员用计算机编程编制了一个程序，进行数的混合运 算。即输入一个数，按照程序顺序运算，可以输出计算结果。 (1)如果“输入”的数是 2，通过“ 3 ”、“ 2 ”和“ 5 ”的第一次的结果是( )， 因为结果小于 25，把第一次的结果又通过“ 3 ”、“ 2 ”和“ 5 ”后得到第二次的结 果是( )，因为结果还小于 25，再把第二次的结果通过“ 3 ”、“ 2 ”和“ 5 ”， 因为结果大于 25，最后，“输出”的数是( )。 (2)如果“输出”的数是 26，求“输入”的数最大是( )。 (3)如果“输入”的数是 a（a大于 14），用 a表示“输出”的结果是( )。 【考点十一】五种新型题型其五：数列与算式规律探索。 【方法点拨】 观察数列或算式，找出变化规律，再用字母表示规律。 【典型例题】 1．（数列探究）找规律，直接填写。 1，2，6，15，( )，( )，92。 16 / 17 2．（算式探究）观察下列等式，式子中的“！”是一种数学运算符号。 2！＝2×3，3！＝3×4×5，4！＝4×5×6×7，5！＝5×6×7×8×9，… 以此类推，请计算： (1)6！＝( )。 (2)8×9×10×11×12×13×14×15＝( )。 【对应练习 1】 观察数列 2，6，12，20，30，…的规律，则这列数的第 6个数是( )，是 第 n个数是( )。 【对应练习 2】 因为    2 2a b a b a b    ，所以 2 22020 2019  ( )。 【对应练习 3】 已知[6，2]＝8，[8，3]＝10，[11，4]＝14，[62，51]＝22；若[ 22，x]＝25，则 x ＝( )。 【考点十二】含有字母的式子求值。 【方法点拨】 1.用字母可以表示数，用含有字母的式子可以表示数量关系。 2.当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定，把字母的值代入含有 字母的式子里，通过计算就可以求出含有字母的式子的值。 【典型例题 1】基础。 当 a＝2.6，b＝1.8时，5a＋4b＝( )，3a－4b＝( )。 【对应练习】 若 x2＝2x，则 x＝( )。当 x＝8时，x2＝( )，2x＝( )。 【典型例题 2】综合。 一个文具盒的单价是 x元，李老师买了 8个，王阿姨买了 5个。 （1）用含有字母的式子表示李老师比王阿姨多用了多少元。 （2）当 x＝15时，李老师比王阿姨多用了多少元？ 17 / 17 【对应练习 1】 学校演播厅楼下有 a排座位，每排有 20个位置；楼上有 b个位置。 （1）用含有字母的式子表示演播厅的座位数。 （2）当 a＝15，b＝110时，演播厅共有多少个座位？ 【对应练习 2】 爸爸带了 100元去买菜，买了 3千克肉，每千克 y元。 （1）用式子表示爸爸还剩多少元。 （2）当 y＝25.6时，求爸爸还剩多少元？ 【对应练习 3】 某影剧院有上下两层。下层有 x排，每排 40个座位，上层共有 y个座位。 （1）用含有字母的式子表示该影剧院的座位数。 （2）当 30x  、 450y  时，这个影剧院共有（ ）个座位。 1 / 39 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年 真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、 思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2024 年 10 月 25 日 2 / 39 2024-2025 学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元简易方程·用字母表示数篇【十二大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元简易方程·用字母表示数篇 专题内容 本专题是用字母表示数与式子。 总体评价 讲解建议 初次接触代数式，难度不大，但较为抽象，部分同学可能理 解起来稍显吃力，建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 十二个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】关于代数式的基本书写格式 ..............................................................3 【考点二】关于代数式的简单计算 ................................................................................... 5 【考点三】用字母或含字母的式子表示数或数量关系 .....................................................6 【考点四】用字母或含字母的式子表示运算律 ................................................................ 9 【考点五】用字母或含字母的式子表示倍数关系 ...........................................................11 【考点六】用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 ............................................... 13 【考点七】五种新型题型其一：数形规律 ...................................................................... 23 【考点八】五种新型题型其二：定义新运算 .................................................................. 24 【考点九】五种新型题型其三：材料定义 ...................................................................... 27 【考点十】五种新型题型其四：程序框图 ...................................................................... 30 【考点十一】五种新型题型其五：数列与算式规律探索 ............................................... 34 3 / 39 【考点十二】含有字母的式子求值 .......................................................... 36 【第三篇】典型例题篇 【考点一】关于代数式的基本书写格式。 【方法点拨】 关于代数式的基本书写格式是学习代数的基本知识，从编者教学情况来看， 对于正确规范的代数式书写重视还不够重视，导致部分学生出现一些低级书写错 误，尤其是在新初一学习代数运算时，致使经常出现笔误错算的情况。 1.关于字母与字母相乘的书写。 中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：A×B可写成 A·B或 AB。 2.关于数字与字母相乘的书写。 把数字放到字母前，中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：3×B可写成 3·B 或 3B。 注意：乘 1的字母就等于这个字母的本身。 3.关于两个或多个相同字母相乘的书写。 需要写成平方或立方的形式，例如：B×B可写成 B2，B×B×B可写成 B3。 4.关于分数的书写。 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5. 关于除法的书写。 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以 a 写作 a 5 ，不要写成 5÷a。 6. 关于单位的书写。 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后 面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 例如：甲同学买了 5本书，乙同学买了 a本书，他们一共买了（5+a）本。 【典型例题】 2×a×b可简写成( )，c×c×5可简写成( )。 【答案】 2ab 5c2 4 / 39 【分析】用字母表示表示数时，数字与字母，字母与字母之间的乘号可以省略， 也可以用小圆点“·”表示。字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母 的前面。多个字母相乘时，一般按字母顺序书写。两个相同的字母相乘，可以写 成这个字母的平方。 【详解】通过分析，2×a×b可简写成 2ab，c×c×5可简写成 5c2。 【点睛】掌握含有字母的乘法式子的简写方法是解题的关键。 【对应练习 1】 省略乘号，写出下面各式。 c×b＝( ) n×5.6＝( ) a×a＝( ) 1×x＝( ) 【答案】 bc/cb 5.6n a2 x 【分析】字母和字母相乘，乘号可以省略。两个相同的字母相乘，可以写成这个 字母的平方； 字母和数字相乘，乘号省略后，数字在前字母在后。数字是 1时，省略乘号后 1 省略不写。 【详解】省略乘号，写出下面各式。 c×b＝bc n×5.6＝5.6n a×a＝a2 1×x＝x 【点睛】本题考查了用字母表示数，掌握省略乘号的规则是解题的关键。 【对应练习 2】 省略乘号写出下面各式。 a x x x 8b 1b 【答案】ax； 2x ；8b；b 【分析】用字母表示表示数时，数字与字母，字母与字母之间的乘号可以省略， 也可以用小圆点“·”表示。字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母 的前面。当数字是“1”时，“1”常常省略不写。多个字母相乘时，一般按字母顺序 书写。 【详解】 =a x ax ； 2=x x x ； 8=8b b ； 1b b  【对应练习 3】 省略乘号，写出下面各式。 5 / 39 b x  b b  5x  12a  a b  5 x  1a  3 a  35m  30b  7x y   2 c c   【答案】bx；b2；5x；12a；ab；5x a；3a；35m；30b；7xy；2c2 【详解】略 【考点二】关于代数式的简单计算。 【方法点拨】 代数式的简单计算，把字母前的数字相加减，字母不变。 【典型例题】 计算下面各题。 1.1a＋3.4a＝ 5.8x－x＝ 6c－5c＝ 0.8a＋a＝ 11y－4.5y＝ 5b＋4b－9b＝ 【答案】4.5a 4.8x c 1.8a 6.5y 0 【解析】略 【对应练习 1】 计算下面各题。 3m＋6m＝ 4.5b＋2.5b＝ 24x－6x＝ 4.5b－0.5b＝ 3b×2b＝ 45b÷0.9＝ 【答案】9m；7b 18x；4b 6b2；50b 【解析】略 【对应练习 2】 直接写出运算结果。 3.9 2.01x x  3.7x x  0.64y y  6 / 39 1.5y y  3 6 5x x x   10 3.7 6.3x x x   【答案】5.91x；2.7x；0.36y； 2.5y； 4x；0 【详解】略 【对应练习 3】 计算下面各题。 12 5 x x 2  a a 0.8 5  b 9 5 k k 20 3  m m m 8 2  n n n  5 3 1 y y 0.6 3 t 【答案】17x； 22a ； 4b； 4k； 16m；7n；8 3y  ；0.2t 【分析】含有字母的式子进行计算时，同样可以利用运算定律进行简算。注意相 同的两个字母相乘，如a a ，可以写作 2a ，而不可以写作 2a。 【详解】12 5 x x 17x 2  a a 22a 0.8 5  b 4b 9 5 k k 4k 20 3  m m m 16m 8 2  n n n 7n  5 3 1 y y 8y－3 0.6 3 t 0.2t 【考点三】用字母或含字母的式子表示数或数量关系。 【方法点拨】 用字母或者含字母的式子表示数或数量关系时，先分析关系再列式子。 【典型例题 1】含字母式子的意义。 甲、乙两支施工队一起修路。甲施工队修了 4天，平均每天修 x千米；乙施工队 修了 9天，平均每天修 0.3千米。一共修了 4.3千米。4 x表示 ( )，4 x＋9×0.3表示( )。 【答案】 甲施工队 4天修路的长度 甲乙两个施工队一共修路的长度 【分析】已知甲施工队修了 4天，平均每天修 x千米，根据“工作效率×工作时间 ＝工作量”可知，4 x表示甲施工队 4天修路的长度； 已知乙施工队修了 9天，平均每天修 0.3千米，则 9×0.3表示乙施工队 9天修路 的长度；那么 4 x＋9×0.3表示甲乙两个施工队一共修路的长度。 【详解】4 x表示甲施工队 4天修路的长度； 4 x＋9×0.3表示甲乙两个施工队一共修路的长度。 7 / 39 【点睛】本题考查用字母表示式子的含义，掌握工作效率、工作时间、工作量之 间的关系是解题的关键。 【典型例题 2】用字母表示数量关系。 在括号里填上含有字母的式子。 (1)一辆卡车运 x吨煤，共运了 3次，平均每次运煤( )吨。 (2)五年级学生小丽和爸爸妈妈一起去公园，公园的成人门票是每张 a元，学生门 票是每张 b元。小丽一家三口共需付( )元购买门票。 【答案】(1)x÷3 (2)2a＋b/b＋2a 【分析】（1）将煤的总量 x吨除以 3次，表示出平均每次运煤多少吨； （2）将 2张成人票票价加上 1张儿童票票价，表示出购买门票一共需要付多少 元。 【详解】（1）一辆卡车运 x吨煤，共运了 3次，平均每次运煤（x÷3）吨。 （2）小丽一家三口共需付（2a＋b）元购买门票。 【点睛】本题考查了用字母表示数，有一定抽象概括能力是解题的关键，同时要 注意数字和字母相乘，中间的乘号省略，数字在前，字母在后。 【对应练习 1】 客车每小时行 55千米，比货车每小时快 m千米。