26.1.2反比例函数的图象与性质（七大类型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（人教版）

26.1.2反比例函数的图象与性质（六大类型提分练） 类型一、判断反比例函数的图象 1．（2024九年级下·全国·专题练习）反比例函数的大致图象是（　　） A．B．C．D． 2．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）当时，反比例函数的图象大致是（   ） A．B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）函数与在同一坐标系内的图象可能是（    ） A．B．C．D． 类型二、根据图象判定反比例函数的k值 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2023·贵州遵义·一模）下列是在同一直角坐标系中函数和的图象如图，其中，，的描述正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 类型三、由反比例函数所在的象限求k值的范围 7．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．常数 B．在每个象限内，随的增大而增大 C．若，在图象上，则 D．若在图象上，则也在图象上 类型四、反比例函数的增减性 10．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数中，当时，随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）点双曲线上，若，则的关系是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·四川达州·阶段练习）已知点，，都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”号连接） 类型五、由反比例函数的增减性求k的范围 13．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数，当时，，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知反比例函数的图象上，随的增大而减小，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 15．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 类型五、反比例函数与一次函数的对称性问题 16．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24九年级上·山东日照·期中）直线（为常数且与双曲线的交点为，，则的值为（    ）． A． B． C． D．无法确定 18．（22-23九年级上·河南漯河·期末）如图，直线与双曲线交于两点，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（   ）      A． B．4 C． D．8 类型六、反比例函数的图象问题 19．（24-25九年级上·全国·课后作业）（1）画出函数的图象． ①列表： x … … y … … ②描点并连线． （2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 20．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究 （1）将反比例函数的图象向右平移一个单位，可以得到函数的图象，关于这个函数的性质正确的有： ； ①该函数图象与y轴的交点坐标是； ②该函数图象是中心对称图形，对称中心是； ③该函数图象关于直线轴时称； ④当时，y随x的增大而减小． （2）在图中画出函数的图象，根据图象写出其两条不同类型的性质： ； ． 问题解决 （3）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求k的值； 深入思考 （4）当时，对于任意正数k，方程均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系． 21．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知一个矩形的面积为12，长为，宽为． (1)与之间的函数关系式为______； (2)在图中画出该函数的图象； ①填表； … 1 2 3 4 5 6 … … 12 _____ _____ _____ _____ 2 … ②描点； ③连线． 一、单选题 1．（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）对于反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．图象位于一、三象限 C．图象与坐标轴无交点 D．图象关于原点对称 2．（2024·山东临沂·模拟预测）下列函数的图象中，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后与原函数图象共同构成的图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 5．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）在反比例函数图象上有三个点，、，、，，若，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知反比例函数图象上有三个点，且满足，则b的值可以为（    ） A．2 B． C．1 D．3 7．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·云南·模拟预测）定义新运算：例如：，，则的图象是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，当反比例函数的图象将矩形的内部（不含边界）的横、纵坐标都为整数的点分成数量相等的两部分，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 12．（2024·北京·模拟预测）直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 13．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，反比例函数 过该菱形对角线的交点A，且与边交于点 F．若点 D 的坐标为 ，则点 A的坐标是 ． 14．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，已知直线分别与轴、轴相交于两点，与的图象相交于，两点，连接，给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确结论的序号是 ． 15．（2024·广西钦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 16．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，点是正半轴上一点，点是反比例函数的图象上一点，点是AB上一点，OA与该反比例函数的图象交于点． （1）点的坐标为 ； （2）与的面积之差 ． 三、解答题 17．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 18．