假期作业(3)椭圆-【玩转假期】2024年高二数学寒假作业（北师大版）

。 参考答案 又圈心到原点的距离为√/(2一0)十(0-0)=2，所以 4解折：在描周云+活-】 x+y2的最大值是(2+√3)=7十4√3，x2+y2的最小 中，a=5,b=4,c=3,所以焦 值是(2-√3)2=7-4. 点坐标分别为F,(一3,0)， 假期作业（三）椭圆 F(3,0).PM1+|PF|= F. 简问速答·抗遗忘 1PM|+(2a-1PF2I)=10 1.提示：当2a=|F1F2时，点M的轨迹是线段F,F2: +(PMI-PF:). 当2a<|F,Fz时，点M的轨迹不存在. ,1PM-PF≤1MF:,当且仅当P,M,F:三点共线 2.提示：椭圆的标准方程中，关于x,y的分式，哪一项的分 时取等号， 母大，焦点就在哪个坐标抽上。 当，点P与图中的点P。重合时，有(PM一|PF:)m 如果明确焦点在x轴上，那么可设所求椭国的方程为得 =1MF:|=√/(6-3)+(4-0)=5，此时|PM1+ +芳-=1a>公， PF,|取最大值，最大值为10十5=15. 答案：15 如果明璃焦点在y销上：那么可说所水精围的方程为号 5.解析：设F1、F分别为椭国的两焦点，m=|PF,|· 1PF,1≤(PE,PF.)=(学)=a2=25,当且仅 2 +家=1(a>6>0): 当PF,=PF:|=5时，等号成立，即点P在短轴端点 如果不能明确精圆焦点的位置，那么可设椭圆方程的一 时，m取最大值25，此时点P的坐标为（士3,0）. 般形式为m.x十y=1(m>0,n>0.m≠n),它包含椭圆 答案：25：（士3,0）（或分开写(-3,0）和(3,0)) 点在r轴上成在y轴上两种情况，方程变形为为工 6.解：(1)由题可得a=4,b=2,c=2√3，则A(4,0),B(0, m 上三1，当之人，即n>m时，悠点在r轴上：当3 直线AB的方程为号十兰=1，即x十2y一4=0， n 司即<m时，属点在y轴上 (2)设E(x0),由题意可知AB⊥BE,即kAn X kBE= 综合训练·提考能 -1,站合0得-2×=-1，则2，=%一2， 1,B由题意，得长半轴长a=√m,短半轴长b=2,则 :E是箱国C上的点，名+兰-1 c=Vm一，所以精图的离心率=￡=m-= a m 2 联立164 解得m=8.故选B. 倍+兰-1·清去现得1-4。-60=0 2x。=y。-2, 2D由题多，得高心来=号-号即3=d 解得=2（合去）或%=一得则。=一得， 根据椭图的定义，可得|PF,|十|PF:|=2a,因为 所以B队(-器一 ∠FPF,=,且△FPF:的面积等于3， 自主探究·培素养 所以PF112+PF=42,且|PF,|·IPF|=6,则 解：(1)因为直线OP:y=k1x与圃M相切， IPF+PF=(PF+PF:D2-21PFPFI 所以。-=2. =4a2-12=4c2,即4a2-12=3a2,解得a=12,所以 √1十好 =9,可得6=a2-2=3, 化简得(x-2)-2xyk,十y-2=0, 所以精圆的方程为后十苦=-1.故选D 同理得(x-2)k一2.xyk2十y-2=0, 2 所以k1,k是关于k的方程（号-2）k一2royk十y后-2 3.C 由/y=-+1, r= 得 3 =0的两个不相等的实教根，所以，-2. 1x-2y=0, 1 ,期AB的中点M(号， -2 y= 3 因为点M(x,y)在椭圆C上， 吉.设A,B()则 b ri+a'y=ab. bxi+a'y=a'b, 因此(x1-x:)(x1十x)+a(y-y)(y+y)=0, 1- 尝=w=-1函十=分十%=号 所以6==一号中6点为定位 x一x (2)1OP1+OQ12是定值，定值为9. 6×音-号知=0，即。=26， 理由如下： ①当直线OP,OQ不与坐标轴重合时，设直线OP,OQ的 d2=2a2-)从而a=2e= 斜奉分别为k1k,P(y),Q(ry), e=号故选C 因为k2=一 ,所以对= ·31· 玩转假期·高二数学 因为P(x1y1),Q(xy:)在椭圆C上， 又因为c=4十b2,所以c2(8一4)=45，解得c=3,所以 +=1，=3-2x 1 F1(-3,0) 63 因为双曲线上存在一点P使得PM|十PF,≤1， 所以〈 即 所以求1的最小值即求|PM川+PF的最小值， 要使PM十PF2|最小，点P应在双曲线的右支上， 所以3-)8-)= 由双曲线的定义可得|PF,|一PFz=2a=4, 所以PF2|=|PF,I一4，所以|PM|+IPF:|=PM|+ 整理得x十x=6, PF-4, 所以y+=8-)+3-合)=3 易知，当点P、F1、M共线时，PM十|PF1|最小，最小 所以|OP+IOQ12=x+y+x+y=9. 值为|MF,1=√(4+3)+1=5√2， ②当直线OP,OQ与坐标轴重合时，显然有IOPI2+|OQ 所以PM+|PF|的最小值为5√2一4，故选D. =9, 综上，1OP12+OQ12=9. 4解析：由题意得双曲线的新近线方程为y=士合，即6证 假期作业（四）双曲线 士ay=0,因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线的距离为 简问速答·抗遗忘 主0-=，所以b=c,因先a=2-= 1.