特训08 期中必刷解答题50道（浙江最新期中精选，六大模块）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训08 期中必刷解答题50道（浙江最新期中精选，六大模块） 目录： 模块1：解一元一次不等式（组） 模块2：基础几何解答证明题 模块3：作图题综合 模块4：几何解答证明题提高 模块5：一元一次不等式的代数应用、实际应用等 模块6：图表素材题 模块1：解一元一次不等式（组） 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)解不等式 (2)解不等式组 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上． (1)； (2) 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）（1）解不等式：； （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 模块2：基础几何解答证明题 4．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点D在边上，．若，求的度数． 5．（20-21八年级上·浙江杭州·期末）如图，，点E和点F在线段BC上，. （1）求证：. （2）若，求BE的长 6．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知射线，，，若． (1)求的度数； (2)求的度数． 7．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P． (1)已知，求的度数； (2)求与之间满足的数量关系． 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知在和中，，，．求证：． 9．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，， (1)若，，求c． (2)若，，求b．并求斜边上的高． 10．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，在中，是上的点，，、分别是、的中点，．求的长． 11．（22-23八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在中，，D是边上的中点，于点E，于点F．求证：点D在的角平分线上． 12．（2024八年级上·浙江·专题练习）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 13．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D在上，点E在上，已知，．试说明的理由． 14．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在和中，，，与相交于点．求证： (1)； (2)． 15．（18-19八年级·湖北襄阳·阶段练习）如图，在ABC中，AE是边BC上的高线． (1)若AD是BC边上的中线，AE=3cm，．求DC的长． (2)若AD是∠BAC的平分线，∠B=40°，∠C=50°，求∠DAE的大小． 16．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，，，点D在边上，，和相交于点O，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由．    证明：∵（    ）， ∴____________， ∴______， 在和中，， ∴（    ）． 17．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积． 18．（19-20八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在四边形中，，点是边上一点，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 19．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，点E，F在上，，，，与交于点O． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 模块3：作图题综合 20．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为1，请按要求画出图形． (1)已知点A在格点上，画一条线段，使，且点B在格点上； (2)以（1）中线段为腰画一个等腰直角，使点C在格点上． 21．（12-13七年级下·山东临沂·期中）在下面三个2×2的方格中，各作出一个与图中三角形成轴对称的图形，且所画图形的顶点与方格中小正方形的顶点重合，并给所画图形涂上阴影（所画的三个图形不能重复） 22．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，网格中每个小正方格的边长都为1，点A、B、C在小正方形的格点上． (1)画出与关于直线l成轴对称的； (2)求的面积； (3)求边上的高． 23．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，给出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)写出各顶点坐标； (2)求的面积． 24．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，． (1)请用直尺和圆规画出边的垂直平分线，垂足为点，交于点，连结（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的前提下，若，，求的长． 25．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）在中，，利用直尺和圆规作图． （1）作出的角平分线； （2）若，，求出斜边上的高的长度． 26．（17-18八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于． (2)连接，求证：平分． 27．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中点均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)作出关于直线的对称图形； (2)在直线上找一点，使最小． 28．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在5×5的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在小方格的顶点上）．    (1)在图1中画一个，使点Q在上，点R在上； (2)在图2中画一个等腰三角形，使点E在上，点F在上． 29．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，格点如图所示，请用无刻度的直尺在给定网格作图，不写画法，保留作图痕迹． (1)在图1中，作出的高，并直接写出的长为　　； (2)在图2中，在边上找到点，使得； (3)在图3中，作，使和面积相等但不全等． 模块4：几何解答证明题提高 30．（21-22八年级上·新疆省直辖县级单位·期末）已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 31．（浙江省温州市瑞安市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）如图，在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点． (1)求证：． (2)当时，求证：平分． 32．（浙江省温州市第十二中学、第八中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）如图，将等边放在含有30°角的直角三角板上（，），使落在线段上，与分别交边于点H、G，其中．    (1)证明：； (2)求的长． 33．