假期作业(7)空间向量与向量运算-【玩转假期】2024年高二数学寒假作业（北师大版）

玩转假期·高二数学 M.哈-（禁-）4-)+是(4+m)=0 对于B,AB-A1A=AB,AB1⊥A,C, AC.AB=0B正确： 整理得红，-1)（告+红-3）=0： 对于C,易得△AD,C是等边三角形， 对任意实数m,k恒成立，则x。=1, ∴∠AD,C=60°，又AB∥D,C.异面直线AD,与 故在x轴上存在定，点M(1,0),使得以PQ为直径的圆 A,B所成的夹角为60°，但是向量AD1与向量A,B的夹角 恒过点M. 是120°，故C不正确： 假期作业（七）空间向量与向量运算 对于D,AB⊥AA1,AB.AA=0, 简问速答·抗遗忘 故AB·AA·AD1=0, 1.提示：(1)空间，点的一个平移就是一个向量，平移实际就 因此D不正确。 是点到点的一次变换，因此我们说空间任意两个向量是 故选AB. 共面的. 4.解桥：由已知可得，AG=A0+=号(A店+AD)十 (2)向量一般用有向线段表示，同向且等长的有向线段 表示同一或相等的向量 号oD+0 (3)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来 表示， 号++[2厨++成+号·++ 空间向量和平面向量没有本质区别，都是表示具有大小 和方向的量，它们的运算规律完全相同，空间向量的相 2(b+e)+5(-b+e)-ga+(b+e)-3a 关定理及公式与平面向量类似，可以类比学习，所有的 号a++名 2 平面向量都是共面向量：空间中的任意两个非零向量都 是共面向量，任意三个非零向量可能共面，也可能不 答案：-号a+b+名c 共面 5,解析：由题意，取CD的中点为M, 2.提示：(1)证明点共线的问题可转化为证明向量共线的 则PC,·PD,=(PM+MC)·(PM+MD,)=(PM+ 问题，如证明A,B,C三点共线，即证明AB,AC共线，亦 MC)·(PM-MC) 即证明AB-入AC(A≠0). -PM-MC,=PM-1. (2)证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要 1PA=2, 证明P,A,B,C四点共面，只要能证明PA=入PB十y 点P在以A为球心，2为半径的球面上， PC,或对空间任意一点O,有OA=O+xP店+yP元，或 .1PMm.=AM-2=3-2=1, OP=xOA+yOB+xOZ(x十y+=1)即可. PM-TCD. 综合训练·提考能 PD,⊥PC,PC与PD,的夹角为90° 1.C PM-PB,+7 BA+6 AA:-4 A,D:-PB,+BA+ 答案：90 6 BA:-4A,D.=PB:+B,A,+6 BA,-4A,D,PA, 6.解：1)由题可知，B,D-BB+BA+AD-AD-AB-A, +6(PA:-PB)-4 (PD,-PA)=11 PA,-6 PB- 则BD1√AD-AB-AA) 4PD,,11-6-4=1, √AD+AB+A42-2AD.AB-2AD·AA+2AB.4 ∴M,BA1、D四点共面 故选C. √1+2+3-2×0×2+1×3-2×3)×2=V15 2.B对于A,由|a一b<a-b,向量a,b可能共线，比 因此，BD的长为√15， 如同向的两个共线向量a,b的模分别是3,2，则a一b= Ia一b,故A错误：对于B,在空间四边形ABCD中， (2)由题知，CD,=BA-AA-AB. AB.CD+BC.AD+CA.BD=(AC+CB).CD-CB 则CD,I√/(AA,-AB) AD-AC.BD=AC.(CD-BD)+CB.(CD-AD) VAA+AB-2AA·A =AC.CB+CB.CA=0,故B正确： √8+2-2x3×2x2-7. 对于C,在棱长为1的正四面体ABCD中，AB.BC=1 CD,B,D-(AA:-AB).(AD-AB-AA )-AA X1Xc0s120°=-7，故C错误： .AD-AA:AB-AA-AB.AD+AB+AB.AA 对于D.因为0丽-号O成+号0成+元.而号+号+1 =AA,·AD-AA2-AB·AD+AB 3 2≠1，所以P、A、B、C四点不共面，故D错误. -1X3×合--1x2x号+2=-号 故选B. 3.AB对于A,由向量加法得A,A+AD,+AB=AC ∴cos(cD,BD= 1CD,1IB,DV7X√15 A1C=3AB,∴.