2024--2025学年北师大版八年级数学上册期中复习讲义3-位置与坐标

2024--2025学年北师版八年级年级上学期中复习讲义3-位置与坐标 一、点的位置的确定 两点之间距离公式 1．（八年级上·广东佛山·期中）平面直角坐标系中，点P位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断点所在的象限 【分析】根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：点P所在的象限是第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 2．（九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，点P（a，）在第四象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】根据第二象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵点P（a，）在第四象限， ∴ ， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）． 3．（七年级下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，那么点在第 象限． 【答案】四 【难度】0.85 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】根据在第一象限中，横纵坐标都大于0得到m和n与0的关系，再判断B点横纵坐标的符号，再根据每个象限的特点即可解答． 【详解】解：∵点在第一象限， ∴， ∴， ∵点在第四象限， 故答案为：四． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 4．（八年级上·四川成都·期中）若点在y轴上，则点M的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】直接利用y轴上点的坐标特点得出a的值，进而得出答案． 【详解】点在y轴上， ， 解得：， 则， 则点M的坐标为：． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出a的值是解题关键． 5．（七年级下·浙江台州·期末）点在x轴上，则点A的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】直接利用x轴点的坐标性质得出答案． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， 解得 ∴点A的坐标为：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确记忆x轴上点的坐标性质是解题关键． 6．（七年级下·辽宁抚顺·期末）在平面直角坐标系中，已知A(﹣2，4)，B(3，4)，则AB的长度为 ． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形 【分析】先根据点A、B的坐标可得轴，再根据AB的长度等于A、B两点的横坐标之差即可得． 【详解】∵， ∴直线轴， 则线段AB的长度为， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了求两点之间的距离，根据A、B点坐标得出轴是解题关键． 7．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知点，，则和满足（　　） A．关于y轴对称 B．直线过原点 C．关于x轴对称 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称，根据和横坐标相同，纵坐标互为相反数可知和都在直线上，且二者关于x轴对称，进而可得，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴和都在直线上，且二者关于x轴对称， ∴直线不过原点，， 故选：C． 8．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知点，到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ；点到y轴的距离是 ． 【答案】 6 4 2 【难度】0.85 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了平面直角坐标系的点到轴的距离，到轴的距离，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标的几何意义及两点间的距离公式．根据横坐标的绝对值就是点到轴的距离，纵坐标的绝对值就是到轴的距离求解即可． 【详解】解：由点可知， 此点到轴的距离为， 到轴的距离为， 点到y轴的距离． 故答案为6，4，2 9．（七年级下·辽宁大连·期中）平面直角坐标系中，若点A在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点A的坐标为 ． 【答案】（-2，3） 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：∵点A在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2， ∴点A的横坐标是−2，纵坐标是3， ∴点A的坐标是（−2，3）． 故答案为：（−2，3）． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 10．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知点在第一象限，它到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了点的坐标，解题关键是“第一象限内的点横纵坐标都是正数”．点到x轴的距离是纵坐标，点到y轴的距离是横坐标． 【详解】解：∵点P在第一象限，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∴点P的坐标是． 故答案为：． 11．（八年级上·安徽六安·阶段练习）已知平面直角坐标系第四象限内的点到两坐标轴的距离相等，则m的值为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答． 【详解】解：∵点P在第四象限，点到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得（舍去）或． 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 12．（23-24八年级上·四川成都·期中）当为 时，点到轴的距离等于它到轴距离的一半． 【答案】0或 【难度】0.85 【知识点】求点到坐标轴的距离、绝对值方程 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于它到轴距离的一半得出，求解即可，熟练掌握点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是其横坐标的绝对值是解题的关键． 【详解】由题意得，， ∴或， 解得或， 故答案为：0或． 13．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知点，点．若轴，则的值为 ． 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形 【分析】根据轴，得到纵坐标相同，列式计算即可，本题考查了平行坐标轴的点的坐标特征，熟练运用平行于轴的直线上点的特征求得点的坐标是解题的关键． 【详解】∵点，点．轴， ∴， 解得， 故答案为：1． 14．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知点与点所在直线与x轴平行，那么a的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形 【分析】本题主要考查了直线平行于x轴的上两不同点的坐标特点．根据“直线平行于x轴纵坐标相等”列式计算可得的值，即可解答． 【详解】解：∵点，点，所在直线平行于x轴， ∴，即， 故答案为：． 15．（七年级下·北京丰台·期末）已知的坐标为，直线轴，且，则点的坐标为（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据平行于x轴的直线是上的点的纵坐标相等求出点B的纵坐标，再分点B在点A的左边与右边两种情况求出点B的横坐标，即可得解． 【详解】∵AB//x轴，点A的坐标为(1,2)， ∴点B的横坐标为2， ∵AB=5， ∴点B在点A的左边时，横坐标为1−5=−4， 点B在点A的右边时，横坐标为1+5=6， ∴点B的坐标为(−4,2)或(6,2)． 故选D. 【点睛】此题考查坐标与图形-轴对称，解题关键在于掌握运算法则. 16．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知，，线段平行于轴，且，则 ． 【答案】4或/或4 【难度】0.85 【知识点】绝对值方程、坐标与图形 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据线段轴，可知两点纵坐标相等；再根据列式，计算即可求解． 【详解】解：∵，，线段轴，， ∴， 解得：或． 故答案为：4或． 17．（七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，若轴，轴，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求点到坐标轴的距离 【分析】根据平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等，平行于轴的直线上所有点的横坐标相等计算即可； 【详解】解：∵，，．轴，轴， ∴且， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中平行于坐标轴的直线上点的特征和代数式求值，准确计算是解题的关键． 18．（七年级下·湖南长沙·期中）已知，点P在x轴上，且面积是4，则点P的坐标是 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形 【分析】设，利用三角形的面积公式构建绝对值方程求出m即可． 【详解】解：设， 由题意：， ∴或3， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查三角形的面积、坐标与图形性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 19．（15-16八年级上·安徽宿州·期中）如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲）的坐标为（﹣2，2），黑棋（乙）的坐标为（﹣1，﹣2），则白棋（甲）的坐标是 ．    【答案】（2，1）． 