假期作业(6)直线与圆锥曲线的位置关系-【玩转假期】2024年高二数学寒假作业（北师大版）

玩转假期·高二数学 y ②|AB|=x1十x2十p: -yi-y:yiya 1=-1.0A⊥0B. 1 12 (2)设直线AB与x轴交于点E, ③AF+BF-p 则E(-1.0)..OE引=1， 综合训练·提考能 1.C 号+号-是<1.P1在箱国内斯 12 Saw=20E(1+)=号-：- 品√层+4=而，解得=士行 易得直线1的斜率存在，设A(x1y1),B(xy),l的 料率为k, 自主探究·培素养 解：0黄金排扬线C过点3,2)（←号号》 由题意得 +兽. ,两式相减得+二垃 5 2=(-号）广+(）=14=3m+1m=1, )+)+”》》=0,别号+ 3 ∴“黄盒抢物线C”的方程为y=x十1(x≥0)和x十y =1(x0). 2器-号+号-保-号 (2)显然P(0,1),Q(0,-1). 假设存在这样的直线I,使得QP平分∠AQB,显然直线 故1的方程为y-1=-号(g-D,即3x十5y-8=0, 1的斜率存在且大于0， 故速：C 设直线l:y=kx+1,A(xAya),B(xny#). 由/y=r+1, 2.C由离心率为受√+（合），有台= y2=x+1, 去y,得2十(2k-1).x=0, 1 n=1-2k 2-1片中B22. 由y=2, A的丝标为（一品。） x-y十1=0 .ko=1-2k1 由一宁”得：B的金恭为（一异n)》 由/yr+1, x-ny十1=0 lx2+y2=1 消去y,得(k+1).x2+2kx=0, 设线段AB中点为P,则MP⊥AB,且P的坐标 中A(华)： 2k 1一k QP平分∠AQB,∴ka十km=0, k 1 六仁2以本=0，解得=-1土② 又>0，∴.k=√2-1， ∴存在直线l:y=(W2-1)x十1，使得QP平分∠AQB. 假期作业（六）直线与圆锥曲线的位置关系 当n≠0时，kM·k 简问速答·抗遗忘 1,提示：直线y=kx十m与圆维曲线的位置关系的判断方 1+2+i2-n 法：联立直线方程与圆锥曲线方程， 8×=-1，解出=士3， 消去y得到一个关于x的一元二次方程。直线与园雏曲 当n=0时，符合条件. 线的位置关系、对应一元二次方程解的个数及△的取值 综上所述，n=士3或n=0. 的关系如表所示， 故选：C 直线与圆维曲线 解的个数 △的取值 3.ABD对A,设M(x1y1),N(x2y),(x1x>0), 因为这些MN倾斜角不为0， 两个不同的公共点 两解 4>0 一个公共点 一解 则授直线MN的方程为x=y十号，联立耥物线得了 △=0 6ky-9=0, 没有公共点 无解 40 则y1十=6k,y·y=-9, 2.提示：若斜率为(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x, 西十=（十）十3=6k+3=为十警 为)，B()两点， 则|AB1=√(1十k)[(x1十x2)-4x12] +)+是-是 3.提示：过抛物线y=2x(p>0)的焦点F的一条直线与 则MN1=m1十x2十3=6k+6>≥6（当且仅当k=0时等 它交于两点A(x1y),B(x2,y2),则 号成立)，A正确： ①=-4=g 对B,如图MA⊥抛物线准线，|MF|+|MP= |MA|+|MP|要使其最小， ·34· 。 参考答案 即P,M,A三点共线时取得最小值， 设双曲线C的方程为 y 车MF+MP1-MA+IMP-PA1-号+号 a 方=1(a>0,b>0),则a2+ =4,B正确： ==(）=…0 对C南京+京=+ 1 数由线过点(1)则一号=1…@， x1十x2十3 2 西，十受+)+号 =了C错误： ①@联立，解得 - B=16--5(含)， 4 对D.MF·NF到=，+受)，+受)=，+ 则双曲线C的方程为4r2-y=1. 