假期作业(4)双曲线-【玩转假期】2024年高二数学寒假作业（北师大版）

第一部分快乐假期轻松学 假期作业（四） 双曲线 摘 要 2.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共 焦点，左、右焦点分别为F,、F2,且椭圆与 1双曲线及其标准方程. 2双曲线的简单几何性质. 双曲线在第一象限的交点为P,△PF,F2 是以PF:为底边的等腰三角形.若 简向速答杭遗忘 PF=8,椭圆与双曲线的离心率分别 问题1：为什么不能将双曲线的定义中 “距离的差的绝对值等于常数”中的“绝 为e,e2,则e十上的取值范围是() 对值”去掉？ A.(0,2》 B(合) c(合2) D.(侵，+∞) 问题2：平面内动点P与两个定点F1, 3.已知双曲线子-。=1(6>0)的左、右焦 6 F2(|F,F,|=2c>0)的距离之差的绝对 点分别为F1、F2,过F,且与x轴垂直的 值为常数2a(a>0),则点P的轨迹是双 直线！与双曲线的两条渐近线分别交于 曲线吗？ A、B两点，AB引=3√5，M(4,1),若双曲 线上存在一点P使得|PM+|PFz≤t, 则t的最小值为 问题3：双曲线的离心率刻画双曲线的什 A.52 B.2 么几何特征？ C.5√2+4 D.5√2-4 二、填空题 4.在平面直角坐标系0y中，若双曲线兰 综合训练促考能 2=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一 一、选择题 1.已知F,K分别是双曲线号-芳-1口 条浙近线的距离为受，则其离心率是 >0,b>0)的左、右焦点，P是以F:F2为 直径的圆与该双曲线的一个交点，且 .已知双曲线C:千-1(a>0,6>0)的 ∠PFF2=2∠PF2F1,则该双曲线的离 左、右焦点分别为F,F2,过F,的直线 心率是 ( 与圆x2十y2=a2相切于点T,且直线l A.3-1 B.3+1 与双曲线C的右支交于点P,若FP= C3-1 D.2-3 2 2 3FT,则双曲线C的离心率为 7 玩转假期·高二数学 三、解答题 自主探究培素养 6.已知双曲线C:x2-y=a(a>0)与椭圆 双曲线中的存在性问题的判断 言+号-1有相同的焦点。 直线l:y=kx十1与双曲线C:2x2一y2 1的右支交于不同的两点A,B. (1)求双曲线C的方程： (1)求实数k的取值范围 (2)是否存在实数k,使得以线段AB为直 径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存 在，求出k的值；若不存在，请说明理由. (2)以P(1,2)为中点作双曲线C的一条 弦AB,求弦AB所在直线的方程. 阅读实践拓视野 雪花曲线（二） 雪花曲线令人惊异的性质是它具有有 限的面积，却有着无限的周长.雪花曲线的 周长持续增加而且没有界限，但整条曲线 却可以画在一张很小的纸上，所以它的面 积是有限的，实际上其最大面积等于原三 角形面积的倍。 ·8…玩转假期·高二数学 因为P(x1y1),Q(xy:)在椭圆C上， 又因为c=4十b2,所以c2(8一4)=45，解得c=3,所以 +=1，=3-2x 1 F1(-3,0) 63 因为双曲线上存在一点P使得PM|十PF,≤1， 所以〈 即 所以求1的最小值即求|PM川+PF的最小值， 要使PM十PF2|最小，点P应在双曲线的右支上， 所以3-)8-)= 由双曲线的定义可得|PF,|一PFz=2a=4, 所以PF2|=|PF,I一4，所以|PM|+IPF:|=PM|+ 整理得x十x=6, PF-4, 所以y+=8-)+3-合)=3 易知，当点P、F1、M共线时，PM十|PF1|最小，最小 所以|OP+IOQ12=x+y+x+y=9. 值为|MF,1=√(4+3)+1=5√2， ②当直线OP,OQ与坐标轴重合时，显然有IOPI2+|OQ 所以PM+|PF|的最小值为5√2一4，故选D. =9, 综上，1OP12+OQ12=9. 4解析：由题意得双曲线的新近线方程为y=士合，即6证 假期作业（四）双曲线 士ay=0,因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线的距离为 简问速答·抗遗忘 主0-=，所以b=c,因先a=2-= 1.提示：若将“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支. Va +b 若|PF1|-|PF:|=2a<|F,F2(a>0),则点P的轨迹 仅为双曲线在焦点F:这一侧的一支，若|PF,|一|PF, =，所以e=2 =2a<F,F,|(a>0),则，点P的轨迹仅为双曲线在焦点 答案：2 F,这一侧的一支，具体是左支（或下支）还是右支（或上 5.解析：如图，由题可知，|OF,|= 支)可借助图形来确定， IOF:|=c,OT=a.F T]=b. 2.提示：不一定，(1)当2a<F,F,|时，点P的轨迹是双曲 F,P=3F,7. 线：(2)当2a=|F,F,|时，点P的轨迹是两条射线； .TP|=2b.|FP=3b. (3)当2a>FF,时，点P不存在 又，IPF|-|PF2I=2a, .PF.=3b-2a. 3.提示=后>1，它决定双曲线开口的大小，离心率越 作F:M∥OT,可得1F2M=2a,|TM=b,则|PM=b. 大，双曲线开口越大 在R△MPF,中，IPMI+IMF,I2=PFI2,即b+ 综合训练·提考能 (2a)=(36-2a).