（19-20八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD， （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）若AB＝15，AD＝7，求BE的长． 34．（15-16八年级上·江苏无锡·期中）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点． （1）求证：BD=AE． （2）若线段AD=5，AB=17，求线段ED的长． 35．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 36．（22-23八年级上·浙江·期中）如图，是等边三角形，点D是边上一点，以为边向上作等边，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 37．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，，连接． (1)求证：； (2)已知，． ①求的面积； ②求的长． 38．（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的值； (2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ (3)当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值． 39．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，点D在边上运动（D不与A，B重合），连接，作，交与点E．    (1)当时，若，则 　 　． (2)当时，判断的形状，并说明理由． (3)在点D运动的过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由． 模块5：一元一次不等式的代数应用、实际应用等 40．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）有一电脑程序：设按一次按键，屏幕上的数字就会自动加上2．已知屏幕上的初始数字为，按次按键后： (1)若屏幕上显示的数字为18，求的值； (2)若屏幕上显示的数字不小于100，求的取值范围． 41．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求的值． 42．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种． 红美人 象山青 进价（元斤） 20 5 售价（元斤） 35 10 (1)上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？ (2)本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元） 43．（21-22七年级下·黑龙江牡丹江·期末）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用21000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多5000元． (1)求A型空调和B型空调每台各需多少元； (2)若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过115000元，该校共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元? 44．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校计划采购篮球、足球共50个，且总费用不超过5500元．那么最多采购篮球多少个？ 45．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）小观与爸妈在公园里荡秋千．如图，小观坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直．小观两脚在地面上用力一蹬，当秋千距离地面高度为时，妈妈在B处接住她并用力一推，结果爸爸在C处接住了小观．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． (1)证明：． (2)爸爸在距离地面多高的地方接住小观的？ (3)秋千的起始位置A处与距地面的高是______m． 46．（20-21七年级下·内蒙古通辽·期末）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如表： A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总利润（元） 第一周 10 12 2240 第二周 20 15 3400 （1）求a，b的值； （2）若第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？ 47．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 销售收入 第一周 3台 5台 元 第二周 4台 台 元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若进价、售价均保持不变，超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，利用不等式的基本性质说明超市销售完这30台电风扇的利润无法超过元的目标．（利润销售总收入进货总价） 模块6：图表素材题 48．（23-24八年级上·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图2，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．    问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由； 任务2 当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 49．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务. 如何确定箭头形指示牌 素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图.该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线小聪测量了点A到的距离为米，米，米. 素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米元，乙材料的单价为每平方米元. 问题解决 任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由. 任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过元，请你确定长度的最大值. 50．（23-24九年级上·山东潍坊·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务 探究纸伞中的数学问题 素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，D点为伞圈．                  素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且A、E、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：）．           素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得．                 问题解决 任务1 判断位置 求证：平分． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 ，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训08 期中必刷解答题50道（浙江最新期中精选，六大模块） 目录： 模块1：解一元一次不等式（组） 模块2：基础几何解答证明题 模块3：作图题综合 模块4：几何解答证明题提高 模块5：一元一次不等式的代数应用、实际应用等 模块6：图表素材题 模块1：解一元一次不等式（组） 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）计算： (1)解不等式 (2)解不等式组 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组， （1）根据解一元一次不等式的基本步骤求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”确定不等式组的解集； 能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键． 【解析】（1）， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）， 解不等式①得， 解不等式②得； ∴不等式组的解集为． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上． (1)； (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】（1）先去分母，再去括号，移项，然后合并同类项，并画出数轴，即可作答； （2）由①易得，，由②去分母，得，故不等式组得解集为：，并画出数轴，即可作答． 【解析】（1）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 在数轴上表示为：   ； （2）解：， 由①得，， 由②去分母，得 解得，． 故不等式组得解集为：． 在数轴上表示为：    【点睛】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）（1）解不等式：； （2）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2）；数轴见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式组、解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式的解集是解答此题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1计算即可． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【解析】解：（1）去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化1得：． （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如图所示． 模块2：基础几何解答证明题 4．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，点D在边上，．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，以及三角形的外角性质三角形外角等于和它不相邻的两个内角和等知识点，解题的关键是熟知以上知识点． 【解析】解：∵，， ∴， 又∵在等腰三角形中，是三角形的外角， ∴， 又∵， ∴． 5．（20-21八年级上·浙江杭州·期末）如图，，点E和点F在线段BC上，. （1）求证：. （2）若，求BE的长 【答案】（1）见解析；（2）BE=11 【分析】（1）由平行线得∠B=∠C，然后利用ASA即可判定△ABE≌△DCF，进而得到AE=DF； （2）由△ABE≌△DCF得BE=CF，然后利用线段的和差关系即可求出BE. 【解析】证明：（1）∵AB∥CD， ∴∠B=∠C 在△ABE和△DCF中， ∴△ABE≌△DCF（ASA） ∴AE=DF （2）∵△ABE≌△DCF ∴BE=CF ∵BC=BE+CF-EF ∴2BE=BC+EF=16+6=22 ∴BE=11 【点睛】本题考查全等三角形得到判定与性质，较为简单，找到全等三角形的判定条件是关键. 6．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知射线，，，若． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，根据题意得到是解题的关键． （1）由邻补角互补列方程求解即可； （2）由等腰三角形的性质推出，，由三角形外角的性质得到，然后求解即可． 【解析】（1）解：，， ∴，解得：． （2）解：， ，， ， ， ， ． 7．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，是边上的高线，是一条角平分线，它们相交于点P． (1)已知，求的度数； (2)求与之间满足的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． （1）由题意可得，再由三角形的外角性质求得，由角平分线的定义得，最后利用三角形的内角和即可求的度数； （2）由题意可得，再由三角形的外角性质求得，由角平分线的定义得，最后利用三角形的内角和即可求的度数． 【解析】（1）解：是边上的高线， ， 是的外角，， ， 平分， ， ； （2）解：，理由如下： 是边上的高线， ， 是的外角， ， 平分， ， ； 即． 8．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知在和中，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据，可以得到，然后即可得到和全等，从而可以证明结论成立． 【解析】证明：， ， ， 在和中， ， ， ． 9．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，， (1)若，，求c． (2)若，，求b．并求斜边上的高． 【答案】(1) (2)，斜边上的高是 【分析】本题考查利用勾股定理解直角三角形，已知两边求第三边时，关键要注意所求边是直角边，还是斜边． （1）由于所求边c是斜边，所以利用勾股定理直接可得，代入a，b的值即可求得c的值； （2）由于所求边b是直角边，所以利用勾股定理直接可得，代入a，c的值即可求得b的值，借助面积求出斜边上的高． 【解析】（1）解：根据勾股定理，得， ∵， ∴． （2）解：根据勾股定理，得． ∵， ∴， 设斜边上的高是h， ， ， 则斜边上的高是． 10．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）已知：如图，在中，是上的点，，、分别是、的中点，．求的长． 【答案】的长为3 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．连接，根据等腰三角形三线合一的性质可得，在中，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出． 【解析】解：连接， ，是的中点， ， 是直角三角形， 又是的中点， （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ， ． 11．（22-23八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，在中，，D是边上的中点，于点E，于点F．求证：点D在的角平分线上． 【答案】证明见解析 【分析】连接，D是的中点，那么就是等腰底边上的中线，根据等腰三角形三线合一的特性，可知道也是的角平分线． 【解析】证明：如图，连接． ∵，点D是边上的中点， ∴是等腰底边上的中线， ∴平分． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 12．（2024八年级上·浙江·专题练习）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，如图所示，过点A作于F，由三线合一定理得到，，再由线段的和差关系即可证明． 【解析】证明：如图所示，过点A作于F， ∵（已知）， ∴， 又∵（已知）， ∴， ∴，即（等式的性质）． 13．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D在上，点E在上，已知，．试说明的理由． 【答案】见解析 【分析】因为，所以，因为，得证，即可作答． 