江苏省南京市2024-2025学年上学期八年级数学期中模拟卷（考试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理）

江苏省南京市2024-2025学年八年级数学期中模拟卷 （测试范围：全等三角形、轴对称图形、勾股定理） 1、 选择题 1．在中，，D为BC边的中点，则AD的长为（    ）． A．4 B．5 C． D．10 2．如图，中，，平分交于点D，，，则D到的距离为（    ） A． B． C． D． 3．一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（   ） A．4 B． C．4或 D．2 4．已知图中的两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，，点为上一点，且，过点作交于点，若，则是（    ） A．4 B．3 C．3.5 D．2.5 6．下列交通标志图案不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE 分别是∠ABC、∠ACB 的平分线，则图中的等腰三角形有（   ） A．5 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个 8．在等腰中，，线段上有个不同的点，，，，，记，则（    ） A． B． C． D． 2、 填空题 9．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A； ②沿河岸直走20米有一树C，继续前行20米到达D处； ③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走； ④测得DE的长为5米； 则河的宽度为 米． 10．如图，，DF与CE相交于点M，，，则的度数为 . 11．如图，点D在BC上，AB=AD，∠B=∠ADE，添加适当的条件能使△ABC≌△ADE，则添加的条件是 ． 12．实数和数轴上的点是一一对应的，如图，，在数轴上点A所表示的数为 ． 13．如图，E点为△ABC的边AC的中点，CN∥AB，若MB＝6 cm，CN＝4 cm，则AB＝ ． 14．在等腰中，，按如图所示的痕迹进行尺规作图得到直线，交于点D，交于点E，连结，已知，取的中点F，连结，则 ． 15．如图在△ABC中，PM、QN分别是AB、AC的垂直平分线，∠BAC=110°，BC=18，则∠PAQ= ，则△APQ的周长为 ． 16．若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长是 ． 17．如图，平分垂直于于E点，三角形的面积等于90，，则等于 ． 18．如图，在中，，，，动点P在内，且使得的面积为12，点Q为上的动点，则的最小值为 ． 3、 解答题 19．如图，在中，于点，平分交于点．，． (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 20．已知a，b，c是△ABC的三边长． (1)若a，b，c满足，试判断△ABC的形状； (2)化简：． 21．（1）如图1，直线两侧有两点A，B，在直线上求一点C，使它到A、B两点的距离之和最小（作法不限，保留作图痕迹，不写作法）． （2）知识拓展：如图2，直线同侧有两点A，B，在直线上求一点C，使它到A，B两点的距离之和最小（作法不限，保留作图痕迹，不写作法）． 22．如图，△ABC的顶点均在格点上． （1）分别写出点A，点B，点C的坐标． （2）若△A'B'C'与△ABC关于y轴对称，在图中画出△A'B'C'，并写出相应顶点的坐标． 23．如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明． 证明：在和中， ∴ ∴____________ 24．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：在中，，求的长． 26．台风过后，某校的旗杆在B处断裂，旗杆顶部A落在离旗杆底部C的远处．已知旗杆长，求旗杆的断裂处距离底部的高度． 26．如图，已知AC平分∠BAD，∠B＝∠D．求证：△ABC≌△ADC． 27．如图，C是内部的一点，于点D，于点E，连接，，求证：平分．    28．如图，与都是等腰三角形，，连接AD，CE．求证：． 答案解析： 1．B 【分析】根据题意画出示意图，然后利用勾股定理求出BC的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长即可． 【详解】解：如图所示， ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8， ∴BC＝． ∵D为 BC 边的中点， ∴AD＝． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，掌握勾股定理得出斜边的长度以及掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 2．A 【分析】作于E，根据题意求出，根据角平分线的性质求出． 【详解】解：作于E， ∵平分，，， ∴， 即点D到的距离为， 故选：A． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 3．C 【详解】①当5是斜边时，根据勾股定理，得：第三边是=4；   ②当5是直角边时，根据勾股定理，得：第三边是 =， 综上可得三角形第三边的长为4或， 故选C. 4．A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质可得出第二个图中对应的边为b，再由第一个图中边b对应的角为，即可得出． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴第二个图中对应的边为b， ∵第一个图中边b对应的角为， ∴， 故选：A． 5．B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直的定义，连接，根据垂直的定义及，得到，根据等腰三角形的定义得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 6．B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形. 【详解】解：由轴对称图形的定义可知B选项图形不是轴对称图形，故选择B. 【点睛】本题考查了轴对称图形的定义. 7．