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【详解】试题解析：如图， 白棋（甲）的坐标是（2，1）． 考点：坐标确定位置． 20．（八年级上·河南郑州·期中）如图，如果“仕”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标，那么“炮”所在位置的坐标为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据“仕”、 “炮”的相对位置即可求解． 【详解】解：∵“仕”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标 且“相”在“仕”的右边距离“仕”3个单位长度 又∵“炮”在“仕”的左边且水平方向上距离“仕”2个单位长度，竖直方向上距离“仕”3个单位长度， ∴“炮”所在位置的坐标为： 即： 故选：A    【点睛】本题考查位置与坐标．确定研究对象的相对位置是解题关键． 21．（八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（﹣，1） 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形、垂线模型(全等三角形的辅助线问题)、根据正方形的性质证明 【分析】首先作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，利用“一线三垂直”模型证明≅，即可求出点C的坐标． 【详解】解：如图所示，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，则∠OEC=∠ADO=90°， ∴∠COE+∠ECO=90°， ∵A的坐标为（1，）， ∴AD=，OD=1， ∵四边形OABC为正方形， ∴OA=OC，∠AOC=90°， ∴∠AOD+∠COE=90°， ∴∠AOD=∠OCE， 在和中， ∵ ∴≅（AAS）， ∴OE=AD=，CE=OD=1， ∴C（-，1）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形的综合以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握三角形的性质，证出全等三角形是解题的关键． 22．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，等边中，，在平面直角坐标系中点，点，则点的坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，过点作轴于点，取的中点，则，得出是等边三角形，进而得出轴，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， 点， ∴，则， 取的中点，则， ∴ ∴是等边三角形， ∴ 是等边三角形， ∴ ∴轴， 又∵点， ， 故选：A． 23．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为，将沿翻折得交x轴于点D，则D的坐标是 ，E的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形、坐标与图形 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，翻折问题，矩形的性质，勾股定理．过点轴，根据折叠的性质及矩形的性质可得，最后根据勾股定理求出，再由三角形的面积，即可解答． 【详解】解：作轴于点F，则， ∵矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 故答案为：； 二、对称性 24．（福建省龙岩市永定区、连城县2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题）已知点与点关于原点对称，则的值是（     ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得，再计算x+y即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握坐标的变化规律． 25．（九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知点和点关于原点对称，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求关于原点对称的点的坐标 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可进行解答． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数． 26．（八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，与点关于轴对称的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同进行求解即可． 【详解】解：与点关于轴对称的点是， 故选A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于y轴对称的点横坐标互为相反数是解题的关键． 27．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据点与点关于轴对称可以得出，，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了关于轴对称的点的特征、求代数式的值，熟练掌握关于轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等是解此题的关键． 28．（17-18八年级下·福建泉州·期中）点P（2，－3）关于x轴对称点的坐标是  （     ） A．（—2，－3） B．（2，3） C．（－2，3） D．（－3，2） 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、点坐标规律探索 【分析】点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，-n），然后将题目已经点的坐标代入即可求得解． 【详解】∵P（2，-3）关于x轴对称， ∴对称点的坐标为（2，3） 故选B. 【点睛】本题考查平面直角坐标系点的对称性质， 点P（m，n）关于x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数. 29．（八年级上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（　　） A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2 B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0 C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2） D．点C（﹣3，2）在第一象限内 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、判断点所在的象限、坐标与图形变化——轴对称 【分析】分别根据坐标系中点的坐标到坐标轴的距离；在x轴上的点的纵坐标为零；关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数；各个象限上的点的坐标符号逐一判断即可． 【详解】解：A．已知点M（2，-5），则点M到x轴的距离是|-5|=5，故本选项不合题意； B．若点A（a-1，0）在x轴上，则a可以是全体实数，故本选项不合题意； C．点A（-1，2）关于x轴对称的点坐标为（-1，-2），故本选项符合题意； D．C（-3，2）在第二象限内，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标以及点的坐标，掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解答本题的关键． 30．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在轴上分别截取，使，再分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点．若的坐标为，则 ． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题考查了角平分线的作法及其性质在坐标与图形性质问题中的应用，明确题中的作图方法及角平分线的性质是解题的关键．根据作图方法可知点在的角平分线上，由角平分线的性质可知点到轴和轴的距离相等，结合点在第一象限，可得关于的方程，求解即可． 【详解】解：∵，再分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点， ∴点在的角平分线上， ∴点到轴和轴的距离相等， 又∵点在第一象限，点的坐标为， ∴， ∴． 故答案为：． 31．（七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知直线轴，点的坐标为，并且线段，则点的坐标为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形 【分析】由直线轴可得的纵坐标相等，且为2，再根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：直线轴，点的坐标为， 的纵坐标相等，且为2， 设点的横坐标为，则由， 解得：或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握平行于轴的直线上的点的纵坐标相等是解题的关键． 32．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称图形，其中点的对称点坐标为，点为图象上的一点，则点在图象上的对称点坐标为 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟练掌握对应点的连线被对称轴垂直平分是解题的关键． 先求出对称轴的表达式，设点在图象上的对称点坐标为，根据对应点的连线被对称轴垂直平分即可得出答案 【详解】解：点的对称点坐标为， 对称轴为：， 设点在图象上的对称点坐标为， 则有：，， ， 点在图象上的对称点坐标为， 故答案为：． 三、新定义 找规律 33．（八年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，任意两点，，称的值为P、Q两点的“直角距离”．若，，则P，Q的“直角距离”为 ；若，Q为直线上任意一点，则P，Q的“直角距离”的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的性质、实数与数轴、坐标与图形 【分析】填空1：根据“直角距离”的定义进行求解即可； 填空2：设点Q的坐标为，根据题意得到P，Q的“直角距离”为，据此求解即可． 