【解析】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，难度较小，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 14．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在和中，，，与相交于点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，关键是对直角三角形全等的判定和全等三角形的性质的理解和掌握． （1）利用即可证得结论； （2）根据全等三角形性质可得：，，再利用角的关系即可证得结论． 【解析】（1）证明：在和中，， ， ； （2）证明：由（1）知， ，， ， 即． 15．（18-19八年级·湖北襄阳·阶段练习）如图，在ABC中，AE是边BC上的高线． (1)若AD是BC边上的中线，AE=3cm，．求DC的长． (2)若AD是∠BAC的平分线，∠B=40°，∠C=50°，求∠DAE的大小． 【答案】(1)4cm； (2)∠DAE=5°． 【分析】（1）根据三角形的面积公式，求出底边长，再根据中线性质求出DC的长度； （2）根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线性质求出∠BAD的度数，三角形外角与内角的关系可求出∠ADE的度数，在直角三角形中进而求出∠DAE的大小． 【解析】（1）解：∵AE=3cm，=12， ∴BC=12×2÷3=8（cm）， ∵AD是BC边上的中线， ∴DC=BC=4cm； （2）解：∵∠B=40°，∠C=50°， ∴∠BAC=90°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD=45°， ∠ADE是ABD的一个外角， ∴∠ADE=∠B+∠BAD=40°+45°=85°， 在直角三角形ADE中，∠DAE=90°85°=5°． 【点睛】本题考查了三角形面积、三角形内角和定理、三角形的外角性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 16．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，，，点D在边上，，和相交于点O，求证：．请补全证明过程，并在括号里写上理由．    证明：∵（    ）， ∴____________， ∴______， 在和中，， ∴（    ）． 【答案】已知，，，， 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证，再由证即可． 【解析】解：（已知）， ， ， 在和中， ， ． 故答案为：已知，，，，． 17．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积． 【答案】这块空地的面积是 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明，最后根据得出答案． 【解析】解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形面积为： ． 答：这块空地的面积是． 18．（19-20八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在四边形中，，点是边上一点，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据“∠B=90°，AC⊥CD”得出∠2=∠BAC，即可得出答案； （2）由（1）可得AC=CD，并根据勾股定理求出AC的值，再次利用勾股定理求出AD的值，即可得出答案. 【解析】（1）证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 在和中， . （2）解：∵， ∴，. ∵， ∴在中，， ∵， ∴在中，. 【点睛】本题考查的是全等三角形和勾股定理，解题关键是利用两个直角得出. 19．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，点E，F在上，，，，与交于点O． (1)求证：； (2)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理：等角对等边，正确证明两个三角形全等是关键． （1）利用等式的性质可以证得，则依据即可证得三角形全等； （2）依据全等三角形的性质，即可证得，然后依据等角对等边从而证得． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌； （2）解：∵≌， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 模块3：作图题综合 20．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形边长都为1，请按要求画出图形． (1)已知点A在格点上，画一条线段，使，且点B在格点上； (2)以（1）中线段为腰画一个等腰直角，使点C在格点上． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识， （1）利用数形结合的思想画出图形即可； （2）根据等腰直角三角形的判定和性质画出图形即可． 【解析】（1）解：如图，线段即为所求； （2）如图，即为所求（答案不唯一）． 21．（12-13七年级下·山东临沂·期中）在下面三个2×2的方格中，各作出一个与图中三角形成轴对称的图形，且所画图形的顶点与方格中小正方形的顶点重合，并给所画图形涂上阴影（所画的三个图形不能重复） 【答案】见详解 【分析】根据轴对称图形的特点作图即可． 【解析】作图如下： 图中新添加的三个三角形即为所求． 【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是理解题意，掌握轴对称图形的特点．如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形． 22．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，网格中每个小正方格的边长都为1，点A、B、C在小正方形的格点上． (1)画出与关于直线l成轴对称的； (2)求的面积； (3)求边上的高． 【答案】(1)见解析 (2) (3)边上的高为． 【分析】（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B关于直线l的对称点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （3）先计算出的长，然后利用面积法求边上的高． 【解析】（1）解：如图，为所作； （2）解：的面积； （3）解：设边上的高为h， ∵， ∴， 解得， 即边上的高为． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了勾股定理． 23．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，给出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)写出各顶点坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查三角形的面积，解题的关键是学会用分割法求三角形面积． （1）根据，，的位置写出坐标即可； （2）根据，，坐标，用割补法求面积即可． 【解析】（1）解：由题意可得： ，，； （2）解：过，，作长方形，如图所示： 由图可知， ． ∴的面积为． 24．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，已知，． (1)请用直尺和圆规画出边的垂直平分线，垂足为点，交于点，连结（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的前提下，若，，求的长． 【答案】(1)如图，为所作 (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线作图，以及线段垂直平分线的性质．