2024--2025学年北师大版八年级上学期期中数学复习讲义5-B卷几何

2024--2025学年北师版八年级年级上学期中复习讲义-B卷几何+B23 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、面积问题 1．（湖北荆门·一模）在中，，，，点D是射线上的一个动点，是等边三角形，点F是的中点，连接． (1)如图，点D在线段上时， ①求证：； ②连接BE，设线段，，求的值； (2)当时，求的面积． 2．（八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，E是中点，F是上一动点，连接，将沿直线折叠得． (1)如图①，若，且点D恰好落在线段上，求证：点F为线段的中点； (2)如图②，若为等边三角形，且边长为4，当点D落在线段上时，求的长度； (3)如图③，若为直角三角形，．连接，若与面积相等，且，求的面积． 3．（八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，点D是AB中点，在△ABC外取一点E，使DE＝AD，连接DE，AE，BE． （1）求证：AE⊥BE； （2）如图2，若点E在直线AB下方，且∠ABE＝30°，求CE的长； （3）若AE：AB＝1：4，求△ACE的面积． 4．（23-24八年级上·四川成都·期中）在中，，，点D在线段上，点E在射线上，． 【探究发现】 （1）如图1，当点E在线段上时，猜想线段的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】 （2）如图2，若点E在的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，点D，E在边上，，，，求的面积． 二、线段关系 5．（辽宁抚顺·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD． （1）如图1，DE与BC的数量关系是　　； （2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系． 6．（23-24八年级上·四川成都·期中）在中，，，点是直线AB上一点，作于点，于点． (1)如图1，点在线段AB上，BH交AC于点，若为MB的中点，，则______； (2)如图2，取AC中点，连接DH． ①若点在线段AB上，求证： ②若点在直线AB上，，，求AB的长． 7．（八年级上·四川成都·期末）如图1，在中，已知是边上的高，过点B作于点E，交于点F，且，，． (1)求的长； (2)求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，在的延长线上取一点G，使，请猜想与的数量关系，并说明理由． 8．（23-24八年级上·四川成都·期中）过正方形的顶点D作直线，点C关于直线的对称点为点E，连接，直线交直线于点F，（正方形四条边都相等，四个内角都是直角） (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，请连接，猜想与的位置关系，并证明你的结论； (3)在（2）的基础上探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (4)如图3，在绕点D转动的过程中，设，，请直接用含a，b的式子表示的长． 9．（23-24八年级上·四川成都·期中）“三等分一个任意角”是数学史上的一个著名问题，今天人们已经知道了仅用圆规和直尺是不可能作出的．某兴趣小组展开了以下探索： (1)在探索中，利用如图1所示的图形进行研究，其中，四边形是长方形，，是延长线上一点，连接交于点，点是上一点，且． ①求证：； ②若是边长为2的正方形，求出的面积和的长． (2)如图2，在长方形中，对角线的延长线与的平分线交于点，若，，求的长． 10．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，在等边三角形中，点D、E分别在边上， ，连接、，与相交于P． (1)求证：； (2)如图2，过点A作，分别交、于M、N，比较与的大小并证明； (3)如图3，连接，若，求的度数． 11．（八年级上·四川成都·期末）如图，△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与射线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与射线CD相交于点F． (1)如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△OEC≌△OFD； (2)如图2，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请证明：OC+CE＝CF； (3)点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，当CF＝1时，请求出BE的长． 12．（23-24八年级上·四川成都·期中）在中，，，绕点顺时针旋转一定的角度得到，是中点，连接、． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，当时，试判断和的数量关系； (3)当时，求的长 13．（23-24八年级上·四川成都·期中）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习． 在中，，，将线段绕点C顺时针旋转（）得到线段，取中点H，直线与直线交于点E，连接． (1)【感知特殊】 如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程； (2)【探究一般】 ①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； ②当时，直接写出线段，，之间的数量关系． (3)【应用迁移】 已知，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． 14．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，点A，B，C三点在一直线上，在同侧作，，若，分别平分，，过点B作的平分线交于点F． (1)已知，求的度数； (2)若，，求线段的长； (3)在（2）的条件下，若，求的长 15．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图与为正三角形，点O为射线上的动点，作射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点F． (1)如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段，上，求证：； (2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段的延长线上，三条线段之间的数量关系； (3)点O在线段上，若，当时，请直接写出的长． 16．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图所示，等腰直角 中，． (1)如图 1所示, 若 是 内一点，将线段绕点顺时针旋转 得到, 连接，求证：； (2)若D是外部一点，将线段绕点C顺时针旋转得到，并使，连接，猜想：线段和满足什么数量关系?请在图 2 中面出符合要求的图形 (一种即可)，并在你所画图形的基础上完成证明． (3)如图 3 所示， 若 O是斜边的中点，M为下方一点，且，，，求 的值． 17．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，中，，，点为边上一点． (1)如图1，若，． ①求证：； ②若，求的值； (2)如图2，点为线段上一点，且，，，求的长． 18．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，已知，，点在上，，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：为中点； (3)如图2，连接并延长，与延长线相交于点，若，，求的值． 19．（八年级·甘肃定西·期末）情景观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F． ①写出图1中所有的全等三角形　 　； ②线段AF与线段CE的数量关系是　 　，并写出证明过程． 问题探究： 如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E． 求证：AE=2CD． 20．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图1，在中，，，E为边的一点，F为边上一点，连接，交于点D且，平分交于点G． (1)求证：； (2)如图2，延长交于H，连接交于点M，过点C作交BE的延长线于点P，求证：； (3)在（2）问的条件下，当时，若，求的长． 21．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图1，在中，，将绕着点C旋转得到，其中．    (1)连接，直线交直线于点F． ①若，则________，________； ②若是以为腰的等腰三角形，求的长． (2)如图2，当点E恰好落在上时，连接，求的长． 22．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 23．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，在长方形中，，点P在上，点E在上，且． (1)如图1，若，点E与点B重合，求k的值； (2)如图2，若，，求k的值； (3)如图3，，，求k的值． 三、最值问题 24．（23-24八年级上·四川成都·期中）【阅读材料】 我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，∵， ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为2． 【模仿探究】 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，求的最小值，并求出此时a的值； （2）当时，求的最小值，并求出此时a的值； 【应用意识】 （3）如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为平方米，斜边需要用栅栏围上，求栅栏的最小值． 25．（八年级上·浙江金华·期中）已知中．    (1)如图1、2，若点是上一点，且，点是上的动点，将沿对折，点的对应点为（点和点在直线的异侧），与交于点． ①当时，求的度数． ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图3，若点是上一点，且，是线段上的动点，以为直角构造等腰直角（三点顺时针方向排列），在点的运动过程中，直接写出的最小值． 26．（八年级上·江苏盐城·期中）【问题情境】如图1，把一块三角板（，）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为___________． 【变式探究】如图2，在中，点D、E、F分别在边上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中一组，并说明理由． 【拓展应用】如图3，在中，，点D、F分别是边 上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接． ①试判断线段之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，点G是的中点，，连接，则的最小值为___________． 四、B23题专项 27．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转到处，此时线段与的交点为的中点，线段的长为 ． 28．