假期作业(8)空间向量基本定理及向量的直角坐标运算-【玩转假期】2024年高二数学寒假作业（北师大版）

参考答案 自主探究·培素养 思路点拨因为正四面体的各条棱都相等，且相邻两条 V,D=3Sa,D·CD 棱的夹角为60°，所以可以用同一起点的向量表示AO ××1x1x1= ,故A B0,CO,从而利用数量积的运算证明垂直. 中结论错送： 证明：设VA=a,VB=b,心=c,正四面体的棱长为1，则 对于B,以D为坐标原点可建 市=吉a+b+e).A0=gb+e-a).d-日a+e 立如图所示的空间直角坐 标系， -5b).di-言a+b-ie), 则A(1,0,0),P(x,1,), B(1,1,0),D(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),∴AP=(x 所以A6.B0-需b+e-5aa+e-5b)=01a· -1.1x),BD1=(-1,-1,1),BC=(-1.0,-1). &-91a)=元×18X1X1Xoms60-9》=0, APLBD.AP.BD=1-x-1+*=0. ∴x=,即P(x,1x), 所以AOLBO,即AO⊥BO. :C市=(x,0,x),.C币=-xB,C,即B,P,C三点 同理，AOLCO,BO⊥CO. 共线， 所以AO,BO,CO两两垂直. ∴P必在线段B,C上，故B中结论正确： 假期作业（八）空间向量基本定理及向量 对于C,C(0,l.1),BC=(-1.0,1 的直角坐标运算 简问速答·抗遗忘 又：AP=(x-1,1x),.AP.BC=1-x+x=1, 1.提示：x轴上的点的坐标可表示为(x,0,0),y轴上的，点 ∴AP与BC,不垂直，故C中结论错误： 的坐标可表示为(0，y,0),x轴上的点的坐标可表示为 对于D,A(1,0,1),D(0,0,0), (0,0,z),Oxy平面上的点的坐标可表示为(xy,0),Oy2 A,C=(-1.1.0).DA=1010. 平面上的点的坐标可表示为(0，y,),Oxg平面上的点 又AP=(x-1,1x)AP=xDA,+A,C(其中0≤x 的坐标可表示为(x,0,). ≤1)， 2.提示：当1==0时，点P1(1y11),P:（x为2) 都在坐标平面Oxy上，空间两，点间的距离公式成为平面 :AP,DA1,AC共面，又APt平面ACD, 两点间的距离公式，因此，平面两点间的距离公式是空 AP∥平面A,C,D,故D中结论正确.故选BD. 间两点间的距离公式的特例，空间两，点间的距离公式是 4.解析：因为点D(0,0,0),DB,=(4,3,2),所以B,(4,3,2),即 平面两点间的距离公式的推广， AD=4,CD=3,DD,=2,所以A(4.0,0),C(0,3.2),国 综合训练·提素能 此AC=(-4,3,2). 1.C建立空间直角坐标系，如 答案：(-4,3,2) 图所示，设正方体的棱长为 5.解析：设AB=a,AC=b,AD=c,则{a,b,c)是空间的一 2.则A(2.0,0),M(0,0,1),O 个基底， (1,1,0),N(2,1,2) ∴.N0=(-1,0,-2),AM= .lal=1b-cl-aa+b-a.c=b.c=ta (-2,0,1) E成=A-A花=合(a+b)-c .NO.AM=0. ∴.直线NO,AM的位置关系是异面垂直.故选C 2.B由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA, 如图，以D为原点建立空间直 2a, 角坐标系 设QA=1,则D(0,0,0),C(0, “cOs(E亦，AB》= E求.AB 0.1),Q(1.1,0),P(0,2,0), EFIABI 2 ∴.DQ=(1,1,0),DC=(0.0, 1),PQ=(1,-1,0). “并面直线EF与AB所成的角为平 .D0.PQ=0,D.PQ=0, 答案子号。 ∴.PQ⊥DQ,PQ⊥DC,'DaN DC=D, .PQ⊥平面DCQ,又PQC平面PQC, 6.证明：(1)设AC与BD交于点O,A,C,与BD,交于点 .平而PQC⊥平而DCQ.