假期作业(2)圆与圆的方程-【玩转假期】2024年高二数学寒假作业（北师大版）

第一部分快乐假期轻松学 阁读实践拓视野 杀掉你.”聪明的商人仔细一想，便说：“你 谁更聪明 会杀掉我.”这可把强盗头子难住了，“哎呀，怎 强盗抢劫了一个商人，将他捆在树上 么办呢？如果我把你杀了，你就说对了，那应 准备杀掉.为了戏弄这个商人，强盗头子对 该放了你；如果把你放了，你就说错了，应该杀 他说：“你说我会不会杀掉你，如果说对了， 掉你才是.”强盗头子想不到自已被难住了，心 我就放了你，绝不反悔！如果说错了，我就 想：商人也很聪明，只好将他放了 假期作业（二） 圆与圆的方程 摘 要 综合训练凝考能 1圆的标准方程 一、选择题 2圆的一般方程。 1.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的 3直线与圆的位置关系. 圆的标准方程是 ④圆与圆的位置关系. A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 筒问速答抗遗忘 C.(x-1)2+(y-3)2=1 问题1：方程(x十a)2+(y+b)2=m2表 D.x2+(y-3)2=1 示什么图形？ 2.过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,一2)的 圆的方程为 A.x2+y2-7x-3y+2=0 问题2：如果方程x2+y2+kx十2y十k= B.x2+y2+7x-3y+2=0 0表示一个圆，那么k的取值范围是什 C.x2+y+7x+3y+2=0 么？A(1,2)与圆是怎样的位置关系呢？ D.x2+y2-7x+3y+2=0 3.若圆(x-3)2十(y十5)2=2上有且仅有 两个点到直线4x一3y一2=0的距离为 1,则半径r的取值范围是 问题3：已知三个不同的点A(一1,5)， A.[4,6) B.(4,6) B(5,5),C(6,一2)，过这三个点是否有确 C.[4,6] D.(4,6] 定的圆？如果有，选取什么样的方法求 二、填空题 解其方程？ 4.一条光线从点(2，一3)射出，经x轴反 射，其反射光线所在直线与圆(x一3)2十 y2=1相切，则反射光线所在直线的方程 为 玩转假期·高二数学 5.直线y=x+b被圆(.x-1)2+(y-1)= 自主探究培素养 4截得的弦长的最大值是 与圆有关的最值问题 若该圆上到直线y=x十b的距离等于1 已知实数x,y满足方程x2十y一4x+1 的点有且仅有4个，则b的取值范围是 =0. (1)求Y的最大值和最小值： 三、解答题 6.在平面直角坐标系中，①已知点M(2, 0),N(5,0),P(x,y)为圆C上任一点，P 到点M的距离和到点N的距离的比值为 2:②圆C经过A(4,0),B(6,2),且圆心在 直线x-y-6=0上.从①②中任选一个 条件. (2)求y一x的最大值和最小值： (1)求圆C的方程； (3)求x2十y2的最大值和最小值 阒读实践拓视野 (2)若直线x=ay+4被圆C截得的弦长 圆的历史（二》 为2，求a的值. 古代人还发现圆的木头滚着走比较省 劲儿，后来他们在搬运重物时，就把几段圆 木垫在重物的下面滚着走.大约在6000年 前，美索不达米亚人做出了世界上第一个 轮子一圆的木轮，约在4000年前，人们 将圆的木轮固定在木架上，这就成了最初 的车子.会作圆并且真正了解圆的性质是 在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概 念：“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆 心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比古希 腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100年.参考答案 参考答案 第一部分快乐假期轻松学 5.