（八年级上·四川成都·期中）如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接沿着直线翻折，得到交于点G，连接交于点F．若的面积为，则的长度为 ． 29．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，D为外一点，连接，，，发现，且，则 ． 30．（八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰直角中，，点E是边上一点，点D是边上的中点，连接，过点E作，满足，连接，交于点M，将沿翻折，得到，连接，交于点P，若，则的长度是 ． 31．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在四边形中，对角线互相垂直平分，点，Q分别是边，线段上的点，连接与相交于点．，且，则 ；当时，设，则的长 ．（用含a的代数式表示）．    32．（23-24八年级上·四川成都·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是 ． 33．（23-24八年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点P关于直线m的对称点在图形Q的内部（不包含边界），则称点P是图形Q关于直线m的“伴随点”．如图，已知，，，直线l：，若原点O是关于直线l的“伴随点”，则b的取值范围是 ． 34． （23-24八年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，将两个端点横、纵坐标均为整数且长为整数的线段称之为“整线段”．例如，，则，所以为“整线段”．已知线段为“整线段”，其中A在x轴上，B在y轴上，在不改变线段长度的条件下改变A在x轴上的位置，改变B在y轴上的位置，使其成为一条新的“整线段”．若存在使得，则称这样的“整线段”为“不一整弦”（直角三角形斜边被称之为“弦”，古诗亦有云“纵横意不一，然诺心无二”，结合性质“整”故此得名“不一整弦”）．若将所有的“不一整弦”按长度从小到大的顺序排列，则第1条“不一整弦”的长为 ；第3条“不一整弦”的长为 ． 35．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，矩形中，，，为边上一点，．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动，连接．设点运动的时间为秒．当为 时，为等腰三角形． 35． （23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）对于一个四位自然数N，若它的千位数字比个位数字多2，百位数字与十位数字的和为9，则称N为“长久数”．如：四位数7365，∵，，∴7365是“长久数”；四位数8476，∵，∴8476不是“长久数”，则最小的“长久数”为 ；一个“长久数”N的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，，若能被6整除，则当取最大值时，“长久数”N为 ． 37．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知在等腰中，，，，点是直线上一点，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接，则的最小值为 （用含的代数式表示）．    38．（广东省深圳市宝安区七年级下学期期末数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，P是DE上的动点，Q是BD上的动点，则BP+PQ的最小值为 39．（八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则长的最小值为 ． 40．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知直线，与之间的距离为6，点，在直线上，且，点，在直线上，，点为线段上一个动点，则的最小值为 ． 41．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中，，，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，则的最小值是 ．    42．（八年级上·四川成都·期末）已知中，，，边上的高，D为线段上的动点，在上截取，连接，，则的最小值为 ． 43．（八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，是线段边上的动点（不与点，重合），将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 44．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，如图点，，轴，垂足为，点为线段上一动点，为中点，为中点，为中点，当周长最小时，点坐标为 ． 45．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，正方形的边长为5，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 46．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，线段的长度为5，点，为线段外一动点，且，，，线段长的最大值为 ． 47．（八年级上·江苏常州·期中）如图，纸片的直角边AC落在直线l上，，，，平面内一点O到直线l的距离为9，纸片沿直线l左右移动，则的最小值是 ．    48．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，为线段上一动点，将点绕点逆时针旋转得到，连接，当最小时，点的坐标为 ．    49．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，长方形中，，点分别为线段上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024--2025学年北师版八年级年级上学期中复习讲义5--B卷几何 B23 一、面积问题 1．（湖北荆门·一模）在中，，，，点D是射线上的一个动点，是等边三角形，点F是的中点，连接． (1)如图，点D在线段上时， ①求证：； ②连接BE，设线段，，求的值； (2)当时，求的面积． 【答案】(1)①见解析②25 (2)或 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】(1)①在直角三角形中，确定出三角形为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，再由，利用即可得证； ②由全等三角形对应角相等得到为直角，，在三角形中，利用勾股定理即可列出y关于x的函数解析式； (2)分两种情况考虑：①当点在线段上时； ②当点在线段的延长线上时，分别求出三角形面积即可． 【详解】（1）①证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， 即， ∴， ∴； ②∵， ∴， 又∵点F是的中点， ∴，　 在中，勾股定理可得：， 　∴． （2）①当点在线段上时， 由，可得，是等腰直角三角形， ∴，的面积为； ②当点在线段的延长线上时， 由，可得， ∴在中，勾股定理可得， 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 2．（八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，E是中点，F是上一动点，连接，将沿直线折叠得． (1)如图①，若，且点D恰好落在线段上，求证：点F为线段的中点； (2)如图②，若为等边三角形，且边长为4，当点D落在线段上时，求的长度； (3)如图③，若为直角三角形，．连接，若与面积相等，且，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)48 【难度】0.15 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题、等边三角形的性质 【分析】（1）连接，由折叠可得，即为直角三角形，然后推出，解题即可； （2）连接，由折叠可得，由三线合一得，即推出，运用勾股定理可得、长，解题即可； （3）延长交于点，过A、B分别作延长线的垂线，垂足分别为N、M，可得，由折叠可得，利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）证明：连接 ∵E为中点，折叠得 ∴ ∴为直角三角形，且         ∴                     ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴F是中点 （2）解：连接 ∵△为等边三角形，E为中点 ∴ ∴ 又∵折叠得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵等边边长为4 ∴由勾股定理可得， ∴ （3）解：延长交于点，过A、B分别作延长线的垂线，垂足分别为N、M ∴ ∴ ∴ 与面积相等 ∴ ∴ ∴ ∵E是中点 ∴与E重合 即E、D、C三点共线              ∵折叠得 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴                 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，图形的变换——折叠，综合性较强，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图1，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，点D是AB中点，在△ABC外取一点E，使DE＝AD，连接DE，AE，BE． （1）求证：AE⊥BE； （2）如图2，若点E在直线AB下方，且∠ABE＝30°，求CE的长； （3）若AE：AB＝1：4，求△ACE的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或． 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理解决问题即可； （2）如图2，过点C作CF⊥CE于点F，设AC交BE于J，证明，是等腰直角三角形，可得结论； （3）分两种情况：如图3-1中，当点E在直线AB的下方时，过点C作CG⊥BE于G，CF⊥CE交BE于F，如图3-2中，当点E在直线AB的上方时，过点C作CG⊥BE于点G，CF⊥CE交EB的延长线于F，分别利用（2）中结论求解即可． 【详解】解：（1）证明：∵点D是AB的中点， ∴， ∵， ， ， ∴． （2）如图2，过点C作CF⊥CE交BE于点F，设AC交BE于J， ∵ ∴ ∴ 在中， ∵ ∴ 在中， ∴ ； （3）如图3-1中，当点E在直线AB的下方时，过点C作CG⊥BE于G，CF⊥CE交BE于F， 由（2）可知，，是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 如图3-2中，当点E在直线AB的上方时，过点C作CG⊥BE于点G，CF⊥CE交EB的延长线于F， 同法可得，，是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 综上所述，的面积为或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是根据题意做出相应的辅助线求解． 4．（23-24八年级上·四川成都·期中）在中，，，点D在线段上，点E在射线上，． 【探究发现】 （1）如图1，当点E在线段上时，猜想线段的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】 （2）如图2，若点E在的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，点D，E在边上，，，，求的面积． 