货车行驶了 a小时，客车行驶 了 b小时。请写出下面式子表示的含义。 (1)55－m表示( )。 (2)55b表示( )。 【答案】(1)货车速度 (2)客车 b小时行驶的路程 【分析】（1）客车速度－客车比货车快的速度＝货车速度，据此分析； （2）速度×时间＝路程，客车速度×客车行驶时间＝客车行驶路程，据此分析。 【详解】（1）55－m表示货车速度。 （2）55b表示客车 b小时行驶的路程。 8 / 39 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，理解字母可以表示任意数。 【对应练习 2】 小轿车的速度是 a千米/时，它从黄山市开往杭州市，行了 3小时后，距离杭州 市还有 35千米。 (1)3a表示( )。 (2)杭州市距离黄山市有( )千米。 【答案】(1)小轿车 3小时行驶的路程 (2)3a＋35 【分析】（1）根据速度×时间＝路程，已知小轿车的速度是 a千米/时，行驶时 间是 3小时，所以 3×a表示小轿车 3小时行驶的路程。 （2）通过（1）求出小轿车 3小时行驶的路程，再加上距离杭州市的距离，即可 表示出杭州市距离黄山市的路程。 【详解】（1）根据分析得，3a表示小轿车 3小时行驶的路程。 （2）3×a＋35＝（3a＋35）千米 杭州市距离黄山市有（3a＋35）千米。 【点睛】此题主要考查用字母表示数，字母可以表示任意的数，也可以表示特定 含义的公式，还可以用字母将数量关系表示出来。 【对应练习 3】 一桶乒乓球有 a个。 2.7g/个，3元/个。 (1)体育老师又买来了 3个，现在有( )个乒乓球； (2)塑料桶重 100g，原来这一桶乒乓球连瓶共重( )g； (3)如果这一桶乒乓球连瓶共重 154g，买来的时候是整桶购买的，花费 50元，那 么每个便宜了( )元。 【答案】(1)（a＋3） (2)（100＋2.7a） (3)（3－50÷a） 9 / 39 【分析】（1）现在有乒乓球的个数＝原来一桶乒乓球的个数＋体育老师又买来 的个数； （2）原来这一桶乒乓球连瓶一共的质量＝塑料桶的质量＋平均每个乒乓的质量× 原来的个数； （3）每个便宜的钱数＝零售价－整桶买的单价；其中，整桶买的单价＝总价÷ 整桶的个数。 【详解】（1）（a＋3）个 体育老师又买来了 3个，现在有（a＋3）个乒乓球。 （2）100＋2.7×a＝（100＋2.7a）g 塑料桶重 100g，原来这一桶乒乓球连瓶共重（100＋2.7）g。 （3）（3－50÷a）元 如果这一桶乒乓球连瓶共重 154g，买来的时候是整桶购买的，花费 50元，那么 每个便宜了（3－50÷a）元。 【点睛】本题考查用字母表示数，关键是弄清楚它们之间的关系。 【考点四】用字母或含字母的式子表示运算律。 【方法点拨】 用字母或者含字母的式子表示运算律时，关键在于熟练掌握运算律公式。 【典型例题】 （a＋b）×c＝( )·( )＋( )·( )，这是应用了 ( )。 【答案】 a c b c 乘法分配律 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数 相乘，再相加。用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。据此解答。 【详解】由分析可知： （a＋b）×c＝a·b＋a·b，这是应用了乘法分配律。 【点睛】掌握乘法分配律的意义是解答此题的关键。字母与字母相乘时，乘号可 以省略不写或写成“·”。 【对应练习 1】 10 / 39 在横线上填上适当的数或字母。 5.3×3.4＋3.4×4.7＝ ×（ ＋ ） （a－b）×c＝ × － × 【答案】 3.4 5.3 4.7 a c b c 【分析】根据乘法分配律，两个数的和或差乘一个数，可以把它们与这个数分别 相乘，再相加或相减即可。 【详解】由分析可得： 5.3×3.4＋3.4×4.7＝3.4×（5.3＋4.7） （a－b）×c＝a×c－b×c 【点睛】本题考查简便运算，熟记乘法运算定律是解题的关键。 【对应练习 2】 在横线上填上适当的数。 600÷25÷4＝600÷（ × ） a×8＋8×15＝ ×（ ＋ ） 【答案】 25 4 8 a 15 【分析】（1）运用除法的性质进行计算即可； （2）运用乘法分配律进行计算即可。 【详解】600÷25÷4＝600÷（25×4） a×8＋8×15＝8×（a＋15） 【点睛】本题考查简便运算，熟记乘法运算定律是解题的关键。 【对应练习 3】 根据运算定律在横线上填上适当的数或字母。 a＋b＋c＝ ＋（ ＋ ） 5.3×a×b＝5.3×（ × ） 34×（x－y）＝ × － × 【答案】 a b c a b 34 x 34 y 【分析】加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加， 和不变。 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。 11 / 39 乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相 乘，再相加（或相减）。 【详解】a＋b＋c＝a＋（b＋c） 5.3×a×b＝5.3×（a×b） 34×（x－y）＝34×x－34×y 【点睛】关键是掌握并灵活运用运算定律，理解字母可以表示任意数。 【考点五】用字母或含字母的式子表示倍数关系。 【方法点拨】 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式子的 含义。 【典型例题】 五（1）班同学收集树种 a千克，五（2）班同学收集的树种的数量是五（1）班 收集数量的 3倍少 5千克，五（2）班同学收集树种( )千克，两个班同 学一共收集树种( )千克，五（2）班比五（1）班多收集树种( ) 千克。 【答案】 3a－5 4a－5 2a－5 【分析】可先求五（1）班收集数量的 3倍是多少，用五（1）班同学收集的数量 乘 3计算，结果再减 5，就得到五（2）班同学收集的树种千克数，在含有字母 的乘法算式里，乘号可以省略不写或用“∙”表示，将数字写在字母的前面； 把两个班收集的树种数加起来就得到两个班同学一共收集的树种数量，式子能化 简的要化简； 用五（2）班收集的树种数量减五（1）班收集的树种数量即可，式子能化简的要 化简。 【详解】3a 5 a 3a 5 4a 5    3a 5 a 2a 5    五（2）班同学收集树种  3a 5 千克，两个班同学一共收集树种  4a 5 千克，五 （2）班比五（1）班多收集树种  2a 5 千克。 12 / 39 【对应练习 1】 比 a的 3倍多 1.8的数，用含有字母的式子表示是( )。 【答案】3a＋1.8 【分析】根据求一个数的几倍是多少，用乘法计算，用 a乘 3再加上 1.8即可求 解。 【详解】a×3＋1.8＝3a＋1.8 则比 a的 3倍多 1.8的数，用含有字母的式子表示是（3a＋1.8）。 【点睛】本题考查用字母表示数，明确数量关系是解题的关键。 【对应练习 2】 最新研究发现，真空管道中高速列车的时速（即每小时行的路程），比现在高铁 时速的 3倍还快 150千米。高铁时速 a千米，真空管道中高速列车的时速是 ( )千米。 【答案】3a＋150 【分析】根据题意可得出数量关系：高铁的时速×3＋150＝真空管道中高速列车 的时速，据此用含字母的式子表示真空管道中高速列车的时速。 【详解】a×3＋150＝（3a＋150）千米 真空管道中高速列车的时速是（3a＋150）千米。 【对应练习 3】 庆祝“六一”儿童节的会场上，红花的盆数是黄花的 3倍。黄花有 b盆，红花和黄 花一共有( )盆，红花比黄花多( )盆。如果 b＝30，两种颜色的花 一共有( )盆，黄花比红花少( )盆。 【答案】 4b 2b 120 60 【分析】根据题意，红花的盆数是黄花的 3倍，而黄花有 b盆，那么红花就是 3b盆，那么红花和黄花一共有多少盆，用加法计算；红花比黄花多多少盆，用 减法计算；如果 b＝30，两种颜色的花一共有多少盆，就是求 4b是多少，把 b ＝30，代入计算即可；黄花比红花少多少盆，就是求 2b是多少，把 b＝30代入， 代入计算即可，据此解答。 【详解】3b＋b＝4b 3b－b＝2b 13 / 39 当 b＝30时 4b＝4×30＝120（盆） 2b＝2×30＝60（盆） 庆祝“六一”儿童节的会场上，红花的盆数是黄花的 3倍。黄花有 b盆，红花和黄 花一共有（4b）盆，红花比黄花多（2b）盆。如果 b＝30，两种颜色的花一共有 （120）盆，黄花比红花少（60）盆。 【点睛】本题考查用字母表示数和含字母式子的求值，求出红花的盆数是解答本 题的关键。 【考点六】用字母或含字母的式子表示周长和面积关系。 【方法点拨】 与多边形周长或面积相关的关系式，一是直接利用周长或面积公式进行表示，二 是可以利用画图的方法求解。 【典型例题 1】直接表示。 用字母表示长方形和正方形的面积和周长公式。 正方形的面积=边长×边长 解析： S=a·a=a2 正方形的周长=边长×4 解析： C=a·4=4a 长方形的面积=长×宽 解析： S=a·b= ab 长方形的周长=（长+宽）×2 解析： C=(a+b)×2=2(a+b) 【对应练习 1】 一个长方形的宽是 a，长比宽长 4，长是( )，当 a＝8厘米时，它的周长 是( )厘米，面积是( )平方厘米。 14 / 39 【答案】 a＋4/4＋a 40 96 【分析】长方形的宽是 a，长比宽长 4，求长是多少，用加法计算。再根据长方 形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽求解即可。 【详解】长方形的长：a＋4 长方形的周长：（a＋4＋a）×2＝（2a＋4）×2 当 a＝8厘米时，（2a＋4）×2 ＝（2×8＋4）×2 ＝（16＋4）×2 ＝20×2 ＝40（厘米） 长方形的面积：（a＋4）×a 当 a＝8厘米时，（a＋4）×a ＝（8＋4）×8 ＝12×8 ＝96（平方厘米） 故一个长方形的宽是 a，长比宽长 4，长是 a＋4，当 a＝8厘米时，它的周长是 40厘米，面积是 96平方厘米。 【对应练习 2】 一个长方形的宽是 a厘米，长是宽的 4倍，这个长方形的长是( )厘米， 若 a＝3时，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 4a 30 36 【分析】已知一个长方形的宽是 a厘米，长是宽的 4倍，那么长＝4×a，由此求 出长；再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽，把 a＝3代入 式子中进行解答即可。 【详解】4×a＝4a（厘米） 当 a＝3时， 宽是 3厘米， 长是 4×3＝12（厘米） 长方形的周长：（3＋12）×2 15 / 39 ＝15×2 ＝30（厘米） 长方形的面积：3×12＝36（平方厘米） 【对应练习 3】 一个长方形的长是 4a厘米，是宽的 2倍，这个长方形的周长是( )厘米， 面积是( )平方厘米；当 a＝3时，长方形的面积是( )平方厘米。 【答案】 12a 8a2 72 【分析】已知一个长方形的长是 4a厘米，是宽的 2倍，那么宽＝长÷2，由此求 出宽； 根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽，据此用含字母的式子 表示长方形的周长和面积； 把 a＝3代入长方形面积的式子中，计算得数即可。 【详解】宽：4a÷2＝2a（厘米） 周长： （4a＋2a）×2 ＝6a×2 ＝12a（厘米） 面积：4a×2a＝8a2（平方厘米） 当 a＝3时，8a2＝8×3×3＝72（平方厘米） 所以，这个长方形的周长是 12a厘米，面积是 8a2平方厘米；当 a＝3时，长方形 的面积是 72平方厘米。 【典型例题 2】图形表示。 一块长 10米，宽 8米的长方形菜地，将它的长增加 a米，宽不变。 （1）用含有字母的式子表示这块菜地面积增加了多少平方米？ （2）如果当 a＝4时，这块菜地的面积增加了多少平方米？ 【答案】（1）8a平方米； （2）32平方米 【分析】（1）根据题意画出如下的示意图，增加的部分是一个长方形，长是 8 米，宽是 a米，根据长方形的面积公式＝长×宽得出长方形的面积。 16 / 39 （2）将 a的数值带入到含有字母的式子，计算出结果。 【详解】（1）8×a＝8a（平方米） 答：这块菜地面积增加了 8a平方米。 （2）8×4＝32（平方米） 答：这块菜地的面积增加了 32平方米。 【对应练习 1】 如图所示，一个边长为x米的正方形草坪中间有一个边长为y米的正方形小水池。 （1）用含有字母的式子表示草坪的面积？ （2）当 x＝10，y＝3时，求草坪的面积？ 【答案】（1）（x2－y2）平方米； （2）91平方米 【分析】（1）草坪的面积＝总面积－水池面积，总面积和水池都是正方形，再 根据正方形面积＝边长×边长，代入数据求解，再相减即可求出草坪的面积。 （2）当 x＝10，y＝3时，代入式子计算即可。 【详解】（1）x×x－y×y＝（x2－y2）平方米 答：草坪的面积是（x2－y2）平方米。 （2）当 x＝10，y＝3时 x2－y2 ＝ 2 210 3 17 / 39 ＝100－9 ＝91 答：当 x＝10，y＝3时，草坪的面积是 91平方米。 【点睛】此题考查了用字母表示数的方法，关键是弄清题中字母 x、y所表示的 意义，再进一步解答。 【对应练习 2】 如图所示，一个边长为 a米的正方形草坪中间有一个边长为 b米的正方形小水池。 （1）用含有字母的式子表示草坪的面积。 （2）当 a＝15，b＝6时，草坪的面积是多少平方米？ 【答案】（1）草坪的面积＝a2－b2 （2）189平方米 【分析】（1）草坪的面积等于大正方形的面积减去正方形小水池的面积，正方 形面积边长的平方，据此列式； （2）将 a＝15，b＝6代入（1）中的式子进行计算即可解答。 【详解】（1）草坪的面积＝a2－b2 （2）当 a＝15，b＝6时， a2－b2 ＝152－62 ＝225－36 ＝189（平方米） 答：草坪的面积是 189平方米。 