假期作业(9)向量在立体几何中的应用-【玩转假期】2024年高二数学寒假作业（北师大版）

玩转假期·高二数学 D(-.o.o),A(o.-),D.(-0). 一一条过点A且平行于向量a的直线. (4)同一条直线的方向向量,因为它们的模不一定相等, 'BD.-(-②a,0.b),AC-(0.2a,0) 方向不一定相同,所以它们不一定相等。 .BD·AC-o..BDAC. 2.提示:根据几何体本身的几何性质,恰当建立空间直角 (2)设E(x,y.).'A.E=2ED..A.E-2ED.即(x,y 坐标系最为关键,如果坐标系引入的恰当、合理,那么就 容易确定点的坐标,常见的建系方法有: (1)借助三条两两相交且垂直的校所在的直线为坐标 ###_ 轴,如长方体等规则几何体,一般选择三条梭所在的直 解得二一 线为三个坐标轴,如图①. 3) ##E ).# (2)借助面面垂直的性质定理建系,若题目中出现侧面 和底面垂直的条件,一般利用此条件添加辅助线,确定。 轴,如图②. (3)借助核锥的高线建系,对于正校锥,利用顶点在底面 的射影为底面的中心,可确定;轴,然后以底面内过底面 设BD=AC+AE(.éR).则(一②a,0,b)=(0 #△#() 的中心且互相垂直的直线分别为工轴、y轴,如图③. ## /-2-0-2 3. 1-3. 图② 图 国 -0+126 综合训练·提素能 即BD--AC+3AE. 1.B 如图所示,以D为坐标原 .BD,ACAE共面.又BD.C平面ACE. 点,分别以DA、DC、DD.所在 直线为t,y,z轴,建立空间直 '.BD//平面ACE. 角坐标系, 自主探究·培素养 设正方体的梭长为3,则E(1. 解:.乎面ABCD| 平面ABEF,平面ABCDO乎面 0.1),F(2.1,0),A.(3.0.3). ABEF-AB,AB|BE. A(3.0,0).C(0.3.0).D(0.0. '.BE1平面ABCD...AB,BC,BE两两垂直 0),B(3,3,0).D.(0,0,3). 过点M作MG 1AB,MH |BC,垂足分别为G,H,连接 $F=(1,1.-1),AC=(-3,3.0),AD=(-3,0. NG,易证NG1AB. -3).BD-(-3.-3,3). 2. ·EF·AC-o.EF·AD-o..FFIAC,EFIA.D. 以B为坐标原点,以BA,BE,BC的方向 '.A错误,B正确; 分别为工轴、y轴、轴的正方向,建立如 .BD-(-3,-3.3),FF-(1,1,-1). 图所示的空间直角坐标系Bx,则 .BD--3F. ##(#.o,-)_N####)# .BD/EF,即EF/BD..C、D错误. 故选B. (1)MN(2)}+(-。)#}+(1--o 2.C 连接OE.设点M的坐标为(x,y,1). 因为ACOBD-O. ###2a+1#-(a-})#+# #以##) (2)由(1)得当a- 又E(0.0.1),A②②.0). 此时M,N恰好分别为AC,BF的中点. 假期作业(九) 向量在立体几何中的应用 因为AM/平面BDE,所以OE/AM. 简问速答·抗遗忘 1.提示:(1)在空间中,一个向量若为直线/的方向向量,必 所以 须具备以下两个条件:①向量是非零向量;②向量所在 ## 的直线与直线/平行或重合 (2)与直线/平行的任意非零向量a都是直线/的方向 向量,直线/的方向向量有无数个. (3)给定空间中任意一点A和非零向量a,就可以确定唯 故选C. .38. 参考答案 3.D 设菱形ABCD的边长 令x=1,则y=z=1.n=(1,1,), 为1,取AC的中点O,连 接BO、DO,因为 ABC n 60{*},所以BO1AC,又平 又MN/AD,且MNC平面ACD.,ADC平面ACD, 面BAC1平面DAC,平面 .MN/平面ACD. BACO乎面DAC=AC, 故直线MN到平面ACD,的距离即点M到平面ACD 所以BO1平面ACD,如图建系,则O(0,0,0).C(,0.0), # B(o.o.).D(oo).所以oB-(o.o,).BC 答案 (#)D-(-). &平面BCD的法 6.解:三校柱ABC一A.BC. 中, 。2 向量为n-(x,y,z). :AAI底面ABC...AA 1AB,A #□## # . AA. IAC,又ABAC..以A为 过{.二# 原点,直线AB、AC、AA;分别为x 则 轴,y轴,:轴,建立空间直角坐标 系,如图所示, 令=1,得x=③,y=1,则n=(③,1,1),易知平面CDA 设AB-1,则A(0,0,0),B(1,0. 0).C(0,1,0).A.(0.0.1).C.(0. ## 1.1).AA-(0.0.1). (1):BP- pC) (,,). #### -(-)# 4.解析;如图,建立空间直角坐标系, jD 设PC与AA.所成角为0,则PC与AA.所成角的余弦 则B(1,1.0),B(1,1,1).M0,1. AA## #念 值为cos0-C 3).N(.0.o):BB-(0,0. CP|A x/, ,4 (2)设P(a,b.c),由BP-/2PC.. 1).BM-(-1,0.).BN 即BP-②PC 得(a-1,b,c)-2(-a,1-b,1- ). -(--1,-1). 