【答案】（1）（2）（1）中的结论成立，（3） 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、其他问题(旋转综合题)、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接，可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求解； （2）把绕点逆时针旋转，得到，连接，由（1）可知：，得出，则可得出结论； （3）如图3，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于，由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解． 【详解】（1）． 证明：如图1，将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接， ， 在和中， 在中，由勾股定理知：， （2）（1）中的结论仍成立． 理由：把绕点逆时针旋转，得到，连接， 由（1）可知：， （3）∵， ∴，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于， ， 如图，过A作， 则 的边上的高 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题关键． 二、线段关系 5．（辽宁抚顺·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD． （1）如图1，DE与BC的数量关系是　　； （2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系． 【答案】解：（1）DE=BC （2）BF+BP=DE； （3）BF﹣BP=DE 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠B=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到DB=DC，则可判断△DCB为等边三角形，由于DE⊥BC，DE=BC； （2）根据旋转的性质得到∠PDF=60°，DP=DF，易得∠CDP=∠BDF，则可根据“SAS”可判断△DCP≌△DBF，则CP=BF，利用CP=BC﹣BP，DE=BC可得到BF+BP=DE； （3）与（2）的证明方法一样得到△DCP≌△DBF得到CP=BF，而CP=BC+BP，则BF﹣BP=BC，所以BF﹣BP=DE． 【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∵点D是AB的中点， ∴DB=DC， ∴△DCB为等边三角形， ∵DE⊥BC， ∴DE=BC； 故答案为DE=BC． （2）BF+BP=DE．理由如下： ∵线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF， ∴∠PDF=60°，DP=DF， 而∠CDB=60°， ∴∠CDB﹣∠PDB=∠PDF﹣∠PDB， ∴∠CDP=∠BDF， 在△DCP和△DBF中 ∴△DCP≌△DBF（SAS）， ∴CP=BF， 而CP=BC﹣BP， ∴BF+BP=BC， ∵DE=BC， ∴BC=DE， ∴BF+BP=DE； （3）如图， 与（2）一样可证明△DCP≌△DBF， ∴CP=BF， 而CP=BC+BP， ∴BF﹣BP=BC， ∴BF﹣BP=DE． 【点睛】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形． 6．（23-24八年级上·四川成都·期中）在中，，，点是直线AB上一点，作于点，于点． (1)如图1，点在线段AB上，BH交AC于点，若为MB的中点，，则______； (2)如图2，取AC中点，连接DH． ①若点在线段AB上，求证： ②若点在直线AB上，，，求AB的长． 【答案】(1) (2)①见解析② 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）在上截取，连接，根据等腰直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据等腰直角三角形的性质求出，，根据三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定推出，根据线段的和差即可得解； （2）①连接，根据垂直的定义及直角三角形的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，根据等腰直角三角形的性质推出，，根据三角形内角和定理推出，利用证明，根据全等三角形的性质推出，，进而推出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得解；②证明得设可得，由列方程求出x的值即可求解． 【详解】（1）如图1，在上截取，连接，    ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵于点F， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）①证明：如图2，连接，    ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②由①知， , , 又 又， ， 设可得， 由勾股定理得， ， 解得， ． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练运用等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 7．（八年级上·四川成都·期末）如图1，在中，已知是边上的高，过点B作于点E，交于点F，且，，． (1)求的长； (2)求证：； (3)如图2，在（2）的条件下，在的延长线上取一点G，使，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)10 (2)见解析 (3)DG=2DE 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、角平分线的判定定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）先求出AC=15，然后利用面积法求解即可； （2）先求出CE=5，则AE=10=BE，然后证明△AEF≌△BEC即可得到AF=BC； （3）如图所示，过点B作BT⊥EG于T，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N，则GT=ET，由，可以推出EM=EN，得到DE平分∠ADC，则∠CDE=∠BDT=45°，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在直角△ADC中， ∵， ∴； （2）解：在直角△BCE中，， ∴， ∵∠BFD=∠AFE，∠AEF=∠BDF=90°， ∴∠EAF=∠EBC， 在△AEF和△BEC中， ， ∴△AEF≌△BEC（ASA）， ∴AF=BC； （3）解：如图所示，过点B作BT⊥EG于T，过点E作EM⊥AD于M，EN⊥BC于N， ∵BE=BG，BT⊥GE， ∴GT=ET， ∵， ∴，   ∴EM=EN， ∴DE平分∠ADC， ∴∠CDE=∠BDT=45°， ∴BT=DT， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∴DG=2DE； 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，角平分线的判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 8．（23-24八年级上·四川成都·期中）过正方形的顶点D作直线，点C关于直线的对称点为点E，连接，直线交直线于点F，（正方形四条边都相等，四个内角都是直角） (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，请连接，猜想与的位置关系，并证明你的结论； (3)在（2）的基础上探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (4)如图3，在绕点D转动的过程中，设，，请直接用含a，b的式子表示的长． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)；理由见解析 (4)或或 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质证明 【分析】（1）由对称知，，由四边形是正方形得，所以，从而； （2）由轴对称可知，,，， 根据等腰三角形的性质得出，求出，根据，求出，即可证明结论； （3）根据，由勾股定理得，中，中，，从而； （4）由勾股定理，，分情况讨论：当点F在D,H之间时，；当点D在F,H之间时，；当点H在F,D之间时，． 【详解】（1）解：∵点关于直线的对称点为点， ∴，关于对称， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：；理由如下： 由轴对称可知，,，，   ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：；理由如下： 根据解析（2）可知，， ∴， ∴中，， 中，， ∴， 即； （4）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，当点F在D,H之间时，，    如图，当点D在F,H之间时，；    如图，当点H在F,D之间时，；    综上分析可知：或或． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形的知识，勾股定理等，将运动状态的所有可能考虑完备，分类讨论是解题的关键． 9．（23-24八年级上·四川成都·期中）“三等分一个任意角”是数学史上的一个著名问题，今天人们已经知道了仅用圆规和直尺是不可能作出的．某兴趣小组展开了以下探索： (1)在探索中，利用如图1所示的图形进行研究，其中，四边形是长方形，，是延长线上一点，连接交于点，点是上一点，且． ①求证：； ②若是边长为2的正方形，求出的面积和的长． (2)如图2，在长方形中，对角线的延长线与的平分线交于点，若，，求的长． 【答案】(1)①见解析；②的面积为，的长为 (2) 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了三角形的外角的性质，等边对等角，正方形的性质，平行线的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握这些知识并能灵活运用时解题的关键． （1）①根据等边对等角及三角形外角的性质即可证明； ②过点A作于点H，由正方形求出，，进而求出，由直角三角形的性质求出的长，由勾股定理、等腰三角形的性质求出的长，根据三角形的面积公式进行计算的面积，根据勾股定理求即可； （2）取中点O，连接，过点B作于H，利用矩形的性质和直角三角形的性质可证，然后仿照（1）证明，则可求，由（1）同理可得，，，进而得出，求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， 又， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， ∴，即； ②过A作， ∵四边形是正方形，边长为2， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴ ； （2）解：取中点O，连接，过点B作于H， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）可知：，，， ∴即， 解得， ∴． 10．