【对应练习 3】 现有长为 20米的篱笆，利用它和一面墙围成长方形状的养鸡场。设养鸡场的宽 为 a米。（如下图） （1）用式子表示出养鸡场的长：________米。 18 / 39 （2）用式子表示出养鸡场的面积：________平方米。 （3）若墙长只有 15米，请你从 1、2、4中选取一个合适的数作为 a的值，并求 出此时养鸡场的面积。 【答案】（1）20－2a （2）20a－2a2 （3）4；48平方米 【分析】（1）用篱笆的长度减去两条宽即可求出长； （2）根据长方形的面积＝长×宽，据此计算即可； （3）把 1、2、4分别代入到（1）中算式中，根据长方形的长小于篱笆的长度， 进而找到 a的值，最后根据长方形的面积＝长×宽，据此代入数值进行计算即可。 【详解】（1）用式子表示出养鸡场的长：（20－2a）米。 （2）（20－2a）×a ＝20a－2a2（平方米） 则用式子表示出养鸡场的面积：（20a－2a2）平方米。 （3）当 a＝1时，养鸡场的长是 20－2a＝20－2×1＝18，18＞15，不符和题意； 当 a＝2时，养鸡场的长是 20－2a＝20－2×2＝16，16＞15，不符合题意； 当 a＝4时，养鸡场的长是 20－2a＝20－2×4＝12，12＜15，符合题意。 所以 a的值是 4，当 a＝时可得： 20a－2a2 ＝20×4－2×4×4 ＝80－32 ＝48（平方米） 答：a的值是 4，此时养鸡场的面积是 48平方米。 【点睛】本题考查用字母表示数，明确篱笆的长度＝1条长＋两条宽是解题的关 键。 【典型例题 3】图形探究。 如图， 10AB  厘米，点 P是线段 AB上的一个动点，分别以 AP，BP为边作正方 19 / 39 形。当 P点运动时，两个正方形的大小会随着改变。 （1）当点 P运动时，两个正方形的周长的和会改变吗？若不会改变，请求出来。 （2）猜想：当点 P运动时，两个正方形的面积的和会改变吗？请说明理由。 【答案】（1）不会改变；40厘米 （2）会改变；理由见详解 【分析】（1）正方形的周长＝边长×4，因为 AB的长度是一定的，虽然当 P点 运动时，两个正方形的大小会随着改变，但是两个正方形的周长的和是不变的。 （2）根据正方形的面积＝边长×边长，当 P点运动时，两个正方形的大小会随 着改变，所以两个正方形的面积的和也会改变。 【详解】（1）周长的和不变。 假设 AP为 x厘米，则 BP为（10﹣x）厘米。 周长和为：4x＋4（10﹣x） ＝4x＋40－4x ＝40（厘米） 答：当点 P运动时，两个正方形的周长的和不会改变，周长和是 40厘米。 （2）面积的和会改变。 当 AP＝1厘米时，BP＝10－1＝9（厘米） 1×1＋9×9 ＝1＋81 ＝82（平方厘米） 当 AP＝2厘米时，BP＝10－2＝8（厘米） 2×2＋8×8 ＝4＋64 ＝68（平方厘米） 当 AP＝3厘米时，BP＝10－3＝7（厘米） 20 / 39 3×3＋7×7 ＝9＋49 ＝58（平方厘米） 答：当点 P运动时，两个正方形的面积的和会改变，当 AP＝1厘米时，面积和 82平方厘米；当 AP＝2厘米时，面积和 68平方厘米；当 AP＝3厘米时，面积 和 58平方厘米。 【点睛】此题主要考查正方形的周长和面积的计算，根据正方形的周长和面积公 式解答。 【对应练习 1】 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等 式例如由图①可以得到（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2，请解答下列问题写出 图②中所表示的数学等式__________； （1）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 a＋b＋c＝11，ab＋bc ＋ac＝38，则 a2＋b2＋c2的值为________； （2）图③中给出了若干个边长为 a和边长为 b的小正方形纸片，若干个长为 a 和宽为 b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出个几何图形，使得计算它的面积能 得到数学公式：2a2＋5ab＋2b2＝（2a＋b）（a＋2b）。 【答案】（a＋b＋c）2＝2（ab＋bc＋ac）＋（a2＋b2＋c2） （1）45 （2）见详解 【分析】用边长×边长表示出大正方形面积，再分别将 9个小图形的面积加起来， 用等号连接即可。 （1）a＋b＋c＝大正方形边长，根据（1）中所得到的结论可得 2（ab＋bc＋ac） 21 / 39 ＋（a2＋b2＋c2）＝（a＋b＋c）2，将（ab＋bc＋ac）、（a2＋b2＋c2）、（a＋b ＋c）看成整体，将 a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38的值代入，解方程即可。 （2）由 2a2＋5ab＋2b2可知，大图形由 2个边长是 a的小正方形，2个边长是 b 的正方形和 5个长是 b、宽是 a的小长方形组成的大长方形，再通过（2a＋b） （a＋2b）可知，大长方形的长是（a＋2b），宽是（2a＋b），据此拼图即可。 【详解】（a＋b＋c）2＝2（ab＋bc＋ac）＋（a2＋b2＋c2） （1）2（ab＋bc＋ac）＋（a2＋b2＋c2）＝（a＋b＋c）2 解：2×38＋（a2＋b2＋c2）＝112 76＋（a2＋b2＋c2）－76＝121－76 a2＋b2＋c2＝45 （2） 【点睛】字母可以表示任意的数，也可以表示特定含义的公式，用字母将数量关 系表示出来。 【对应练习 2】 如下图①，边长分别为 a、b的两个正方形重叠。 （1）图①两个正方形重叠后形成的阴影部分的面积是：________。 （2）图①阴影部分沿虚线裁剪转换成图②长方形后，长方形的长是________， 宽是________，因此，这个长方形的面积就是________。 （3）根据上面两图关系，补充等式： 2 2a b  ________。（以上都请用含字母的 算式表示）。 （4）根据上述规律对下面算式进行简算： 2 2155 145 22 / 39 【答案】（1）（a2－b2） （2）（a＋b）；（a－b）；（a＋b）（a－b） （3）（a＋b）（a－b） （4）3000 【分析】（1）阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，正方形面 积＝边长×边长，据此用字母表示出阴影部分的面积； （2）看图可知，长方形的长＝大正方形的边长＋小正方形的边长；长方形的宽 ＝大正方形的边长－小正方形的边长；长方形面积＝长×宽，据此用字母表示出 长方形的长、宽和面积； （3）图①阴影部分的面积＝图②长方形的面积，据此分析； （4）根据第（3）小题的结论，将 2 2155 145 写成两数和乘两数差的形式，计算即 可。 【详解】（1）a×a－b×b＝（a2－b2） 图①两个正方形重叠后形成的阴影部分的面积是：（a2－b2）。 （2）图①阴影部分沿虚线裁剪转换成图②长方形后，长方形的长是（a＋b）， 宽是（a－b），因此，这个长方形的面积就是（a＋b）（a－b）。 （3） 2 2a b （a＋b）（a－b） （4） 2 2155 145 ＝（155＋145）×（155－145） ＝300×10 ＝3000 【对应练习 3】 将边长为（a＋b）的正方形剪成如图所示的两个正方形和两个长方形，其中标② 的面积可以用 a2表示，标③的面积可以用 ab表示，则（a＋b）×（a＋b）＝（a ＋b）2表示 的面积。此时，你能发现（a＋b）2与 a2＋2ab＋b2的大小关系吗？ 说说你的想法。 23 / 39 【答案】边长为（a＋b）的正方形；（a＋b）2与 a2＋2ab＋b2相等，因为①的面 积＋②的面积＋③的面积＋④的面积＝大正方形的面积。 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，计算出 4个 图形的面积，然后相加，求出它们的面积之和，也是边长为（a＋b）的正方形的 面积，据此解答。 【详解】长方形①的长为 a，宽为 b，面积是 ab； 正方形②的边长为 a，面积是 a2； 长方形③的长为 a，宽为 b，面积是 ab； 正方形④的边长为 b，面积是 b2； 面积之和：ab＋a2＋ab＋b2＝ a2＋2ab＋b2 边长为（a＋b）的大正方形的面积：（a＋b）×（a＋b）＝（a＋b）2 因为①的面积＋②的面积＋③的面积＋④的面积＝大正方形的面积 所以 a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2。 【点睛】熟练掌握长方形和正方形的面积公式是解题的关键。 【考点七】五种新型题型其一：数形规律。 【方法点拨】 表示数形规律时，首先要把图形规律转化为数字规律，再根据数字规律用含字母 的式子进行表示。 【典型例题】 如下图，用小棒摆正方形。 摆 1个正方形要 4根小棒，摆 2个正方形要 7根小棒，摆 3个正方形要 10根小 24 / 39 棒。继续这样摆，摆 10个正方形要( )根小棒；摆 n个正方形需要的小 棒根数是( )。 解析：31 3n＋1 【对应练习 1】 用小棒摆图形。 …… 第 1个 第 2个 第 3个 第 4个 摆第 1个图形需要 3根小棒，第 2个图形需要 5根小棒……照这样，摆第 n个图 形需要( )根小棒。 解析：2n＋1 【对应练习 2】 用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第 4个图形用了( )根 小棒，第 n个图形用了( )根小棒。 解析：17 4n＋1 【对应练习 3】 一些小三角形按下面的方式摆放，用含有字母的式子表示第 n幅图有( ) 个小三角形。 解析：n2 【考点八】五种新型题型其二：定义新运算。 【方法点拨】 1. 定义新运算。 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 25 / 39 2. 解题方法。 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计 算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3. 注意事项。 （1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：✱、▲、◉ 、◎等，它们 并不表示实际意义。 （2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和 小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。 【典型例题】 如果 a◆b＝4a－b，那么 20◆（24◆32）＝( )。 【答案】16 【分析】根据新运算方法“a◆b＝4a－b”，先使 a◆b＝24◆32，求出得数，然后 再使 a◆b＝20◆（24◆32），代入（24◆32）所得数据解答即可。 【详解】24◆32 ＝24×4－32 ＝96－32 ＝64 20◆（24◆32） ＝20◆64 ＝20×4－64 ＝16 所以，如果 a◆b＝4a－b，那么 20◆（24◆32）＝16。 【点睛】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清 新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 【对应练习 1】 设 a，b表示两个不同的数，规定 3 4a b a b     则  6 4 2   ( )。 【答案】2 【分析】根据所给出的等式，知道 a b等于 3与 a的积减去 4与 b的积，用此方 法计算  6 4 2  的值即可。 26 / 39 【详解】  6 4 2  ＝6（3×4－4×2） ＝64 ＝3×6－4×4 ＝18－16 ＝2 【点睛】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清 新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 【对应练习 2】 对于两个数 a，b，规定 a〇b＝（a＋1）×（b－2），则 2〇（3〇4）＝( )。 【答案】18 【分析】根据 a〇b＝（a＋1）×（b－2）可知，a〇b表示前一个数加上 1的和乘 后一个数减 2的差，再根据运算顺序，先计算括号里的，再计算括号外的，进而 求出得数。 【详解】3〇4 ＝（3＋1）×（4－2） ＝4×2 ＝8 2〇8 ＝（2＋1）×（8－2） ＝3×6 ＝18 则 2〇（3〇4）＝18。 【点睛】本题考查的是字母表示数，解题的前提是准确理解算式的计算规律，再 进行解答。 【对应练习 3】 现定义两种运算“※”和“*”，对于整数 a、b有 a※b＝a＋b－1，a*b＝ab－1.例如 1※2＝1＋2－1，1*2＝1×2－1，则（6※8）※（3*5）＝( )。 【答案】26 27 / 39 【分析】根据规定的新运算，遇到“※”可化为两个数的和与 1的差，遇到“*”可 化为两数积与 1的差，然后再进一步计算。 【详解】（6※8）※（3*5） ＝（6＋8－1）※（3×5－1） ＝13※14 ＝13＋14－1 ＝27－1 ＝26。 【点睛】此题考查的是新定义的运算，解此类题的关键是搞清新运算的含义，从 而根据新运算表示的含义写出要求的式子，同时也要求学生掌握运算顺序以及各 种运算法则。 【考点九】五种新型题型其三：材料定义。 【方法点拨】 读懂材料含义，再根据所给材料的公式或规律解决问题。 【典型例题】 鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系是 m＝2n－10（m表 示码数，n表示厘米数）。根据这个关系，把下表填写完整。 