D 【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角，即可求得∠ABC与∠ACB的度数，又由BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，即可求得∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°，然后利用三角形内角和定理与三角形外角的性质，即可求得∠BEO=∠BOE=∠ABC=∠ACB=∠CDO=∠COD=72°，由等角对等边，即可求得答案． 【详解】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB=， ∵BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线， ∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°， ∴AE=CE，AD=BD，BO=CO， ∴△ABC，△ABD，△ACE，△BOC是等腰三角形， ∵∠BEC=180°-∠ABC-∠BCE=72°，∠CDB=180°-∠BCD-∠CBD=72°， ∠EOB=∠DOC=∠CBD+∠BCE=72°， ∴∠BEO=∠BOE=∠ABC=∠ACB=∠CDO=∠COD=72°， ∴BE=BO，CO=CD，BC=BD=CE， ∴△BEO，△CDO，△BCD，△CBE是等腰三角形． ∴图中的等腰三角形有8个． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角新的判定与性质、三角形内角和定理以及三角外角的性质．此题难度不大，解题的关键是求得各角的度数，掌握等角对等边与等边对等角定理的应用． 8．A 【分析】过A作于D，利用勾股定理求出，进一步推出，解答即可． 【详解】解：如图所示，过A作于D， ∵ ， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，根据勾股定理求出是解题的关键． 9．5 【分析】将题目中的实际问题转化为数学问题，利用全等三角形的判定方法证得两个三角形全等即可得出答案． 【详解】解：由题意知， 在和中， ， ， ∴， 即河的宽度是5米， 故答案为：5． 【点睛】题目主要考查全等三角形的应用，熟练应用全等三角形的判定定理和性质是解题关键． 10． 【分析】根据全等三角形对应角相等可知，，，由外角等于与它不相邻的两个内角和可知,然后由三角形内角和定理可知的度数. 【详解】解： ， 故答案为 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及外角的性质，灵活的应用两者的性质求角的度数是解题的关键. 11． 【分析】根据题意条件可知，△ABC和△ADE有对应一组等角和一组等边，结合判定两个三角形全等的方法，若，即可根据AAS方法来判定三角形全等． 【详解】解：添加一个条件，理由如下， 在△ABC和△ADE中 则△ABC≌△ADE（AAS） 故答案为： 【点睛】本题考查的是添加条件使三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 12．/ 【分析】先根据勾股定理求得的长，进而得到，即可求得答案． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴， ∴点A表示的数为． 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理，数轴上点表示数，求出是解题的关键． 13．10 cm 【详解】解：NC∥AB， ∴∠NCE=∠MAE， ∵AE=CE，∠AEN=∠CEN， ∴△NCE≌△MAE， ∴AM=NC=4cm， ∴AB=AM+MB=4+6=10cm． 故答案为：10 cm 14．2 【分析】如图，连接FC，根据等腰三角形三线合一的性质可得FC⊥AB，再由图知，ED是AC的垂直平分线，得FD是直角三角形AFC斜边上的中线．则FD=，代入计算即可． 【详解】解：如图，连接FC， ∵ ∴是等腰三角形， ∵点F是BE的中点， ∴FC⊥AB 由图知，ED是AC的垂直平分线， ∴点D为AC的中点， ∴在Rt中， FD===2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质、尺规法画线段的垂直平分线、直角三角形的性质，解题的关键是知道直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半． 15． 40°， 18． 【详解】解：∵∠BAC=110°， ∴∠B+∠C=70°， ∵AP=BP，AQ=CQ， ∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C， ∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=70°， ∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=40°； ∵MP、NQ分别垂直平分AB、AC， ∴AP=BP，AQ=CQ， ∵BC=10cm， ∴△APQ的周长为：AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC=18（cm）． 故答案为40°，18． 16． 【分析】先根据非负数的性质求出的值，再讨论a为腰长和底边长，结合构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 当腰长为3时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时不能构成三角形， 当腰长为6时，则该三角形的三边长分别为， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，构成三角形的条件，等腰三角形的定义，正确求出的值是解题的关键． 17．6 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于，然后根据的面积=的面积+的面积，列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵平分垂直于于E点， ∴点D到的距离等于的长度， ∵， ∴ ， ∵的面积等于90， ∴， 解得． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，求出点D到的距离等于的长度是解题的关键． 