【详解】解：填空1：∵，， ∴P，Q的“直角距离”为 填空2：设点Q的坐标为， ∴P，Q的“直角距离”为， ∴当时，， 当时，； 当时，； ∴综上所述，的最小值即为， ∴P，Q的“直角距离”的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，绝对值的几何意义，正确理解题意是解题的关键． 34．（八年级上·四川成都·期末）对于平面直角坐标系中的点P与图形M，N给出如下定义：点P到图形M上的各点的最小距离为m，点P到图形N上各点的最小距离为n，当时，称点P为图形M与图形N的“等长点”．如：点，，中，点O就是点E与点F的“等长点”，已知点，，，连接，若点P既是点O与点A的“等长点”，也是线段与线段的“等长点”，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、角平分线性质定理及证明、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，根据题意画出图形，利用格点找出线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可得上的点到点O与点A的距离相等，直线与或的角平分线的交点即为所求． 【详解】解：如下图， 由图可知，直线垂直平分，因此直线上的点是点O与点A的“等长点”， 由图可知，是直线与的角平分线的交点，是直线与的角平分线的交点， 因此或到线段与线段距离相等，是线段与线段的“等长点”， 故点P的坐标为或． 故答案为：或． 35．（23-24八年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，将两个端点横、纵坐标均为整数且长为整数的线段称之为“整线段”．例如，，则，所以为“整线段”．已知线段为“整线段”，其中A在x轴上，B在y轴上，在不改变线段长度的条件下改变A在x轴上的位置，改变B在y轴上的位置，使其成为一条新的“整线段”．若存在使得，则称这样的“整线段”为“不一整弦”（直角三角形斜边被称之为“弦”，古诗亦有云“纵横意不一，然诺心无二”，结合性质“整”故此得名“不一整弦”）．若将所有的“不一整弦”按长度从小到大的顺序排列，则第1条“不一整弦”的长为 ；第3条“不一整弦”的长为 ． 【答案】 5 13 【难度】0.85 【知识点】新定义下的实数运算、点坐标规律探索、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查新定义问题，特别是坐标与图形，理解新定义应用新定义，联系实际是解决问题的关键． 根据题意可得符合条件的“整线段”有（3，0）、（0，4）对应“不一整弦”的长为 5；（6，0）、（0，8）对应“不一整弦”的长为 10；（5，0）、（0，12）对应“不一整弦”的长为 13；（9，0）、（0，12）对应“不一整弦”的长为 15；（12，0）、（0，16）对应“不一整弦”的长为 20等． 【详解】解：根据题意可得符合条件的“整线段”有、对应“不一整弦”的长为 5； 、对应“不一整弦”的长为 10； 、对应“不一整弦”的长为 13； 、对应“不一整弦”的长为 15； 、对应“不一整弦”的长为 20等， 最小的应该为：5，第三条为13， 故答案为：5；13． 36．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．点P到的距离定义如下：点Q为三边上的动点，当最小时，我们称此时的长度为点P到的距离，记为．已知矩形的四个顶点依次是，若点P在矩形的四条边上，则满足的点P有 个．    【答案】5 【难度】0.4 【知识点】坐标与图形、用勾股定理解三角形 【分析】分点在，，，上，四种情况进行求解即可． 【详解】解：如图：    ∵，， ∴轴，， ∴，， ①当点在线段上，点与点重合时，， ∵， ∴，满足题意； 当点往下移动至点时，逐渐变小至，不存在； 当点继续往下移动至点时，，当时，； ②当点在上时，，不存在； ③当点在上时，当，，存在两个点，使； ④当点在上时，作交于点，此时，符合题意； 综上，满足的点P有5个； 故答案为：5． 【点睛】本题考考查坐标与图形，勾股定理，解题的关键是掌握点P到的距离的定义． 37．（23-24八年级上·四川成都·期中）正方形，，，按如图的方式放置，点，，和点，，分别在直线和轴上，已知点，，按此规律，则的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、一次函数的规律探究问题 【分析】首先求得直线的解析式，分别求得，，的坐标，可以得到一定的规律，再分别求得，的坐标，可以得到一定的规律，据此即可求解．本题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴正方形边长为1，正方形边长为2， ∴，，代入得: ， 解得：， ∴直线的解析式是：． ∵，横坐标为，纵坐标为 ，横坐标为，纵坐标为 ，横坐标为，纵坐标为 的横坐标为，纵坐标为 横坐标为，纵坐标为 横坐标为，纵坐标为 故的横坐标为，纵坐标为 故的坐标是， 故答案是：． 38．（七年级下·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 （其中为常数，且 ），则称是点的“族衍生点”．例如：点 的“族衍生点”的坐标为，即． （1）点的“族衍生点”的坐标为 ； （2）若点的“族衍生点”的坐标是 ，则点的坐标为 ； （3）若点（其中），点的“族衍生点”为点，且，求的值． 【答案】（1） ；（2）；（3） 【难度】0.65 【知识点】构造二元一次方程组求解、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）利用“m族衍生点”的定义可求解； （2）设点A坐标为（x，y），利用“m族衍生点”的定义列出方程组，即可求解； （3）先求出点A的“m族衍生点“为点B（x，mx），由AB＝OA，可求解． 【详解】解：（1）点的“族衍生点”的坐标为 ，即 ， 故答案为：； （2）设点坐标为 ， 由题意可得： ， 点坐标为 ， 故答案为：． （3）点， 点的“族衍生点”为点， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查新定义问题，平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征，二元一次方程组的解法，准确根据题意解题是关键． 39．（23-24八年级上·四川成都·期中）问题背景：如图，方格纸中每个小方格的边长为1，我们把小方格顶点处的点称为格点． 问题提出：      （1）若格点（、、都在格点上）是锐角三角形且面积为5，请在图1中任意画出一个符合要求的格点． 问题探究： （2）若格点满足，，，请在图2中画出一个符合要求的格点，并计算的面积； 问题解决： （3）我们将（2）中求解面积的过程称为构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为，，且满足，．请利用构图法求这个三角形的面积（用含a、b的代数式表示）． 【答案】（1）图见解析；（2）图见解析；；（3） 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】（1）根据题意，画出锐角三角形即可； （2）利用数形结合的思想画出图形，再利用割补法求出三角形的面积； （2）构建长为a，宽为b的长方形网格图，利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求；    理由：根据题意得：的面积为； （2）如图，即为所求；    理由：根据题意得：，，， 的面积为； （3）解：如图，网格中小长方形的长为a，宽为b，    根据题意得：， ， ， 的面积为． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 40．（七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，点第一次跳动至点，第二次跳动至点，第三次跳动至点，第四次跳动至点，…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点的坐标是 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据图形观察发现，第偶数次跳动至点的坐标，横坐标是次数的一半加上1，纵坐标是次数的一半，然后写出即可． 【详解】解：观察发现，第2次跳动至点的坐标是， 第4次跳动至点的坐标是， 第6次跳动至点的坐标是， 第8次跳动至点的坐标是， … 第次跳动至点的坐标是， ∴第100次跳动至点的坐标是． 故答案为： 【点睛】本题考查点的规律坐标，解题的关键是通过已知点的坐标，得到第次跳动至点的坐标是． 41．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在直角坐标系中，点A在x轴上，，以OA为边作等边，延长到点，使；以为边作等边，延长到点，使；以为边作等边，延长延长到点，使；按照以上方式依次作则点的坐标为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等边三角形的性质、点坐标规律探索 【分析】本题主要考查点的坐标规律，根据题意找出点的坐标的规律是解题的关键．根据题意可得规律，为自然数，，，，，，根据规律求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，，，，，， 由此可得规律， 为自然数， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 42．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，直线：，直线：分别交y轴于A，B两点，过B作y轴垂线交直线于，过作垂线交于，再过，作垂线交直线于，过作垂线交于，…依次类推，则的坐标是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求一次函数自变量或函数值、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】此题主要考查了一次函数的图象及一次函数图象上点的坐标，先求出点，点，由轴，得点的纵坐标为，进而得点的横坐标为，再由得点的横坐标为，进而得点的纵坐标为同理：点的纵坐标为，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标为点的纵坐标为，横坐标为，点的横坐标为，纵坐标为依次类推，的纵坐标为，则的纵坐标为然后根据点在直线上即可求出点的坐标，准确地找出点的纵坐标为是解决问题的关键． 【详解】解：对于当时， ∴点的坐标为， 对于当时， ∴点的坐标为， 轴， ∴点的纵坐标为， 对于当时， ∴点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 对于当时， ∴点的纵坐标为 同理：点的纵坐标为，横坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为 点的纵坐标为，横坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为 依次类推，的纵坐标为 的纵坐标为 ∵点在直线上， ∴当时， 解得： ∴点的坐标为， 故答案为：． 