男鞋 女鞋 童鞋 n（厘米） 23.5 15.5 m（码） 43 【答案】26.5；37；21 【分析】根据 m＝2n－10，可得 n＝（m＋10）÷2，求值时，要先看字母等于几， 再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】n＝（m＋10）÷2 ＝（43＋10）÷2 ＝53÷2 28 / 39 ＝26.5（厘米） m＝2n－10 ＝2×23.5－10 ＝47－10 ＝37（码） m＝2n－10 ＝2×15.5－10 ＝31－10 ＝21（码） 男鞋 女鞋 童鞋 n（厘米） 26.5 23.5 15.5 m（码） 43 37 21 【对应练习 1】 鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，他们之间的关系是 2 10(b a b  表示码数，a 表示厘米数）根据这个关系，中国篮球协会主席姚明的鞋码是 53码，那么他的 脚长( )厘米。 【答案】31.5 【分析】由题意可以看出主要是求含字母式子的值，因此直接代入求值即可。所 以直接把 53b  代入 2 10b a  ，求出 a。 【详解】解： 2 10 53a   2 63a  31.5a  所以他的脚长 31.5厘米。 【对应练习 2】 预测孩子成年后身高的方法有很多，其中“父母身高预测法”是以父母身高与子女 身高的关系创造出的一组预测公式，用 F表示父亲身高，M表示母亲身高，具 体公式如下。 男孩身高＝（F＋M）×1.08÷2 29 / 39 女孩身高＝（F×0.923＋M）÷2 王强是一个男孩，他父亲的身高是 170cm，母亲的身高是 160cm。按照上面的公 式预测，王强成年后的身高是( )cm。 【答案】178.2 【分析】根据男孩身高的预测公式，先求出王强父母的身高和，再将身高和乘 1.08，再除以 2求出王强成年后的身高。 【详解】（170＋160）×1.08÷2 ＝330×1.08÷2 ＝356.4÷2 ＝178.2（cm） 所以，按照上面的公式预测，王强成年后的身高是 178.2cm。 【对应练习 3】 昆虫爱好者发现，在一定温度范围内，某地蟋蟀每分钟叫的次数与气温有如下近 似关系：h＝t÷7＋3，h表示当时的气温（℃），t表示蟋蟀每分钟叫的次数。如 果蟋蟀每分钟叫 112次，那么当时的气温大约是( )℃；当气温达到 30℃ 时，蟋蟀每分钟大约叫( )次。 【答案】 19 189 【分析】根据关系式：h＝t÷7＋3，把 t＝112代入式子中，计算出 h的值，即是 当时的气温； 由关系式：h＝t÷7＋3可得，t＝（h－3）×7，把 h＝30代入式子中，计算出 t的 值，即是蟋蟀每分钟大约叫的次数。 【详解】（1）当 t＝112时 h＝t÷7＋3 ＝112÷7＋3 ＝16＋3 ＝19（℃） （2）当 h＝30时 t＝（h－3）×7 ＝（30－3）×7 30 / 39 ＝27×7 ＝189（次） 如果蟋蟀每分钟叫 112次，那么当时的气温大约是 19℃； 当气温达到 30℃时，蟋蟀每分钟大约叫 189次。 【点睛】本题考查含有字母式子的求值，把未知数的值代入式子中，求出得数。 【考点十】五种新型题型其四：程序框图。 【方法点拨】 理解程序框图的基本运行逻辑，再解决问题。 【典型例题】 猜年龄。明明设计的猜年龄的程序是： （1）小军输入的年龄是 a，那么输出的结果是( )。 （2）李大爷输入自己的年龄后，输出的结果是 68，李大爷的年龄是( ) 岁。 【答案】 a－1 69 【分析】（1）已知这个程序是先乘 2，再减 2，然后乘 0.5，最后输出结果；如 果输入的是字母 a，则可列式为：（a×2－2）×0.5； （2）因为李大爷的年龄是经过这个程序计算后得出 68，可假设李大爷的年龄是 x岁，按这个程序列一个方程，求出解即可。 【详解】（1）（a×2－2）×0.5 ＝（2a－2）×0.5 ＝2a×0.5－2×0.5 ＝a－1 （2）解：设李大爷的年龄是 x岁， x－1＝68 x＝68＋1 x＝69 【点睛】（1）先将字母 a代入程序，并合理计算，得出简化后的结果； 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年10月25日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元简易方程·用字母表示数篇【十二大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元简易方程·用字母表示数篇 专题内容 本专题是用字母表示数与式子。 总体评价 讲解建议 初次接触代数式，难度不大，但较为抽象，部分同学可能理解起来稍显吃力，建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 十二个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】关于代数式的基本书写格式 3 【考点二】关于代数式的简单计算 4 【考点三】用字母或含字母的式子表示数或数量关系 5 【考点四】用字母或含字母的式子表示运算律 6 【考点五】用字母或含字母的式子表示倍数关系 6 【考点六】用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 7 【考点七】五种新型题型其一：数形规律 11 【考点八】五种新型题型其二：定义新运算 12 【考点九】五种新型题型其三：材料定义 13 【考点十】五种新型题型其四：程序框图 14 【考点十一】五种新型题型其五：数列与算式规律探索 15 【考点十二】含有字母的式子求值 16 【第三篇】典型例题篇 【考点一】关于代数式的基本书写格式。 【方法点拨】 关于代数式的基本书写格式是学习代数的基本知识，从编者教学情况来看，对于正确规范的代数式书写重视还不够重视，导致部分学生出现一些低级书写错误，尤其是在新初一学习代数运算时，致使经常出现笔误错算的情况。 1.关于字母与字母相乘的书写。 中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：A×B可写成A·B或AB。 2.关于数字与字母相乘的书写。 把数字放到字母前，中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：3×B可写成3·B或3B。 注意：乘1的字母就等于这个字母的本身。 3.关于两个或多个相同字母相乘的书写。 需要写成平方或立方的形式，例如：B×B可写成B2，B×B×B可写成B3。 4.关于分数的书写。 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5. 关于除法的书写。 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以a  写作，不要写成5÷a。  6. 关于单位的书写。 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 例如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了（5+a ）本。 【典型例题】 2×a×b可简写成( )，c×c×5可简写成( )。 【对应练习1】 省略乘号，写出下面各式。 c×b＝( )       n×5.6＝( )       a×a＝( )       1×x＝( ) 【对应练习2】 省略乘号写出下面各式。                 【对应练习3】 省略乘号，写出下面各式。                                           【考点二】关于代数式的简单计算。 【方法点拨】 代数式的简单计算，把字母前的数字相加减，字母不变。 【典型例题】 计算下面各题。 1.1a＋3.4a＝ 　            5.8x－x＝ 6c－5c＝                   0.8a＋a＝ 11y－4.5y＝                 5b＋4b－9b＝ 【对应练习1】 计算下面各题。 3m＋6m＝    　　     4.5b＋2.5b＝ 24x－6x＝             4.5b－0.5b＝ 3b×2b＝              45b÷0.9＝ 【对应练习2】 直接写出运算结果。                                                    【对应练习3】 计算下面各题。                          【考点三】用字母或含字母的式子表示数或数量关系。 【方法点拨】 用字母或者含字母的式子表示数或数量关系时，先分析关系再列式子。 【典型例题1】含字母式子的意义。 甲、乙两支施工队一起修路。甲施工队修了4天，平均每天修千米；乙施工队修了9天，平均每天修0.3千米。一共修了4.3千米。4表示( )，4＋9×0.3表示( )。 【典型例题2】用字母表示数量关系。 在括号里填上含有字母的式子。 (1)一辆卡车运x吨煤，共运了3次，平均每次运煤( )吨。 (2)五年级学生小丽和爸爸妈妈一起去公园，公园的成人门票是每张a元，学生门票是每张b元。小丽一家三口共需付( )元购买门票。 【对应练习2】 小轿车的速度是a千米/时，它从黄山市开往杭州市，行了3小时后，距离杭州市还有35千米。 (1)3a表示( )。 (2)杭州市距离黄山市有( )千米。 【对应练习3】 一桶乒乓球有a个。 2.7g/个，3元/个。 (1)体育老师又买来了3个，现在有( )个乒乓球； (2)塑料桶重100g，原来这一桶乒乓球连瓶共重( )g； (3)如果这一桶乒乓球连瓶共重154g，买来的时候是整桶购买的，花费50元，那么每个便宜了( )元。 【考点四】用字母或含字母的式子表示运算律。 【方法点拨】 用字母或者含字母的式子表示运算律时，关键在于熟练掌握运算律公式。 【典型例题】 （a＋b）×c＝( )·( )＋( )·( )，这是应用了( )。 【对应练习1】 在横线上填上适当的数或字母。 5.3×3.4＋3.4×4.7＝ ×（ ＋ ） （a－b）×c＝ × － × 【对应练习2】 在横线上填上适当的数。 600÷25÷4＝600÷（ × ） a×8＋8×15＝ ×（ ＋ ） 【对应练习3】 根据运算定律在横线上填上适当的数或字母。 a＋b＋c＝ ＋（ ＋ ） 5.3×a×b＝5.3×（ × ） 34×（x－y）＝ × － × 【考点五】用字母或含字母的式子表示倍数关系。 【方法点拨】 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式子的含义。 【典型例题】 五（1）班同学收集树种a千克，五（2）班同学收集的树种的数量是五（1）班收集数量的3倍少5千克，五（2）班同学收集树种( )千克，两个班同学一共收集树种( )千克，五（2）班比五（1）班多收集树种( )千克。 【对应练习1】 比a的3倍多1.8的数，用含有字母的式子表示是( )。 【对应练习2】 最新研究发现，真空管道中高速列车的时速（即每小时行的路程），比现在高铁时速的3倍还快150千米。高铁时速a千米，真空管道中高速列车的时速是( )千米。 【对应练习3】 庆祝“六一”儿童节的会场上，红花的盆数是黄花的3倍。黄花有b盆，红花和黄花一共有( )盆，红花比黄花多( )盆。如果b＝30，两种颜色的花一共有( )盆，黄花比红花少( )盆。 【考点六】用字母或含字母的式子表示周长和面积关系。 【方法点拨】 与多边形周长或面积相关的关系式，一是直接利用周长或面积公式进行表示，二是可以利用画图的方法求解。 【典型例题1】直接表示。 用字母表示长方形和正方形的面积和周长公式。 正方形的面积=边长×边长 正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽 长方形的周长=（长+宽）×2 【对应练习1】 一个长方形的宽是a，长比宽长4，长是( )，当a＝8厘米时，它的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【对应练习2】 一个长方形的宽是a厘米，长是宽的4倍，这个长方形的长是( )厘米，若a＝3时，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【对应练习3】 一个长方形的长是4a厘米，是宽的2倍，这个长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米；当a＝3时，长方形的面积是( )平方厘米。 【典型例题2】图形表示。 一块长10米，宽8米的长方形菜地，将它的长增加a米，宽不变。 （1）用含有字母的式子表示这块菜地面积增加了多少平方米？ （2）如果当a＝4时，这块菜地的面积增加了多少平方米？ 【对应练习1】 如图所示，一个边长为x米的正方形草坪中间有一个边长为y米的正方形小水池。 （1）用含有字母的式子表示草坪的面积？ （2）当x＝10，y＝3时，求草坪的面积？ 【对应练习2】 如图所示，一个边长为a米的正方形草坪中间有一个边长为b米的正方形小水池。 （1）用含有字母的式子表示草坪的面积。 （2）当a＝15，b＝6时，草坪的面积是多少平方米？ 【对应练习3】 现有长为20米的篱笆，利用它和一面墙围成长方形状的养鸡场。设养鸡场的宽为a米。（如下图） （1）用式子表示出养鸡场的长：________米。 （2）用式子表示出养鸡场的面积：________平方米。 （3）若墙长只有15米，请你从1、2、4中选取一个合适的数作为a的值，并求出此时养鸡场的面积。 【典型例题3】图形探究。 如图，厘米，点P是线段AB上的一个动点，分别以AP，BP为边作正方形。当P点运动时，两个正方形的大小会随着改变。 （1）当点P运动时，两个正方形的周长的和会改变吗？若不会改变，请求出来。 （2）猜想：当点P运动时，两个正方形的面积的和会改变吗？请说明理由。 【对应练习1】 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式例如由图①可以得到（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2，请解答下列问题写出图②中所表示的数学等式__________； （1）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，则a2＋b2＋c2的值为________； （2）图③中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片，若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2＋5ab＋2b2＝（2a＋b）（a＋2b）。 