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____； x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 1 5 5 a …… ②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象： (2)探究函数性质 请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________． (3)运用函数图象及性质 ①写出方程的解_________________； ②写出不等式的解集_________________； ③写出不等式与的解集_________________． 19．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段练习）有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题．小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： x … 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 … y … 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 3 2 1.5 1 … (1)如图，在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (2)①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是 ；它的另一个性质是 ． ②过点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧）．求的值． 20．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.1.2反比例函数的图象与性质（七大类型提分练） 类型一、判定反比例函数的图象 1．（2024九年级下·全国·专题练习）反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查了反比例函数的图象，反比例函数的图象是双曲线，当时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当时，它的两个分支分别位于第二、四象限．据此解答即可． 【详解】解：， 则函数在第二、四象限． 故选：B 2．（23-24九年级上·贵州铜仁·期末）当时，反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的性质是关键，根据反比例函数的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 故选C． 3．（24-25九年级上·湖南岳阳·开学考试）函数与在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】直线与y轴交于点，可否定A，D选项； 再根据k的取值符号是否一致（时，直线与双曲线都经过第一、三象限；时，直线与双曲线都经过第二、四象限）可以否定C， 故选：B． 类型二、根据图象判定反比例函数的k值 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出k的取值范围是解题的关键． 根据反比例函数的图象求解即可． 【详解】∵函数图象是双曲线，且在第一，三象限 ∴该函数的表达式可能是． 故选：C． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数 的图象如图所示，则k的值可能是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，解题的关键是掌握反比例函数图象离坐标轴越远，k的绝对值越大． 根据点A和点C的坐标，得出k的取值范围，即可解答． 【详解】解：∵该反比例函数位于第一象限的图象低于点， ∴， ∵该反比例函数位于第三象限的图象低于点， ∴， ∴， ∴k的值可能是3， 故选：C． 6．（2023·贵州遵义·一模）下列是在同一直角坐标系中函数和的图象如图，其中，，的描述正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与反比例图象交点坐标，掌握一次函数和反比例函数的性质是解题关键．根据图象上一次函数和反比例函数的性质就可得出判断． 【详解】解：根据一次函数图象过一、二、三象限可知：，， 根据反比例函数图象过一、三象限可知：， ，，， 故选：A． 类型三、由反比例函数所在的象限求k值的范围 7．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）若反比例函数的图象分布在第二、四象限，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象与性质求参数范围，当时，反比例函数的图象在第二、四象限，得到求解即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：若反比例函数的图象分布在第二、四象限， 则， 解得， 故选：A． 8．（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图是三个反比例函数在轴上方的图象，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，由图象分布的位置可得，再由时，由图象可得，进而可得，即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二象限，反比例函数和的图象分布在第一象限， ， 当时，由图象可得， ， 故选：B． 9．（24-25九年级上·山东威海·阶段练习）如图是反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ）    A．常数 B．在每个象限内，随的增大而增大 C．若，在图象上，则 D．若在图象上，则也在图象上 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是结合反比例函数的性质以及函数图象逐一分析四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉掌握反比例函数图象的有关知识是关键．结合函数图象逐一分析四个选项的对错，由此即可得出结论． 【详解】解：A、∵反比例函数y=的图象在第一三象限， ∴， ∴A错误，故本选项不符合题意； B、根据函数图象可得出：在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴B错误，故本选项不符合题意； C、根据函数图象可得出：在第三象限内，，在第一象限内，， ∵，， ∴， ∴C正确，故本选项符合题意； D、由反比例函数的对称性可知： 若在图象上，则在图象上， ∴D错误，故本选项不符合题意． 故选：C． 类型四、反比例函数的增减性 10．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数中，当时，随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断． 【详解】解：A．，，开口向下，可知当时，随的增大而减小，故不符合题意； B．，，开口向下，可知当时，随的增大而减小，故不符合题意； C．