43．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，已知等边的边长为1，作于点D，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；…，且点，…都在第一象限，如此下去，则点的坐标为 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】点坐标规律探索、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形 【分析】根据等边三角形的性质分别求出的边长即可解决问题． 【详解】∵等边的边长为1，作于点D， ∴， ∴的长分别为， ， 等边的顶点的横坐标＝， 等边的边的中点的横坐标为， 其纵坐标为， ∴的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：点的坐标和等边三角形的性质、解题的关键是发现点的横坐标变化规律． 四、最值问题 44．（八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上一动点给出4个结论： 线段AB的长为5； 在中，若，则的面积是； 使为等腰三角形的点P有3个； 设点P的坐标为，则+的最小值为． 其中正确的结论有 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】利用勾股定理可以计算AB的长； 如图2，作辅助线，利用面积差可得的面积； 如图3，分别以AB为腰和底边作等腰三角形有三个，分别画图可得； 如图4，先作垂线段BD，由勾股定理可知：就是PA的长，就是PB的长，所以的最小值就是的最小值，根据轴对称的最短路径问题可得结论． 【详解】①如图1，过B作于C， 点、点， ，， 在中，由勾股定理得：， 故①结论不正确； ②如图2，在中，，，    ， 过B作轴于D， ，， ， ， ， ， ， 故②结论不正确； ③如图3，    以A为圆心，以AB为半径画圆与x轴的正半轴有一交点，得是等腰三角形； 作AB的中垂线，交x轴的正半轴有一交点，得是等腰三角形； 以B为圆心，以AB为半径画圆与x轴的正半轴有一交点，得是等腰三角形； 综上所述，使为等腰三角形的点P有3个； 故③结论正确； ④如图4，过B作轴于D， ， ，， 由勾股定理得：，， 作A关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则，    ∴， 此时的值最小， 过B作于C， 则，， 由勾股定理得：， 的最小值是， 即设点P的坐标为，则的最小值为． 故④结论正确； 综上所述，其中正确的结论有：③④； 故答案为③④． 【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题、等腰三角形的判定、图形与坐标特点、勾股定理，是一个不错的综合题，难度适中，有等腰三角形和轴对称的作图问题，也有求最值问题，第4问中，熟练掌握并能灵活运用轴对称的最短路径问题是关键． 45．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，．在y轴上有一动点C，当的周长最小时，点C的坐标是 ．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】求一次函数解析式、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与轴的交点．作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为的周长最小时的C点，待定系数法求直线的解析式，然后求直线与轴的交点坐标即可． 【详解】解：如图，作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为的周长最小时的C点，    ∴的点坐标为， 设直线的解析式为， 将，的点坐标代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， ∴， 故答案为：． 46．（八年级上·江苏常州·期中）如图，纸片的直角边AC落在直线l上，，，，平面内一点O到直线l的距离为9，纸片沿直线l左右移动，则的最小值是 ．    【答案】13 【难度】0.15 【知识点】用勾股定理解三角形、轴对称综合题(几何变换) 【分析】过点O做直接m平行直线l，作点B关于直线m的对称点B1，当A、O、B1共线时，最小，即可求得． 【详解】过点O做直接m平行直线l，作点B关于直线m的对称点B1 当A、O、B1共线时，最小 C B1=9+9－6=12 根据勾股定理得 A B1==13 ∴的最小值是13 故答案为：13    【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键． 47．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，如图点，，轴，垂足为，点为线段上一动点，为中点，为中点，为中点，当周长最小时，点坐标为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、与三角形中位线有关的求解问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】如图，延长至点G，使，连接，，，作点N关于的对称点H，连接交于K，连接，，先证明，得出点F在上运动，证明，即为定值，则当周长最小时，最小，当F和K重合时，取最小值，证明，设，则，，，然后利用两点间距离公式求解即可． 【详解】解：如图，延长至点G，使，连接，，，作点N关于的对称点H，连接交于K，连接，， ∵，，轴， ∴，，，， ∵为中点，为中点， ∴，， ∴，即为定值， ∵，为中点， ∴， ∵为定值， ∴当周长最小时，最小， ∵点N、点H关于的对称， ∴，， ∴，， 当F和K重合时，取最小值， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∴取最小值时，， ∴， 解得， ∴， ∴当时，周长最小． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，判断点F的运动轨迹是解题的关键． 48．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，为线段上一动点，将点绕点逆时针旋转得到，连接，当最小时，点的坐标为 ．    【答案】 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】取，连接，利用勾股定理求出，进而证明是等边三角形，得到，则，证明得到，进而推出点D在直线上运动；设直线于x轴交于F，则，进而求出，故当时，最小，设此时点D在处，作轴，轴，垂足分别为G、H，则，，求出，则，，进一步求出，则，则，即可推出，由此可得答案． 【详解】解：如图所示，取，连接，    ∵， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵A、E是定点，的度数为定值， ∴点D在直线上运动， 设直线与x轴交于F，则， ∴， ∵点到直线上一点的距离垂线段最短， ∴当时，最小，设此时点D在处， 作轴，轴，垂足分别为G、H， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当最小时，点D的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造全等三角形确定点D的轨迹是解题的关键． 五、作图 49．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)证明：为直角三角形； (2)作出关于对称图形，并写出的坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，，， 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形、画轴对称图形 【分析】（）利用勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理即可求证； （）根据轴对称的性质找到点，再连线即可得到； 本题考查了勾股定理及其逆定理，作轴对称图形，坐标与图形，掌握勾股定理及其逆定理、轴对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由网格可得，，，， ∵， ∴为直角三角形； （2）解：如图所示，即为所求，由图可得，，，． 50．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在直角坐标平面内，的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出关于轴的对称图形； (2)求出的面积； (3)若点是轴上一点，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、已知两点坐标求两点距离、画轴对称图形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出，，的关于轴的对称点，，,顺次连接即可得到所求作图形． （2）利用长方形的面积减三个直角三角形的面积即可． （3）利用轴对称的性质，把问题转化为两点之间线段最短解决． 【详解】（1）解：如图，即为所求，    （2）的面积； （3）如图所示，连接交轴于点P，连接，此时的值最小，最小值．    【点睛】本题考查轴对称、轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称把最短问题转化为两点之间线段最短． 51．（八年级上·四川成都·期末）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上． (1)画△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1的坐标 　 　； (2)试判断△ABC的形状，说明理由，并求出△ABC的面积． 【答案】(1)作图见解析； (2)是等腰直角三角形，理由见解析，的面积为 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形、画轴对称图形 【分析】（1）根据的坐标，求出关于y轴的对称的点坐标，在坐标系中描点，依次连接即可； （2）勾股定理求出的三边长，利用勾股定理的逆定理，判定三边的关系，进而可得的形状，然后求面积即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴关于y轴的对称的点坐标分别为：，，， ∴△ABC关于y轴的对称图形，如图 故答案为：． （2）解：由题意知，， ∴ ∵ ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴是等腰直角三角形，△ABC的面积为． 【点睛】本题考查了关于轴对称的点坐标的特征，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的灵活运用． 52．