【对应练习2】 如下图①，边长分别为、的两个正方形重叠。 （1）图①两个正方形重叠后形成的阴影部分的面积是：________。 （2）图①阴影部分沿虚线裁剪转换成图②长方形后，长方形的长是________，宽是________，因此，这个长方形的面积就是________。 （3）根据上面两图关系，补充等式：________。（以上都请用含字母的算式表示）。 （4）根据上述规律对下面算式进行简算： 【对应练习3】 将边长为（a＋b）的正方形剪成如图所示的两个正方形和两个长方形，其中标②的面积可以用a2表示，标③的面积可以用ab表示，则（a＋b）×（a＋b）＝（a＋b）2表示 的面积。此时，你能发现（a＋b）2与a2＋2ab＋b2的大小关系吗？说说你的想法。 【考点七】五种新型题型其一：数形规律。 【方法点拨】 表示数形规律时，首先要把图形规律转化为数字规律，再根据数字规律用含字母的式子进行表示。 【典型例题】 如下图，用小棒摆正方形。 摆1个正方形要4根小棒，摆2个正方形要7根小棒，摆3个正方形要10根小棒。继续这样摆，摆10个正方形要( )根小棒；摆n个正方形需要的小棒根数是( )。 【对应练习1】 用小棒摆图形。 …… 第1个     第2个     第3个     第4个 摆第1个图形需要3根小棒，第2个图形需要5根小棒……照这样，摆第n个图形需要( )根小棒。 【对应练习2】 用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第4个图形用了( )根小棒，第n个图形用了( )根小棒。 【对应练习3】 一些小三角形按下面的方式摆放，用含有字母的式子表示第n幅图有( )个小三角形。 【考点八】五种新型题型其二：定义新运算。 【方法点拨】 1. 定义新运算。 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2. 解题方法。 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3. 注意事项。 （1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：✱、▲、◉、◎等，它们并不表示实际意义。 （2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。 【典型例题】 如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝( )。 【对应练习1】 设，表示两个不同的数，规定则( )。 【对应练习2】 对于两个数a，b，规定a〇b＝（a＋1）×（b－2），则2〇（3〇4）＝( )。 【对应练习3】 现定义两种运算“※”和“*”，对于整数a、b有a※b＝a＋b－1，a*b＝ab－1.例如1※2＝1＋2－1，1*2＝1×2－1，则（6※8）※（3*5）＝( )。 【考点九】五种新型题型其三：材料定义。 【方法点拨】 读懂材料含义，再根据所给材料的公式或规律解决问题。 【典型例题】 鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系是m＝2n－10（m表示码数，n表示厘米数）。根据这个关系，把下表填写完整。 男鞋 女鞋 童鞋 n（厘米） 23.5 15.5 m（码） 43 【对应练习1】 鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，他们之间的关系是表示码数，表示厘米数）根据这个关系，中国篮球协会主席姚明的鞋码是53码，那么他的脚长( )厘米。 【对应练习2】 预测孩子成年后身高的方法有很多，其中“父母身高预测法”是以父母身高与子女身高的关系创造出的一组预测公式，用F表示父亲身高，M表示母亲身高，具体公式如下。 男孩身高＝（F＋M）×1.08÷2 女孩身高＝（F×0.923＋M）÷2 王强是一个男孩，他父亲的身高是170cm，母亲的身高是160cm。按照上面的公式预测，王强成年后的身高是( )cm。 【对应练习3】 昆虫爱好者发现，在一定温度范围内，某地蟋蟀每分钟叫的次数与气温有如下近似关系：h＝t÷7＋3，h表示当时的气温（℃），t表示蟋蟀每分钟叫的次数。如果蟋蟀每分钟叫112次，那么当时的气温大约是( )℃；当气温达到30℃时，蟋蟀每分钟大约叫( )次。 【考点十】五种新型题型其四：程序框图。 【方法点拨】 理解程序框图的基本运行逻辑，再解决问题。 【典型例题】 猜年龄。明明设计的猜年龄的程序是： （1）小军输入的年龄是a，那么输出的结果是( )。 （2）李大爷输入自己的年龄后，输出的结果是68，李大爷的年龄是( )岁。 【对应练习1】 王强设计的猜年龄的程序如下： 输入你的年龄→乘2→减去2→→输出结果。 （1）小丽输入的年龄为a，请用含有a的式子表示输出的结果。 （2）奶奶输入自己的年龄，输出的结果是118，请你根据王强设计的猜年龄的程序计算出奶奶的年龄。 【对应练习2】 刘刚在人工智能课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数（如图）。根据这个计算程序： (1)输入数6会输出数( )； (2)输入数( )会输出数25； (3)小程序的运算规律是什么？用你喜欢的方式写出来： ( )。 【对应练习3】 如图所示，某数学兴趣小组成员用计算机编程编制了一个程序，进行数的混合运算。即输入一个数，按照程序顺序运算，可以输出计算结果。 (1)如果“输入”的数是2，通过“”、“”和“”的第一次的结果是( )，因为结果小于25，把第一次的结果又通过“”、“”和“”后得到第二次的结果是( )，因为结果还小于25，再把第二次的结果通过“”、“”和“”，因为结果大于25，最后，“输出”的数是( )。 (2)如果“输出”的数是26，求“输入”的数最大是( )。 (3)如果“输入”的数是a（a大于14），用a表示“输出”的结果是( )。 【考点十一】五种新型题型其五：数列与算式规律探索。 【方法点拨】 观察数列或算式，找出变化规律，再用字母表示规律。 【典型例题】 1．（数列探究）找规律，直接填写。 1，2，6，15，( )，( )，92。 2．（算式探究）观察下列等式，式子中的“！”是一种数学运算符号。 2！＝2×3，3！＝3×4×5，4！＝4×5×6×7，5！＝5×6×7×8×9，… 以此类推，请计算： (1)6！＝( )。 (2)8×9×10×11×12×13×14×15＝( )。 【对应练习1】 观察数列2，6，12，20，30，…的规律，则这列数的第6个数是( )，是第n个数是( )。 【对应练习2】 因为，所以( )。 【对应练习3】 已知[6，2]＝8，[8，3]＝10，[11，4]＝14，[62，51]＝22；若[ 22，x]＝25，则x＝( )。 【考点十二】含有字母的式子求值。 【方法点拨】 1.用字母可以表示数，用含有字母的式子可以表示数量关系。 2.当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定，把字母的值代入含有字母的式子里，通过计算就可以求出含有字母的式子的值。 【典型例题1】基础。 当a＝2.6，b＝1.8时，5a＋4b＝( )，3a－4b＝( )。 【对应练习】 若x2＝2x，则x＝( )。当x＝8时，x2＝( )，2x＝( )。 【典型例题2】综合。 一个文具盒的单价是元，李老师买了8个，王阿姨买了5个。 （1）用含有字母的式子表示李老师比王阿姨多用了多少元。 （2）当＝15时，李老师比王阿姨多用了多少元？ 【对应练习1】 学校演播厅楼下有a排座位，每排有20个位置；楼上有b个位置。 （1）用含有字母的式子表示演播厅的座位数。 （2）当a＝15，b＝110时，演播厅共有多少个座位？ 【对应练习2】 爸爸带了100元去买菜，买了3千克肉，每千克y元。 （1）用式子表示爸爸还剩多少元。 （2）当y＝25.6时，求爸爸还剩多少元？ 【对应练习3】 某影剧院有上下两层。下层有x排，每排40个座位，上层共有y个座位。 （1）用含有字母的式子表示该影剧院的座位数。 （2）当、时，这个影剧院共有（     ）个座位。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2024年10月25日 2024-2025学年五年级数学上册典型例题系列 第五单元简易方程·用字母表示数篇【十二大考点】 【第一篇】专题解读篇 专题名称 第五单元简易方程·用字母表示数篇 专题内容 本专题是用字母表示数与式子。 总体评价 讲解建议 初次接触代数式，难度不大，但较为抽象，部分同学可能理解起来稍显吃力，建议作为本章基础内容进行讲解。 考点数量 十二个考点。 【第二篇】目录导航篇 【考点一】关于代数式的基本书写格式 3 【考点二】关于代数式的简单计算 5 【考点三】用字母或含字母的式子表示数或数量关系 6 【考点四】用字母或含字母的式子表示运算律 9 【考点五】用字母或含字母的式子表示倍数关系 11 【考点六】用字母或含字母的式子表示周长和面积关系 13 【考点七】五种新型题型其一：数形规律 23 【考点八】五种新型题型其二：定义新运算 24 【考点九】五种新型题型其三：材料定义 27 【考点十】五种新型题型其四：程序框图 30 【考点十一】五种新型题型其五：数列与算式规律探索 34 【考点十二】含有字母的式子求值 36 【第三篇】典型例题篇 【考点一】关于代数式的基本书写格式。 【方法点拨】 关于代数式的基本书写格式是学习代数的基本知识，从编者教学情况来看，对于正确规范的代数式书写重视还不够重视，导致部分学生出现一些低级书写错误，尤其是在新初一学习代数运算时，致使经常出现笔误错算的情况。 1.关于字母与字母相乘的书写。 中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：A×B可写成A·B或AB。 2.关于数字与字母相乘的书写。 把数字放到字母前，中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如：3×B可写成3·B或3B。 注意：乘1的字母就等于这个字母的本身。 3.关于两个或多个相同字母相乘的书写。 需要写成平方或立方的形式，例如：B×B可写成B2，B×B×B可写成B3。 4.关于分数的书写。 当字母和带分数相乘时，要把带分数化成假分数。 5. 关于除法的书写。 含有字母的除法运算中，最后结果要写成分数形式，分数线相当于除号。 例如：5除以a  写作，不要写成5÷a。  6. 关于单位的书写。 如果代数式后面带有单位名称，是乘除运算结果的直接将单位名称写在代数式后面，若代数式是带加减运算且须注明单位的，要把代数式括起来，后面注明单位。 例如：甲同学买了5本书，乙同学买了a 本书，他们一共买了（5+a ）本。 【典型例题】 2×a×b可简写成( )，c×c×5可简写成( )。 【答案】 2ab 5c2 【分析】用字母表示表示数时，数字与字母，字母与字母之间的乘号可以省略，也可以用小圆点“·”表示。字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面。多个字母相乘时，一般按字母顺序书写。两个相同的字母相乘，可以写成这个字母的平方。 【详解】通过分析，2×a×b可简写成2ab，c×c×5可简写成5c2。 【点睛】掌握含有字母的乘法式子的简写方法是解题的关键。 【对应练习1】 省略乘号，写出下面各式。 c×b＝( )       n×5.6＝( )       a×a＝( )       1×x＝( ) 【答案】 bc/cb 5.6n a2 x 【分析】字母和字母相乘，乘号可以省略。两个相同的字母相乘，可以写成这个字母的平方； 字母和数字相乘，乘号省略后，数字在前字母在后。数字是1时，省略乘号后1省略不写。 【详解】省略乘号，写出下面各式。 c×b＝bc      n×5.6＝5.6n      a×a＝a2      1×x＝x 【点睛】本题考查了用字母表示数，掌握省略乘号的规则是解题的关键。 【对应练习2】 省略乘号写出下面各式。                 【答案】；；； 【分析】用字母表示表示数时，数字与字母，字母与字母之间的乘号可以省略，也可以用小圆点“·”表示。字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面。当数字是“1”时，“1”常常省略不写。多个字母相乘时，一般按字母顺序书写。 【详解】；；； 【对应练习3】 省略乘号，写出下面各式。                                           【答案】bx；b2；5x；12a；ab；5x a；3a；35m；30b；7xy；2c2 【详解】略 【考点二】关于代数式的简单计算。 【方法点拨】 代数式的简单计算，把字母前的数字相加减，字母不变。 【典型例题】 计算下面各题。 1.1a＋3.4a＝ 　            5.8x－x＝ 6c－5c＝                   0.8a＋a＝ 11y－4.5y＝                 5b＋4b－9b＝ 【答案】4.5a  4.8x c　1.8a　 6.5y　0 【解析】略 【对应练习1】 计算下面各题。 3m＋6m＝    　　     4.5b＋2.5b＝ 24x－6x＝             4.5b－0.5b＝ 3b×2b＝              45b÷0.9＝ 【答案】9m；7b 18x；4b 6b2；50b 【解析】略 【对应练习2】 直接写出运算结果。                                                    