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，在等边三角形中，点D、E分别在边上， ，连接、，与相交于P． (1)求证：； (2)如图2，过点A作，分别交、于M、N，比较与的大小并证明； (3)如图3，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、三角形三边关系的应用、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据条件证明，可得，再利用三角形外角的性质即可求解； （2）将绕点A顺时针旋转至，连接，根据，可得，从而证明，在中，利用三角形三边关系可得，从而证明即可； （3）过点A作，交于点M，N，由（2）可知，可得，进而得到，可证明，即可求解. 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ＝ ＝ ＝； （2）解：． 证明：将绕点A顺时针旋转至，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴； （3）解：过点A作，交于点M，N， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，三角形外角的性质等，灵活运用所学知识和正确作出辅助线是解题关键． 11．（八年级上·四川成都·期末）如图，△ABC与△ACD为正三角形，点O为射线CA上的动点，作射线OM与射线BC相交于点E，将射线OM绕点O逆时针旋转60°，得到射线ON，射线ON与射线CD相交于点F． (1)如图1，点O与点A重合时，点E，F分别在线段BC，CD上，求证：△OEC≌△OFD； (2)如图2，当点O在CA的延长线上时，E，F分别在线段BC的延长线和线段CD的延长线上，请证明：OC+CE＝CF； (3)点O在线段AC上，若AB＝6，BO＝2，当CF＝1时，请求出BE的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3或5 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用ASA证明△AEC≌△AFD即可得出结论； （2）过点O作OH∥BC，交CF于H，可知△COH是等边三角形，再利用ASA证明△OHF≌△OCE，从而解决问题； （3）作BH⊥AC于H，当点O在线段AH上，点F在线段CD上时，利用ASA证明△ONE≌△OCF，得CF=NE，OC=CN，从而得出BE的长；当点O在线段CH上，点E在线段BC上时，同理可得答案． 【详解】（1）证明：∵△ABC与△ACD为正三角形， ∴AB＝AC＝BC＝AD＝CD，∠BAC＝∠BCA＝∠ADC＝∠DAC＝60°， ∵将射线OM绕点O逆时针旋转60°， ∴∠EAF＝60°， ∴∠BAC＝∠CAD＝∠EAF＝60°， ∴∠EAC＝∠DAF，且AC＝AD， 在△AEC与△AFD中， ， ∴△AEC≌△AFD（ASA）， （2）证明：如图，过点O作OH∥BC，交CF于H， ∴∠HOC＝∠BCA＝60°，∠OHC＝∠HCE＝60°， ∴△COH是等边三角形， ∴OC＝CH＝OH， ∵∠EOF＝∠COH＝∠CHO＝∠BCA＝60°， ∴∠COE＝∠FOH，∠OCE＝∠OHF＝120°，OH＝OC， 在△OHF与△OCE中， ， ∴△OHF≌△OCE（ASA）， ∴CE＝FH， ∵CF＝CH+FH， ∴CF＝CO+CE； （3）作BH⊥AC于H， ∵AB＝6，AH＝CH＝3， ∴BH＝AH＝3， 当点O在线段AH上，点F在线段CD上时， ∵OB＝2， ∴OH＝＝1， ∴OC＝3+1＝4， 过点O作ON∥AB，交BC于N， ∴△ONC是等边三角形， ∴ON＝OC＝CN＝4，∠NOC＝∠EOF＝60°＝∠ONC＝∠OCF， ∴∠NOE＝∠COF，ON＝OC，∠ONC＝∠OCF， 在△ONE与△OCF中， ， ∴△ONE≌△OCF（ASA）， ∴CF＝NE， ∴CO＝CE+CF，   ∵OC＝4，CF＝1， ∴CE＝3， ∴BE＝6﹣3＝3， 当点O在线段CH上，点E在线段BC上时， 同法可证：OC＝CE+CF， ∵OC＝CH﹣OH＝3﹣1＝2，CF＝1， ∴CE＝1， ∴BE＝6﹣1＝5， 综上所述，满足条件的BE的值为：3或5． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造等边三角形是解题的关键． 12．（23-24八年级上·四川成都·期中）在中，，，绕点顺时针旋转一定的角度得到，是中点，连接、． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，当时，试判断和的数量关系； (3)当时，求的长 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【难度】0.4 【知识点】根据旋转的性质求解、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）先判断点P在上，然后求出，即可求解； （2）过点A作于Q，利用等腰三角形的性质可得，利用证明，得出，即可得出结论； （3）分点P在内部和点P在内部两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵绕点顺时针旋转一定的角度得到，， ∴，， ∴点P在上， ∴； （2）解： 理由：过点A作于Q， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点P在内部时， 过点P作于点M， 又，， ∴，， ∵D为中点，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）； ∴ 当点P在外部时 过点P作于点M， 同理可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）； ∴ 综上，当的值为或时，． 13．（23-24八年级上·四川成都·期中）从特殊到一般再到特殊是数学学习的重要模式，某数学兴趣小组拟做以下探究学习． 在中，，，将线段绕点C顺时针旋转（）得到线段，取中点H，直线与直线交于点E，连接． (1)【感知特殊】 如图1，当时，小组探究得出：为等腰直角三角形，请写出证明过程； (2)【探究一般】 ①如图2，当时，试探究线段，，之间的数量关系并证明； ②当时，直接写出线段，，之间的数量关系． (3)【应用迁移】 已知，在线段的旋转过程中，当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 (3)或 【难度】0.15 【知识点】用勾股定理解三角形、线段问题(旋转综合题)、等腰三角形的性质和判定、根据旋转的性质求解 【分析】（1）主要考查旋转背景下等腰三角形的三线合一的性质，再利用就可以确定，再由等腰三角形，求出，进而求出，最后利用是线段的垂直平分线，可以证明为等腰直角三角形． （2）同（1）作辅助线求解，可以求出，，之间的数量关系． （3）解决本题关键是能根据第二小问建立分类讨论思想，，，就足够说明和都是确定的，然后利用勾股定理求长和特殊角求长，的关系非常重要，就可以快速求出线段边长． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∵； ∴ ∴是的垂直平分线； ∴； ∴为等腰直角三角形． （2）①如下图，当时，设； ∵； ∴； ∵； ∴； ； ∴； 由第一问可以知道，为等腰直角三角形； ∴； 直接过点作的垂线，垂足为； ∴为等腰直角三角形 ∵,； ∴； ∴； 即，． ②如下图所示，同理由第问可以证明，依然是等腰直角三角形性； 当时，设； ∵； ∴； ∵； ∴； ∴； ∴； 直接过点作的垂线，垂足为； ∴； ∵； ∴； 在等腰直角三角形中； ； 即，． （3）解：如下图，当时； 在等腰直角三角形中，； ∴； ∵； ∴； ∵； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； 第二种情况，如下图，当时； 同理，可求，； ∵； 在中，由勾股定理得； ； ∴； ∵； ∴； ∴； 【点睛】本题主要考查旋转背景下等腰三角形的判定和性质，三线合一，垂直平分线的判定和性质，勾股定理解三角形，普通作图能力，旋转背景求线段长度要分类讨论，判定等腰直角三角形，固定旋转角，证明出角是关键，推导线段关系，利用等腰三角形的三线合一性质和角解直角三角形是重点，特别是在旋转背景下注意求线段长时，注重画图，分类讨论思想，每个不同的图，对应的线段长是不一样的，建立分类讨论思想和灵活利用特殊角解三角形解决本题是关键． 14．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，点A，B，C三点在一直线上，在同侧作，，若，分别平分，，过点B作的平分线交于点F． (1)已知，求的度数； (2)若，，求线段的长； (3)在（2）的条件下，若，求的长 【答案】(1) (2)8 (3)4.48 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、根据平行线的性质求角的度数、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据角平分线性质和三角形外角定理可得，结合即可求得答案； （2）由题干得和，由角平分线性质进一步得和，等腰三角形的判定和性质得即可； （3）延长交于G，作于H，由角平分线性质得，利用勾股定理得，根据三角形面积可得，进一步得到、和，由可求得，即可求得答案． 【详解】（1）解：，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）延长交于G，作于H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质及勾股定理，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，并利用勾股定理找到等量关系． 15．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图与为正三角形，点O为射线上的动点，作射线与直线相交于点E，将射线绕点O逆时针旋转，得到射线，射线与直线相交于点F． (1)如图①，点O与点A重合时，点E，F分别在线段，上，求证：； (2)如图②，当点O在的延长线上时，E，F分别在线段的延长线和线段的延长线上，三条线段之间的数量关系； (3)点O在线段上，若，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解答 (2) (3)满足条件的的值为4或2或6 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、角度问题(旋转综合题)、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，，由旋转的性质可得，易得，由“”可证； （2）过点O作交与点H，可证是等边三角形，可得，由“”可证，可得，即可得； （3）分四种情形画出图形分别求解即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图①中， ∵与为正三角形， ∴，， ∵将射线绕点O逆时针旋转， ， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下：， 如图②，过点O作交与点H， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：作于H． ，为正三角形，， ， ， 如图③中，当点O在线段上，点E在线段上时． ， ， ， 过点O作，交于N， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图③﹣2中，当点O在线段上，点E在线段上，点F在线段的延长线上时， 同法可证：， ， ； 如图③﹣3中，当点O在线段上，点F在线段上，点E在线段上时． 同法可证：， ， ， ； 如图③中，当点O在线段上，点F在线段的延长线上，点E在线段上时． 同法可知：， 而， ， ； 综上所述，满足条件的的值为4或2或6． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 16．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图所示，等腰直角 中，． (1)如图 1所示, 若 是 内一点，将线段绕点顺时针旋转 得到, 连接，求证：； (2)若D是外部一点，将线段绕点C顺时针旋转得到，并使，连接，猜想：线段和满足什么数量关系?