（江苏省苏州市苏州工业园区星海实验中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的．    (1)利用网格线画，使它与关于直线对称． (2)在直线上作点，使的值最小，此时______． (3)在直线上找一点，使点到两边的距离相等． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析， (3)画图见解析 【难度】0.65 【知识点】角平分线的性质定理、设计轴对称图案、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）分别确定A，B，C关于直线对称的，，，再顺次连接即可； （2）连接交直线于点P，则点P即为所求，再根据小正方形的性质可得的大小； （3）连接，交直线于，则点Q即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）如图，P即为所求，    由网格图的性质可得：； （3）如图，点Q即为所求；    【点睛】本题考查的是画轴对称，轴对称的性质，角平分线的性质，熟记轴对称的性质，角平分线的性质并应用于画图是解本题的关键． 53．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上．    (1)画关于y轴的对称图形； (2)试判断的形状，说明理由； (3)在y轴上求作一点P，使得最小，并求出这个最小值． 【答案】(1)见解析 (2)为等腰直角三角形，理由见解析 (3) 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了勾股定理的逆定理． （1）利用关于轴对称的点的坐标特征得到、、的坐标，然后描点即可； （2）利用勾股定理的逆定理可判断为等腰直角三角形； （3）作点的对称点，利用两点之间线段最短计算即可． 【详解】（1）解：如图，为所作，    （2）解：为等腰直角三角形． 理由如下：，，， ，， ∴为等腰直角三角形，． （3）解：连接交轴于点，连接，则根据轴对称的性质可知的最小值就是线段的长， ∴． 54．（八年级下·浙江台州·开学考试）如图，已知△ABC的三个顶点在格点上． (1)作出与△ABC关于y轴对称的图形； (2)直接写出点C关于x轴对称C2的坐标： ； (3)在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．请在图中标出点P的位置． 【答案】(1)见解析 (2)（﹣1，﹣1） (3)见解析 【难度】0.85 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、画轴对称图形、坐标与图形变化——轴对称、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （2）直接利用关于直线对称点的性质得出答案； （3）连接，与y轴的交点即为所求点P． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）如图所示：（﹣1，﹣1）， 故答案为：（﹣1，﹣1）； （3）如图所示：连接，与y轴的交点即为所求点P． ， 当三点共线时，△PAC周长最小． 【点睛】本题考查了在画轴对称图形，根据轴对称的性质求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的关键． 55．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知    (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若与关于轴对称，画出并写出的坐标 ； (3)已知为轴上一点，则的最小值为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3) 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、勾股定理与网格问题、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，勾股定理； （1）根据点A、B、C的坐标，描点、连线即可； （2）根据轴对称的性质找出点C的对称点，根据所作图形可得的坐标； （3）连接交x轴于点P，根据轴对称求最短路径的方法可知的最小值为，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：如图所示；    （2）解：点如图所示，由图可得，的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图，连接交x轴于点P， ∵点C和点关于轴对称， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 56．（23-24八年级上·四川成都·期中）在直角坐标系内的位置如图所示． (1)请在这个坐标系内画出，使与关于y轴对称，并写出点的坐标； (2)计算面积． (3)在轴上找一点P，使得的值最小．请在图中标出P点的位置，并保留作图痕迹． 【答案】(1)作图见解析. (2) (3)见解析 【难度】0.65 【知识点】利用网格求三角形面积、画轴对称图形、最短路径问题、坐标与图形 【分析】 （1）根据轴对称的性质即可在图中画出关于x轴的对称图形，进而得点的坐标； （2）根据网格利用割补法计算即可． （3）作出点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于P，点P即为所求做的点． 解题的关键是熟知轴对称的性质． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解： （3）解：如图所示，作出点B关于x轴的对称点，连接，交x轴于P，点P即为所求做的点，点P的位置如下图． 57．（八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点的坐标是 (1)点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______） (2)求的面积． (3)作点关于轴的对称点，那么两点之间的距离是______． 【答案】(1)； (2)10 (3) 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、用勾股定理解三角形、写出直角坐标系中点的坐标、坐标与图形 【分析】（1）根据坐标系写出答案即可； （2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积可得的面积； （3）首先确定位置，然后再利用勾股定理计算即可．本题考查了直角坐标系中点的坐标，关于轴对称的点坐标、三角形面积，以及勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角坐标系中坐标的表示，线段长度的计算及面积的计算． 【详解】（1）根据题意，得到，， 故答案为：3,0；，5． （2）的面积为． （3）∵， ∴， ∴， 故答案为：． 58．（七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．    (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若点与点关于轴对称，则点的坐标为________； (3)已知为轴上一点，若的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】坐标系中描点、坐标与图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据点的坐标描出点A、B、C，再连接、、即可； （2）利用关于轴对称点的性质得出答案； （3）利用三角形面积求法得出符合题意的答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所画；    （2）解：点与点关于轴对称， ∵ ∴点的坐标为； （3）解：为轴上一点，的面积为2， ∴ ， 当点P在点B右边时， 点的坐标为， 当点P在点B左边时， 点的坐标为， 故点坐标为或． 【点睛】此题主要考查了根据坐标描点，三角形面积求法以及关于轴对称点的坐标特征，坐标与图形，掌握根据坐标求点和根据点的位置求点的坐标是解题关键． 59．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为，点C与点A关于y轴对称． (1)请在图中画出； (2)的面积是_______； (3)写出点A关于的对称点的坐标_______； (4)在y轴上有一点D，且，则点D的坐标为_______． 【答案】(1)见解析 (2)16 (3) (4)或 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握坐标平面点的特征，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据A，C两点坐标作出图形即可； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）根据对称的性质求解即可； （4）利用等高模型以及对称性解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点A，点C即为所求； （2）解：； 故答案为：16． （3）解：点A关于的对称点的坐标为； 故答案为：； （4）解：如图，满足条件的点D的坐标为或． 故答案为：或． 60．（八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0，1)，B(2，0)，C(4，4)均在正方形网格的格点上．    （1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标； （2）已知P为y轴上一点，若△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析，A1（0，－1），B1（2，0），C1（4，－4）；（2）（0，6）或（0，－4）． 【难度】0.65 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征写出顶点A1，B1，C1的坐标，描点即可； （2）利用割补法求得△ABC的面积，设点P的坐标为，则，求解即可． 【详解】解：（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示．    △A1B1C1顶点坐标为：A1（0，－1），B1（2，0），C1（4，－4）. （2）， 设点P的坐标为， 则， 解得或6， ∴点P的坐标为（0，6）或（0，－4）． 【点睛】本题考查轴对称变换、割补法求面积，掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 61．