【答案】；；； ；；0 【详解】略 【对应练习3】 计算下面各题。                          【答案】；；；； ；；； 【分析】含有字母的式子进行计算时，同样可以利用运算定律进行简算。注意相同的两个字母相乘，如，可以写作，而不可以写作。 【详解】17x    4b   4k 16m   7n   8y－3   0.2t 【考点三】用字母或含字母的式子表示数或数量关系。 【方法点拨】 用字母或者含字母的式子表示数或数量关系时，先分析关系再列式子。 【典型例题1】含字母式子的意义。 甲、乙两支施工队一起修路。甲施工队修了4天，平均每天修千米；乙施工队修了9天，平均每天修0.3千米。一共修了4.3千米。4表示( )，4＋9×0.3表示( )。 【答案】 甲施工队4天修路的长度 甲乙两个施工队一共修路的长度 【分析】已知甲施工队修了4天，平均每天修千米，根据“工作效率×工作时间＝工作量”可知，4表示甲施工队4天修路的长度； 已知乙施工队修了9天，平均每天修0.3千米，则9×0.3表示乙施工队9天修路的长度；那么4＋9×0.3表示甲乙两个施工队一共修路的长度。 【详解】4表示甲施工队4天修路的长度； 4＋9×0.3表示甲乙两个施工队一共修路的长度。 【点睛】本题考查用字母表示式子的含义，掌握工作效率、工作时间、工作量之间的关系是解题的关键。 【典型例题2】用字母表示数量关系。 在括号里填上含有字母的式子。 (1)一辆卡车运x吨煤，共运了3次，平均每次运煤( )吨。 (2)五年级学生小丽和爸爸妈妈一起去公园，公园的成人门票是每张a元，学生门票是每张b元。小丽一家三口共需付( )元购买门票。 【答案】(1)x÷3 (2)2a＋b/b＋2a 【分析】（1）将煤的总量x吨除以3次，表示出平均每次运煤多少吨； （2）将2张成人票票价加上1张儿童票票价，表示出购买门票一共需要付多少元。 【详解】（1）一辆卡车运x吨煤，共运了3次，平均每次运煤（x÷3）吨。 （2）小丽一家三口共需付（2a＋b）元购买门票。 【点睛】本题考查了用字母表示数，有一定抽象概括能力是解题的关键，同时要注意数字和字母相乘，中间的乘号省略，数字在前，字母在后。 【对应练习1】 客车每小时行55千米，比货车每小时快m千米。货车行驶了a小时，客车行驶了b小时。请写出下面式子表示的含义。 (1)55－m表示( )。 (2)55b表示( )。 【答案】(1)货车速度 (2)客车b小时行驶的路程 【分析】（1）客车速度－客车比货车快的速度＝货车速度，据此分析； （2）速度×时间＝路程，客车速度×客车行驶时间＝客车行驶路程，据此分析。 【详解】（1）55－m表示货车速度。 （2）55b表示客车b小时行驶的路程。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，理解字母可以表示任意数。 【对应练习2】 小轿车的速度是a千米/时，它从黄山市开往杭州市，行了3小时后，距离杭州市还有35千米。 (1)3a表示( )。 (2)杭州市距离黄山市有( )千米。 【答案】(1)小轿车3小时行驶的路程 (2)3a＋35 【分析】（1）根据速度×时间＝路程，已知小轿车的速度是a千米/时，行驶时间是3小时，所以3×a表示小轿车3小时行驶的路程。 （2）通过（1）求出小轿车3小时行驶的路程，再加上距离杭州市的距离，即可表示出杭州市距离黄山市的路程。 【详解】（1）根据分析得，3a表示小轿车3小时行驶的路程。 （2）3×a＋35＝（3a＋35）千米 杭州市距离黄山市有（3a＋35）千米。 【点睛】此题主要考查用字母表示数，字母可以表示任意的数，也可以表示特定含义的公式，还可以用字母将数量关系表示出来。 【对应练习3】 一桶乒乓球有a个。 2.7g/个，3元/个。 (1)体育老师又买来了3个，现在有( )个乒乓球； (2)塑料桶重100g，原来这一桶乒乓球连瓶共重( )g； (3)如果这一桶乒乓球连瓶共重154g，买来的时候是整桶购买的，花费50元，那么每个便宜了( )元。 【答案】(1)（a＋3） (2)（100＋2.7a） (3)（3－50÷a） 【分析】（1）现在有乒乓球的个数＝原来一桶乒乓球的个数＋体育老师又买来的个数； （2）原来这一桶乒乓球连瓶一共的质量＝塑料桶的质量＋平均每个乒乓的质量×原来的个数； （3）每个便宜的钱数＝零售价－整桶买的单价；其中，整桶买的单价＝总价÷整桶的个数。 【详解】（1）（a＋3）个 体育老师又买来了3个，现在有（a＋3）个乒乓球。 （2）100＋2.7×a＝（100＋2.7a）g 塑料桶重100g，原来这一桶乒乓球连瓶共重（100＋2.7）g。 （3）（3－50÷a）元 如果这一桶乒乓球连瓶共重154g，买来的时候是整桶购买的，花费50元，那么每个便宜了（3－50÷a）元。 【点睛】本题考查用字母表示数，关键是弄清楚它们之间的关系。 【考点四】用字母或含字母的式子表示运算律。 【方法点拨】 用字母或者含字母的式子表示运算律时，关键在于熟练掌握运算律公式。 【典型例题】 （a＋b）×c＝( )·( )＋( )·( )，这是应用了( )。 【答案】 a c b c 乘法分配律 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。用字母表示为：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。据此解答。 【详解】由分析可知： （a＋b）×c＝a·b＋a·b，这是应用了乘法分配律。 【点睛】掌握乘法分配律的意义是解答此题的关键。字母与字母相乘时，乘号可以省略不写或写成“·”。 【对应练习1】 在横线上填上适当的数或字母。 5.3×3.4＋3.4×4.7＝ ×（ ＋ ） （a－b）×c＝ × － × 【答案】 3.4 5.3 4.7 a c b c 【分析】根据乘法分配律，两个数的和或差乘一个数，可以把它们与这个数分别相乘，再相加或相减即可。 【详解】由分析可得： 5.3×3.4＋3.4×4.7＝3.4×（5.3＋4.7） （a－b）×c＝a×c－b×c 【点睛】本题考查简便运算，熟记乘法运算定律是解题的关键。 【对应练习2】 在横线上填上适当的数。 600÷25÷4＝600÷（ × ） a×8＋8×15＝ ×（ ＋ ） 【答案】 25 4 8 a 15 【分析】（1）运用除法的性质进行计算即可； （2）运用乘法分配律进行计算即可。 【详解】600÷25÷4＝600÷（25×4） a×8＋8×15＝8×（a＋15） 【点睛】本题考查简便运算，熟记乘法运算定律是解题的关键。 【对应练习3】 根据运算定律在横线上填上适当的数或字母。 a＋b＋c＝ ＋（ ＋ ） 5.3×a×b＝5.3×（ × ） 34×（x－y）＝ × － × 【答案】 a b c a b 34 x 34 y 【分析】加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。 乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加（或相减）。 【详解】a＋b＋c＝a＋（b＋c） 5.3×a×b＝5.3×（a×b） 34×（x－y）＝34×x－34×y 【点睛】关键是掌握并灵活运用运算定律，理解字母可以表示任意数。 【考点五】用字母或含字母的式子表示倍数关系。 【方法点拨】 有倍数关系存在时，往往涉及到含字母的式子的计算，注意每个含字母的式子的含义。 【典型例题】 五（1）班同学收集树种a千克，五（2）班同学收集的树种的数量是五（1）班收集数量的3倍少5千克，五（2）班同学收集树种( )千克，两个班同学一共收集树种( )千克，五（2）班比五（1）班多收集树种( )千克。 【答案】 3a－5 4a－5 2a－5 【分析】可先求五（1）班收集数量的3倍是多少，用五（1）班同学收集的数量乘3计算，结果再减5，就得到五（2）班同学收集的树种千克数，在含有字母的乘法算式里，乘号可以省略不写或用“∙”表示，将数字写在字母的前面； 把两个班收集的树种数加起来就得到两个班同学一共收集的树种数量，式子能化简的要化简； 用五（2）班收集的树种数量减五（1）班收集的树种数量即可，式子能化简的要化简。 【详解】 五（2）班同学收集树种千克，两个班同学一共收集树种千克，五（2）班比五（1）班多收集树种千克。 【对应练习1】 比a的3倍多1.8的数，用含有字母的式子表示是( )。 【答案】3a＋1.8 【分析】根据求一个数的几倍是多少，用乘法计算，用a乘3再加上1.8即可求解。 【详解】a×3＋1.8＝3a＋1.8 则比a的3倍多1.8的数，用含有字母的式子表示是（3a＋1.8）。 【点睛】本题考查用字母表示数，明确数量关系是解题的关键。 【对应练习2】 最新研究发现，真空管道中高速列车的时速（即每小时行的路程），比现在高铁时速的3倍还快150千米。高铁时速a千米，真空管道中高速列车的时速是( )千米。 【答案】3a＋150 【分析】根据题意可得出数量关系：高铁的时速×3＋150＝真空管道中高速列车的时速，据此用含字母的式子表示真空管道中高速列车的时速。 【详解】a×3＋150＝（3a＋150）千米 真空管道中高速列车的时速是（3a＋150）千米。 【对应练习3】 庆祝“六一”儿童节的会场上，红花的盆数是黄花的3倍。黄花有b盆，红花和黄花一共有( )盆，红花比黄花多( )盆。如果b＝30，两种颜色的花一共有( )盆，黄花比红花少( )盆。 【答案】 4b 2b 120 60 【分析】根据题意，红花的盆数是黄花的3倍，而黄花有b盆，那么红花就是3b盆，那么红花和黄花一共有多少盆，用加法计算；红花比黄花多多少盆，用减法计算；如果b＝30，两种颜色的花一共有多少盆，就是求4b是多少，把b＝30，代入计算即可；黄花比红花少多少盆，就是求2b是多少，把b＝30代入，代入计算即可，据此解答。 【详解】3b＋b＝4b 3b－b＝2b 当b＝30时 4b＝4×30＝120（盆） 2b＝2×30＝60（盆） 庆祝“六一”儿童节的会场上，红花的盆数是黄花的3倍。黄花有b盆，红花和黄花一共有（4b）盆，红花比黄花多（2b）盆。如果b＝30，两种颜色的花一共有（120）盆，黄花比红花少（60）盆。 【点睛】本题考查用字母表示数和含字母式子的求值，求出红花的盆数是解答本题的关键。 【考点六】用字母或含字母的式子表示周长和面积关系。 【方法点拨】 与多边形周长或面积相关的关系式，一是直接利用周长或面积公式进行表示，二是可以利用画图的方法求解。 【典型例题1】直接表示。 用字母表示长方形和正方形的面积和周长公式。 正方形的面积=边长×边长 解析： S=a·a=a2 正方形的周长=边长×4 解析： C=a·4=4a 长方形的面积=长×宽 解析： S=a·b= ab 长方形的周长=（长+宽）×2 解析： C=(a+b)×2=2(a+b) 【对应练习1】 一个长方形的宽是a，长比宽长4，长是( )，当a＝8厘米时，它的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 a＋4/4＋a 40 96 【分析】长方形的宽是a，长比宽长4，求长是多少，用加法计算。再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长×宽求解即可。 【详解】长方形的长：a＋4 长方形的周长：（a＋4＋a）×2＝（2a＋4）×2 当a＝8厘米时，（2a＋4）×2 ＝（2×8＋4）×2 ＝（16＋4）×2 ＝20×2 ＝40（厘米） 长方形的面积：（a＋4）×a 当a＝8厘米时，（a＋4）×a ＝（8＋4）×8 ＝12×8 ＝96（平方厘米） 故一个长方形的宽是a，长比宽长4，长是a＋4，当a＝8厘米时，它的周长是40厘米，面积是96平方厘米。 【对应练习2】 一个长方形的宽是a厘米，长是宽的4倍，这个长方形的长是( )厘米，若a＝3时，周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 4a 30 36 【分析】已知一个长方形的宽是a厘米，长是宽的4倍，那么长＝4×a，由此求出长；再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽，把a＝3代入式子中进行解答即可。 【详解】4×a＝4a（厘米） 当a＝3时， 宽是3厘米， 长是4×3＝12（厘米） 长方形的周长：（3＋12）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 长方形的面积：3×12＝36（平方厘米） 【对应练习3】 一个长方形的长是4a厘米，是宽的2倍，这个长方形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米；当a＝3时，长方形的面积是( )平方厘米。 【答案】 12a 8a2 72 【分析】已知一个长方形的长是4a厘米，是宽的2倍，那么宽＝长÷2，由此求出宽； 根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽，据此用含字母的式子表示长方形的周长和面积； 把a＝3代入长方形面积的式子中，计算得数即可。 【详解】宽：4a÷2＝2a（厘米） 周长： （4a＋2a）×2 ＝6a×2 ＝12a（厘米） 面积：4a×2a＝8a2（平方厘米） 当a＝3时，8a2＝8×3×3＝72（平方厘米） 所以，这个长方形的周长是12a厘米，面积是8a2平方厘米；当a＝3时，长方形的面积是72平方厘米。 【典型例题2】图形表示。 一块长10米，宽8米的长方形菜地，将它的长增加a米，宽不变。 （1）用含有字母的式子表示这块菜地面积增加了多少平方米？ （2）如果当a＝4时，这块菜地的面积增加了多少平方米？ 【答案】（1）8a平方米； （2）32平方米 【分析】（1）根据题意画出如下的示意图，增加的部分是一个长方形，长是8米，宽是a米，根据长方形的面积公式＝长×宽得出长方形的面积。 （2）将a的数值带入到含有字母的式子，计算出结果。 【详解】（1）8×a＝8a（平方米） 答：这块菜地面积增加了8a平方米。 （2）8×4＝32（平方米） 答：这块菜地的面积增加了32平方米。 