请在图 2 中面出符合要求的图形 (一种即可)，并在你所画图形的基础上完成证明． (3)如图 3 所示， 若 O是斜边的中点，M为下方一点，且，，，求 的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)猜想，证明见解析 (3)7 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据旋转的性质可得，从而得到，可证明，即可证明结论； （2）连接交于点O，连接，根据旋转的性质可得，再证明，可得，从而得到，进而得到，可得到，即可得到结论； （3）过点O作于点O，使，连接，并延长交于点Q，交于点N，先证明，可得，，从而得到，再由，以及等腰直角三角形的性质可得，，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想，证明如下： 如图，连接交于点O，连接， ∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线， ∴； （3）解：如图，过点O作于点O，且，连接，并延长交于点Q，交于点N， ∵是等腰直角三角形，是斜边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，图形的旋转的性质，勾股定理，利用类比思想解答是解题的关键． 17．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，中，，，点为边上一点． (1)如图1，若，． ①求证：； ②若，求的值； (2)如图2，点为线段上一点，且，，，求的长． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、二次根式的混合运算、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①由可证，可得； ②过点作，交延长线于点，先证是等腰直角三角形，得出，，再设，则，由勾股定理求出，然后通过证是等腰直角三角形，可得，即可求解； （2）由旋转的性质可得，，，，由证，得，然后由勾股定理可求解． 【详解】（1）①证明：， ， 又，， ， ； ②解：如图1，过点作，交延长线于点， 则， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 设， 则， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ，， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ； （2）解：，， ， ，， ， 如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作于点， 由旋转的性质得：，，，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， 又，， ， ， 设， 则， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，本题综合性强，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 18．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图1，已知，，点在上，，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：为中点； (3)如图2，连接并延长，与延长线相交于点，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、二次根式的混合运算、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）首先由，得出角相等，再根据，得出结论即可． （2）首先连接、，由面积相等，得出，再作出高线，因为两个三角形底相等，所以高相等，从而得出三角形全等，得出即可． （3）首先连接，过点作，经过角的转换，得出相等的角和相等的线段，设出，得出，利用勾股定理求出线段的长，再利用，求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ，， ， ； （2）解：连接、， ∵，，， ， ， ， ， ， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为， 则． ，， 又， ， ， 为中点； （3）解：连接，过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 设， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知：， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 在中，， ， ，， ， 又∵， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，二次根式的混合运算．解题关键是灵活运用角之间的转换，熟知各个知识点． 19．（八年级·甘肃定西·期末）情景观察：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F． ①写出图1中所有的全等三角形　 　； ②线段AF与线段CE的数量关系是　 　，并写出证明过程． 问题探究： 如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E． 求证：AE=2CD． 【答案】①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF=2CE，详见解析. 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】情景观察：①由AB＝AC，AE⊥BC，AE是公共边，根据“HL”即可判断△ABE≌△ACE；根据等腰三角形“三线合一”和∠A＝45°，可求得∠DAF＝22.5°，利用等边对等角和三角形内角和定理求得∠B＝67.5°，在Rt△BDC中即可求得∠DCB＝22.5°，在Rt△ADC中由∠DAC＝45°可得AD＝CD，由“ASA”即可得出△ADF≌△CDB；②由①中△ADF≌△CDB得出AF＝BC，再由“三线合一”得出BC＝2CE，等量代换即可得出结论；问题探究：延长AB、CD交于点G，由ASA证明△ADC≌△ADG，得出对应边相等CD＝GD，即CG＝2CD，证出∠BAE＝∠BCG，由ASA证明△ABE≌△CBG，得出AE＝CG＝2CD即可． 【详解】解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB； 故答案为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB； ②线段AF与线段CE的数量关系是：AF＝2CE； 故答案为AF＝2CE． 证明：∵△BCD≌△FAD， ∴AF＝BC， ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴BC＝2CE， ∴AF＝2CE； 问题探究： 证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠GAD， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝∠ADG＝90°， 在△ADC和△ADG中， ， ∴△ADC≌△ADG（ASA）， ∴CD＝GD，即CG＝2CD， ∵∠BAC＝45°，AB＝BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠CBG＝90°， ∴∠G＋∠BCG＝90°， ∵∠G＋∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠BCG， 在△ABE和△CBG中， ， ∴△ABE≌△CBG（ASA）， ∴AE＝CG＝2CD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 20．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图1，在中，，，E为边的一点，F为边上一点，连接，交于点D且，平分交于点G． (1)求证：； (2)如图2，延长交于H，连接交于点M，过点C作交BE的延长线于点P，求证：； (3)在（2）问的条件下，当时，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形 【分析】（1）本题考查三角形全等的判定，等腰三角形的性质，根据等腰三角形性质及角平分线得到三角形全等的条件，即可得到证明； （2）本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，先证，得到从而得到即可得到证明； （3）本题考查直角三角形角所对直角边等于斜边一半，过点G作，先证，再根据直角三角形角所对直角边等于斜边一半即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）解：过点G作，垂足为O， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 由（2）得：， ∴， 在中，，． 21．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图1，在中，，将绕着点C旋转得到，其中．    (1)连接，直线交直线于点F． ①若，则________，________； ②若是以为腰的等腰三角形，求的长． (2)如图2，当点E恰好落在上时，连接，求的长． 【答案】(1)①，或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①根据旋转的性质可得，解勾股定理求出，再根据线段和差求出即可；②分与两种情况分别解题计算即可； （2）过点A作于点，作交的延长线于点H，构造直角三角形，利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）①解：由旋转可得， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：，； ②如图，当时，过点作于点， 则∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴；    如图，当时，则， 又∵， ∴， ∴；    综上所述，是以为腰的等腰三角形时，的长为或； （2）如图，过点A作于点，作交的延长线于点H， 又∵， ∴， ∴是矩形， ∴，， ∴， 在中, ，    【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22．（23-24八年级上·四川成都·期中）（1）在中，，，过点作直线的垂线，垂足为． （i）如图1，若，求线段的长； （ii）若，求线段的长． （2）如图2，在中，，过点作直线的垂线，交线段于点．将沿直线翻折后得到对应的，连接，若，求线段的长． 【答案】（1）（i）12；（ii）14或4；（2）． 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理与折叠问题 【分析】此题考查了勾股定理、折叠问题等知识． （1）（i）设，则，利用勾股定理得到，则，求出，则； （i）分为锐角和钝角两种情况进行解答即可； （2）连接交于点，则，过点作于，在中，，在中，，根据折叠得到，设，则，由勾股定理得到，求出，进一步由勾股定理进行解答即可． 【详解】解：（1）（i）设，则， ， ， 在中，， 在中，， ， ，， ， ， ， ； （i）在中，， 在中，， 当为锐角时，如图，， 当为钝角时，如图，； （2）如图2，连接交于点，则，过点作于， 在中， 在中， 垂直平分， ∴ ， ， ， 设，则 ， ， ， 23．