熟练掌握线段垂直平分线的作图方法，以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． （1）根据题意画图即可； （2）设，，根据垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理即可求解． 【解析】（1）解：作图如下： （2）解：设，， ∵垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 则． 25．（20-21八年级上·浙江宁波·期中）在中，，利用直尺和圆规作图． （1）作出的角平分线； （2）若，，求出斜边上的高的长度． 【答案】（1）画图见解析；（2） 【分析】（1）利用尺规作∠CAB的角平分线即可． （2）作CH⊥AB于H，利用面积法求解即可． 【解析】解：（1）如图，线段即为所求； （2）作于， 在中，∵，，， ∴， ∵， ∴. 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 26．（17-18八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于，交于． (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，线段垂直平分线的尺规作图等等： （1）直接作出的垂直平分线得出即可； （2）根据等边对等角求出，再由线段垂直平分线的性质得到，则，由此即可证明结论． 【解析】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 即平分． 27．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形网格中点均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）： (1)作出关于直线的对称图形； (2)在直线上找一点，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到关于直线的对称图形； （2）连接，交直线于，连接，则最小值等于的长． 【解析】（1）解：作图如下： 就是所求作的三角形； （2）解：在（1）的图中，连接，交直线于，点就是所求作的点， 理由如下： 连接，如图， 根据对称性得：， ∴， 当，，，三点共线时，即两点之间线段最短， 即图中的点就是所求作的点． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图、两点之间线段最短的知识，解题的关键是掌握轴对称的性质． 28．（23-24九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在5×5的方格纸中，已知格点P，请按要求画格点三角形（顶点均在小方格的顶点上）．    (1)在图1中画一个，使点Q在上，点R在上； (2)在图2中画一个等腰三角形，使点E在上，点F在上． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（1）根据直角三角形的定义画出图形； （2）根据等腰三角形的定义画出图形． 【解析】（1）解：如图1中，即为所求； （2）如图2中，即为所求（答案不唯一）．    【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 29．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，格点如图所示，请用无刻度的直尺在给定网格作图，不写画法，保留作图痕迹． (1)在图1中，作出的高，并直接写出的长为　　； (2)在图2中，在边上找到点，使得； (3)在图3中，作，使和面积相等但不全等． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了作图的应用与设计、勾股定理、三角形面积公式、网格线的特点、等腰直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形面积是解题的关键，属于中考常考题型． （1）取格点，连接交于点，线段即为所求，再由三角形面积求出的长即可； （2）以为直角边作一个等腰直角三角形，即可解决问题； （3）根据等底同高的三角形面积相等，即可作出． 【解析】（1）解：如图1，取格点，连接交于点， 线段即为所求， ，，， ， 解得：， 故答案为：3.2； （2）解：如图2，以为直角边作一个等腰直角三角形，交于点， 则，即为所求； （3）解：如图3， 即为所求（答案不唯一）． 模块4：几何解答证明题提高 30．（21-22八年级上·新疆省直辖县级单位·期末）已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【解析】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ， 平分， ， ， ， ∵，， ∴的周长为： ． 31．（浙江省温州市瑞安市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）如图，在中，，，是边上一点，连接，，且，与交于点． (1)求证：． (2)当时，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键． （1）利用可证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）设、交于点，根据全等三角形的性质得出，，结合（1）的结论可得，，根据等边对等角及直角三角形两锐角互补可得，即可证明，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）如图，设、交于点， ∵，由（1）得， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分． 32．（浙江省温州市第十二中学、第八中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）如图，将等边放在含有30°角的直角三角板上（，），使落在线段上，与分别交边于点H、G，其中．    (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形的外角性质求得，再利用等边对等角可证得； （2）过点F作于，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【解析】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点F作于，      ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴由三线合一得， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质以及勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 33．（19-20八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD， （1）求证：△BCE≌△DCF； （2）若AB＝15，AD＝7，求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）BE=4. 【分析】（1）由角平分线定理可得CE=CF，利用HL即可判定Rt△BCE≌Rt△DCF； （2）首先利用HL证明Rt△AEC≌Rt△AFC，得到AE=AF，然后由Rt△BCE≌Rt△DCF得BE=DF，最后根据AE+BE=AF+BE=AD+2BE即可得出答案. 【解析】证明：（1）∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F， ∴CE=CF，∠CEB=∠CFD=90°， 即△CBE和△CFD，△ACE和△ACF都是直角三角形. 在Rt△BCE和Rt△DCF中， ∵CE=CF，BC=CD， ∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）. （2）在Rt△AEC和Rt△AFC中， ∵AC=AC，CE=CF， ∴Rt△AEC≌Rt△AFC（HL）， ∴AE=AF. 由（1）知，Rt△BCE≌Rt△DCF， ∴BE=DF. ∵AB=15，AD=7， ∴AE+BE=15=AF+BE， ∴AD+DF+BE=15， ∴2BE=15-7=8， ∴BE=4. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键. 34．（15-16八年级上·江苏无锡·期中）已知，如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点． （1）求证：BD=AE． （2）若线段AD=5，AB=17，求线段ED的长． 【答案】（1）见解析；（2）线段ED的长为13． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，证明△ACE≌△BCD，即可解答； （2）由AD=5，AB=17，求得BD=17-5=12，由（1）可知△ACE≌△BCD，结合△ABC是等腰直角三角形，得到∠EAC=∠B=45°，AE=BD=12，进而∠EAD=90°，根据勾股定理即可解答． 【解析】解：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE， ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD， ∴∠ACE=∠BCD， 在△ACE和△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴BD=AE； （2）∵AD=5，AB=17， ∴BD=17-5=12， 由（1）得AE=BD=12， ∵△ACE≌△BCD，△ABC是等腰直角三角形， ∴∠EAC=∠B=∠BAC=45°， ∵∠EAD=90°， ∴ED==13． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是利用等腰直角三角形的性质证明△ACE≌△BCD． 35．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理和外角的性质． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，求得即可． （2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案． 【解析】（1）证明：连接， 为线段的垂直平分线， ． ，点为的中点， 为线段的垂直平分线． ． ． ∴为等腰三角形； （2）解：，点为的中点， 为的平分线． ． ． ． ∵为等腰三角形， ． ． 36．（22-23八年级上·浙江·期中）如图，是等边三角形，点D是边上一点，以为边向上作等边，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是2． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）由，则． 【解析】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴的长是2． 【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 37．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，，连接． (1)求证：； (2)已知，． ①求的面积； ②求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点．灵活运用等腰三角形的性质是解题的关键． （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而得到，然后根据等腰三角形三线合一即可证明结论； （2）①如图：过点作垂足为，，先说明，再根据等腰三角形的性质可得，然后运用勾股定理求得，最后运用三角形的面积公式计算即可；②根据勾股定理可得，再利用等面积法列方程求解即可． 【解析】（1）证明：， ， 点是的中点， ， ， ， ， ． （2）解：①如图：过点作，垂足为， ，， ， ，， ， 在中，， ， 的面积， 的面积为． ②，， ， 的面积， 的面积， ， ． 38．（23-24八年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求的值； (2)从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ (3)当点Q运动到上时，求能使是等腰三角形时点Q的运动时间，求出t的值． 【答案】(1) (2)秒 (3)秒或秒或秒 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用. （1）根据点的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）设出发秒钟后，能形成等腰三角形， 则 由 列式求得即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时 (图)， 则可证明 则 则 从而求得； ②当时 (如图)，则 易求得； ③当时 (如图)，过点作于点， 则求出， 即可得出. 【解析】（1）出发2秒后，，． 所以． 因为，根据勾股定理，． （2）设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形． 此时，． 当时，，解得秒． （3）①当时 (图)， 则， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴秒， ②当时 (如图)， 则， ∴秒； ③当时 (如图)， 过点作于点， 则 所以， 故， 所以 秒， 由上可知，当为秒或秒或秒时，为等腰三角形. 39．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，点D在边上运动（D不与A，B重合），连接，作，交与点E．    (1)当时，若，则 　 　． (2)当时，判断的形状，并说明理由． (3)在点D运动的过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见详解 (3)或 【分析】（1）先求出，根据，可得，进而可得，在中，可得，同理可得：，问题随之得解； （2）由得到，再由，得到，则是直角三角形； （3）分类讨论：当时，；当时，；当时，；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算． 【解析】（1）如图，    ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴； （2）∵中，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，   ∴是直角三角形； （3）可以是等腰三角形．理由如下： ①当时，， ∴， ∵， ∴， ②当时，， ∵， ∴， ∴， ③当时，， 即， ∵， ∴此时，点D与点B重合，不合题意． 综上，可以是等腰三角形，此时的度数为或． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定、等腰三角形的判定与性质、外角的性质以及含角的直角三角形的性质等，关键在于运用数形结合的思想，熟练地运用相关的性质定理，认真地进行计算． 模块5：一元一次不等式的代数应用、实际应用等 40．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）有一电脑程序：设按一次按键，屏幕上的数字就会自动加上2．已知屏幕上的初始数字为，按次按键后： (1)若屏幕上显示的数字为18，求的值； (2)若屏幕上显示的数字不小于100，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）根据“按次按键后，屏幕上显示的数字为18”，列出一元一次方程，解方程即可； （2）根据“按次按键后，屏幕上显示的数字不小于100”，列出一元一次不等式，解一元一次不等式即可． 【解析】（1）解：由题意得：， 解得：； （2）解：由题意得：， 解得：． 41．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质是解题的关键． （1）加减消元法解二元一次方程组得，由题意得，，然后解一元一次不等式组即可； （2）根据不等式的性质可知，，然后求解作答即可． 