提示：若将“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线的一支. Va +b 若|PF1|-|PF:|=2a<|F,F2(a>0),则点P的轨迹 仅为双曲线在焦点F:这一侧的一支，若|PF,|一|PF, =，所以e=2 =2a<F,F,|(a>0),则，点P的轨迹仅为双曲线在焦点 答案：2 F,这一侧的一支，具体是左支（或下支）还是右支（或上 5.解析：如图，由题可知，|OF,|= 支)可借助图形来确定， IOF:|=c,OT=a.F T]=b. 2.提示：不一定，(1)当2a<F,F,|时，点P的轨迹是双曲 F,P=3F,7. 线：(2)当2a=|F,F,|时，点P的轨迹是两条射线； .TP|=2b.|FP=3b. (3)当2a>FF,时，点P不存在 又，IPF|-|PF2I=2a, .PF.=3b-2a. 3.提示=后>1，它决定双曲线开口的大小，离心率越 作F:M∥OT,可得1F2M=2a,|TM=b,则|PM=b. 大，双曲线开口越大 在R△MPF,中，IPMI+IMF,I2=PFI2,即b+ 综合训练·提考能 (2a)=(36-2a).得2b=3a. 1.B由于P是以F,F,为直径的圆与该双曲线的一个交 点，因此△F,F:P是直角三角形，∠F,PF=90°， 又：2=公2+idc2=a2+号a,化筒可得4=13a, 又∠PFFg=2∠PF,F∠PFF=60°，易知点P在 双曲线的左支上， 六离心求e= 2 ∴.PF:l=3c,lPFl=c, 即双曲线的离心率为国 ∴.lPF|-PFl=√3c-c=2a, 2 e=二=2，=3+1，故选B a3-1 答案：四 2.B设椭圆的半焦距为c,PF|=r1,PF:=r2 6.解：(1)设双曲线C的两个焦点分别为F(一c,0),F2(c,0), 依题意得，r1=8,r=2,且万>r:,2r2>r, 由题意得c=2, ,2<8,4c>8,从而2<<4. a+a2=c2=4,则a=√2 又4=，2 ,干4十=，二， .所求双曲线C的方程为x2一y=2. (2)当AB所在直线斜率不存在时，由对称性可知，中点 %+1 c+4-c16 不可能为P(1,2), es 4+ccc+4c' 故此时不满足题意： 2<c<4,∴.12<c+4c<32, 当AB所在直线钟率存在时，设AB所在直线的方程为y =kx十m,A(y),B(y), 3.D国为两条新近线的方程为y=士名，直线1的方程 联立-红+m得1-)r2-25m-m+2)=0. x2-y2=2. 则△=4k2m”-4(1-k)(-m2-2)=-8k十4m2+8> 为工=c,所以两交点垒标分别为(c,答)(c,一任)，从 0,即2k-m-2<0,① 而AB列=26c +==20 由双南线方程为千一芳-1，可知a=2 点P(1.2)在AB所在直线y=kx十m上，即2=k十m.③ 所以AB1=2c=bc=35,所以6=45， 联立巴③两式，解得=号m-号，经检脸，道合题意， 因此直线方程x一2y十3=0即为所求。 ·32·第一部分快乐假期轻松学 假期作业（三） 椭圆 摘 要 =1(a> 3.已知直线y=一x+1与椭圆三+ 1椭圆及其标准方程。 b>0)相交于A,B两点，且线段AB的中 2椭圆的简单几何性质. 点M在直线x一2y=0上，则此椭圆的 筒问速答抗遗忘 离心率为 ) 问题1：在椭圆的定义中，椭圆上一动点 AS M到两定点F,,F,的距离之和等于常数 b. 2a,且2a>|FF2|,若2a=|FF2,则点 c号 n M的轨迹是什么？若2a<FF,,则点 M的轨迹是什么？ 二、填空题 4设F,R分别是椭圆号+若=1的左右 焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标 问题2：如何判断椭圆的焦点在哪个坐标 为(6,4)，则IPM十|PF的最大值为 轴上？怎样设椭圆的方程？ 5号+ =1上的一点P到两焦点的 综合训练怒考能 距离的乘积为m,则m的最大值为 1.已知焦点在x轴上的椭圆+=1的 ,此时点P的坐标为 4 三、解答题 心率为 ,则实数= 6已知稀圆C若+号-1的右顶点为A A.2 B.8 上顶点为B.点E在椭圆C上，且不在直 C.4+2√2 D.4-2√2 线AB上 2.已知椭圆E号+之 (1)求椭圆C的离心率和直线AB的 =1(a>b>0)的离心 62 方程； 率是号左，右焦点分别为，A点P 是椭圆上一点，且∠FPF,= △FPF2的面积等于3，则椭圆E的方 程为 ( A+苦-1 B. +y2=1 c易+- ·5 玩转假期·高二数学 (2)若以AE为直径的圆经过点B,求点 (2)1OP12+|OQ12是否为定值？若是， E的坐标 求出该定值：若不是，请说明理由」 自主探究培素茶制 椭圆中的定点定值问题： 如图，已知M%是箱圆C:若+号 1上的任意一点，从原点O向圆M:(x x)2+(y-y)=2作两条切线，分别交 椭圆于点P,Q. (1)若直线OP,OQ的斜率存在，并分别 记为k1,k2,求证：kk2为定值 间读实践拓视野 雪花曲线（一） 雪花曲线因其形状接近理想化的雪花 而得名，它的产生也与雪花的结构类似，由 等边三角形开始，把三角形的每条边三等 分，并以每条边三等分后的中段为边向外 作新的等边三角形，但要去掉与原三角形 叠合的边，接着对每个等边三角形“尖出” 的部分继续上述过程，即以每条边三等分 后的中段为边向外作新的尖形.不断重复 这样的过程，便产生了雪花曲线， 6。