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，在长方形中，，点P在上，点E在上，且． (1)如图1，若，点E与点B重合，求k的值； (2)如图2，若，，求k的值； (3)如图3，，，求k的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是发现全等三角形和等边三角形． （1）先利用勾股定理计算，进一步得出，即可求解； （2）先利用勾股定理计算，再进一步得出，求出后即可求解； （3）先判定是等边三角形，得出，利用勾股定理得出，证明后利用其性质即可求解． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、最值问题 24．（23-24八年级上·四川成都·期中）【阅读材料】 我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，∵， ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为2． 【模仿探究】 请利用以上结果解决下面的问题： （1）当时，求的最小值，并求出此时a的值； （2）当时，求的最小值，并求出此时a的值； 【应用意识】 （3）如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为平方米，斜边需要用栅栏围上，求栅栏的最小值． 【答案】（1）的最小值为，此时；（2）的最小值，此时；（3）栅栏的最小值为 【难度】0.65 【知识点】利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了二次根式的运算, 勾股定理的应用； （1）仿照材料中的例子，可求得； （2）先化成材料中的例子的形式，再仿照材料中的例子，可求得； （3）利用三角形面积公式设出两条直角边，勾股定理求得斜边的式子，求最小值． 【详解】解：（1）当时， ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为． （2）当时， ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为． （3）设，则，则 ∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为． ∴ 25．（八年级上·浙江金华·期中）已知中．    (1)如图1、2，若点是上一点，且，点是上的动点，将沿对折，点的对应点为（点和点在直线的异侧），与交于点． ①当时，求的度数． ②当是等腰三角形时，求的度数． (2)如图3，若点是上一点，且，是线段上的动点，以为直角构造等腰直角（三点顺时针方向排列），在点的运动过程中，直接写出的最小值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）①利用翻折变换的性质求出，可得结论； ②分三种情形，利用翻折变换的性质分别求出即可； （2）如图3中，连接，，过点作直线，于点，作点关于直线的对称点，连接，证明≌，推出，推出点在直线上运动，由关于直线对称，推出，，根据，求出，可得结论． 【详解】（1）解：①当时，由翻折的性质可知， ， ∴； ②当时， ， ∴； 当时，， ∴； 当时， ， ∴（舍去） 综上所述，为或 （2）解：如图，连接，，过点作直线，于点，作点关于直线的对称点，连接    ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴≌ ∴， ∴点在直线上运动， ∵关于直线对称， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了翻折变换，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 26．（八年级上·江苏盐城·期中）【问题情境】如图1，把一块三角板（，）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为___________． 【变式探究】如图2，在中，点D、E、F分别在边上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中一组，并说明理由． 【拓展应用】如图3，在中，，点D、F分别是边 上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接． ①试判断线段之间的数量关系，并说明理由； ②如图4，点G是的中点，，连接，则的最小值为___________． 【答案】，见解析，①，见解析，② 【难度】0.15 【知识点】全等三角形综合问题、其他问题(轴对称综合题) 【分析】问题情境：证明 即可解答； 变式探究：利用等量代换即可求解； 拓展应用：①用等量代换即可求解；②如图5，在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接、，先证明 ，得到，在求出，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为，在中求出即可． 【详解】问题情境： 解：，理由如下： ∵ ， ， ， ， ∵， ， ∴． 故答案为. 变式探究： ,理由如下： ∵， ∴， ∴. 拓展应用： ①， ， ， ， ②在上截取，连接，作点G关于的对称点N，连接、， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴E点在射线上运动， ∵G点与N的关于对称， ∴， ∴， ∴当A、E、N三点共线时，的值最小，最小值为， ∵， ∴， ∴， 由对称性可知，， ∴， ∵点G是的中点，， ∴， ∴， 在中,， ∴的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称求最短距离的方法等知识点，掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 四、B23题专项 27．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转到处，此时线段与的交点为的中点，线段的长为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的面积，勾股定理，作于，利用勾股定理求出，再根据旋转的性质可得， ，，，然后利用面积法求出，又由勾股定理得到， ，再由即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：作于，如图， 在中，，，， ∴ 是直角三角形，，   ∵绕顶点逆时针旋转到 ， ∴， ，，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 故答案为：． 28．（八年级上·四川成都·期中）如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接沿着直线翻折，得到交于点G，连接交于点F．若的面积为，则的长度为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握等面积法成为解题的关键． 由折叠的性质可得，再证可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，运用勾股定理可得，再运用等面积法求得，进而得到，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解:由折叠得，， 在和中， ， , ， （三线合一）， 又,     ∴由勾股定理得：， ， ， ， ∵在中，, ，即, ， , ∵在中，， ． 故答案为：． 29．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，D为外一点，连接，，，发现，且，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定；如图所示，以为直角边作等腰直角三角形，则，证明得出，进而勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为直角边作等腰直角三角形，则，连接， ∴，则， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 30．（八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰直角中，，点E是边上一点，点D是边上的中点，连接，过点E作，满足，连接，交于点M，将沿翻折，得到，连接，交于点P，若，则的长度是 ． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】求一次函数解析式、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】以点A为坐标原点，AC，AB分别为x，y轴建立直角坐标系，过点E作EG⊥AB于G，根据，可求出点E（2，−6），点F（8，8），从而直线BC的函数解析式为：y＝x−8，直线DF的函数解析式为：y＝−2x＋8，联立得到M点坐标，再根据翻折得到DM=DN，证明△DNS≌△MDR求出N点坐标，再联立直线求出P点坐标，根据坐标与勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，以点A为坐标原点，AC，AB分别为x，y轴建立直角坐标系， ∵AB＝AC＝8， ∴B（0，−8），C（8，0），△ABC是等腰直角三角形 ∵点D是AC边上的中点， ∴AD＝4， ∴D（4，0）， 过点E作EG⊥AB于G，过点E作EH⊥AC于H，作EH⊥FQ于Q点，过N点作NS⊥AC与S点，过M点作MR⊥AC于R点 ∵，∠ABC=45° ∴△BEG是等腰直角三角形 ∴EG＝BG，EG2+BG2=BE2 ∴EG＝BG＝2， ∴E（2，−6）， ∵， ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴∠DEF=90°，∠DEH+∠QEF=90° 又∠EFQ+∠QEF=90° ∴∠DEH＝∠EFQ， 又∠DHE=∠EQF=90°DE=FE ∴△DEH≌△EFQ（AAS）， ∴EQ＝HD，HE＝QF， ∴F（8，-8）， 设直线BC的解析式为y=ax+b，把B（0，−8），C（8，0）代入得 解得 ∴直线BC的函数解析式为：y＝x−8， 设直线DF的解析式为y=mx+n，把D（4，0），F（8，-8）代入得 解得 ∴直线DF的函数解析式为：y＝−2x＋8， 当x−8＝−2x＋8时， ∴x＝， ∴y＝−8＝− ， ∴M（，− ）， ∵将沿翻折，得到， ∴∠NDM＝2∠EDF＝90°，DN=DM ∴∠RDM+∠SDN=90° ∵∠SND+∠SDN=90° ∴∠SND=∠RDM， 又∠DSN＝∠MRD，DN=DM ∴△DNS≌△MDR（AAS）， ∴SD=RM=，SN=DR=-4=，AS=AD-SD=4-= ∴N（，−）， 设直线DE的解析式为y=px+q，把D（4，0），E（2，−6）代入得 解得 ∴直线DE的函数关系式为：y＝3x−12， 设直线NF的解析式为y=cx+f，把N（，−），F（8，-8）代入得 解得 ∴直线NF的函数解析式为：y＝−x， 当3x−12＝−x时， ∴x＝3， ∴y＝−3， ∴点P（3，−3）， ∴=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，建立坐标系，运用代数方法解决几何问题，求出相应的函数解析式是解题的关键． 31．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在四边形中，对角线互相垂直平分，点，Q分别是边，线段上的点，连接与相交于点．，且，则 ；当时，设，则的长 ．（用含a的代数式表示）．    【答案】 120 【难度】0.4 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等，根据菱形的性质可得，再根据各角的关系得出，由含30度角的直角三角形的性质可得，进而得出，再证是等边三角形，求出，再证，推出，最后用勾股定理解即可． 【详解】解：四边形中，对角线互相垂直平分， 四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， 菱形中， ， ； 中，，， ， ， ， ， ，， 是等边三角形， ， ，， ， ， 解得，， 如图，连接，    由菱形的性质得， 在和中， ， ， ，， ， 在中，． 