【解析】（1）解：， 得，， 解得，， 将代入①得，， 解得，， ∴， ∵为非正数，为负数， ∴， 解③得，； 解④得，； ∴不等式组的解集为， ∴的取值范围为； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴，即， ∴的取值为． 42．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）象山有着“中国柑橘之乡”的美誉，经营户老张近期主要销售“红美人”和“象山青”两个柑橘品种． 红美人 象山青 进价（元斤） 20 5 售价（元斤） 35 10 (1)上周的“红美人”和“象山青”的进价和售价如下表所示，老张用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，上周售完后一共能赚多少钱？ (2)本周保持进价不变，老张仍用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤，但在运输过程中“红美人”损坏了，而“象山青”没有损坏仍按原价销售．要想本周售完后的利润不低于上周的利润，“红美人”的售价最低定为多少？（精确到0.1元） 【答案】(1)2500元 (2)36.7元斤 【分析】本题考查一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式解决问题． （1）设上周购进“红美人”斤，则利润为元，根据用3000元批发了“红美人”和“象山青”共300斤得：，解出的值可得答案； （2）设“红美人”的售价为元斤，根据本周售完后的利润不低于上周的利润得：，解出的范围，即可得到答案． 【解析】（1）解：设上周购进“红美人”斤，则购进“象山青”斤，利润为元， 根据题意得：， 解得， ， 上周售完后一共能赚2500元； （2）解：设“红美人”的售价为元斤， 根据题意得：， 解得， “红美人”的售价最低定为36.7元斤，本周售完后的利润不低于上周的利润． 43．（21-22七年级下·黑龙江牡丹江·期末）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，共需费用21000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多5000元． (1)求A型空调和B型空调每台各需多少元； (2)若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过115000元，该校共有哪几种采购方案？ (3)在（2）的条件下，直接写出采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元? 【答案】(1)A型空调每台需5000元，B型空调每台需3000元 (2)有三种采购方案：方案一：采购10台A型空调，20台B型空调；方案二：采购11台A型空调，19台B型空调；方案三：采购12台A型空调，18台B型空调 (3)费用最低的方案是采购10台A型空调，20台B型空调；最低费用是110000元 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题； （2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以求得有几种采购方案； （3）根据题意和（2）中的结果，可以解答本题． 【解析】（1）解：设A型空调每台需x元，B型空调每台需y元． 由题意可列： 解得 答：A型空调每台需5000元，B型空调每台需3000元． （2）设采购A型空调m台，则采购B型空调（30-m）． 由题意可列： 解得：10≤ m ≤ ∵m为正整数 ∴m=10，11，12 ∴有三种采购方案： 方案一：采购10台A型空调，20台B型空调； 方案二：采购11台A型空调，19台B型空调； 方案三：采购12台A型空调，18台B型空调； （3）设总费用为w元，购买A型空调m台，则购买B型空调（30-m）台， w=5000m+3000（30-m）=2000m+90000， ∴当m=10时，w取得最小值，此时w=110000， 即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是110000元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和不等式的思想解答． 44．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元． (1)求篮球和足球的单价分别是多少元； (2)学校计划采购篮球、足球共50个，且总费用不超过5500元．那么最多采购篮球多少个？ 【答案】(1)篮球的单价为120元，足球的单价为90元 (2)33个 【分析】（1）设篮球的单价为元，足球的单价为元，根据“购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元”列出二元一次方程组并求解即可； （2）设采购篮球个，则采购足球个，根据题意“计划采购篮球、足球共50个，且总费用不超过5500元”列出一元一次不等式并求解即可获得答案． 【解析】（1）解：设篮球的单价为元，足球的单价为元， 根据题意，得，解得， 答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元； （2）设采购篮球个，则采购足球个， 根据题意，得，解得， ∵为整数， ∴最大取33． 答：最多采购篮球33个． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式等应用，理解题意，理清数量关系是解题关键． 45．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）小观与爸妈在公园里荡秋千．如图，小观坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直．小观两脚在地面上用力一蹬，当秋千距离地面高度为时，妈妈在B处接住她并用力一推，结果爸爸在C处接住了小观．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，． (1)证明：． (2)爸爸在距离地面多高的地方接住小观的？ (3)秋千的起始位置A处与距地面的高是______m． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明； （2）由全等三角形的性质得出，，求出的长，再根据爸在C处接住了小观，此时离地面多高度求解即可； （3）因为，由勾股定理求得，再根据便可求得结果． 【解析】（1）证明：由题意可知，， ∵， ∴. ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵、分别为和， ∴，， ∴， ∵妈妈在距地面高的B处，即， ∴爸在C处接住了小观，此时离地面多高度； （3）解：， ∵， ∴ ∴秋千的起始位置A处与距地面的高． 故答案为：． 模块6：图表素材题 46．（20-21七年级下·内蒙古通辽·期末）“低碳生活，绿色出行”已逐渐被大多数人所接受，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的利润为a元/辆，B型车的利润为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如表： A型车销售量（辆） B型车销售量（辆） 总利润（元） 第一周 10 12 2240 第二周 20 15 3400 （1）求a，b的值； （2）若第三周售出A，B两种规格自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第三周利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）a的值为80，b的值为120；（2）售出A型车10辆、B型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元 【分析】（1）根据前两周两种自行车的销售数量及销售总利润，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出a，b的值； （2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车（25﹣x）辆，根据“B型车的销售量大于A型车的售量，且不超过A型车销售量的1.5倍”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，结合x为整数即可得出各销售方案，再利用总利润＝每辆的利润×销售数量，可分别求出各方案获得的总利润，比较后可得出：该专卖店售出A型车10辆、B型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元． 