（23-24八年级上·四川成都·期中）为了更好的开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的4棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视． (1)请在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得古树，的位置分别表示为，； (2)在（1）建立的平面直角坐标系中． ①表示古树C的位置的坐标为______，并在网格中标出古树的位置； ②现需要在沿轴的道路某处点向古树，修建两条步道，使得点到古树，的距离和最小． 请在网格中画出点（保留作图痕迹，不写作图过程）； 该距离和的最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)①，点的位置见解析 ② 【难度】0.94 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、勾股定理与网格问题、写出直角坐标系中点的坐标、坐标系中描点 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定原点的位置，将军饮马模型； （1）根据，找到原点确定坐标系即可； （2）①根据坐标系中点的位置即可求出坐标，再根据点坐标确定位置即可； ②利用将军饮马模型，作点作关于轴的对称点为，连接与轴交于点，此时最小等于的长度，再利用勾股定理求的长度即可； 【详解】（1）如图所示，    （2）①点，点的位置如图所示； ②过点作关于轴的对称点为，则，连接与轴交于点，此时最小等于的长度； ， ∴点到古树，的距离和的最小值为； 故答案为：    62．（23-24八年级上·四川成都·期中）把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．函数图象是函数的重要表示方法，借助图象能直观地帮助我们分析函数特征． (1)根据绘制函数图象的一般步骤，请在如图网格中画出函数的图象； (2)轴正半轴上有一动点，过作轴的平行线，当直线与函数的图象所围成的封闭图形的周长为时，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【难度】0.65 【知识点】分母有理化、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、用描点法画函数图象、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）分别画出当时，和当时，的函数图像即可得解； （2）设直线与相交于、两点，由，过作轴的平行线，得，，从而有，，，根据周长为构造一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，； 列表： 描点并连线如下： （2）解：设直线与相交于、两点， ∵，过作轴的平行线， ∴时，有，时，有， ∴，， ∴，，， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，描点法作函数图像，一次函数的图像及性质，一元一次方程的应用以及分母有理化，熟练掌握描点法作函数图像，一次函数的图像及性质以及一元一次方程的应用是解题的关键． 六、变量之间的关系--实际应用 63．（八年级下·湖北武汉·期末）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶，乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是；②；③点的坐标是；④，其中正确的有 （填序号）． 【答案】①②④ 【难度】0.85 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】根据题意，两车距离为因变量，由图象可知两车起始距离为80km，从而得到乙车速度，根据图象变化规律和两车运动状态，得到相关未知量即可． 【详解】解：①由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后乙车追上甲，说明乙每小时比甲快40km，因此乙的速度为：80+40=120（km/h），故①正确； ②由图象可知，第2-6小时，乙由相遇点到达B地，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40=160（km），则m=160，故②正确； ③当乙在B休息1h时，甲继续前进80km，距离缩短为80km，则H点坐标为（7，80），故③错误； ④乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）=0.4（小时），则n=6+1+0.4=7.4，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，主要是以函数图象为背景，考查双动点条件下，两点距离与运动时间的函数关系，解答时既要注意图象变化趋势，又要关注动点的运动状态． 64．（八年级上·广东佛山·期中）甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)______米； (2)求出甲距地面的高度与登山时间的关系式，并指出一次项系数的实际意义； (3)若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则在整个爬山过程中，登山多长时间时，甲乙两人距离地面的高度差为70米？ 【答案】(1)30； (2)y=10x+100；一次项的系数是表示甲登山的速度； (3)3或10或13分钟 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据图象直接得到答案； （2）利用待定系数法解答； （3）求出甲登山速度，由此求出乙登山的函数解析式，列方程当10x+100−(30x−30)=70时，解得，当30x−30−(10x+100)=70时，当300−(10x+100)=70时，解方程即可． 【详解】（1）解：由图象可得b=15÷1×2=30米， 故答案为：30． （2）解：设甲距地面的高度与登山时间的关系式y=kx+m， 由图象可得，过点C（0,100）、D（20,300）， ∴，解得， ∴甲距地面的高度与登山时间的关系式y=10x+100； 一次项的系数是表示甲登山的速度； （3）解：甲登山速度为（300-100）÷20=10（米/分钟）， 当0≤x≤2时，y=15x；当x≥2时，y=30+10×3（x-2）=30x-30． 当y=30x-30=300时，x=11． 甲登山全程中，距地面的高度y(米)与登山时间x(分)之间的函数关系式为y=10x+100(0⩽x⩽20)， 当10x+100−(30x−30)=70时，解得：x=3； 当30x−30−(10x+100)=70时，解得：x=10； 当300−(10x+100)=70时，解得：x=13. ∴登山3分钟、10分钟或13分钟时，甲乙两人距离地面的高度差为70米． 【点睛】此题考查了一次函数的图象，一元一次方程的应用，待定系数法求函数解析式，正确理解函数图象并应用解决问题是解题的关键． 65．（八年级下·吉林长春·阶段练习）甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由地到地，行驶过程中路程与时间的函数关系的图象如图．请你根据图象解决下列问题：    (1)谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少时间？ (2)分别求出甲、乙两人的行驶速度； (3)并根据图中的情形，分别求出甲乙关于行程与行驶时间之间的函数关系式． (4)根据图象回答：①何时两人相遇；②在什么时间段内甲在乙的前面；③在什么时间段甲在乙的后面． 【答案】(1)甲先出发；先出发10分钟；乙先到达终点；早到5分钟 (2)甲的速度为公里/每分钟，乙的速度为公里/每分钟 (3) (4)①在甲出发20分钟后，两人相遇；②在甲出发后的10分~20分（不含第10分和第20分）甲在乙的前面行驶；③在甲出发后的20分~30分（不含第20分和第30分）甲在乙的后面行驶 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】（1）由图象可知，甲乙出发的先后和到达终点的先后以及到达终点的时间； （2）由路程和行驶的时间，可分别求出他们的速度； （3）根据路程时间速度列出对应的函数关系式即可； （4）①甲乙两人相遇时，二人所走的路程相同，据此结合函数图象可得二人相遇的时间；②③根据（1）可知两人出发的先后顺序，进而根据两人相遇的时间可得甲在乙前面和甲在乙后面的时间段． 【详解】（1）解：由图象可知：甲先出发；先出发10分钟；乙先到达终点；早到5分钟． （2）解：甲的速度为公里/每分钟， 乙的速度为公里/每分钟； （3）解：由题意得，； （4）解：①由函数图象可知，在甲出发20分钟后，两人相遇； ②由函数图象可知，在甲出发后的10分~20分（不含第10分和第20分）甲在乙的前面行驶； ③在甲出发后的20分~30分（不含第20分和第30分）甲在乙的后面行驶． 【点睛】此题考查了从函数图象获取信息，把数和形结合在一起，准确提取有用信息是解题的关键． 66．（23-24八年级上·四川成都·期中）M，N两地相距，甲、乙两人沿同一条路从M地到N地．与分别表示甲、乙两人离开M地的距离与时间之间的关系，根据图象解答下列问题：    (1)分别求出甲、乙两人离开M地的距离y与时间x之间的函数关系式； (2)当时，求两人相距时的时间． 【答案】(1)， (2)两人相距的时间为或 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了利用待定系数法求解析式，以及找到等量关系列出一元一次方程． （1）利用待定系数法代入求出线段的表达式为，代入，线段的表达式为； （2）列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，当时，由题知，即，解方程即可得到答案． 解题的关键掌握解析式的求解方法以及列出关于的含绝对值符号的一元一次方程． 【详解】（1）解：设线段的表达式为， ∵点在函数的图象上， ∴，解得：， ∴， 设线段的表达式为， ∵点，在函数的图象上， ∴，解得：， ∴； （2）当时，由题知：， 即：， 解得：或， ∴当时，两人相距的时间为或． 67．（23-24八年级上·四川成都·期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)当 分钟时，，两种品牌收费相同，此时收费 元； (2)求骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式； (3)请求出，两种品牌收费相差元时的值． 【答案】(1)， (2) (3)，两种品牌收费相差元时的值为或． 【难度】0.85 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，利用数形结合的思想作答是解答本题的关键． （1）根据图像中的数据，得到当分钟时，，两种品牌收费相同，此时收费元； （2）根据图像中的数据，点，在该函数图像上，代入所设的表达式中，计算出骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式为； （3）根据图像，先求出品牌电动车每分钟收费情况，然后根据品牌共享电动车超过后的函数表达式为，列出相应方程，求出答案． 