故答案为：120；． 32．（23-24八年级上·四川成都·期中）数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是 ． 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活应用勾股定理是解题的关键．仿照例题，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，问题转化为求的最小值，利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：依题意如图，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长， 故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为的长， ∴，，，，， ∴， ∴， 代数式的最小值是5． 故答案为：5． 33．（23-24八年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，若点P关于直线m的对称点在图形Q的内部（不包含边界），则称点P是图形Q关于直线m的“伴随点”．如图，已知，，，直线l：，若原点O是关于直线l的“伴随点”，则b的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求一次函数解析式、画轴对称图形、代入消元法 【分析】本题主要考查轴对称变换后点的轨迹问题，如果满足必须在的内部，那么这个对称点一定在线段的下方，线段上方， 线段下方，可以发现点O关于直线对称后的轨迹是直线，并且点是在直线上的， 只需求直线与直线的交点即可，利用中点坐标公式，继续求此时b的值，就可以求出b的取值范围了． 【详解】解：如下图所示，点O关于直线的对称点，并且轨迹为直线； 直线与直线交点为点，与直线交点为点接下来只要求两个点的交点坐标即可，B点通过观察，直角在直线上，直接求G点即可； ∵，； 设直线解析式为； 把两个点带入解析式中的得； ； 解得：，； ∴； 在联立两条直线求交点G坐标； ； 解得：，； ∴； 在计算线段中点坐标，线段中点坐标，分别带入中； 其中线段中点为，线段中点为 可以求出两个b的值，，； ∴； 故答案为：．    34．（23-24八年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，将两个端点横、纵坐标均为整数且长为整数的线段称之为“整线段”．例如，，则，所以为“整线段”．已知线段为“整线段”，其中A在x轴上，B在y轴上，在不改变线段长度的条件下改变A在x轴上的位置，改变B在y轴上的位置，使其成为一条新的“整线段”．若存在使得，则称这样的“整线段”为“不一整弦”（直角三角形斜边被称之为“弦”，古诗亦有云“纵横意不一，然诺心无二”，结合性质“整”故此得名“不一整弦”）．若将所有的“不一整弦”按长度从小到大的顺序排列，则第1条“不一整弦”的长为 ；第3条“不一整弦”的长为 ． 【答案】 5 13 【难度】0.85 【知识点】新定义下的实数运算、用勾股定理解三角形、点坐标规律探索 【分析】本题考查新定义问题，特别是坐标与图形，理解新定义应用新定义，联系实际是解决问题的关键． 根据题意可得符合条件的“整线段”有（3，0）、（0，4）对应“不一整弦”的长为 5；（6，0）、（0，8）对应“不一整弦”的长为 10；（5，0）、（0，12）对应“不一整弦”的长为 13；（9，0）、（0，12）对应“不一整弦”的长为 15；（12，0）、（0，16）对应“不一整弦”的长为 20等． 【详解】解：根据题意可得符合条件的“整线段”有、对应“不一整弦”的长为 5； 、对应“不一整弦”的长为 10； 、对应“不一整弦”的长为 13； 、对应“不一整弦”的长为 15； 、对应“不一整弦”的长为 20等， 最小的应该为：5，第三条为13， 故答案为：5；13． 35．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，矩形中，，，为边上一点，．点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动，连接．设点运动的时间为秒．当为 时，为等腰三角形． 【答案】或或 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理的应用；根据矩形的性质求出，，求出后根据勾股定理求出；过作于，过作于，求出，当时，，即可求出；当时，求出，即可求出；当时，则，求出，即可求出． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， 在中，，，，由勾股定理得：； 过作于，过作于， 则，， 若是等腰三角形，则有三种可能： 当时，， 所以； 当时，， 所以； 当时，设，，则， 则， 解得：， 则， 综上所述或4或时，为等腰三角形． 故答案为：或或． 36．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）对于一个四位自然数N，若它的千位数字比个位数字多2，百位数字与十位数字的和为9，则称N为“长久数”．如：四位数7365，∵，，∴7365是“长久数”；四位数8476，∵，∴8476不是“长久数”，则最小的“长久数”为 ；一个“长久数”N的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，，若能被6整除，则当取最大值时，“长久数”N为 ． 【答案】 2090 【难度】0.4 【知识点】新定义下的实数运算、整式加减的应用 【分析】根据题中“长久数”可求得最小的“长久数”；根据题意得出，，，，，，，，得出，当，时，能被6整除，且最大，求出N值即可． 【详解】解：根据长久数的定义：千位数字最小为：2，个位数字最小为0， 又∵百位数字与十位数字的和为9， ∴百位数字最小为：0，则十位数字只能为9， 所以最小长久数为：2090；； ∵一个“长久数”N的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d， ∴，，，，，， ∴ ， ， ∴ ， ∵，， ∴当，时，，能被6整除，且最大， ∴此时“长久数”N为． 故答案为：2180；． 【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键． 37．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知在等腰中，，，，点是直线上一点，连接，在的右侧做等腰，其中，，连接，则的最小值为 （用含的代数式表示）．    【答案】 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】如图所示，过点作，过点作，延长交于点，可证，，，根据三角形内角和关系可得，，，当点三点共线时，的值最小，在中，可得，可证是等腰三角形，为的中点，可得，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，过点作，延长交于点，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， 当点三点共线时，的值最小， ∴当点三点共线时， ∵， ∴点于点重合，如图所示，    在中，，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，， ∴为的中点，且，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角的判定和性质，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识的综合，掌握以上知识，图形结合分析是解题的关键． 38．（广东省深圳市宝安区七年级下学期期末数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝12，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE⊥AD交AB于点E，P是DE上的动点，Q是BD上的动点，则BP+PQ的最小值为 【答案】8 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据成轴对称图形的特征进行求解、垂线段最短 【分析】过D作DF⊥AB于点F，连接PF，可得到△ACD≌△AFD，从而得到AF=AC=4，∠ADF=∠ADC，再由AD⊥DE，可得∠EDF=∠BDE，作点Q关于DE的对称点G，连接PG，BG，则∠BDE=∠EDG，PQ=PG，可得到点G在直线DF上，BP+PQ=BP+PG≥BG，从而得到BP+PQ的最小值为BG的长，且当BG⊥DG时，BG最小，此时点G与点F重合，即可求解． 【详解】解：如图，过D作DF⊥AB于点F，连接PF， ∴∠AFD=∠C=90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAF=∠CAD， ∵AD=AD， ∴△ACD≌△AFD， ∴AF=AC=4，∠ADF=∠ADC， ∴BF=AB-AF=8， ∵AD⊥DE， ∴∠BDE+∠ADC=90°， ∵∠EDF+∠ADF=90°， ∴∠EDF=∠BDE， 作点Q关于DE的对称点G，连接PG，BG，则∠BDE=∠EDG，PQ=PG， ∴点G在直线DF上，BP+PQ=BP+PG≥BG， ∴BP+PQ的最小值为BG的长，且当BG⊥DG时，BG最小，此时点G与点F重合， ∴BP+PQ的最小值为BF=8． 故答案为：8 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，轴对称——最短距离问题，根据题意得到BP+PQ的最小值为BF是解题的关键． 39．（八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为x轴上一动点，以为边在直线的右侧作等边三角形．若点P为的中点，连接，则长的最小值为 ． 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、垂线段最短、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查最短距离，全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，以为边作等边三角形，过点E作于F，连接，得，可证，将转化到上，轴时为最小值，即可求得答案． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，过点E作于F，连接， ∵点A的坐标为， ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当有最小值时，有最小值， 即轴时，有最小值， ∴的最小值为， ∴的最小值为9， 故答案为：9． 40．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知直线，与之间的距离为6，点，在直线上，且，点，在直线上，，点为线段上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.15 【知识点】等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】如图所示，过点C作于W，根据平行线的性质得到，则，据此求出，则点B与点W重合；如图所示，以点B为一个顶点，以长为边，向上作等边，点M在直线上，取中点H，以为边作等边，连接，延长交直线于T，连接，证明，得到，则，取中点K，连接，则是的中位线，由平行线的唯一性可知此时直线和直线重合，即点G与点K重合，则点G为的中点，证明，，得到，则，则当最小时，最小；设直线交直线于N，则证明，得到当T、E、P三点共线，且时，最小，即最小，如图所示，过点M作交直线于Q，在中，，则，，求出，，得到，即可得到的最小值为． 