故选B. O1,连接OO1,设AB=a,AA1=b. A: 3.BD对于A,P在平面BCC,B,上，平面BCC,B,∥平 如图，建立空间直角坐标系， 面AADD, 到00.00.A(o,-号o ∴.P到平面AA,DD的距离即为C到平面AA,DD的 距离，即为正方体枚长， ·37· 玩转假期·高二数学 D(-号0.0A(0.-ab）D(-0.b） 一一条过，点A且平行于向量a的直线 (4)同一条直线的方向向量，因为它们的模不一定相等， ∴BD,-(-2a,0,b),AC-(02a,0) 方向不一定相同，所以它们不一定相等。 BD,.AC=0.BD,⊥AC 2.提示：根据几何体本身的几何性质，恰当建立空间直角 (2)设E(x,y,,A,E=2ED,A,E=2ED,即(x,y 坐标系最为关键，如果坐标系引入的恰当、合理，那么就 容易确定点的坐标.常见的建系方法有： +号-=2(-号-，y-小 (1)借助三条两两相交且垂直的棱所在的直线为坐标 轴，如长方体等规则几何体，一般选择三条棱所在的直 解得=一y=-得=台 线为三个坐标轴，如图①. (2)借助面面垂直的性质定理建系.若题目中出现侧面 和底面垂直的条件，一般利用此条件添加辅助线，确定： 轴，如图②. (3)借助棱锥的高线建系.对于正棱锥，利用顶点在底面 的射影为底面的中心，可确定：轴，然后以底面内过底面 i设BD,=入AC+uAE(a∈R).则(-√2a,0,b)=X(0, 的中心且互相垂直的直线分别为x轴y轴，如图③ om+n(-导b) V2a-0- 3a, 0=@a+号a,解得 =3. 图① b=0+3, 综合训练·提素能 即BD,=-AC+3A, 1.B如图所示，以D为坐标原 点，分别以DA、DC,DD,所在 “BD,AC,AE共面.又BD,平面ACE, 直线为T,y,之轴，建立空间直 ∴.BD,∥平面ACE 角坐标系， 自主探究·培素养 设正方体的被长为3，则E(1, 解：：平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面 0,1),F(2,1,0),A,(3,0,3) ABEF=AB,AB⊥BE. A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0, .BE⊥平面ABCD,∴AB,BC,BE两两垂直 0),B(3,3,0),D1(0.0,3) 过点M作MG⊥AB,MH⊥BC,垂足分别为G,H,连接 NG,易证NG⊥AB. EF=(1,1.-1),AC=(-3,3,0),A1D=(-3,0, CM-BN-a.:.CH-MH-BG-GN-a. -3),BD1=(-3,-3,3). :EF.AC=0.EF.AD=0,EF⊥AC,EF⊥A,D. 以B为坐标原点，以BB正，BC的方向 .A错误，B正确： 分别为x轴、y轴、抽的正方向，建立如 BD=(-3,-33),E求=1,1，-1)， 图所示的空间直角坐标系Bry,则 :.BD =-3EF. M号o.1-号a)N(竖a号o ∴BD,∥EF,即EF∥BD,.C,D错误. 故选B. aMv√（。-a)+(o-号a)+(1-。a-o) 2.C连接OE.设点M的坐标为(xy,1), 因为AC∩BD=O, 所以0x号号.0 (2句1)得音a-号时，MN的长最小，且最小位为号。 又E(0,0,1),A(W2,W2,0), 此时M,N恰好分别为AC,BF的中点. 所0成-(-9盟.A立=一y. 2, 假期作业（九）向量在立体几何中的应用 因为AM∥平面BDE,所以OE∥AM. 简问速答·抗遗忘 1.提示：(1)在空间中，一个向量若为直线（的方向向量，必 x= 2 所以 须具备以下两个条件：①向量是非零向量：②向量所在 的直线与直线【平行或重合， y y=2 (2)与直线（平行的任意非零向量a都是直线【的方向 向量，直线1的方向向量有无数个. 所以M点的坐标为（停，号）小 (3)给定空间中任意一点A和非零向量a,就可以确定唯 故选C. ·38·玩转假期·高二数学 自主探究培素养 阅读实践还识贸 利用数量积证明垂直 克莱因瓶 如图，正四面体VABC 克莱因瓶，在数学领域中是指一种无 的高VD的中点为O,求 定向性的平面.克莱因瓶最初的概念是由 证：AO,BO,CO两两 德国数学家菲利克斯·克莱因提出的，克 垂直. 