【解析】解：（1）依题意得：， 解得：， 答：a的值为80，b的值为120； （2）设第三周售出A种规格自行车x辆，则售出B种规格自行车（25﹣x）辆， 依题意得：， 解得：10≤x＜12.5， ∵x为整数， ∴x可以为10，11，12． 当x＝10时，25﹣x＝15，此时利润＝10×80＋15×120＝2600（元）； 当x＝11时，25﹣x＝14，此时利润＝11×80＋14×120＝2560（元）； 当x＝12时，25﹣x＝13，此时利润＝12×80＋13×120＝2520（元）． ∵2600＞2560＞2520， ∴该专卖店售出A型车10辆、B型车15辆时才能使第三周利润最大，最大利润是2600元． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，明确题意，准确得到数量关系是解题的关键． 47．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 销售收入 第一周 3台 5台 元 第二周 4台 台 元 (1)求、两种型号的电风扇的销售单价； (2)若进价、售价均保持不变，超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，利用不等式的基本性质说明超市销售完这30台电风扇的利润无法超过元的目标．（利润销售总收入进货总价） 【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元 (2)种型号的电风扇最多能采购台 (3)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、不等式的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式；（3）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据“销售3台型号5台型号的电风扇，销售收入元，销售4台型号10台型号的电风扇，销售收入元”，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多于元，列出一元一次不等式，解不等式即可； （3）设利润超过元，列出一元一次不等式，求出，不符合（2）的条件，可知不能实现目标． 【解析】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元； （2）解：设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台， 由题意得：， 解得：， 最大为， 答：种型号的电风扇最多能采购台； （3）证明：由题意得：， 解得：， ， 在（2）的条件下，超市销售完这台电风扇的利润无法超过元的目标． 48．（23-24八年级上·浙江金华·期中）根据以下素材，探索完成任务． 荡秋千问题 素材1 如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．    素材2 如图2，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离、分别为和，．    问题解决 任务1 与全等吗？请说明理由； 任务2 当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】任务1：与全等，理由见解析；任务2： 【分析】本题考查了利用三角形全等测距离的问题，理解题意及熟知全等三角形的性质与判定是解题关键． 任务1：利用，证得与全等； 任务2：根据全等三角形性质可求出和的值，进而求出的值，最后根据，即可求出问题答案． 【解析】解：任务1：由题意，得，，，，， ∴， 又， ∴， 在与中 ， ∴； 任务2：∵， ∴， ∴， 即小丽距离地面有高． 49．（22-23八年级上·浙江温州·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务. 如何确定箭头形指示牌 素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图.该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线小聪测量了点A到的距离为米，米，米. 素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米元，乙材料的单价为每平方米元. 问题解决 任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由. 任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过元，请你确定长度的最大值. 【答案】任务1：他的说法对，理由见解析；任务2：米 【分析】任务1：过点B作于点G，可证得，据此即可判定； 任务2：设，可得，的高为米，列不等式，即可求解． 【解析】解：任务1：他的说法对， 理由如下： 如图：过点B作于点G， ， 四边形是长方形， ， ， 在与中， ， ， 最高点B到地面的距离就是线段长； 任务2：该指示牌是轴对称图形， 四边形是长方形， 设，则，的高为(米)， 长方形的面积为：(平方米)， 三角形的面积为： (平方米)， 当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时， 根据题意得：， 解得， 故长度的最大值为米． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用，理解题意，灵活运用全等三角形的判定及性质，不等式的实际应用是解决本题的关键． 50．（23-24九年级上·山东潍坊·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务 探究纸伞中的数学问题 素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，是伞柄，伞骨且，，，D点为伞圈．                  素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到的位置，且A、E、三点共线．测得，，伞完全张开时，如图1所示（参考值：）．           素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线与地面夹角为，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为，此时发现身上被雨淋湿，测得．                 问题解决 任务1 判断位置 求证：平分． 任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）． 任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 ，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案） 【答案】任务一：见解析；任务二：约为；任务三： 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，弄清题意，将实际问题转化为数学问题是解题的关键． （1）利用证明即可得到答案； （2）过点E作于点G，求出的长，即可利用求出答案； （3）设与交于点O，与交于点Q，先求出，可得，再求出，进而可求出，即为问题的答案． 【解析】解：（1）∵，且，， ∴， 在和中， ， ∴△AED≌△AFD（SSS）， ∴， ∴平分； （2）过E做， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）解：设与交于点O，与交于点Q，如图， 在中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中， ， 故答案为：60． ( 第 1 页 共 16 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$