【详解】解：如图所示，过点C作于W， ∵，， ∴， ∵与之间的距离为6， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点B与点W重合， 如图所示，作点D关于直线的对称点P，连接， ∴， ∴， ∴点P在直线上运动， 如图所示，以点B为一个顶点，以长为边，向上作等边，点M在直线上，取中点H，以为边作等边，连接，延长交直线于T，连接， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 取中点K，连接，则是的中位线， ∴， 由平行线的唯一性可知此时直线和直线重合，即点G与点K重合， ∴点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， 设直线交直线于N，则， ∵， ∴， ∴， ∴当T、E、P三点共线，且时，最小，即最小， 如图所示，过点M作交直线于Q， 在中，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为9， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，轴对称的性质，平行线的性质与判定，三角形中位线定理等等，通过作出辅助线构造全等三角形把求两条线段的和转换成点到直线的距离是解题的关键． 41．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在等腰中，，，点是边上一动点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，则的最小值是 ．    【答案】 【难度】0.15 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】在上取一点，连接，使,在上截取，连接， 作直线, 因为, ,所以，，求得，可证明，得， 可知点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， 则，，则，， 可证明，所以点在的延长线上，，作于点，则 ，， 所以，求得，由得，则的最小值，于是得到问题的答案． 【详解】解：在上取一点，连接，使，在上截取，连接，作直线，    ∵，， ∴，，， ∴， ∵由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在经过上的定点且与相交成的锐角等于的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交于点，连接、、， ∵垂直平分，是等边三角形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， 连接，则， ∵， ∴， ∴点在的延长线上， ∴， 作于点，则，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：．    【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 42．（八年级上·四川成都·期末）已知中，，，边上的高，D为线段上的动点，在上截取，连接，，则的最小值为 ． 【答案】13 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、连接两点作辅助线全等（全等三角形的辅助线问题）、用勾股定理解三角形 【分析】通过过点A作的平行线，并在上截取，构造全等三角形，得到当B，D，H三点共线时，可求得的最小值；再作垂线构造矩形，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点A作的平行线，并在上截取，连接，． 则． 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴当B，D，H三点共线时，的值最小，即的值最小，为的长． ∵，，， ∴在中，由勾股定理，得 ． 如图，过点H作，交的延长线于点M，则四边形为长方形， ∴，， ∴在中，由勾股定理，得 ． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 【点睛】本题属于没有共同端点的两条线段求最值问题这一类型，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识．解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形． 43．（八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，，是线段边上的动点（不与点，重合），将沿所在直线翻折，得到，连接，当取最小值时，则的值为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】根据正方形的性质与判定求线段长、折叠问题 【分析】根据翻转变换的性质可知BC＝C＝1，当A、、C三点在一条直线上时，A有最小值，根据题意作图，过P点作PH⊥BC，PQ⊥AC，得到四边形PQCH是正方形，利用面积法求出PQ的长，再根据勾股定理求出AP的长． 【详解】解：∵在中，，， ∴AC= 由翻转变换的性质可知：BC＝C＝1，故当A、、C三点在一条直线上时，A有最小值， 过P点作PH⊥BC，PQ⊥AC， ∴∠ACB=∠PHC=∠PQC=90° ∴四边形PQCH是矩形 ∵翻转 ∴△BCP≌△CP ∴PH=PQ ∴四边形PQCH是正方形 设PQ=x，则PH=x ∵S△ABC=S△APC+S△PBC ∴ 即 解得x= ∴AQ=2-= ∴AP== 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是翻转变换的性质、线段的性质，根据题意找到的位置是解题的关键． 44．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，如图点，，轴，垂足为，点为线段上一动点，为中点，为中点，为中点，当周长最小时，点坐标为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的性质和判定、坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】如图，延长至点G，使，连接，，，作点N关于的对称点H，连接交于K，连接，，先证明，得出点F在上运动，证明，即为定值，则当周长最小时，最小，当F和K重合时，取最小值，证明，设，则，，，然后利用两点间距离公式求解即可． 【详解】解：如图，延长至点G，使，连接，，，作点N关于的对称点H，连接交于K，连接，， ∵，，轴， ∴，，，， ∵为中点，为中点， ∴，， ∴，即为定值， ∵，为中点， ∴， ∵为定值， ∴当周长最小时，最小， ∵点N、点H关于的对称， ∴，， ∴，， 当F和K重合时，取最小值， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴取最小值时，， ∴， 解得， ∴， ∴当时，周长最小． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，判断点F的运动轨迹是解题的关键． 45．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，正方形的边长为5，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】// 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．以为边作等边，连接，过点H作于N，于M，可证四边形是矩形，可证，证，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接，过点H作于N，于M， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴点F与点M重合时，， 故答案为：． 46．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，线段的长度为5，点，为线段外一动点，且，，，线段长的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定 【分析】证明线段长的最大值线段长的最大值，当在线段的延长线时，线段取得最大值，最大值，再求出答案即可．此题考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质和利用旋转作辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，    由题意知，，， 将绕着点顺时针旋转得到，连接， 则是等腰直角三角形，， ， ， 线段长的最大值线段长的最大值， 当在线段的延长线时，线段取得最大值，最大值， 是等腰直角三角形， ， 线段长的最大值为． 故答案为： 47．（八年级上·江苏常州·期中）如图，纸片的直角边AC落在直线l上，，，，平面内一点O到直线l的距离为9，纸片沿直线l左右移动，则的最小值是 ．    【答案】13 【难度】0.15 【知识点】用勾股定理解三角形、轴对称综合题(几何变换) 【分析】过点O做直接m平行直线l，作点B关于直线m的对称点B1，当A、O、B1共线时，最小，即可求得． 【详解】过点O做直接m平行直线l，作点B关于直线m的对称点B1 当A、O、B1共线时，最小 C B1=9+9－6=12 根据勾股定理得 A B1==13 ∴的最小值是13 故答案为：13    【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键． 48．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，为线段上一动点，将点绕点逆时针旋转得到，连接，当最小时，点的坐标为 ．    【答案】 【难度】0.4 【知识点】含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】取，连接，利用勾股定理求出，进而证明是等边三角形，得到，则，证明得到，进而推出点D在直线上运动；设直线于x轴交于F，则，进而求出，故当时，最小，设此时点D在处，作轴，轴，垂足分别为G、H，则，，求出，则，，进一步求出，则，则，即可推出，由此可得答案． 【详解】解：如图所示，取，连接，    ∵， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵A、E是定点，的度数为定值， ∴点D在直线上运动， 设直线与x轴交于F，则， ∴， ∵点到直线上一点的距离垂线段最短， ∴当时，最小，设此时点D在处， 作轴，轴，垂足分别为G、H， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当最小时，点D的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造全等三角形确定点D的轨迹是解题的关键． 49．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，长方形中，，点分别为线段上动点，且，点是线段上一点，且满足，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，当 时，点与点重合，在运动过程中，线段长度的最大值是 ． 【答案】 / 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理的应用，当与点合时，设设，则，，在中，由勾股定理得： 即可求出，再根据图形取中点，通过分析可知只有当三点共线时，长度最大，利用勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当与点重合时，如图： 由于轴对称性质可知：， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 则； 如图：取中点， ∴， 由题意知，无论如何变动，经过点，连接，，， 在中，， ∵四边形关于对称得到四边形， ∴， 故只有当三点共线时长度最大， 此时， 过点作， ∵，， ∴在中，，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$