【对应练习1】 如图所示，一个边长为x米的正方形草坪中间有一个边长为y米的正方形小水池。 （1）用含有字母的式子表示草坪的面积？ （2）当x＝10，y＝3时，求草坪的面积？ 【答案】（1）（x2－y2）平方米； （2）91平方米 【分析】（1）草坪的面积＝总面积－水池面积，总面积和水池都是正方形，再根据正方形面积＝边长×边长，代入数据求解，再相减即可求出草坪的面积。 （2）当x＝10，y＝3时，代入式子计算即可。 【详解】（1）x×x－y×y＝（x2－y2）平方米 答：草坪的面积是（x2－y2）平方米。 （2）当x＝10，y＝3时 x2－y2 ＝ ＝100－9 ＝91 答：当x＝10，y＝3时，草坪的面积是91平方米。 【点睛】此题考查了用字母表示数的方法，关键是弄清题中字母x、y所表示的意义，再进一步解答。 【对应练习2】 如图所示，一个边长为a米的正方形草坪中间有一个边长为b米的正方形小水池。 （1）用含有字母的式子表示草坪的面积。 （2）当a＝15，b＝6时，草坪的面积是多少平方米？ 【答案】（1）草坪的面积＝a2－b2 （2）189平方米 【分析】（1）草坪的面积等于大正方形的面积减去正方形小水池的面积，正方形面积边长的平方，据此列式； （2）将a＝15，b＝6代入（1）中的式子进行计算即可解答。 【详解】（1）草坪的面积＝a2－b2 （2）当a＝15，b＝6时， a2－b2 ＝152－62 ＝225－36 ＝189（平方米） 答：草坪的面积是189平方米。 【对应练习3】 现有长为20米的篱笆，利用它和一面墙围成长方形状的养鸡场。设养鸡场的宽为a米。（如下图） （1）用式子表示出养鸡场的长：________米。 （2）用式子表示出养鸡场的面积：________平方米。 （3）若墙长只有15米，请你从1、2、4中选取一个合适的数作为a的值，并求出此时养鸡场的面积。 【答案】（1）20－2a （2）20a－2a2 （3）4；48平方米 【分析】（1）用篱笆的长度减去两条宽即可求出长； （2）根据长方形的面积＝长×宽，据此计算即可； （3）把1、2、4分别代入到（1）中算式中，根据长方形的长小于篱笆的长度，进而找到a的值，最后根据长方形的面积＝长×宽，据此代入数值进行计算即可。 【详解】（1）用式子表示出养鸡场的长：（20－2a）米。 （2）（20－2a）×a ＝20a－2a2（平方米） 则用式子表示出养鸡场的面积：（20a－2a2）平方米。 （3）当a＝1时，养鸡场的长是20－2a＝20－2×1＝18，18＞15，不符和题意； 当a＝2时，养鸡场的长是20－2a＝20－2×2＝16，16＞15，不符合题意； 当a＝4时，养鸡场的长是20－2a＝20－2×4＝12，12＜15，符合题意。 所以a的值是4，当a＝时可得： 20a－2a2 ＝20×4－2×4×4 ＝80－32 ＝48（平方米） 答：a的值是4，此时养鸡场的面积是48平方米。 【点睛】本题考查用字母表示数，明确篱笆的长度＝1条长＋两条宽是解题的关键。 【典型例题3】图形探究。 如图，厘米，点P是线段AB上的一个动点，分别以AP，BP为边作正方形。当P点运动时，两个正方形的大小会随着改变。 （1）当点P运动时，两个正方形的周长的和会改变吗？若不会改变，请求出来。 （2）猜想：当点P运动时，两个正方形的面积的和会改变吗？请说明理由。 【答案】（1）不会改变；40厘米 （2）会改变；理由见详解 【分析】（1）正方形的周长＝边长×4，因为AB的长度是一定的，虽然当P点运动时，两个正方形的大小会随着改变，但是两个正方形的周长的和是不变的。 （2）根据正方形的面积＝边长×边长，当P点运动时，两个正方形的大小会随着改变，所以两个正方形的面积的和也会改变。 【详解】（1）周长的和不变。 假设AP为x厘米，则BP为（10﹣x）厘米。 周长和为：4x＋4（10﹣x） ＝4x＋40－4x ＝40（厘米） 答：当点P运动时，两个正方形的周长的和不会改变，周长和是40厘米。 （2）面积的和会改变。 当AP＝1厘米时，BP＝10－1＝9（厘米） 1×1＋9×9 ＝1＋81 ＝82（平方厘米） 当AP＝2厘米时，BP＝10－2＝8（厘米） 2×2＋8×8 ＝4＋64 ＝68（平方厘米） 当AP＝3厘米时，BP＝10－3＝7（厘米） 3×3＋7×7 ＝9＋49 ＝58（平方厘米） 答：当点P运动时，两个正方形的面积的和会改变，当AP＝1厘米时，面积和82平方厘米；当AP＝2厘米时，面积和68平方厘米；当AP＝3厘米时，面积和58平方厘米。 【点睛】此题主要考查正方形的周长和面积的计算，根据正方形的周长和面积公式解答。 【对应练习1】 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，可以得到一个数学等式例如由图①可以得到（a＋2b）（a＋b）＝a2＋3ab＋2b2，请解答下列问题写出图②中所表示的数学等式__________； （1）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38，则a2＋b2＋c2的值为________； （2）图③中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片，若干个长为a和宽为b的长方形纸片，利用所给的纸片拼出个几何图形，使得计算它的面积能得到数学公式：2a2＋5ab＋2b2＝（2a＋b）（a＋2b）。 【答案】（a＋b＋c）2＝2（ab＋bc＋ac）＋（a2＋b2＋c2） （1）45 （2）见详解 【分析】用边长×边长表示出大正方形面积，再分别将9个小图形的面积加起来，用等号连接即可。 （1）a＋b＋c＝大正方形边长，根据（1）中所得到的结论可得2（ab＋bc＋ac）＋（a2＋b2＋c2）＝（a＋b＋c）2，将（ab＋bc＋ac）、（a2＋b2＋c2）、（a＋b＋c）看成整体，将a＋b＋c＝11，ab＋bc＋ac＝38的值代入，解方程即可。 （2）由2a2＋5ab＋2b2可知，大图形由2个边长是a的小正方形，2个边长是b的正方形和5个长是b、宽是a的小长方形组成的大长方形，再通过（2a＋b）（a＋2b）可知，大长方形的长是（a＋2b），宽是（2a＋b），据此拼图即可。 【详解】（a＋b＋c）2＝2（ab＋bc＋ac）＋（a2＋b2＋c2） （1）2（ab＋bc＋ac）＋（a2＋b2＋c2）＝（a＋b＋c）2 解：2×38＋（a2＋b2＋c2）＝112 76＋（a2＋b2＋c2）－76＝121－76 a2＋b2＋c2＝45 （2） 【点睛】字母可以表示任意的数，也可以表示特定含义的公式，用字母将数量关系表示出来。 【对应练习2】 如下图①，边长分别为、的两个正方形重叠。 （1）图①两个正方形重叠后形成的阴影部分的面积是：________。 （2）图①阴影部分沿虚线裁剪转换成图②长方形后，长方形的长是________，宽是________，因此，这个长方形的面积就是________。 （3）根据上面两图关系，补充等式：________。（以上都请用含字母的算式表示）。 （4）根据上述规律对下面算式进行简算： 【答案】（1）（a2－b2） （2）（a＋b）；（a－b）；（a＋b）（a－b） （3）（a＋b）（a－b） （4）3000 【分析】（1）阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，正方形面积＝边长×边长，据此用字母表示出阴影部分的面积； （2）看图可知，长方形的长＝大正方形的边长＋小正方形的边长；长方形的宽＝大正方形的边长－小正方形的边长；长方形面积＝长×宽，据此用字母表示出长方形的长、宽和面积； （3）图①阴影部分的面积＝图②长方形的面积，据此分析； （4）根据第（3）小题的结论，将写成两数和乘两数差的形式，计算即可。 【详解】（1）a×a－b×b＝（a2－b2） 图①两个正方形重叠后形成的阴影部分的面积是：（a2－b2）。 （2）图①阴影部分沿虚线裁剪转换成图②长方形后，长方形的长是（a＋b），宽是（a－b），因此，这个长方形的面积就是（a＋b）（a－b）。 （3）（a＋b）（a－b） （4） ＝（155＋145）×（155－145） ＝300×10 ＝3000 【对应练习3】 将边长为（a＋b）的正方形剪成如图所示的两个正方形和两个长方形，其中标②的面积可以用a2表示，标③的面积可以用ab表示，则（a＋b）×（a＋b）＝（a＋b）2表示 的面积。此时，你能发现（a＋b）2与a2＋2ab＋b2的大小关系吗？说说你的想法。 【答案】边长为（a＋b）的正方形；（a＋b）2与a2＋2ab＋b2相等，因为①的面积＋②的面积＋③的面积＋④的面积＝大正方形的面积。 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，计算出4个图形的面积，然后相加，求出它们的面积之和，也是边长为（a＋b）的正方形的面积，据此解答。 【详解】长方形①的长为a，宽为b，面积是ab； 正方形②的边长为a，面积是a2； 长方形③的长为a，宽为b，面积是ab； 正方形④的边长为b，面积是b2； 面积之和：ab＋a2＋ab＋b2＝ a2＋2ab＋b2 边长为（a＋b）的大正方形的面积：（a＋b）×（a＋b）＝（a＋b）2 因为①的面积＋②的面积＋③的面积＋④的面积＝大正方形的面积 所以a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2。 【点睛】熟练掌握长方形和正方形的面积公式是解题的关键。 【考点七】五种新型题型其一：数形规律。 【方法点拨】 表示数形规律时，首先要把图形规律转化为数字规律，再根据数字规律用含字母的式子进行表示。 【典型例题】 如下图，用小棒摆正方形。 摆1个正方形要4根小棒，摆2个正方形要7根小棒，摆3个正方形要10根小棒。继续这样摆，摆10个正方形要( )根小棒；摆n个正方形需要的小棒根数是( )。 解析：31     3n＋1 【对应练习1】 用小棒摆图形。 …… 第1个     第2个     第3个     第4个 摆第1个图形需要3根小棒，第2个图形需要5根小棒……照这样，摆第n个图形需要( )根小棒。 解析：2n＋1 【对应练习2】 用同样长的小棒摆出如下的图形。照这样继续摆，第4个图形用了( )根小棒，第n个图形用了( )根小棒。 解析：17     4n＋1 【对应练习3】 一些小三角形按下面的方式摆放，用含有字母的式子表示第n幅图有( )个小三角形。 解析：n2 【考点八】五种新型题型其二：定义新运算。 【方法点拨】 1. 定义新运算。 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。 2. 解题方法。 解决定义新运算类型题，关键是理解新定义的算式的含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，最后再进行计算。 3. 注意事项。 （1）定义新运算的符号常是特殊的运算符号，例如：✱、▲、◉、◎等，它们并不表示实际意义。 （2）在新定义的算式中，如果有括号，要先算括号里面的，同样，有中括号和小括号，要先算小括号里的，再算中括号里的。 【典型例题】 如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝( )。 【答案】16 【分析】根据新运算方法“a◆b＝4a－b”，先使a◆b＝24◆32，求出得数，然后再使a◆b＝20◆（24◆32），代入（24◆32）所得数据解答即可。 【详解】24◆32 ＝24×4－32 ＝96－32 ＝64 20◆（24◆32） ＝20◆64 ＝20×4－64 ＝16 所以，如果a◆b＝4a－b，那么20◆（24◆32）＝16。 【点睛】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 【对应练习1】 设，表示两个不同的数，规定则( )。 【答案】2 【分析】根据所给出的等式，知道等于3与a的积减去4与b的积，用此方法计算的值即可。 【详解】 ＝（3×4－4×2） ＝4 ＝3×6－4×4 ＝18－16 ＝2 【点睛】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后再分步求值就可得出答案。 【对应练习2】 对于两个数a，b，规定a〇b＝（a＋1）×（b－2），则2〇（3〇4）＝( )。 【答案】18 【分析】根据a〇b＝（a＋1）×（b－2）可知，a〇b表示前一个数加上1的和乘后一个数减2的差，再根据运算顺序，先计算括号里的，再计算括号外的，进而求出得数。 【详解】3〇4 ＝（3＋1）×（4－2） ＝4×2 ＝8 2〇8 ＝（2＋1）×（8－2） ＝3×6 ＝18 则2〇（3〇4）＝18。 【点睛】本题考查的是字母表示数，解题的前提是准确理解算式的计算规律，再进行解答。 【对应练习3】 现定义两种运算“※”和“*”，对于整数a、b有a※b＝a＋b－1，a*b＝ab－1.例如1※2＝1＋2－1，1*2＝1×2－1，则（6※8）※（3*5）＝( )。 【答案】26 【分析】根据规定的新运算，遇到“※”可化为两个数的和与1的差，遇到“*”可化为两数积与1的差，然后再进一步计算。 【详解】（6※8）※（3*5） ＝（6＋8－1）※（3×5－1） ＝13※14 ＝13＋14－1 ＝27－1 ＝26。 【点睛】此题考查的是新定义的运算，解此类题的关键是搞清新运算的含义，从而根据新运算表示的含义写出要求的式子，同时也要求学生掌握运算顺序以及各种运算法则。 【考点九】五种新型题型其三：材料定义。 【方法点拨】 读懂材料含义，再根据所给材料的公式或规律解决问题。 【典型例题】 鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系是m＝2n－10（m表示码数，n表示厘米数）。根据这个关系，把下表填写完整。 