解析：设点P的坐标是(a,a十4)，由题意可知PM =PNI, 假期作业（一）直线与直线的方程 即(a+2)+(a+4+4) 简问速答·抗遗忘 1.提示：不等价，成立的前提条件是两条直线的斜率都存 =@-4)+a+4-60,解得a=-是 在，且这两条直线不重合，两条不重合的直线平行的一 般结论是1∥12一k1=k2或11,12斜率都不存在. 故点P的金标是（一是，受 2.提示：不相同.“直线在y轴上的截距”是指它与y轴交 答案：(-号) 点的纵坐标，截距是个致值，可正、可负、可为零，截距不 6.解：(1)证明：直线方程(2-m)x+(2m+1)y+3m+4 是距离 =0. 3.提示：方程组有唯一解台两直线相交：方程组无解台两 整理得(2x+y十4)十m(-x+2y+3)=0. 直线平行：方程组有无数组解台两直线重合。 因为对任意m等式恒成立， 这样可以把两直线的位置关系问题转化为方程组解的 个数问题，从而用代数的方法解决几何问题， {+2十3=0解得=- 综合训练·提考能 所以{2x+y十4=0： y=-2, 所以直线恒过定点P(一1，一2). 1.D直线l的倾斜角为a,则a∈[0，π)， (2)由题意得，点Q与定点P(一1，一2)的距离就是点Q 由-1≤k<√5，得-1≤tana<5, 到直线距离的最大值， ae[o,子U[ 脚√/(-1-3)+(-2-4)=2√13. 故选D. 因为如二（二-是 2.B由题意可得A(1,0),B(2,3),:直线11与直线1的 斜率之积等于一1，.直线x十my一1=0和直线m.x一y 所以(2-m).x十(2m十1)y十3m十4=0的斜率为 3 -2m+3=0垂直，则|PA+|PB1=|AB2=10≥ PA+PB1,当且仅当1PA=PB1=V5时取等 可得一 2 名骨解得烟一号 7 2 号，∴PA|十PB引≤25，∴|PA|十|PB|的最大值为 综上，当m=号时，点Q3,4)到直线的距高最大，最大 2√5，故选B. 值为2√13. 3.ACD易得6：ar-2y)+3y-1=0过点（号，专），故 (3)若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A,B两点，直 线方程为y十2=k(x十1)，k<0, A正确： 当a=1时，l1,l重合，故B错误： 则A(层-1.0）小，B0k-20 由l1⊥l2得1Xa十aX(3-2a)=0,解得a=0或a=2, 所以Sm-是-1k-2 故C正确： 若a>0.则4y=一合r+1始终过(0,1，斜率为负， =2(-是+)(-+2)=2+（号6+之） ,∴l始终不过第三象限，故D正确 2一k ≥2+2N-k2 =4,当且仅当k=一2时取等号，所以 故选ACD. △AOB的面积的最小值为4，此时直线的方程为2x十y 4.解析：设直线1的方程为号+=1(a>0,b>0. 十4=0. 自主探究·培素养 由点4在直线上知十名=1 1.提示：设直线MP的倾针角为0，则直线NP的倾斜角为 a>0,b>0, 180°一日，即两直线的倾斜角互补. 4.1 1 2.提示：由tan0=-tan(180°-0)得ke=-kp. 提示：设P,0),南e=一kw得号9-9解 即a=8,b=2时取等号. 得x=一2，故P点的坐标为P(2,0). 1 从而Vab>4,即ab>16.Saam=2ab≥8， 假期作业（二）圆与圆的方程 简问速答·抗遗忘 “△AOB的面叔的最小值为8，此时直线1的方程为营 1.提示：当m=0时，表示点（一a,一b)；当m≠0时，表示圆 +之=1，脚x十4y-8=0. 心为(-a,一b),半径为m的圆. 2.提示：因为方程x2十y2+Dx十Ey+F=0表示国的条件 答案：8x+4y-8=0 是D+E-4F>0,所以方程x十y+kx十2y十k=0 ·29 玩转假期·高二数学 表示圆的条件为k十4-4h2>0,即-2,3<k<25 当斜率不存在时，反射光线所在直线的方程为x一2，此 3 3 时也与圆(x-3)2+y2=1相切. 则k的取值范国是(-2,2图)，将点A1,2)的坐标 故答案为x=2或4x十3y-17=0. Γ33 答案：x=2或4x+3y-17=0 代入方程的左边，得9十k十k2>0,可知点A(1,2)在 5.