解得P/2-1,2-②,2-②). .cP-2-1.1-2.2-②). 设直线BM与B.N的公垂线方向上的向量n一(x,y. 设PC与平面ABB;A,所成角为a,取平面ABBA 的 ),由n·BM-0,n·BN-0. 一个法向量为n-(0,1,0). 将 |nl|CP22-2 '.PC与平面ABB,A 所成角的大小为30^{①。 令x-2,则:-6,--7n-(2,-7,6). (3)设BP-BC-(-),则CCB+B-(1.-1. BB·n_ 设直线BM与B.N之间的距离为d,则d- )+(-,,)-(1-,-1,).易得AC-(o.1,0). n 6689 设乎面ACP的法向量为m=(x,y.). 8989. 则 答案 过1{。O, ((1-x+(-1)+-0. 取=-1,得m-(,0,-1),取平面AACC 的一个 5.解析:如图,以点D为坐标原点,DA. 法向量为p-(1,0,0). DC、DD,所在直线分别为x轴、y轴、 .平面A.ACC,与平面ACP的夹角为45* 2轴建立空间直角坐标系, . cos 45mp 则C(0.1,0),D.(0,0.1),M(1,1. l ).A(10.0) m p a十(-1){ 则B-BC,即P为BC.的中点,.BP-PC,即 .$AM=(o,1.),AC=(-1,1,0),AD=(-1,0,1). I. 设平面ACD。的法向量为n一(x,y,), [n.AC-o. '当平面A.ACC 与平面ACP的夹角为45{时, { (-x+y-0. 则 BP-1. 1-2+z-0, PC ·39. 玩转假期·高二数学 自主探究·培素养 3.提示:二项式系数的性质 解:(1)在三校柱ABC一A.B.C 中,由AA 平面 ABC,BCAC.可得 在(a十b)“的展开式中,与首末两端“等距离” B.C.AC..CC两两互相 对称性 的两个二项式系数相等,即C”一C”” 垂直,建立如图所示的空 间直角坐标系, lC 则C(0.0.0).B(0.3.2). C(0.3,0).D(1.3,0),则 2 CB-(o.3,2).CD-(1. A 大的;当人 ”1时,二项式系数是逐渐减小 增减性 2 3.0). 与最 的,最大值:当n为偶数时,中间一项的二项 设n一(x,y,z.)是平面C.BD的法向量, 大值 (n.CB-0.3y+2c=0, 式系数C最大;当n为奇数时,中间两项的 二项式系数C,C^相等,且同时取得最 n.CD-0." x+3y-0. 大值 令=1,得n-(1,- 向量。 各二项 易知CC=(0.3.0)是平面BDC的一个法向量, (1)C+C+C+.+C=2”;(2)C+C 式系数 的和 C+..-C+C+C+.-2-1 所以cos(n.C)nC n_CC #x3 综合训练·提考能 1.C 根据题意,甲、乙都没有得到冠军,也都不是最后一 (2)假设在侧核AA 上存在一点P(2,y,0)(0 y3). 名,先排甲乙,再排利下三人,则5人的名次排列种数为 使得CP1平面BDC. A·A-36种. cp.CB-0. 故选:C 因为Cp-(2,y-3,0),所以 #{C.C)。 2.B 根据题意,甲、乙、丙、丁、戍五位同学选A,B,C三门 德育校本课程, [3(y-3)-0. 即 易知方程组无解. 每位同学仅报一门,每门至少有一位同学参加,需要分 12+3(-3)-0. 三组,有两类情况, 所以假设不成立,即在侧校AA 上不存在点P,使得CF 1平面BDC A 假期作业(十) 计数原理 简问速答·抗遗忘 A 1.提示:两个计数原理的区别与联系 所以不同的报名方法共有60十90一150种. 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 故选:B. 3.AC 选项A:依题意有C(2x)"-32r*,C()“=一 相同点 回答的都是有关做一件事的不同方法种数的 问题 不同点 针对的是“分类”问题 选项B:展开式的第四项的二项式系数应为C{}一10,故B 各个步骤中的方法互 各种方法相互独立, 错误: 相依存,只有每一个 用其中任何一种方 选项C.(2-){ 不同点 的展开式的通项T.-C(2x) 法都可以做完这 步骤都完成才算做完 件事 这件事 ·(-)-(-1)rC2*-, 2.提示:排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外,还往往涉 由于rN,所以5-2r-0,因此展开式中不含常数项,故 及相邻、不相邻、定序等问题. C正确: (1)对于相邻问题,可采用“拥绑法”解决,即将相邻的元 选项D:令x一1,可得展开式中所有项的系数之和等于 素视为一个整体进行排列 (2X1-){-1,故D错误, (2)对于不相邻问题,可采用“插空法”解决,即先排其余 的元素,再将不相邻的元素插入空中 故选:AC. (3)对于定序问题,可采用“除阶乘法”解决,即用不限制 4.