18．/ 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，轴对称的性质，垂线段最短，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点P作的垂线交于点M，作点B关于的对称点E，连接，，，过点E作于点H，运用勾股定理求出，由的面积为12即可求出，由对称得，，则，当点三点共线，且点Q与点H重合时取得最小值，即为，再对运用等面积法即可求出． 【详解】解：过点P作的垂线交于点M，作点B关于的对称点E，连接，，过点E作于点H， ∵ 则， ∴， 由对称性得， 当点E，P，Q三点共线，且点Q与点H重合时取得最小值，即为，如下图． 的最小值为 故答案为：． 19．(1) (2)的面积为44． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练运用相关的性质． （1）先根据角平分线的定义求出，然后根据垂直平分线的判定得出，进而利用等腰三角形的性质求出，再利用外角的性质解答即可； （2）根据直角三角形的性质求出，然后利用面积公式计算即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ，， ， 的面积为：． 20．(1)等边三角形； (2)a＋b＋c． 【分析】（1）根据非负数的性质，可得出a＝b＝c，进而得出结论； （2）利用三角形的三边关系得到a−b−c＜0，b−c−a＜0，c−a−b＜0，然后去绝对值符号后化简即可． 【详解】（1）∵， ∴a−b＝0且b−c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC为等边三角形； （2）∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴b+c＞a，a+c＞b，a+b＞c， ∴a−b−c＜0，b−c−a＜0，c−a−b＜0， ∴，，， ∴原式＝b＋c−a＋a＋c−b＋a＋b−c＝a＋b＋c． 【点睛】本题考查化简绝对值、不等式的性质、三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题． 21．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据两点之间线段最短，连接AB，交已知直线于点C即可； （2）根据两点之间线段最短，作A关于已知直线的对称点E，连接BE交已知直线于C，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）连接AB，交已知直线于点C，则该点C即为所求； （2）作点A关于已知直线的对称点E，连接BE交已知直线于点C，连接AC，BC，则此时C点符合要求． 【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法，熟练掌握轴对称图形的性质是解决本题的关键． 22．（1）点A（3，4），B（1，2），C（5，1）；（2）作图见解析；点A′（﹣3，4），B′（﹣1，2），C′（﹣5，1）． 【分析】（1）根据图形可得三顶点的坐标； （2）分别作出点A，B，C关于y轴的对称点，再首尾顺次连接可得 【详解】解：（1）点A（3，4），B（1，2），C（5，1）； （2）如图所示，△A'B'C'即为所求， 点A′（﹣3，4），B′（﹣1，2），C′（﹣5，1）． 【点睛】本题主要考查了作图一轴对称变换，根据轴对称的性质正确得出对应点位置是解题关键. 23．，，， 【分析】根据证明步骤填写缺少的部分，从证明三角形全等的过程分析，利用了“边角边”，缺少角相等，填上一对对顶角，最后证明结论，依题意是要证明． 【详解】证明：在和 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形全等的证明过程，“边角边”两边夹角证明三角形全等，熟悉三角形全等的证明方法是解题的关键． 24． 【分析】本题考查勾股定理的应用，利用勾股定理建立方程是解题的关键．在中利用勾股定理建立方程即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 在中，，， 即， 解得． 25． 【分析】本题考查勾股定理，根据题意建立方程是解题的关键.设BC=x米，由题意得米，米，在中，利用勾股定理建立方程即可求解. 【详解】解：设米，由题意得米，米， 在中， ，即 解得 即旗杆的断裂处距离底部的高度为． 26．见详解． 【分析】根据AAS证明△ABC≌△ADC即可． 【详解】证明：∵AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， 在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（AAS） 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSSSSS、SASSAS、ASAASA、AASAAS、HLHL． 27．见解析 【分析】根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】， ． 于点D，于点E， 点C在的平分线上， 平分． 【点睛】本题考查角平分线的判定，熟记到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 28．证明过程见解析 【分析】先证明∠ABD=∠CBE，进而得到△ABD≌△CBE即可得到∠BAD=∠BCE． 【详解】解：∵AB=BC，BD=BE， ∴∠BAC=∠BCA，∠BDE=∠BED， 由三角形内角和定理可知：∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-2∠BAC， ∠DBE=180°-∠BDE-∠BED=180°-2∠BDE， 由已知条件知∠BAC=∠BDE， ∴∠ABC=∠DBE， 且∠ABD=∠ABC+∠CBD，∠CBE=∠DBE+∠CBD， ∴∠ABD=∠CBE， 在△ABD和△CBE中：， ∴△ABD≌△CBE(SAS)， ∴∠BAD=∠BCE． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形全等的判定方法，本题的关键是证明∠ABC=∠DBE进一步得到∠ABD=∠CBE． 1 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