(A1C)2=3(AB,)2, =-3105 ∴A正确； 70 ·36· 参考答案 自主探究·培素养 思路点拨因为正四面体的各条棱都相等，且相邻两条 V,D=3Sa,D·CD 棱的夹角为60°，所以可以用同一起点的向量表示AO ××1x1x1= ,故A B0,CO,从而利用数量积的运算证明垂直. 中结论错送： 证明：设VA=a,VB=b,心=c,正四面体的棱长为1，则 对于B,以D为坐标原点可建 市=吉a+b+e).A0=gb+e-a).d-日a+e 立如图所示的空间直角坐 标系， -5b).di-言a+b-ie), 则A(1,0,0),P(x,1,), B(1,1,0),D(0,0,1),B1(1,1,1),C(0,1,0),∴AP=(x 所以A6.B0-需b+e-5aa+e-5b)=01a· -1.1x),BD1=(-1,-1,1),BC=(-1.0,-1). &-91a)=元×18X1X1Xoms60-9》=0, APLBD.AP.BD=1-x-1+*=0. ∴x=,即P(x,1x), 所以AOLBO,即AO⊥BO. :C市=(x,0,x),.C币=-xB,C,即B,P,C三点 同理，AOLCO,BO⊥CO. 共线， 所以AO,BO,CO两两垂直. ∴P必在线段B,C上，故B中结论正确： 假期作业（八）空间向量基本定理及向量 对于C,C(0,l.1),BC=(-1.0,1 的直角坐标运算 简问速答·抗遗忘 又：AP=(x-1,1x),.AP.BC=1-x+x=1, 1.提示：x轴上的点的坐标可表示为(x,0,0),y轴上的，点 ∴AP与BC,不垂直，故C中结论错误： 的坐标可表示为(0，y,0),x轴上的点的坐标可表示为 对于D,A(1,0,1),D(0,0,0), (0,0,z),Oxy平面上的点的坐标可表示为(xy,0),Oy2 A,C=(-1.1.0).DA=1010. 平面上的点的坐标可表示为(0，y,),Oxg平面上的点 又AP=(x-1,1x)AP=xDA,+A,C(其中0≤x 的坐标可表示为(x,0,). ≤1)， 2.提示：当1==0时，点P1(1y11),P:（x为2) 都在坐标平面Oxy上，空间两，点间的距离公式成为平面 :AP,DA1,AC共面，又APt平面ACD, 两点间的距离公式，因此，平面两点间的距离公式是空 AP∥平面A,C,D,故D中结论正确.故选BD. 间两点间的距离公式的特例，空间两，点间的距离公式是 4.解析：因为点D(0,0,0),DB,=(4,3,2),所以B,(4,3,2),即 平面两点间的距离公式的推广， AD=4,CD=3,DD,=2,所以A(4.0,0),C(0,3.2),国 综合训练·提素能 此AC=(-4,3,2). 1.C建立空间直角坐标系，如 答案：(-4,3,2) 图所示，设正方体的棱长为 5.解析：设AB=a,AC=b,AD=c,则{a,b,c)是空间的一 2.则A(2.0,0),M(0,0,1),O 个基底， (1,1,0),N(2,1,2) ∴.N0=(-1,0,-2),AM= .lal=1b-cl-aa+b-a.c=b.c=ta (-2,0,1) E成=A-A花=合(a+b)-c .NO.AM=0. ∴.直线NO,AM的位置关系是异面垂直.故选C 2.B由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA, 如图，以D为原点建立空间直 2a, 角坐标系 设QA=1,则D(0,0,0),C(0, “cOs(E亦，AB》= E求.AB 0.1),Q(1.1,0),P(0,2,0), EFIABI 2 ∴.DQ=(1,1,0),DC=(0.0, 1),PQ=(1,-1,0). “并面直线EF与AB所成的角为平 .D0.PQ=0,D.PQ=0, 答案子号。 ∴.PQ⊥DQ,PQ⊥DC,'DaN DC=D, .PQ⊥平面DCQ,又PQC平面PQC, 6.证明：(1)设AC与BD交于点O,A,C,与BD,交于点 .平而PQC⊥平而DCQ.故选B. O1,连接OO1,设AB=a,AA1=b. A: 3.BD对于A,P在平面BCC,B,上，平面BCC,B,∥平 如图，建立空间直角坐标系， 面AADD, 到00.00.A(o,-号o ∴.P到平面AA,DD的距离即为C到平面AA,DD的 距离，即为正方体枚长， ·37·玩转假期·高二数学 (1)求椭圆E的方程； 阅读实践还识贸 圆锥曲线在现实生活中的运用 圆锥曲线的光学性质广泛应用于光照 领域和能源领域等，例如，探照灯往往设计 成抛物面，将光源设在焦点处从而得到平 行光，有效减少了光线的发散.