，可知抛物先开口向下，当时，随的增大而增大，故符合题意； D．，可知抛物先开口向上，当时，随的增大而减小，故不符合题意； 故选C． 11．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）点双曲线上，若，则的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质．根据的图象和性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，图象在第一象限内，y随着x的增大而减小，且；当时，图象在第三象限内，y随着x的增大而减小，且， ∵ ∴ 则， 故选：C. 12．（23-24七年级下·四川达州·阶段练习）已知点，，都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”号连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，且个每个象限内y随x增大而增大， ∵点，，都在函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 类型五、由反比例函数的增减性求k的范围 13．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数，当时，，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据题意，得到反比例函数图象过二，四象限，得到，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，， ，解得． 故选D． 14．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知反比例函数的图象上，随的增大而减小，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．对于反比例函数，当时，反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小，当时，反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内，随着的增大而增大，根据反比例函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：反比例函数的图象上，随的增大而减小， ， ， 故选：A． 15．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C 类型六、反比例函数与一次函数的对称性问题 16．（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点，点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数图象的中心对称性，反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图象与经过原点的直线相交于、两点， 、两点关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选D． 17．（23-24九年级上·山东日照·期中）直线（为常数且与双曲线的交点为，，则的值为（    ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，掌握双曲线上的两点关于原点成中心对称是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标特点即可解答． 【详解】解：∵直线（为常数且与双曲线的交点为，， ∴，关于原点对称， ∴， 又∵点A、点B在双曲线上， ∴， ∴． 故选B． 18．（22-23九年级上·河南漯河·期末）如图，直线与双曲线交于两点，过点作轴，垂足为点，连接，若，则的值为（   ）      A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】根据题意可得，则，进而根据的几何意义，即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线交于两点， ∴关于原点对称，则， ∴， ∴， 反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，中心对称，的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 类型七、反比例函数的图象问题 19．（24-25九年级上·全国·课后作业）（1）画出函数的图象． ①列表： x … … y … … ②描点并连线． （2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）上升；变大 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，画反比例函数图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． （1）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象； （2）根据反比例函数的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）列表： x … … y … 1 2 3 6 … 函数图象如答图： （2）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当x由小变大时随之变大． 故答案为：上升；变大． 20．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）我们研究反比例函数图象平移后的性质． 初步探究 （1）将反比例函数的图象向右平移一个单位，可以得到函数的图象，关于这个函数的性质正确的有： ； ①该函数图象与y轴的交点坐标是； ②该函数图象是中心对称图形，对称中心是； ③该函数图象关于直线轴时称； ④当时，y随x的增大而减小． （2）在图中画出函数的图象，根据图象写出其两条不同类型的性质： ； ． 问题解决 （3）若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求k的值； 深入思考 （4）当时，对于任意正数k，方程均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系． 【答案】（1）③④；（2）根据图象可得性质：①图象关于直线对称；②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而增大． （3）；（4）没有交点 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象、反比例函数的性质、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，根据所给解析式，结合图象逐个判断可以得解； （2）依据题意，函数的图象可以由函数y＝﹣的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，进而可得函数的图象关于成中心对称，进而作出图象，然后可以得出性质； （3）依据题意得，函数，再由函数 的图象可以由函数图象通过平移得到，故可得，进而计算可以得解； （4）依据题意得，，即，又当时，对于任意正数k，方程均无解，故函数与函数没有交点．再结合图象即可判断得解． 