解析：当直线y=x十b过圆心时，截得的弦长最大，因为圆 圆外 (x一1)+(y-1)=4的半径为2，所以弦长的最大值为4 3.提示：由于三角形都有外接圆，故不共线的三点确定唯 要使该圆上到直线y=x十b的距离等于1的点有且仅 一的圈，A,B,C三点不共线，故过这三个点有确定的圆， 有4个，则圆心到直线的距离4=1一1+h=∈[0， 利用代数运算，先设出圆的标准方程或圆的一般方程， I十I2 通过列方程组求解， 1),所以b∈(-√2√2). 综合训练·提考能 答案：4（一√2W2) 1.A设圆的圆心为C(0,b),则√(0-1)+(b一2)=1， 6.解：(1)选择条件①， .b=2, .圆的标准方程是x”+(y一2)=1.故选A. 则删-2，即g-2所以名 √(x-5)+y (x-5)+y =4, 2.A设所求的圆的方程为x+y+D.x+Ey+F=0. 整理得.x2+y2-12.x+32=0,即(x-6)十y2=4. D-E十F+2=0. D=-7, 选择条件②， 依题意得D十4E十F十17=0，解得E=一3， 4D-2E+F+20=0, F=2, 设线段AB的中点为E,则E(5,1),k=6-=1, 因此，所求圆的方程为x+y2-7:x-3y十2=0， 所以线段AB的垂直平分线方程为y一1=一(x一5)，即 故选A. x+y-6=0, 3.B由(x-3)十(y十5)2=r2,可得其圆心为(3，一5)，设 为M,根据，点到直线的距离公式可得M(3,一5)到直线 所以工y一60解得T=6·所以圆心C(6,O. x+y-6=0, y=0, 4r-3y-2=0的距离4=12+15-2 5 又半径r=|CA|=2,所以圆C的方程为(x-6)+y /16+9 =4. 设与直线4x-3y-2=0的距离是1的直线为4x一3y十 (2)直线x=ay十4被圆C栽得的弦长为2，圆心到直线 C=0. 的距离d=√/4-1=V3. 根据平行线间距离公式可得1=C+2到 V16+9 由点到直线的距离公式得6a·0-=3,整理得a √(-a)+1 解得C=-7或C=3, ∴.与直线4x一3y-2=0的距离是1的直线有两条，分 别是4x-3y-7=0和4.x-3y+3=0. 自主探究·培素养 又，圆心M(3,一5)到直线4x一3y一7=0的距离为 112+15-7=4, 解：原方程可化为(x一2)十y2=3,它表示以(2,0)为圆 /16+9 心√3为半径的间 圆心M(3,一5)到直线4.x-3y十3=0的距离为 (1)义的几何意义是圆上任一点与原点连线所在直线的 112+15+31=6, √16+9 斜率，设义=k,即y=kx .如果圆与直线4x一3y十3=0相交，那么圆也肯定与 当直线y=kx与圆相切（如图）时，斜 直线4x-3y-7=0相交，交点个数多于两个，于是回上 点到直线4x一3y一2=0的距离等于1的点不止两个， 率k取最大位或最小值，此时2弘-0 ∴.圆与直线4x一3y十3=0不相交.如果圆与直线4x =√3解得k=士√3. 3y一7=0的距离小于或等于1，那么圆与直线4x一3y一 7=0和直线4.x-3y十3=0的交点个数和至多为1个， 所以义的最大值为3，最小值为一√. .國只能与直线4.x一3y一7=0相交，与直线4x一3y十3 (2)y-x可看作是直线y=x十b在y =0相离， 抽上的截距，当直线y=x十b与圆相切 ∴.4<r<6.故选B. (如图)时，纵截距b取得最大值或最小 4.解析：点(2，一3)关于x轴的对称点为(2,3)， 值，此时2一0+=3，解得6= 当斜率存在时，设反射光线的斜率为k,则反射光线的方 √2 程为y-3=k(x-2).即kx-y+3-2k=0. 士6. 因为反射光线与圆(x一3)+y2=1相切， 所以yx的最大值为一2+6，最小值为一2-√6 所以圆心到反射光线的距离d=1,即36+3一2k=1, (3)x十y表示圆上的任一点与原点距离的平方，由平 √R+(-1) 面几何知识，知在原点和圆心连线所在 解得=一寻，所以反射光线所在直线的方程为4红十3y 的直线与圆的两个交点处取得最大值 或最小值（如图）， -17=0: ·30· 。 