另一个例子 是太阳灶，这次是反过来，接收平行光而将 (2)设动直线l:y=k,x十m与椭圆E有且 待加热物体放于焦点处.类似的还有电视 只有一个公共点P,且与直线x=4相交 机天线的“大锅盖”也是利用这个圆锥曲线 于点Q,试探究：在x轴上是否存在定点 光学性质加强信号. M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若 用以刻画客观世界中物质的运动.宏 存在，求出点M的坐标；若不存在，说明 观方面，天体运行的轨迹包含了三种圆锥 理由. 曲线：微观方面，卢瑟福散射中的粒子沿双 曲线运动，玻尔的“电子在核外绕核作圆周 运动”的量子化轨道也被推广到椭圆轨道. 现实生活中，我们知道，斜抛射物体在仅受 地球引力作用、不计空气阻力下的运动轨 迹是抛物线，而简谐振动与液体流动中也 都含有圆锥曲线。 假期作业（七） 空间向量与向量运算 摘 要 综合训练提考能 1空间向量及其线性运算. 一、选择题 2空间向量的数量积运算. 1.已知正方体ABCD-ABC,D,中，P、M 为空间任意两点，如果PM=PB,+7BA 筒问速答扰遗忘 +6AA,一4A,D,那么点M必() 问题1：如何理解空间向量？它与平面向 A.在平面B1D内B.在平面BAD内 量有什么区别和联系？ C.在平面BAD1内D.在平面ABC内 2.下列命题正确的是 () A.a一b<a-b是向量a,b不共线 问题2：共线定理、共面定理有哪些应用？ 的充要条件 B.在空间四边形ABCD中，AB.CD+ BC·AD+CA·BD=O ·12 ) 第一部分快乐假期轻松学 C.在棱长为1的正四面体ABCD中， D A店.BC=号 B D.设A、B、C三点不共线，O为平面ABC 外-点，若0°=}0i+号0成+0心. 则P、A、B、C四点共面 (1)求BD的长： 3.(多选)已知几何体ABCD-A,B,C,D 为正方体，下列说法中正确的是() A.(A1A+A,D,+AB,)2=3(A,B1) B.A1C·(AB,-AA)=0 C.向量AD,与向量AB的夹角是60 D.正方体ABCD一ABCD的体积为 AB.AA,.AD 二、填空题 4.如图在正方体ABCD-AB,CD,中，已 知A1A=a,A1B1=b,A1D1=c,O为底面 (2)求CD,与BD夹角的余弦值. ABCD的中心，G为△DCO的重心，则 AG= D 0✉ 5.已知点P为棱长等于2的正方体ABCD -AB,CD内部一动点，且|PA|=2, 则PC·PD,的值达到最小时，PC与 PD,的夹角为 三、解答题 6.已知在平行六面体ABCD一A,BC,D 中，AB=2,AA,=3,AD=1,且∠DAB =∠BAA,=∠DAA- ·13· 玩转假期·高二数学 自主探究培素养 阅读实践还识贸 利用数量积证明垂直 克莱因瓶 如图，正四面体VABC 克莱因瓶，在数学领域中是指一种无 的高VD的中点为O,求 定向性的平面.克莱因瓶最初的概念是由 证：AO,BO,CO两两 德国数学家菲利克斯·克莱因提出的，克 垂直. 莱因瓶的结构非常简单，一个瓶子底部有 一个洞，现在延长瓶子的颈部，并且扭曲地 进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接.和 我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物 体没有“边”，它的表面不会终结.它和球面 不同，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞 到外部而不用穿过表面，即它没有内外 之分. 假期作业（八） 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算 摘 综合训练提考能 1空间向量基本定理 一、选择题 2空间直角坐标系 1.如图所示，在正方体ABCD一ABCD 3空间向量运算的坐标表示 中，O是底面正方形ABCD的中心，M是 简问速答抗遗忘】 D,D的中点，V是A,B的中点，则直线 NO,AM的位置关系是 问题1：x轴、y轴、x轴上的点的坐标有 D 何特点？Oxy平面上、Oy2平面上，Oxz 平面上的点的坐标有何特点？ A.平行 B.相交 问题2：平面两点间的距离公式和空间两 C.异面垂直 D.异面不垂直 点间的距离公式有什么关系？ 2.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平 面ABCD,PD∥QA,QA=AB=2PD, 则平面PQC与平面DCQ的位置关系为