得2b=3a. 1.B由于P是以F,F,为直径的圆与该双曲线的一个交 点，因此△F,F:P是直角三角形，∠F,PF=90°， 又：2=公2+idc2=a2+号a,化筒可得4=13a, 又∠PFFg=2∠PF,F∠PFF=60°，易知点P在 双曲线的左支上， 六离心求e= 2 ∴.PF:l=3c,lPFl=c, 即双曲线的离心率为国 ∴.lPF|-PFl=√3c-c=2a, 2 e=二=2，=3+1，故选B a3-1 答案：四 2.B设椭圆的半焦距为c,PF|=r1,PF:=r2 6.解：(1)设双曲线C的两个焦点分别为F(一c,0),F2(c,0), 依题意得，r1=8,r=2,且万>r:,2r2>r, 由题意得c=2, ,2<8,4c>8,从而2<<4. a+a2=c2=4,则a=√2 又4=，2 ,干4十=，二， .所求双曲线C的方程为x2一y=2. (2)当AB所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点 %+1 c+4-c16 不可能为P(1,2), es 4+ccc+4c' 故此时不满足题意： 2<c<4,∴.12<c+4c<32, 当AB所在直线钟率存在时，设AB所在直线的方程为y =kx十m,A(y),B(y), 3.D国为两条新近线的方程为y=士名，直线1的方程 联立-红+m得1-)r2-25m-m+2)=0. x2-y2=2. 则△=4k2m”-4(1-k)(-m2-2)=-8k十4m2+8> 为工=c,所以两交点垒标分别为(c,答)(c,一任)，从 0,即2k-m-2<0,① 而AB列=26c +==20 由双南线方程为千一芳-1，可知a=2 点P(1.2)在AB所在直线y=kx十m上，即2=k十m.③ 所以AB1=2c=bc=35,所以6=45， 联立巴③两式，解得=号m-号，经检脸，道合题意， 因此直线方程x一2y十3=0即为所求。 ·32· 。 参考答案 自主探索·培素养 又：△ABF的周长为4√2， 解：1)由整理得-2+2kx十2=0 六FA+PB+AB=3y2+3y 9+号=4. 依题意，直线！与双曲线C的右支交于不同的两点， p=2.故选A. k2-2≠0. 3.BCD由抛物线C:y=2px(p>0)的焦点F到准线的 4=(2k)2-8(k-2)>0, 距离为2，得p=2,则y=4虹， 所以 2k70 k-2 解得-2<k<一√2， C的准线方程为x=一1，故A错误： 要使线段PQ的长度最小，则直线方程为x=1,此时线 2>0 段PQ的长度最小，为4，故B正确： 所以实数k的取值范围为（一2，一√②）. 若M3,2,则由两点式可得直线方程为8-号，即 (2)设A,B两点的坐标分别为（工1y),(x:y2) y=x-1. 2k 2 则x1十x21-2 由/=-1 y2=4x, 可得交点坐标为(3十2√2,2+22)，(3- 假设存在实数k,使得以线段AB为直径的回经过双曲 2√2,2-2√)，中点坐标正好是(3,2)，故C正确： 我C的右焦点F(,0),则FA1FB, 当直线PQ斛率存在时，设直线PQ的方程为y=k(x 1)(k≠0)，代入y2=4r,可得kx2-(22+4)x+k=0, 所以Fi.F成=0即(4，-号)(，-）+=0， 设P().Q)则1=1，+=2+4 所以（西9）(-)+(+1D:+I)=0, 所以OP,OQ=1x1十yy 中1++(k-）++号=0， =x1x2+k(x1-1)k(x-1)=x1x2+k[.x1x2-(x1+ 1+22+(-9）·22+-0 +=1+(-)=1+.24 一3，当直线PQ斜率不存在时，直线PQ方程为x=1,易 化简得5k+2√6k-6=0, 知直线PQ与抛物线的两交点坐标为(1,2)和(1，一2)此 解得6=一6+5或k-6-5(合去)， 时OP.OQ=一3，所以D正确. 5 故选BCD. 故存在k= 6十⑤，使得以线段AB为直径的圆经过双 5 4.解析：过点M作准线1：江=一号的垂线，垂足为卫.设抛 曲线C的右焦点F, 假期作业（五）抛物线 新战的袋点为F,依题意得，MP=MF,即3十专= 简问速答·抗遗忘 5,解得p=4, 1,提示：不一定，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定 抛物线的方程为y=8x 点且与定直线垂直的直线 答案：y2=8x 2.提示：抛物线的离心率是固定不变的，抛物线的离心率 e一1.抛物线的离心率对抛物线的形状无影响如抛物线 5,解析：由抛物线y=得=4“p=2,焦点坐标 y2=x与y2=2x形状不同，离心率为1. 为(0,1)，.斜率为1，且过焦点的直线方程为y=x十1， 3.提示：焦点所在轴与一次项变量一致，开口方向与一次 项系数的正负有关，如t2=2py(p>0),一次项为2py, 中1·消去，得-6+1=0，授孩直线与抛浙 由 x2=4y, 一次项系数为正，故可知抛物线的焦点在y轴上，开口 线交点A,B的坐标分别为（工y1),(cy)则y1十y= 向上 综合训练·提考能 6直线被抛物线藏得的弦长为十号十十号=y 1.B依题意得，AB1=AF1+BF=十号十十 十y十p=6+2=8. 答案：8 台AB到=十十p,又2p=4∴p=2.周北.AB 6.解析：(1)证明：当=0时，直线与抛物线仅有一个交点， 不合题意，.k≠0 =6十2=8，故选B 2.A双询线号一苦-1的渐运钱方程为y士号 由y=(x+D,得x=名-1，代入y=一整理y+ r,抛物 1 线=2p(p>0)的准线方程为r=一台，不坊设A在 Fy-1=0. 设A(x1,),B(x2y) 剩%十%=一名=-1 AB=号.FA=FB√+-3 ”点A,B在抛物线y2=一x上， 4 A(-y,y).B(-y2). ·33·