2,++-号+(+3)+号号+2( (2)联立{4x’1·得(4-)-2k一2=0. 十3)=18，解得k=土1，D正确 直线l:y=x十1与双曲线C交于A,B两点， 故选：ABD. .4-k≠0且△=4k+十8(4-k2)>0, V 即k≠士2，且-22<k<22, 设A(x1y1),B(x2y), M 剥+器= 2 0 则y1y:=(kx1十1)(kx2十1)=k2x1x2十k (x1十x)+1, 若OA⊥OB,则以AB为直径的圆一定经过原，点， 则OA·OB=1x十yy=0, 4解折：联立方程，得一（二2》消去y得1一） 即(1十k)x1g十k(x1十x）十1， x2-y2=8 =1+)(名)+·1 +4k2x-4k”-8=0. 当1一k=0,即k=士1时4x一12=0，解得x=3,此时 =2-k 4一k2 =0,解得k=土√2， 直线与双曲线有且只有一个交点： 综上，当是=士√②时，以AB为直径的圆经过原点， 当1一k≠0时△=16(2-k)<0,解得k<-√2或k> 自主探究·培素养 v2,则k的范围为(-∞，-√2)U(W2,+∞) 解：(1)由精圆的定义可知△ABF的周长为4a=8,即a 综上，k的取值范国为(-∞，一√2)U(√2，十∞) =2, 故答案为：(-∞，-√2)U(√2，十o∞) 1 答案：(-o-√)U(W2,+∞) 又a2=b+e2,.b=3, 5.解析：设A(-√a,a),B(a,a),D(m,m2), 故描国C的方粒为：号十号-1， (y=kx+m B ②将于+号」联立·消元可得（秋十3十8 十4m2-12=0, D :动直线：y=kx十m与椭间E有且只有一个公共 0 点P .△=(8km)2-4(4k2+3)(4m-12)=0, 则AD=(m+a,m2-a),BD=(m-√a,mn2-a). .4k2-m2+3=0, 因为△ABD为直角三角形， 此时xp=一 =一=(兰)+m 4k2十3 所以AD.Bd=(m+a)(m-a)+(m-a)=0, -4k+m=3 m2-a+(m2-a)3=0. 图为m2-a≠0，所以m=a-1≥0→a≥1. P(-“) 所以S6m=号AB·(a-m)=@≥1 故答案为：1 由y=kx+m得Q(4,4k+m)· 答案：1 假设在x轴上存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过 6.解：1D抛物线y=25x的焦点为（停，0小， 点M, 设M(0),则MP.MQ=0, 即双由线C的一个焦点为（写0）小，在x轴上，。 亦-（普-品）.à=4-4+m ·35· 玩转假期·高二数学 M.哈-（禁-）4-)+是(4+m)=0 对于B,AB-A1A=AB,AB1⊥A,C, AC.AB=0B正确： 整理得红，-1)（告+红-3）=0： 对于C,易得△AD,C是等边三角形， 对任意实数m,k恒成立，则x。=1, ∴∠AD,C=60°，又AB∥D,C.异面直线AD,与 故在x轴上存在定，点M(1,0),使得以PQ为直径的圆 A,B所成的夹角为60°，但是向量AD1与向量A,B的夹角 恒过点M. 是120°，故C不正确： 假期作业（七）空间向量与向量运算 对于D,AB⊥AA1,AB.AA=0, 简问速答·抗遗忘 故AB·AA·AD1=0, 1.提示：(1)空间，点的一个平移就是一个向量，平移实际就 因此D不正确。 是点到点的一次变换，因此我们说空间任意两个向量是 故选AB. 共面的. 4.