【详解】（1）解：由图像得： 当分钟时， ，两种品牌收费相同，此时收费元； 故答案为：，． （2）设骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式为， 点，在该函数图像上， ，， 解得，， 即骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式为； （3）由图像可得： 品牌电动车每分钟收费为：（元）， 由题意可得： 或， 解得或， 即，两种品牌收费相差元时的值为或． 68．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟元）两种，设A套餐每月话费为（元），B套餐每月话费（元），月通话时间为x分钟． (1)直接写出与x，与x的函数关系式； (2)如果某用户使用A套餐本月缴费50元，求他本月的通话时间？ (3)如果某用户这个月的通话时间为280分钟时，选择哪种套餐更划算？ 【答案】(1)， (2)他本月的通话时间为分钟 (3)通话时间为280分钟时，选择套餐更划算 【难度】0.85 【知识点】求自变量的值或函数值、用关系式表示变量间的关系 【分析】本题主要考查了列函数关系和求函数值和自变量的值，根据题意正确列出关系式是解题关键． （1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意可知，，求出的值即可； （3）分别求出时，和的值，比较大小即可． 【详解】（1）解：A套餐：月租费15元，通话费每分钟元， ， B套餐：月租费0元，通话费每分钟元， ； （2）解：该手机用户使用A套餐且本月缴费50元， ， 解得：， 他本月的通话时间为分钟； （3）解：当时，，， ， ∴通话时间为280分钟时，选择套餐更划算． 69．（23-24八年级上·四川成都·期中）1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以a米/分的速度竖直上升．两个气球都上升了60分钟，1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：米）与上升时间x（单位：分）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：    (1)b＝_____； (2)请求出与x的函数关系式； (3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为6米？ 【答案】(1)30 (2) (3)上升了8分钟或32分钟后这两个气球相距6米 【难度】0.65 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了一次函数以及一元一次方程的应用． （1）根据“1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分的速度上升”求出b； （2）设2号探测气球的函数关系式为，将点代入即可求解； （3）两个气球所在位置的海拔相差6米，分两种情况：①2号探测气球比1号探测气球海拔高6米；②1号探测气球比2号探测气球海拔高6米；分别列出方程求解即可． 【详解】（1）∵1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分的速度竖直上升． ∴当时， ∴． 故答案为：30 （2）设与x的函数关系式为， ∵该函数图象经过点， ∴， 解得， ∴与x的函数关系式为． （3）根据题意得： 1号探测气球所在位置的海拔：， 2号探测气球所在位置的海拔：； 分两种情况： ①2号探测气球比1号探测气球海拔高6米，即时 ， 解得； ②1号探测气球比2号探测气球海拔高6米，即时 ， 解得． 综上所述，上升了 8分钟或32分钟后这两个气球相距6米． 七、位置与坐标与几何综合 70．（八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，有两点，且a，b满足． (1)求A，B两点的坐标； (2)若点P在x轴上，且的面积为6，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【难度】0.65 【知识点】二次根式有意义的条件、坐标与图形 【分析】本题考查了坐标与图形性质，二次根式有意义的条件和三角形的面积，解答（2）题，需要注意符合条件的点有两个点符合题意． （1）由二次根式的被开方数是非负数可以求得、的值．则易求点、的坐标． （2）设，由三角形的面积公式解答． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得； 则． 所以，； （2）解：设， 由题意知，． 解得或． 所以点的坐标或． 71．（八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在直角坐标系中，为，两点分别在轴、轴上，点坐标为，将沿翻折，点落在点位置，交轴于点E，求点坐标． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、折叠问题 【分析】如图（见解析），先根据翻折的性质可得，，，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据勾股定理、三角形的面积公式可得DN的长，从而可得AM的长，最后根据勾股定理可得DM的长，由此即可得出答案． 【详解】如图，过点D作轴于点M，作轴于点N， 四边形DMON是矩形， ， 点A、C分别在轴、轴上，， ， 由翻折的性质得：，，， ， 在和中，， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ， 在中，，即， 解得， ， ， 在中，， 则点D的坐标为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、翻折的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 72．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为，，（如图所示），b，c满足关系式，． (1)求a，b，c的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使为等腰三角形，若存在，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，M坐标为或或或．理由见详解， 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，非负数的性质，等腰三角形的判定等知识． （1）由绝对值和平方及被开方数的非负数的性质可求得结论， （2）分情况讨论，得出M点的坐标． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴，， ∵ ∴ （2）存在：分析如下： ∵，， ∴， 当时，或， 当时，． 当时，设， 则有， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的点M坐标为点M坐标为或或或． 73．（七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点作x轴的垂线l，点A与点B关于直线l对称； (1)点B的坐标为________； (2)点C的坐标为，顺次连接，若在四边形内部有一个点P，满足，且，求点P的坐标； (3)在四边形外部是否存在点Q，满足，且，若存在，直接写出Q点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【难度】0.4 【知识点】坐标与图形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）根据对称性可知到的距离相等，且纵坐标相等，据此即可求解； （2）根据对称性可知点与点关于对称，则点在上，设点，根据三角形的面积公式求解即可求解； （3）方法同（2）即可求解． 【详解】（1）点A的坐标为，过点作x轴的垂线l， 到的距离为, 则 故答案为： （2）如图，,， 点与点关于对称， 在四边形内部有一个点P，满足， 则点在上，设点， ， 即 解得或 在四边形内部 （3）存在，由（2）可知时，在四边形外部 故 【点睛】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，点到坐标轴的距离，数形结合是解题的关键． 74．（八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且使得AB = 4，OB = 3． （1）试判断△AOB的形状，并说明理由； （2）在第二象限内是否存在一点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； （3）如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC = BD．求AC + OD的最小值． 【答案】（1）△AOB是以B为直角顶点的直角三角形；（2）存在点P的坐标为（，）或（，）使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形；（3） 【难度】0.4 【知识点】已知两点坐标求两点距离、用勾股定理解三角形、全等三角形综合问题、坐标与图形 【分析】（1）先求出OA=5，然后利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）分当∠POB=90°，△POB是以OB为腰的等腰直角三角形时和当∠PBO=90°，△PBO是以OB为腰的等腰直角三角形时两种情况讨论求解即可； （3）过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形，可证△HOC≌△OBD得到OD=HC，则AC+OD=AC+HC，故要想AC+OD的值最小，则AC+CH的值最小，即当A、C、H三点共线时，AC+CH有最小值，即AC+OD有最小值即AH的长，由（2）可知H的坐标为（，），利用两点距离公式求解即可． 【详解】解：（1）∵A的坐标为（5，0）， ∴OA=5， ∴， ∴△AOB是以B为直角顶点的直角三角形； （2）如图所示，当∠PBO=90°，△POB是以OB为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作BE⊥x轴于E，PF⊥x轴于F， ∴OB=OP=3， ∵， ∴， ∴， ∵∠PFO=∠POB=∠OEB=90°， ∴∠POF+∠OPF=90°，∠POF+∠BOE=90°， ∴∠OPF=∠BOE， 在△OPF和△BOE中， ， ∴△OPF≌△BOE（AAS）， ∴，， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为（，）； 如图所示，当∠POB=90°，△PBO是以OB为腰的等腰直角三角形时，分别过点B、P作BE⊥x轴于E，PF⊥BE交EB延长线于F，交y轴于D 同理可以求出，， 同理可以证明△PFB≌△BEO（AAS）， ∴，， ∴，， ∵P在第二象限， ∴点P的坐标为（，）； ∴综上所述，存在点P的坐标为（，）或（，）使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形； （3）如图所示，过点O作以OB为腰，∠BOH=90°的等腰直角三角形， ∴HO=BO，∠HOC=∠OBD=90°， 又∵OC=DB， ∴△HOC≌△OBD（SAS）， ∴OD=HC， ∴AC+OD=AC+HC， ∴要想AC+OD的值最小，则AC+CH的值最小， ∴当A、C、H三点共线时，AC+CH有最小值，即AC+OD有最小值即AH的长， 由（2）可知H的坐标为（，）， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，坐标与图形，勾股定理的逆定理，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件． 