【详解】解：（1）由题意，当时，， ∴该函数图象与y轴的交点坐标是，故①错误． ∵图象的对称中心是， ∴图象的对称中心是，故②错误． ∵图象关于直线和对称， ∴图象关于直线和对称，故③正确． 由题意，对应函数图象， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小，故④正确． 故答案为：③④． （2）由题意，函数的图象可以由函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， ∴函数的图象关于对称． 作图如下． 根据图象可得性质： ①图象关于直线对称； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而增大． （3）由题意得，函数， 又∵函数的图象可以由函数的图象通过平移得到， ∴． ∴． （4）由题意得，， ∴． ∵当时，对于任意正数k，方程均无解， ∴函数与函数没有交点． 如图． 结合图象可得，当直线过时符合题意， ∴即． 21．（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）已知一个矩形的面积为12，长为，宽为． (1)与之间的函数关系式为______； (2)在图中画出该函数的图象； ①填表； … 1 2 3 4 5 6 … … 12 _____ _____ _____ _____ 2 … ②描点； ③连线． 【答案】(1) (2)①6；4；3；②图见解析③图见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式、图象的画法，熟练掌握反比例函数图象的画法是解题的关键． （1）利用矩形的面积公式得出与之间的函数关系式即可； （2）①根据，得出数据填表即可；②根据表格数据描点即可；③用平滑的曲线顺次连线即可． 【详解】（1）解：∵一个矩形的面积为12，长为，宽为， ∴， ∴， ∴与之间的函数表达式为． 故答案为：； （2）解：①∵由（1）得， ∴当时，， 时，， 时，， 时，， ∴填表如下， … 1 2 3 4 5 6 … … 12 6 4 3 2 … 故答案为：6；4；3；； ②如图，描点即可； ③如图，用平滑的曲线顺次连线即可． ． 一、单选题 1．（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）对于反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．y随x的增大而减小 B．图象位于一、三象限 C．图象与坐标轴无交点 D．图象关于原点对称 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、反比例函数的，图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故原说法错误，符合题意； B、反比例函数的，图象分布在第一、三象限，故原说法正确，不符合题意； C、反比例函数中，图象与坐标轴无交点，正确，不符合题意； D、反比例函数的图象关于原点对称，正确，不符合题意． 故选：A． 2．（2024·山东临沂·模拟预测）下列函数的图象中，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后与原函数图象共同构成的图形是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由各函数的图象与性质结合中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 是正比例函数，，图象经过一三象限，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后，函数图象经过三四象限，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B. 是二次函数，，图象位于一二象限且经过原点，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后，函数图象经过二四象限，是中心对称图形，故选项符合题意； C. 是二次函数，，，图象经过一二三象限，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后，函数图象经过二三四象限，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D. 是反比例函数，，图象经过一三象限，将其位于轴右侧的部分沿轴翻折后，函数图象经过三四象限，不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了中心对称的定义，函数图象的翻折变化，一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质等知识点，熟练掌握一次函数，二次函数，反比例函数的图象与性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知函数，，当时，函数的最大值是，函数的最小值是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，根据题意可得函数经过第一、三象限，在每个象限内随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内随x增大而增大，则，解方程组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴函数经过第一、三象限，在每个象限内随x增大而减小，经过第二、四象限，在每个象限内随x增大而增大， ∵当时，函数的最大值是，函数的最小值是， ， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2024·安徽六安·模拟预测）若关于x的一元二次方程无实数根，则反比例函数的图象所在的象限分别位于（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、反比例函数的图象和性质. 先利用一元二次方程无实数根得到，解得，则，根据反比例的图象和性质即可判断反比例函数的图象所在的象限. 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， ∴反比例函数的图象所在的象限分别位于第一、三象限， 故选：C 5．（24-25九年级上·浙江杭州·开学考试）在反比例函数图象上有三个点，、，、，，若，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．由可得反比例函数图象在第二、四象限，根据选项一—分析即可． 【详解】解：在反比例函数中，，图象在第二、四象限， 若 则或，故A错误； 当时，若，则且或， 故或 ，故B错误； 若则，则，故C错误； 若则且或，故，故D正确； 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）已知反比例函数图象上有三个点，且满足，则b的值可以为（    ） A．2 B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了比较反比例函数的函数值，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．根据反比例函数的图象与性质即可得． 【详解】解：， 函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大， 点在函数的图象上， 又，， ∴， ， ∴， ∴的值可以是1； 故答案为：C． 