解桥：由已知可得，AG=A0+=号(A店+AD)十 (2)向量一般用有向线段表示，同向且等长的有向线段 表示同一或相等的向量 号oD+0 (3)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来 表示， 号++[2厨++成+号·++ 空间向量和平面向量没有本质区别，都是表示具有大小 和方向的量，它们的运算规律完全相同，空间向量的相 2(b+e)+5(-b+e)-ga+(b+e)-3a 关定理及公式与平面向量类似，可以类比学习，所有的 号a++名 2 平面向量都是共面向量：空间中的任意两个非零向量都 是共面向量，任意三个非零向量可能共面，也可能不 答案：-号a+b+名c 共面 5,解析：由题意，取CD的中点为M, 2.提示：(1)证明点共线的问题可转化为证明向量共线的 则PC,·PD,=(PM+MC)·(PM+MD,)=(PM+ 问题，如证明A,B,C三点共线，即证明AB,AC共线，亦 MC)·(PM-MC) 即证明AB-入AC(A≠0). -PM-MC,=PM-1. (2)证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要 1PA=2, 证明P,A,B,C四点共面，只要能证明PA=入PB十y 点P在以A为球心，2为半径的球面上， PC,或对空间任意一点O,有OA=O+xP店+yP元，或 .1PMm.=AM-2=3-2=1, OP=xOA+yOB+xOZ(x十y+=1)即可. PM-TCD. 综合训练·提考能 PD,⊥PC,PC与PD,的夹角为90° 1.C PM-PB,+7 BA+6 AA:-4 A,D:-PB,+BA+ 答案：90 6 BA:-4A,D.=PB:+B,A,+6 BA,-4A,D,PA, 6.解：1)由题可知，B,D-BB+BA+AD-AD-AB-A, +6(PA:-PB)-4 (PD,-PA)=11 PA,-6 PB- 则BD1√AD-AB-AA) 4PD,,11-6-4=1, √AD+AB+A42-2AD.AB-2AD·AA+2AB.4 ∴M,BA1、D四点共面 故选C. √1+2+3-2×0×2+1×3-2×3)×2=V15 2.B对于A,由|a一b<a-b,向量a,b可能共线，比 因此，BD的长为√15， 如同向的两个共线向量a,b的模分别是3,2，则a一b= Ia一b,故A错误：对于B,在空间四边形ABCD中， (2)由题知，CD,=BA-AA-AB. AB.CD+BC.AD+CA.BD=(AC+CB).CD-CB 则CD,I√/(AA,-AB) AD-AC.BD=AC.(CD-BD)+CB.(CD-AD) VAA+AB-2AA·A =AC.CB+CB.CA=0,故B正确： √8+2-2x3×2x2-7. 对于C,在棱长为1的正四面体ABCD中，AB.BC=1 CD,B,D-(AA:-AB).(AD-AB-AA )-AA X1Xc0s120°=-7，故C错误： .AD-AA:AB-AA-AB.AD+AB+AB.AA 对于D.因为0丽-号O成+号0成+元.而号+号+1 =AA,·AD-AA2-AB·AD+AB 3 2≠1，所以P、A、B、C四点不共面，故D错误. -1X3×合--1x2x号+2=-号 故选B. 3.AB对于A,由向量加法得A,A+AD,+AB=AC ∴cos(cD,BD= 1CD,1IB,DV7X√15 A1C=3AB,∴.(A1C)2=3(AB,)2, =-3105 ∴A正确； 70 ·36·玩转假期·高二数学 自主探究培素养 AQB?若存在,求出直线/的方程;若 与抛物线有关的新定义问题 不存在,请说明理由 如图,由抛物线v=mx+1(m>0)的 部分和圆x^{}十^{②}一,^}的一半所组成的曲$$ 线称为“黄金抛物线C”,若“黄金抛物线 #_#} C”经过点(3,2)和 阅读实践 拓视野 (1)求“黄金抛物线C”的方程 植物的数学奇趣(一) 人类很早就从植物中看到了数学特 征:花瓣对称排列在花托边缘,整个花朵几 乎完美无缺地呈现辐射对称形状,叶子沿 着植物茎秆相互叠起;有些植物的种子是 圆的,有些是刺状,有些则是轻巧的伞 状.....