参考答案 又圈心到原点的距离为√/(2一0)十(0-0)=2，所以 4解折：在描周云+活-】 x+y2的最大值是(2+√3)=7十4√3，x2+y2的最小 中，a=5,b=4,c=3,所以焦 值是(2-√3)2=7-4. 点坐标分别为F,(一3,0)， 假期作业（三）椭圆 F(3,0).PM1+|PF|= F. 简问速答·抗遗忘 1PM|+(2a-1PF2I)=10 1.提示：当2a=|F1F2时，点M的轨迹是线段F,F2: +(PMI-PF:). 当2a<|F,Fz时，点M的轨迹不存在. ,1PM-PF≤1MF:,当且仅当P,M,F:三点共线 2.提示：椭圆的标准方程中，关于x,y的分式，哪一项的分 时取等号， 母大，焦点就在哪个坐标抽上。 当，点P与图中的点P。重合时，有(PM一|PF:)m 如果明确焦点在x轴上，那么可设所求椭国的方程为得 =1MF:|=√/(6-3)+(4-0)=5，此时|PM1+ +芳-=1a>公， PF,|取最大值，最大值为10十5=15. 答案：15 如果明璃焦点在y销上：那么可说所水精围的方程为号 5.解析：设F1、F分别为椭国的两焦点，m=|PF,|· 1PF,1≤(PE,PF.)=(学)=a2=25,当且仅 2 +家=1(a>6>0): 当PF,=PF:|=5时，等号成立，即点P在短轴端点 如果不能明确精圆焦点的位置，那么可设椭圆方程的一 时，m取最大值25，此时点P的坐标为（士3,0）. 般形式为m.x十y=1(m>0,n>0.m≠n),它包含椭圆 答案：25：（士3,0）（或分开写(-3,0）和(3,0)) 点在r轴上成在y轴上两种情况，方程变形为为工 6.解：(1)由题可得a=4,b=2,c=2√3，则A(4,0),B(0, m 上三1，当之人，即n>m时，悠点在r轴上：当3 直线AB的方程为号十兰=1，即x十2y一4=0， n 司即<m时，属点在y轴上 (2)设E(x0),由题意可知AB⊥BE,即kAn X kBE= 综合训练·提考能 -1,站合0得-2×=-1，则2，=%一2， 1,B由题意，得长半轴长a=√m,短半轴长b=2,则 :E是箱国C上的点，名+兰-1 c=Vm一，所以精图的离心率=￡=m-= a m 2 联立164 解得m=8.故选B. 倍+兰-1·清去现得1-4。-60=0 2x。=y。-2, 2D由题多，得高心来=号-号即3=d 解得=2（合去）或%=一得则。=一得， 根据椭图的定义，可得|PF,|十|PF:|=2a,因为 所以B队(-器一 ∠FPF,=,且△FPF:的面积等于3， 自主探究·培素养 所以PF112+PF=42,且|PF,|·IPF|=6,则 解：(1)因为直线OP:y=k1x与圃M相切， IPF+PF=(PF+PF:D2-21PFPFI 所以。-=2. =4a2-12=4c2,即4a2-12=3a2,解得a=12,所以 √1十好 =9,可得6=a2-2=3, 化简得(x-2)-2xyk,十y-2=0, 所以精圆的方程为后十苦=-1.故选D 同理得(x-2)k一2.xyk2十y-2=0, 2 所以k1,k是关于k的方程（号-2）k一2royk十y后-2 3.C 由/y=-+1, r= 得 3 =0的两个不相等的实教根，所以，-2. 1x-2y=0, 1 ,期AB的中点M(号， -2 y= 3 因为点M(x,y)在椭圆C上， 吉.设A,B()则 b ri+a'y=ab. bxi+a'y=a'b, 因此(x1-x:)(x1十x)+a(y-y)(y+y)=0, 1- 尝=w=-1函十=分十%=号 所以6==一号中6点为定位 x一x (2)1OP1+OQ12是定值，定值为9. 6×音-号知=0，即。=26， 理由如下： ①当直线OP,OQ不与坐标轴重合时，设直线OP,OQ的 d2=2a2-)从而a=2e= 斜奉分别为k1k,P(y),Q(ry), e=号故选C 因为k2=一 ,所以对= ·31·