男鞋 女鞋 童鞋 n（厘米） 23.5 15.5 m（码） 43 【答案】26.5；37；21 【分析】根据m＝2n－10，可得n＝（m＋10）÷2，求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【详解】n＝（m＋10）÷2 ＝（43＋10）÷2 ＝53÷2 ＝26.5（厘米） m＝2n－10 ＝2×23.5－10 ＝47－10 ＝37（码） m＝2n－10 ＝2×15.5－10 ＝31－10 ＝21（码） 男鞋 女鞋 童鞋 n（厘米） 26.5 23.5 15.5 m（码） 43 37 21 【对应练习1】 鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，他们之间的关系是表示码数，表示厘米数）根据这个关系，中国篮球协会主席姚明的鞋码是53码，那么他的脚长( )厘米。 【答案】31.5 【分析】由题意可以看出主要是求含字母式子的值，因此直接代入求值即可。所以直接把代入，求出。 【详解】解： 所以他的脚长31.5厘米。 【对应练习2】 预测孩子成年后身高的方法有很多，其中“父母身高预测法”是以父母身高与子女身高的关系创造出的一组预测公式，用F表示父亲身高，M表示母亲身高，具体公式如下。 男孩身高＝（F＋M）×1.08÷2 女孩身高＝（F×0.923＋M）÷2 王强是一个男孩，他父亲的身高是170cm，母亲的身高是160cm。按照上面的公式预测，王强成年后的身高是( )cm。 【答案】178.2 【分析】根据男孩身高的预测公式，先求出王强父母的身高和，再将身高和乘1.08，再除以2求出王强成年后的身高。 【详解】（170＋160）×1.08÷2 ＝330×1.08÷2 ＝356.4÷2 ＝178.2（cm） 所以，按照上面的公式预测，王强成年后的身高是178.2cm。 【对应练习3】 昆虫爱好者发现，在一定温度范围内，某地蟋蟀每分钟叫的次数与气温有如下近似关系：h＝t÷7＋3，h表示当时的气温（℃），t表示蟋蟀每分钟叫的次数。如果蟋蟀每分钟叫112次，那么当时的气温大约是( )℃；当气温达到30℃时，蟋蟀每分钟大约叫( )次。 【答案】 19 189 【分析】根据关系式：h＝t÷7＋3，把t＝112代入式子中，计算出h的值，即是当时的气温； 由关系式：h＝t÷7＋3可得，t＝（h－3）×7，把h＝30代入式子中，计算出t的值，即是蟋蟀每分钟大约叫的次数。 【详解】（1）当t＝112时 h＝t÷7＋3 ＝112÷7＋3 ＝16＋3 ＝19（℃） （2）当h＝30时 t＝（h－3）×7 ＝（30－3）×7 ＝27×7 ＝189（次） 如果蟋蟀每分钟叫112次，那么当时的气温大约是19℃； 当气温达到30℃时，蟋蟀每分钟大约叫189次。 【点睛】本题考查含有字母式子的求值，把未知数的值代入式子中，求出得数。 【考点十】五种新型题型其四：程序框图。 【方法点拨】 理解程序框图的基本运行逻辑，再解决问题。 【典型例题】 猜年龄。明明设计的猜年龄的程序是： （1）小军输入的年龄是a，那么输出的结果是( )。 （2）李大爷输入自己的年龄后，输出的结果是68，李大爷的年龄是( )岁。 【答案】 a－1 69 【分析】（1）已知这个程序是先乘2，再减2，然后乘0.5，最后输出结果；如果输入的是字母a，则可列式为：（a×2－2）×0.5； （2）因为李大爷的年龄是经过这个程序计算后得出68，可假设李大爷的年龄是x岁，按这个程序列一个方程，求出解即可。 【详解】（1）（a×2－2）×0.5 ＝（2a－2）×0.5 ＝2a×0.5－2×0.5 ＝a－1 （2）解：设李大爷的年龄是x岁， x－1＝68 x＝68＋1 x＝69 【点睛】（1）先将字母a代入程序，并合理计算，得出简化后的结果； （2）再依据上一问中化简的式子中的关系，将李大爷的年龄设为x岁，并代入这个关系式，求得结果即可。 【对应练习1】 王强设计的猜年龄的程序如下： 输入你的年龄→乘2→减去2→→输出结果。 （1）小丽输入的年龄为a，请用含有a的式子表示输出的结果。 （2）奶奶输入自己的年龄，输出的结果是118，请你根据王强设计的猜年龄的程序计算出奶奶的年龄。 【答案】（1）2a﹣2 （2）60岁 【分析】（1）根据设计的猜年龄的程序，把小丽的输入的年龄a，乘2再减去2即可； （2）利用逆推的方法，根据输出的结果是118，用118加2再除以2即可。 【详解】（1）a×2﹣2＝2a﹣2 （2）（118＋2）÷2 ＝120÷2 ＝60（岁） 答：小丽年龄的输出结果是2a﹣2，奶奶的年龄是60岁。 【点睛】解答此题的关键是，根据设计的猜年龄的程序，把所给出的数当做已知数，列式解答即可。 【对应练习2】 刘刚在人工智能课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数（如图）。根据这个计算程序： (1)输入数6会输出数( )； (2)输入数( )会输出数25； (3)小程序的运算规律是什么？用你喜欢的方式写出来： ( )。 【答案】(1)13 (2)12 (3)见详解 【分析】观察发现： 输入5，输出11；11＝2×5＋1； 输入8，输出17；17＝2×8＋1； 输入10，输出21；21＝2×10＋1； …… 发现规律：输入数为n，则输出数为（2n＋1）。 按此规律解答。 【详解】（1）2×6＋1 ＝12＋1 ＝13 输入数6会输出数13。 （2）（25－1）÷2 ＝24÷2 ＝12 输入数12会输出数25。 （3）小程序的运算规律：输出的数＝输入数×2＋1；如果输入数为n，则输出数为（2n＋1）。 （答案不唯一） 【点睛】本题考查找规律，根据给出的已知数据找出规律，按规律解决问题。 【对应练习3】 如图所示，某数学兴趣小组成员用计算机编程编制了一个程序，进行数的混合运算。即输入一个数，按照程序顺序运算，可以输出计算结果。 (1)如果“输入”的数是2，通过“”、“”和“”的第一次的结果是( )，因为结果小于25，把第一次的结果又通过“”、“”和“”后得到第二次的结果是( )，因为结果还小于25，再把第二次的结果通过“”、“”和“”，因为结果大于25，最后，“输出”的数是( )。 (2)如果“输出”的数是26，求“输入”的数最大是( )。 (3)如果“输入”的数是a（a大于14），用a表示“输出”的结果是( )。 【答案】(1) 8 17 30.5 (2)14 (3)1.5a 【分析】根据程序顺序运算，输出计算结果即可。 【详解】（1） 所以第一次的结果是8； 所以第二次的结果是17； 所以最后，“输出”的数是30.5。 （2） 所以“输入”的数最大是14。 （3）因为a大于14，所以结果大于25，直接输出结果：。 【点睛】本题考查用字母表示数，解答本题的关键是掌握程序的运算顺序。 【考点十一】五种新型题型其五：数列与算式规律探索。 【方法点拨】 观察数列或算式，找出变化规律，再用字母表示规律。 【典型例题】 1．（数列探究）找规律，直接填写。 1，2，6，15，( )，( )，92。 【答案】 31 56 【分析】观察数列，发现规律：2－1＝1，1＝12，即第2个数2＝1＋12；6－2＝4，4＝22，即第3个数6＝2＋22；16－6＝9，9＝32，第4个数15＝6＋32……第n个数＝前一个数＋（n－1）2得到，按此规律解答。 【详解】规律：第n个数＝前一个数＋（n－1）2 第5个数： 15＋（5－1）2 ＝15＋16 ＝31 第6个数： 31＋（6－1）2 ＝31＋25 ＝56 【点睛】从已知的数列排列中找到规律，并按规律解题。 2．（算式探究）观察下列等式，式子中的“！”是一种数学运算符号。 2！＝2×3，3！＝3×4×5，4！＝4×5×6×7，5！＝5×6×7×8×9，… 以此类推，请计算： (1)6！＝( )。 (2)8×9×10×11×12×13×14×15＝( )。 【答案】(1)6×7×8×9×10×11 (2)8！ 【分析】观察等式，发现规律：n！＝n×（n＋1）×（n＋2）×…×（2n－1），n是几，就乘几个数。 （1）6！表示从6开始依次乘，要乘6个数，据此写出乘法算式； （2）8×9×10×11×12×13×14×15，从8开始依次乘，乘了8个数，据此写出用“！“表示的式子。 (1) 6！＝6×7×8×9×10×11 (2) 8×9×10×11×12×13×14×15＝8！ 【点睛】从已知的等式中找出规律，并按规律解答。 【对应练习1】 观察数列2，6，12，20，30，…的规律，则这列数的第6个数是( )，是第n个数是( )。 【答案】 42 【分析】，，，，…，规律是：相邻两个自然数的乘积，第n个数是，据此解答即可。 【详解】根据分析可得： 这列数的第6个数是： 第n个数是： 故答案为：42；。 【点睛】本题考查找规律，解答本题的关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题。 【对应练习2】 因为，所以( )。 【答案】4039 【分析】由题可知一个数的平方减去另外一个数的平方，结果等于这两个数的和乘上两个数的差，将a＝2020，b＝2019代入求解即可。 【详解】（2020＋2019）（2020－2019）＝4039×1＝4039 故答案为：4039 【点睛】此题考查总结规律的能力，以及代入求解。 【对应练习3】 已知[6，2]＝8，[8，3]＝10，[11，4]＝14，[62，51]＝22；若[ 22，x]＝25，则x＝( )。 【答案】9.5 【解析】观察题目给出的几组式子，可以总结出规律，据此求解即可。 【详解】 【点睛】本题考查的是算式找规律的问题，求解问题的关键是总结出通项公式。 【考点十二】含有字母的式子求值。 【方法点拨】 1.用字母可以表示数，用含有字母的式子可以表示数量关系。 2.当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定，把字母的值代入含有字母的式子里，通过计算就可以求出含有字母的式子的值。 【典型例题1】基础。 当a＝2.6，b＝1.8时，5a＋4b＝( )，3a－4b＝( )。 【答案】 20.2 0.6 【分析】把a＝2.6，b＝1.8代入5a＋4b和3a－4b，求值即可。 【详解】把a＝2.6，b＝1.8代入5a＋4b和3a－4b。 5a＋4b ＝2.6×5＋1.8×4 ＝13＋7.2 ＝20.2 3a－4b ＝2.6×3－1.8×4 ＝7.8－7.2 ＝0.6 当a＝2.6，b＝1.8时，5a＋4b＝20.2，3a－4b＝0.6。 【点睛】本题主要考查了含未知数式子的求值，代入数据计算是解答本题的关键。 【对应练习】 若x2＝2x，则x＝( )。当x＝8时，x2＝( )，2x＝( )。 【答案】 2 64 16 【分析】x2＝x×x，2x＝2×x＝x＋x，据此分析。 【详解】x2＝x×x＝2×x，则x＝2； 当x＝8时，x2＝8×8＝64； 2x＝2×8＝16 【点睛】此题考查含有字母的式子的求值，区分平方和2倍的区别是解题的关键。 【典型例题2】综合。 一个文具盒的单价是元，李老师买了8个，王阿姨买了5个。 （1）用含有字母的式子表示李老师比王阿姨多用了多少元。 （2）当＝15时，李老师比王阿姨多用了多少元？ 【答案】（1）3元 （2）45元 【分析】（1）根据“单价×数量＝总价”，先分别求出李老师和王阿姨买文具盒的花费，再相减，即是李老师比王阿姨多用的钱数。 （2）把＝15代入式子中，计算出结果即可。 【详解】（1）8－5＝3（元） 答：李老师比王阿姨多用了3元。 （2））当＝15时，3＝3×15＝45（元） 答：当＝15时，李老师比王阿姨多用了45元。 【点睛】本题考查用字母表示式子以及含有字母式子的求值，从题目中找到数量关系式，按数量关系式写出含字母的式子，把未知数的值代入式子中，求出得数。 【对应练习1】 学校演播厅楼下有a排座位，每排有20个位置；楼上有b个位置。 （1）用含有字母的式子表示演播厅的座位数。 （2）当a＝15，b＝110时，演播厅共有多少个座位？ 【答案】（1）（20a＋b）个； （2）410个 【分析】（1）用每排有座位的个数乘排数，求出楼下共有座位的个数，再加上楼上有座位的个数即可。 （2）当a＝15，b＝110时，把数据代入式子计算即可解题。 【详解】（1）a×20＋b＝（20a＋b）个 答：用含有字母的式子表示演播厅的座位数是：（20a＋b）个。 （2）当a＝15，b＝110时，可得： 20×15＋110 ＝300＋110 ＝410（个） 答：当a＝15，b＝110时，演播厅共有410个座位。 【点睛】熟练掌握用字母表示数的意义及化简、求值的方法，是解答此题的关键。 【对应练习2】 爸爸带了100元去买菜，买了3千克肉，每千克y元。 （1）用式子表示爸爸还剩多少元。 （2）当y＝25.6时，求爸爸还剩多少元？ 【答案】（1）（100－3y）元； （2）23.2元 【分析】（1）根据单价×质量＝总价，已知买了3千克肉，每千克y元，代入表示出买肉花了多少元，再用买菜的总钱数100元减去买肉花的钱，即可表示还剩多少元。 （2）当y的数值确定时，把它代入含有字母的式子中进行计算，所得的结果就是含有字母的式子的值。 【详解】（1）100－3×y ＝（100－3y）元 答：爸爸还剩（100－3y）元。 （2）当y＝25.6时， 100－3×25.6 ＝100－76.8 ＝23.2（元） 答：爸爸还剩23.2元。 【点睛】此题主要考查用字母表示数以及含有字母式子的求值，求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【对应练习3】 某影剧院有上下两层。下层有x排，每排40个座位，上层共有y个座位。 （1）用含有字母的式子表示该影剧院的座位数。 （2）当、时，这个影剧院共有（     ）个座位。 【答案】（1） （2）1650 【分析】（1）座位总数＝上层座位数＋下层座位数，下层座位数＝排数×每排个数，据此列出含有字母的算式； （2）将x＝30，y＝450，代入（1）中求出的式子，计算出结果即可；据此解答。 【详解】（1）用含有字母的式子表示该影剧院的座位数：（40x＋y）个。 （2）当x＝30，y＝450， 40x＋y ＝40×30＋450 ＝1200＋450 ＝1650 所以，这个影剧院共有1650个座位。 【点睛】此题考查了字母表示数以及含有字母的式子化简求值，关键找出数量关系用字母表示出来。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$