7．（2024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 8．（2023·云南·模拟预测）定义新运算：例如：，，则的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象，根据新定义运算，写出函数解析式，再根据函数解析式即可判断求解，掌握反比例函数的图象是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， 即为反比例函数，当时，图象在第一象限；当时，图象在第二象限； 故选：． 9．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了由函数图象获取信息，有一次函数的图象，反比例函数的图象，二次函数的图象与性质，注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键． 由点，，在同一个函数图象上，可得B与C关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大，继而求得答案． 【详解】解：∵，， ∴点B与点C关于y轴对称， 即这个函数图象关于y轴对称，故选项A，C不符合题意； ∵，， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项B符合题意，选项D不符合题意． 故选：B． 10．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）如图，当反比例函数的图象将矩形的内部（不含边界）的横、纵坐标都为整数的点分成数量相等的两部分，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图像，整数点的问题，解题的关键是要找到临界状态． 先找出矩形内部整数点共8个，然后找到两个临界位置，求出对应的比例系数k，即可求出取值范围． 【详解】解：矩形内的整数点有， ∴当反比例函数图像经过点时，此时， 当反比例函数图像经过点时，此时， ∴时，图像下方有点，图像上方有， 故选：D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·河北石家庄·开学考试）小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①该函数自变量的取值范围为；②该函数与y轴交于点； ③该函数图象不经过第四象限；④该函数图象关于y轴对称； ⑤若，是该函数上两点，当时，一定有． 其中说法正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】①根据分式有意义的条件即可判断；②把代入即可；③当时，判断是否大于0即可；④取两个点代入验证即可；⑤取两个点代入验证即可．本题考查了函数的图象、函数自变量的取值范围及对称性，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①， ， 故①正确； ②当时，， 该函数与轴交于点， 故②正确； ③，， ∴当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 当时， ，， 则，此时该函数图象不经过第四象限； 该函数图象不经过第四象限； 故③正确； ④若该函数图象关于轴对称， 则函数图象的每一个点都关于轴对称， 当时，， 当时，， ∵， 而与不关于轴对称， 故④错误； ⑤当时，取，时， ∴，， 则， 故⑤错误， 故答案为：①②③． 12．（2024·北京·模拟预测）直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出与与的关系，直线与双曲线交点的特征推出与与的关系是解答本题的关键． 先根据点是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点两点可得，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点是双曲线上的点， ， ∵直线与双曲线交于点两点， 即两点关于原点对称． ， ， 故答案为：10． 13．（23-24八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在x轴正半轴上，反比例函数 过该菱形对角线的交点A，且与边交于点 F．若点 D 的坐标为 ，则点 A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用．求得中点A的坐标是解题的关键． 由点D的坐标为，可求得菱形的边长，得到，由点中点性质即得． 【详解】∵点 D 的坐标为 ， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵点A是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：． 14．（23-24九年级上·河南新乡·阶段练习）如图，已知直线分别与轴、轴相交于两点，与的图象相交于，两点，连接，给出下列结论：①；②；③；④不等式的解集是或，其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到，故①正确；把、代入中得到故②正确；把、代入得到，求得，，根据三角形的面积公式即可得到；故③正确；根据图象得到不等式的解集是或，故④正确． 【详解】解：①由图象知，，， ，故①正确； ②把、代入中得， ，故②正确； ③把、代入得， 解得， ， ， 已知直线与轴、轴相交于、两点， ，， ，， ，， ，故③正确； ④由图象知不等式的解集是或，故④正确； 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了反比例函图象与一次函数图象与系数的关系，反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解反比例函数与一次函数的交点的特点是解题的关键． 15．（2024·广西钦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与两坐标轴分别交于，两点，为线段的中点，点在反比例函数的图象上，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先求出，根据中点坐标公式求出，根据轴对称图形的性质确定点P位置，并求出点P的坐标，再求出的长即可． 【详解】解：∵一次函数与两坐标轴分别交于A，B两点， ∴， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴一次函数与反比例函数的图象是关于直线对称， ∵点C在直线上， ∴当点P在直线上时，线段最小， ∴点在反比例函数的图象上， ∴， ∵, ∴， ∴的最小值为 故答案为： 【点睛】本题是反比例函数与一次函数交点问题，线段最短问题，以及勾股定理，数形结合是解题的关键． 16．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，点是正半轴上一点，点是反比例函数的图象上一点，点是AB上一点，OA与该反比例函数的图象交于点． （1）点的坐标为 ； （2）与的面积之差 ． 【答案】 8 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，等腰直角三角形的性质，求正比例函数解析式，坐标与图形，数形结合，熟练掌握待定系数法求出正比例函数解析式，是解题的关键． （1）设点A的坐标为，设直线的解析式为：，把代入得：，求出，得出直线的解析式为：，令，求出，得出点E的坐标为； （2）设点，则，得出，，根据得出m、n的关系，得出，表示出，，再求出结果即可． 