假期作业(10)计数原理-【玩转假期】2024年高二数学寒假作业（北师大版）

玩转假期·高二数学 (2)在侧棱AA,上是否存在点P,使得 阅读实践还识野 CP⊥平面BDC?并证明你的结论. 运动场上的数学 数学在体育训练方面主要研究的有： 赛跑理论、投掷技术、台球的击球方向、跳 高的起跳点、足球场上的射门与守门等等 美国的计算专家艾斯特运用数学、力学，研 究了当时铁饼投掷世界冠军的投掷技术， 提出了改正投掷技术的训练建议，从而使 这位世界冠军在短期内将成绩提高了4米， 在一次奥运会的比赛中创造了连破三次世 界纪录的辉煌成绩， 假期作业（十） 计数原理 摘 要 综合湖练提考能 1计数原理. 一、选择题 2排列. 1.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行劳动技术 3组合. 比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和 ④二项式定理 乙去询问成绩，裁判说：“很遗憾，你俩都 筒问速答杭遗忘 没有得到冠军.但都不是最差的.”从回 问题1：分类加法计数原理和分步乘法计 答分析，5人的名次排列的不同情况可能 数原理的区别与联系？ 有 () A.27种 B.72种 C.36种 D.54种 2.为落实立德树人的根本任务，践行五育 问题2：排队问题的解题策略？ 并举，某学校开设A,B,C三门劳动教育 校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同 学报名参加该校劳动教育校本课程的学 问题3：二项式系数的性质？ 习，每位同学仅报一门，每门至少有一位 同学参加，则不同的报名方法有() A.60种 B.150种 C.180种 D.300种 18。 第一部分快乐假期轻松学 3.(多选)若(2x+) 的二项展开式的第 (2)女生互不相邻的坐法有多少种？ 一项为32x,最后一项为-，则下列结 论正确的是 A.n=5 B.展开式的第四项的二项式系数等于 -40 C.展开式中不含常数项 (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学 D.展开式中所有项的系数之和等于32 相邻的坐法有多少种？ 二、填空题 4.有5名同学报名参加暑期区科技馆志愿 者活动，共服务两天，每天需要两人参加 活动，则恰有1人连续参加两天志愿者 活动的概率为 5.已知ax 的展开式中的常数项是 672,则a= 三、解答题 自主探究焙素养 6.电影《长津湖》讲述了在极寒严酷环境 2023年亚运会已在杭州举行.将6位志 下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英 愿者分成4组，其中两组各2人，另两组 勇无畏的精神为长津湖战役胜利做出重 各1人，分赴亚运会的4个不同场馆服 要贡献的故事，现有4名男生和3名女生 务，不同的分配方案的种数为 () 相约一起去观看该影片，他们的座位在 A.4320 B.1080 同一排且连在一起.（列出算式，并计算 C.180 D.90 出结果) 阁读实践拓视野 (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？ 计数原理发展历史 1.在古希腊时期，人们已经开始研究 计数原理.阿基米德在研究测量圆周率的 过程中，就引入了计数原理中的“归纳法” 思想.而欧几里得则在《几何原本》中给出 了一些组合问题的解法。 2.在中世纪时期，计数原理得到了进 一步的发展.数学家康托尔开创了集合论， 创造了一系列解决组合问题的方法.同时， 他也提出了“无限集合”的概念，深刻地影 响了后来的数学发展。玩转假期·高二数学 自主探究·培素养 3.提示：二项式系数的性质 解：(1)在三棱柱ABC一A,B,C,中，由AA1⊥平面 ABC,BC⊥AC,可得 在(a十b)“的展开式中，与首末两端“等距离” B,C,,A,C,C,C两两互相 对称性 的两个二项式系数相等，即C=C 垂直.建立如图所示的空 间直角坐标系， 则C,(0,0,0),B(0.3.2), C(0,3,0),D(1,3,0),则4 蜡减滋：当<”宁时，二项式系致是远新霜 CB=(0,3,2).CD=(1,4 增减性 大的：当>”时，二项式系载是莲渐减小 3,0). 与最 的.最大值：当n为偶数时，中间一项的二项 设n=(t1y1,z1)是平面C,BD的法向量， 大值 式系数C最大：当n为奇数时，中间两项的 n·C,B=0, 13y1+21=0, 则 n.CD=0,x+3y,=0, 二项式系教C宁，C中相等，且同时取得最 =1.得1=1，一号，号)是平西CBD的一个法 大值 向量 各二项 易知CC=(0,3,0)是平面BDC的一个法向量， (1)C%+C+C+…+C%=2":(2)C%+C+ 式系数 所以cosn,CC=n·Cd C+…=C+C8+C+…=2-1 -1=-2 的和 imiiccl 7 综合训练·提考能 所以手西CBD与半西CBD夫角的余徐维为号 1,C根据题意，甲、乙都没有得到冠军，也都不是最后一 (2)假设在侧棱AA1上存在一点P(2,y,0)(0≤y≤3)， 名，先排甲乙，再排剩下三人，则5人的名次排列种数为 使得CP⊥平面BDC· A·A=36种. CP.C B=0. 故选：C 因为CP=(2,y-3,0),所以 2.B根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A,B,C三门 c币.cD=0, 德育校本课程， 中” 易知方程组无解. 每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分 三组，有两类情况， 所以假设不成立，即在侧棱AA,上不存在点P,使得CP ⊥平面BDC. ①三组人为1,1.3，此时有CCC.A=60种： A 假期作业（十）计数原理 简问速答·抗遗忘 ②三组人数为221，此时有·A=90种， 1,提示：两个计数原理的区别与联系 所以不同的报名方法共有60十90=150种. 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 故选：B. 