解析:每天从5名同学中抽取2名参加志愿者活动,一共 的排列数除以顺序一定元素的全排列数。 有CC一100种方式, (4)对于“在”与“不在”问题,可采用“特殊元素优先考 恰有一人连续参加两天志愿者活动有CCC一60种 虑,特殊位置优先安排”的原则解决。 方式, ·40.玩转假期·高二数学 (2)当a为何值时，MN的长最小？ 阅读实践还识贸 足球由多少块皮子缝制而成 一般的足球表面是由五边形和六边形 的皮子缝制成的，每块五边形周围有五块 六边形，每块六边形周围有三块五边形和 三块六边形，已知一个足球有12块五边 形，问这个足球一共有多少块皮子？让我 们想想看：12块五边形一共有60条边，全 部与六边形接触，而六边形只有一半的边 与五边形接触，所以六边形一共有120条 边，也就是有20块六边形，总共32块皮子 假期作业（九）向量在立体几何中的应用 摘要 1空间向量研究直线、平面的位置关系. 2用空间向量研究距离、夹角问题. 筒问速答优遗忘 问题1：理解直线的方向向量需注意 A.EF至多与A,D、AC之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC 什么？ C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 2.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在 问题2：如何建立适当的空间直角坐 平面互相垂直，AB=√2，AF=1,M在 EF上，且AM∥平面BDE,则点M的坐 标系？ 标为 综合训练促考能 一、选择题 1.如图所示，正方体ABCD一AB,C,D 中，EF分别在A,D,AC上，且A,E=号 A.(1,1,1) B. 2 33,1 AD,AF=3AC则 C. 22,1 D. 16 第一部分快乐假期轻松学 3.已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，沿对 (2)若BP=√2PC1,求PC与平面 角线AC折叠之后，使得平面BAC⊥平 ABB,A,所成角的大小： 面DAC,则平面BCD与平面CDA的夹 角的余弦值为 (3)若平面AACC,与平面ACP的夹角 A.2 B. 2 为45，求吧的值。 c. 二、填空题 4.如图，棱长为1的正方体ABCD一 A1BCD中，N是棱AD的中点，M是 棱CC,上的点，且CC=3CM,则直线 BM与B,N之间的距离为 A 自主探究培素养 D B 用向量方法解决立体几何中的探索性问题 5.棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D 如图所示，在三棱柱 中，M、N分别是线段BB,、B,C1的中 ABC-AB,C,中， 点，则直线MN到平面ACD1的距离 AA,⊥平面ABC, 为 BC⊥AC,BC=AC 三、解答题 =2,AA1=3,D为 6.在三棱柱ABC-A1BC1中，AA1⊥底面 AC的中点. ABC,AB=AC=AA1,AB⊥AC,P为线 (1)求平面C,BD与平面CBD夹角的余 段BC1上一点. 弦值. (1)若BP=PC1,求PC与A AA,所成角的余弦值； 17 玩转假期·高二数学 (2)在侧棱AA,上是否存在点P,使得 阅读实践还识野 CP⊥平面BDC?并证明你的结论. 运动场上的数学 数学在体育训练方面主要研究的有： 赛跑理论、投掷技术、台球的击球方向、跳 高的起跳点、足球场上的射门与守门等等 美国的计算专家艾斯特运用数学、力学，研 究了当时铁饼投掷世界冠军的投掷技术， 提出了改正投掷技术的训练建议，从而使 这位世界冠军在短期内将成绩提高了4米， 在一次奥运会的比赛中创造了连破三次世 界纪录的辉煌成绩， 假期作业（十） 计数原理 摘 要 综合湖练提考能 1计数原理. 一、选择题 2排列. 1.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行劳动技术 3组合. 比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和 ④二项式定理 乙去询问成绩，裁判说：“很遗憾，你俩都 筒问速答杭遗忘 没有得到冠军.但都不是最差的.”从回 问题1：分类加法计数原理和分步乘法计 答分析，5人的名次排列的不同情况可能 数原理的区别与联系？ 有 () A.27种 B.72种 C.36种 D.54种 2.为落实立德树人的根本任务，践行五育 问题2：排队问题的解题策略？ 并举，某学校开设A,B,C三门劳动教育 校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同 学报名参加该校劳动教育校本课程的学 问题3：二项式系数的性质？ 习，每位同学仅报一门，每门至少有一位 同学参加，则不同的报名方法有() A.60种 B.150种 C.180种 D.300种 18。