所有这一切向我们展示了许多美丽 的数学模式,著名数学家笛卡尔,根据他所 研究的一簇花瓣和叶形曲线特征,列出了 (2)设P,Q分别为“黄金抛物线C”与y x*+y3-3axy=0的方程式,这就是现代数 轴的正、负半轴的交点,过点P作直线/ 学中有名的“笛卡尔叶线”(或者叫“叶形 与“黄金抛物线C”相交于A,P,B三点, 线”),数学家还为它取了一个诗意的名字 问是否存在这样的直线/.使得QP平分 茉莉花瓣曲线 假期作业(六) 直线与圆锥曲线的位置关系 摘 问题2:弦长公式? 要 1直线与圆锥曲线的交点 2直线与圆锥曲线的综合问题. 简问速答 抗遗忘 问题1:如何判断直线与圆锥曲线的位置 问题3:抛物线的焦点弦计算公式? 关系? .10· 第一部分 快乐假期轻松学 综合训练提考能 三、解答题 6.已知双曲线C的中心在原点,抛物线y②} 一、选择题 -25x的焦点是双曲线C的一个焦点 且双曲线过点(1.③). 直线/与M交于A,B两点,且P为AB (1)求双曲线的方程 ( 的中点,则/的方程为 __ A.3x-5v+2-0 B.5x-3y-2-0 C.3x+5y-8-0 D.5x+3y-8-0 渐近线分别交于点A,B,若点M(1,0)满 。 _~ 足MA-MB ,则n= (2)设直线/:v=x十1与双曲线C交于 B.-2 A.士2或0 A,B两点,为何值时,以AB为直径的 D.3 C.士3或0 圆经过原点: 3.(多选)已知抛物线C:y}=6x的焦点为 F,过点F的直线交C于M,N两个不同 _ 点,则下列结论正确的是 ) A. MN的最小值是6 B.若点P(,2),则MF|+MP|的最 小值是4 C 自主探究 [培素养 D.若 MF · NF =18,则直线MN的 圆锥曲线中的探索性问题 斜率为士1 #_} 二、填空题 过F 的直线交圆于A、B两点,且 △ABF。的周长为8 3 5.已知抛物线C:v=x与直线=a交于 A,B两点,点D在抛物线C上,且 八ABD为直角三角形,则入ABD面积的 最小值为 .11· 玩转假期·高二数学 (1)求圆E的方程; 阅读实践拓视野 圆锥曲线在现实生活中的运用 圆锥曲线的光学性质广泛应用于光照 领域和能源领域等,例如,探照灯往往设计 成抛物面,将光源设在焦点处从而得到平 行光,有效减少了光线的发散,另一个例子 是太阳姓,这次是反过来,接收平行光而将 (2)设动直线/:y一x士n与圆E有且 待加热物体放于焦点处,类似的还有电视 只有一个公共点P,且与直线x三4相交 机天线的“大锅盖”也是利用这个圆锥曲线 干点Q,试探究:在文轴上是否存在定点 光学性质加强信号 M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若 用以刻画客观世界中物质的运动,宏 存在,求出点M的坐标;若不存在,说明 观方面,天体运行的轨迹包含了三种圆锥 理由. 曲线:微观方面,卢瑟福散射中的粒子沿双 曲线运动,玻尔的“电子在核外绕核作圆周 运动”的量子化轨道也被推广到圆轨道 现实生活中,我们知道,斜抛射物体在仅受 地球引力作用、不计空气阻力下的运动轨 迹是抛物线,而简谐振动与液体流动中也 都含有圆锥曲线 假期作业(七) 空间向量与向量运算 摘 要 综合训练 提考能 1空间向量及其线性运算。 一、选择题 1.已知正方体ABCD一A.BC.D. 中,P、M ②空间向量的数量积运算。 为空间任意两点,如果PM-PB+7BA 简问速答抗遗忘 +6AA-4AD,那么点M必 ( ) 问题1:如何理解空间向量?它与平面向 A.在平面B.D 内 B.在平面BA D内 量有什么区别和联系? C.在平面BA.D 内D.在平面AB.C. 内 2.下列命题正确的是 C ) A. a - b<a-b是向量a,b不共线 的充要条件 问题2:共线定理、共面定理有哪些应用? B.在空间四边形ABCD中,AB·CD+ BC·AD+CA·BD-0 .12·