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的 相同点 3AC选项A:依题意有C(2)'=32x.C(任）广= 问题 ，解得n=5a=一1，所以A正确： 1 不同点 针对的是“分类”问题 选项B:展开式的第四项的二项式系数应为C-10,故B 各种方法相互独立， 各个步骤中的方法互 错误： 用其中任何一种方 相依存，只有每一个 不同点 选项C:(2r一)）的展开式的通项T1=C(2x) 法都可以做完这 步骤都完成才算做完 件事 这件事 (-）广=(-1rC2x", 2.提示：排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉 由于r∈N,所以5-2r≠0，因此展开式中不含常数项，故 及相邻、不相邻，定序等问题， C正确： (1)对于相邻问题，可采用“相绑法”解决.即将相邻的元 选项D:令x=1,可得展开式中所有项的系数之和等于 素视为一个整体进行排列， (2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余 (2X1-)）=1,故D错误 的元素，再将不相邻的元素插入空中， 故选：AC (3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决，即用不限制 4,解析：每天从5名同学中抽取2名参加志愿者活动，一共 的排列数除以顺序一定元素的全排列数. 有CC=100种方式， (4)对于“在”与“不在”问题，可采用“特殊元素优先考 恰有一人连续参加两天志愿者活动有CCC=60种 虑，特殊位置优先安排”的原则解决 方式， ·40· 参考答案 由古典概型的概率公式可得恰有1人连续参加两天志 (2)将特求问题向[4一g4十a],[u一2a4十2o],[-3g, 感者活动的概年为0一号 4十3G]这三个区间进行转化. (3)利用X在上述区间的概率，正态曲线的对称性和曲 3 故答案为：5 线与x轴之间的面积为1求出最后结果. 综合训练·提考能 答案号 1.A由题意，知4=4，G=2,所以该正态曲线关于直线x 5解析：展开式的通项为T1=C(ar)(左) =4对称. 所以P(0<X<8)=P(4-2a<X<4+2a)≈0.9545， Car(-1)'x-, P(-2<X<10)=P(u-3a<X<+3a)≈0.9973， 令9-受=0，得r=6, 所以P(8<X<10)=2[P(-2<X<10)-P(0<X< 所以常数项是T6+1=a3·C=672,故a=2. 8)]≈0.0214， 故答案为：2 故选：A 答案：2 2.A由题两位游客从4个著名旅游景点中各随机选择一 6.解：(1)根据题意，先将3个女生排在一起，有A=6种 个游玩，共有4×4=16种， 排法， 其中事件A的情况有4×4一3X3=7种，事件A和事件 将排好的女生视为一个整体，与4个男生选行排列，共有 B共同发生的情况有2×3=6种， A=120种排法， 所以P(A)=PAB)=名，所以P(B1A) 由分步乘法计数原理，共有6×120=720种排法： P(AB)6 (2)根据题意，先将4个男生排好，有A=24种排法， P(A)7· 再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生 故选：A. 有A=60种方法， 故符合条件的排法共有24×60=1440种： 3.CD由题意知，每次取到白球的概奉为号，取到黑球 (3)根据题意，先捧甲、乙、丙以外的其他4人，有A=24 种排法， 的概率为号，由于取到白球记1分，取到黑球记0分， 由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有A=2种排法， 所以X为4次取球取到白球的个数，易知X一 最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的 B(4,号)，故A错误：P(X=3)=C(号)'×是 4人的5个空挡中有A=20种排法，故符合条件的排法 96 共有24×2×20=960种. 625,故B正确： 自主探究·培素养 B将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个 E()=4号=号故C正确：D()=4X号×号 5 超各1人有代5种方法，进而将共分配到四个不目 器故D三痛 同场馆，有A=24种情况， 故选：BCD, 由分步计数原理可得，不同的分配方案有45×24=1 4.解析：由正态分布知，均值4=95，且P(X<70)=0.15, 080种. 所以P(X>120)=0.15, 故达：B 则数学成绩在[70,120]的概率为P(70≤X≤120)-2 假期作业（十一）概率 ×(0.5-0.15)=0.7, 简问速答·抗遗忘 7 故答案为：0 1,提示：1，定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值 为x1x2,,x。,我们称X取每一个值工，的概率P(X= 答案10 x,)=p,i=1,2,3,…,n为X的概率分布列，简称分 5.解析：由题意可得，X服从二项分布，即X~ 布列. B(20,0.05), 2.分布列的性质 则D(X)=p(1-p)=20×0.05×0.95=0.95. (1)p≥0，i=1,2,…,n. 故答案为：0.95 (2)p1+p+…+p=1. 答案：0.95 2.提示：(1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判断所给试 6.解：(1)X∈{0,10.20.30y 验是否为”重伯努利试验 (2)分拆：判断所求事件是否需要分拆. P(X=0)= -120P(X=10)=CC-21_7 C。=12040 (3)计算：就每个事件依据n重伯努利武验的概率公式求 解，最后利用互斥事件概率加法公式计算. nX-1o)-S-品-器pX-0)-是-离 3.提示：求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法 2 (1)根据题目中给出的条件确定4与。的值. 一21 ·41