莱因瓶的结构非常简单，一个瓶子底部有 一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地 进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接.和 我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物 体没有“边”，它的表面不会终结.它和球面 不同，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞 到外部而不用穿过表面，即它没有内外 之分. 假期作业（八） 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算 摘 综合训练提考能 1空间向量基本定理 一、选择题 2空间直角坐标系 1.如图所示，在正方体ABCD一ABCD 3空间向量运算的坐标表示 中，O是底面正方形ABCD的中心，M是 简问速答抗遗忘】 D,D的中点，V是A,B的中点，则直线 NO,AM的位置关系是 问题1：x轴、y轴、x轴上的点的坐标有 D 何特点？Oxy平面上、Oy2平面上，Oxz 平面上的点的坐标有何特点？ A.平行 B.相交 问题2：平面两点间的距离公式和空间两 C.异面垂直 D.异面不垂直 点间的距离公式有什么关系？ 2.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平 面ABCD,PD∥QA,QA=AB=2PD, 则平面PQC与平面DCQ的位置关系为 第一部分快乐假期轻松学 三、解答题 6.如图，已知四棱柱ABCD一AB,CD1, AA,⊥平面ABCD,四边形ABCD是正 A.平行 方形，点E在线段A,D上，且AE B.垂直 =2ED. C.相交但不垂直D.位置关系不确定 3.(多选)如图所示，正方体ABCD一 A1BCD1中，AB=1,点P在侧面 BCC,B,及其边界上运动，并且总是保持 AP⊥BD,则以下四个结论正确的是 (1)证明：BD1⊥AC: (2)证明：BD1∥平面ACE. A.VeM,D=3 B.点P必在线段B,C上 C.AP⊥BC D.AP∥平面AC1D 二、填空题 4.如图，以长方体ABCD一A,B,C,D的顶 自主探究培素养 点D为坐标原点，过D的三条棱所在的 利用空间向量的坐标运算处理最值问题 直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 已知正方形ABCD,ABEF的边长都是 DB的坐标为(4,3,2)，则AC1的坐标为 1,且平面ABCD⊥平面ABEF,点M在 AC上移动，点N在BF上移动，若CM =BV=a(0<a<2). (1)求MN的长； 5.棱长为a的正四面体ABCD中，E,F分 别为棱AD,BC的中点，则异面直线EF 与AB所成角的大小是 ,线段 EF的长度为 ·15· 玩转假期·高二数学 (2)当a为何值时，MN的长最小？ 阅读实践还识贸 足球由多少块皮子缝制而成 一般的足球表面是由五边形和六边形 的皮子缝制成的，每块五边形周围有五块 六边形，每块六边形周围有三块五边形和 三块六边形，已知一个足球有12块五边 形，问这个足球一共有多少块皮子？让我 们想想看：12块五边形一共有60条边，全 部与六边形接触，而六边形只有一半的边 与五边形接触，所以六边形一共有120条 边，也就是有20块六边形，总共32块皮子 假期作业（九）向量在立体几何中的应用 摘要 1空间向量研究直线、平面的位置关系. 2用空间向量研究距离、夹角问题. 筒问速答优遗忘 问题1：理解直线的方向向量需注意 A.EF至多与A,D、AC之一垂直 B.EF⊥A1D,EF⊥AC 什么？ C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 2.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在 问题2：如何建立适当的空间直角坐 平面互相垂直，AB=√2，AF=1,M在 EF上，且AM∥平面BDE,则点M的坐 标系？ 标为 综合训练促考能 一、选择题 1.如图所示，正方体ABCD一AB,C,D 中，EF分别在A,D,AC上，且A,E=号 A.(1,1,1) B. 2 33,1 AD,AF=3AC则 C. 22,1 D. 16