【详解】解：（1）∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴轴，， ∴点A的横纵坐标相同， 设点A的坐标为，设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令， 解得：， ∵点E在第一象限， ∴舍去， ∴点E的坐标为； 故答案为：； （2）设点，则， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ， ∴ ． 故答案为：8． 三、解答题 17．（2024九年级下·全国·专题练习）已知反比例函数． (1)若，则x的取值范围是__________； (2)若，则x的取值范围是__________； (3)若，且，则x的取值范围是__________． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查反比例函数的增减性， （1）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （2）先求出当时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； （3）先分别求出当和时的值，然后根据反比例函数的增减性进行求解即可； 解题的关键在于熟知反比例函数的性质：当时，函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小；当时，函数的图像在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大． 【详解】（1）解：反比例函数的图像如图所示， 当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是或， 故答案为：或； （2）当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：； （3）当时，；当时，， ∵函数的图像在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∴当且时，x的取值范围是或． 18．（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质． (1)绘制函数图象 ①列表：下列是x与y的几组对应值，其中_____； x …… 1 2 3 4 5 …… y …… 1 5 5 a …… ②描点：根据表中的数值描点，请在下图中描出点； ③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象： (2)探究函数性质 请写出函数的两条性质：___________________________________________；___________________________________________． (3)运用函数图象及性质 ①写出方程的解_________________； ②写出不等式的解集_________________； ③写出不等式与的解集_________________． 【答案】(1)①1；②见解析；③见②图 (2)的图象关于y轴对称；当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； (3)①或；②或；③或． 【分析】本题考查了列表描点画函数图象，根据函数图象获取信息，画出函数图象，从函数图象获取信息是解题的关键． （1）①把代入解析式即可得的值；②③按要求描点，连线即可； （2）观察函数图象，可得函数性质； （3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案；③观察函数图象即得答案． 【详解】（1）解：①列表：当时，， 故答案为：1； ②描点，③连线如下： （2）观察函数图象可得：的图象关于轴对称，当时，y随x的增大而增大； 故答案为：的图象关于轴对称；当时，y随x的增大而增大； （3）①观察函数图象可得：当时，或， ∴方程的解是或， 故答案为：或； ②观察函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集或， 故答案为：或； ③观察函数图象可得，当或时，， 不等式与的解集或， 故答案为：或． 19．（22-23九年级上·贵州铜仁·阶段练习）有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题．小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： x … 0 1 1.2 1.25 2.75 2.8 3 4 5 6 8 … y … 1 1.5 2 3 6 7.5 8 8 7.5 6 3 2 1.5 1 … (1)如图，在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (2)①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是 ；它的另一个性质是 ． ②过点作直线轴，与函数的图象交于点M，N（点M在点N的左侧）．求的值． 【答案】(1)图见解析； (2)①当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；②的值为6． 【分析】（1）利用描点法画出函数图象； （2）①根据轴对称图形的定义即可判断是轴对称图形，根据图象即可得到函数的性质； ②求出的长(用n表示)即可解决问题． 本题考查反比例函数的性质，解题的关键是学会用描点法画出函数图象． 【详解】（1）解：根据表格描点，函数图象如图所示： （2）解：①观察图象可知图象是轴对称图形，对称轴 它的另一个性质是：当时， y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大， 故答案为：当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； ②由题意， 故答案为：6． 20．（2024·山西·模拟预测）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，过点作轴，垂足为，连接，．    (1)求反比例函数的表达式． (2)若，以，为边作平行四边形，点在第三象限内，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得，图形结合分析，再根据，由此即可求解； （2）把点代入反比例函数解析式可得，则，根据点关于原点对称可得，再根据平行四边形的性质可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得，，， 根据图形可得，， ∴， ∵轴， ∴，点到的距离为， ∵， ∴， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，反比例函数解析式为，且点在反比例函数图象上， ∴，即， ∵轴， ∴， ∵正比例函数与反比例函数交于点， ∴点关于原点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数与反比例函数交点的计算，解一元二次方程的方法，几何图形面积的计算方法，平行四边形的性质是解题的关键． ( 38 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$