75．（23-24八年级上·四川成都·期中）点、点和点为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点关于点的等垂点． (1)已知点的坐标为 ①如图1，若点为原点，直接写出关于的等垂点的坐标______； ②如图2，为轴上一点，且点关于点的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； (2)如图3，若点的坐标为，为直线上一点，关于点的等垂点位于轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 【答案】(1)①或；②或 (2)有最小值，最小值为，理由见解析 【难度】0.4 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称 【分析】（1）①根据新定义，得到轴，且，求解即可；②分点在轴正半轴和在轴负半轴上，两种情况进行求解即可； （2）过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，证明，得到点在直线上运动，作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 则，进而得到当点与点重合时，且，，在一条直线上时，的值最小，最小值为，进行求解即可． 【详解】（1）解：①作出点关于点的等垂点，如图， 则， 点的坐标为，若点为原点， ∴ 轴， 关于的等垂点的坐标为或． 故答案为：或 ②Ⅰ．当点在轴的正半轴上时，过点作轴于点，如图， ∵恰好在一次函数的图象上， 设 ∴ 点的坐标为 ． ， ， ， ． 在△和中， ， ， ∴ ， ， ∴ Ⅱ．当点在轴的负半轴上时，过点作轴于点，如图， 恰好在一次函数的图象上， 设， 同Ⅰ可得：， ， 综上，点的坐标为或； （2）有最小值，最小值为，理由： 过点作平行于轴的直线，交轴于点，过点作于点，交轴于点，过点作于点，如图， 则，，，， ． ，， ． 在和中， ， ， ， ， 点的横坐标为5，即点在直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接，交直线于点， 则， 当点与点重合时，且，，在一条直线上时，的值最小，最小值为． 过点作于点，则，， ， ． 有最小值，最小值为． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，利用轴对称解决线段最短问题，全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握新定义，画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024--2025学年北师版八年级年级上学期中复习讲义3-位置与坐标 一、点的位置的确定 两点之间距离公式 1．（八年级上·广东佛山·期中）平面直角坐标系中，点P位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（九年级上·湖南长沙·阶段练习）在平面直角坐标系中，点P（a，）在第四象限，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（七年级下·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，那么点在第 象限． 4．（八年级上·四川成都·期中）若点在y轴上，则点M的坐标为 ． 5．（七年级下·浙江台州·期末）点在x轴上，则点A的坐标是 ． 6．（七年级下·辽宁抚顺·期末）在平面直角坐标系中，已知A(﹣2，4)，B(3，4)，则AB的长度为 ． 7．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知点，，则和满足（　　） A．关于y轴对称 B．直线过原点 C．关于x轴对称 D． 8．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知点，到x轴的距离为 ，到y轴的距离为 ；点到y轴的距离是 ． 9．（七年级下·辽宁大连·期中）平面直角坐标系中，若点A在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则点A的坐标为 ． 10．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知点在第一象限，它到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点P的坐标是 ． 11．（八年级上·安徽六安·阶段练习）已知平面直角坐标系第四象限内的点到两坐标轴的距离相等，则m的值为 12．（23-24八年级上·四川成都·期中）当为 时，点到轴的距离等于它到轴距离的一半． 13．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知点，点．若轴，则的值为 ． 14．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知点与点所在直线与x轴平行，那么a的值为 ． 15．（七年级下·北京丰台·期末）已知的坐标为，直线轴，且，则点的坐标为（  ） A． B．或 C． D．或 16．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知，，线段平行于轴，且，则 ． 17．（七年级下·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，若轴，轴，则 ． 18．（七年级下·湖南长沙·期中）已知，点P在x轴上，且面积是4，则点P的坐标是 ． 19．（15-16八年级上·安徽宿州·期中）如图，围棋棋盘放在某平面直角坐标系内，已知黑棋（甲）的坐标为（﹣2，2），黑棋（乙）的坐标为（﹣1，﹣2），则白棋（甲）的坐标是 ．    20．（八年级上·河南郑州·期中）如图，如果“仕”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标，那么“炮”所在位置的坐标为（　　）    A． B． C． D． 21．（八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（1，），则点C的坐标为（　　） A．（﹣1，﹣） B．（，﹣1） C．（﹣1，） D．（﹣，1） 22．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，等边中，，在平面直角坐标系中点，点，则点的坐标是(　　) A． B． C． D． 23．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形三个顶点A、B、C的坐标分别为，将沿翻折得交x轴于点D，则D的坐标是 ，E的坐标是 ． 二、对称性 24．（福建省龙岩市永定区、连城县2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题）已知点与点关于原点对称，则的值是（     ） A．2 B． C． D．4 25．（九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知点和点关于原点对称，则 ． 26．（八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，与点关于轴对称的点是（    ） A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则的值为 ． 28．（17-18八年级下·福建泉州·期中）点P（2，－3）关于x轴对称点的坐标是  （     ） A．（—2，－3） B．（2，3） C．（－2，3） D．（－3，2） 29．（八年级上·河南郑州·期末）下列说法正确的是（　　） A．已知点M（2，﹣5），则点M到x轴的距离是2 B．若点A（a﹣1，0）在x轴上，则a＝0 C．点A（﹣1，2）关于x轴对称的点坐标为（﹣1，﹣2） D．点C（﹣3，2）在第一象限内 30．（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在轴上分别截取，使，再分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点．若的坐标为，则 ． 31．（七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知直线轴，点的坐标为，并且线段，则点的坐标为 ． 32．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称图形，其中点的对称点坐标为，点为图象上的一点，则点在图象上的对称点坐标为 ． 三、新定义 找规律 33．（八年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，任意两点，，称的值为P、Q两点的“直角距离”．若，，则P，Q的“直角距离”为 ；若，Q为直线上任意一点，则P，Q的“直角距离”的最小值为 ． 34． （八年级上·四川成都·期末）对于平面直角坐标系中的点P与图形M，N给出如下定义：点P到图形M上的各点的最小距离为m，点P到图形N上各点的最小距离为n，当时，称点P为图形M与图形N的“等长点”．如：点，，中，点O就是点E与点F的“等长点”，已知点，，，连接，若点P既是点O与点A的“等长点”，也是线段与线段的“等长点”，则点P的坐标为 ． 35． （23-24八年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，将两个端点横、纵坐标均为整数且长为整数的线段称之为“整线段”．例如，，则，所以为“整线段”．已知线段为“整线段”，其中A在x轴上，B在y轴上，在不改变线段长度的条件下改变A在x轴上的位置，改变B在y轴上的位置，使其成为一条新的“整线段”．若存在使得，则称这样的“整线段”为“不一整弦”（直角三角形斜边被称之为“弦”，古诗亦有云“纵横意不一，然诺心无二”，结合性质“整”故此得名“不一整弦”）．若将所有的“不一整弦”按长度从小到大的顺序排列，则第1条“不一整弦”的长为 ；第3条“不一整弦”的长为 ． 36．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是．点P到的距离定义如下：点Q为三边上的动点，当最小时，我们称此时的长度为点P到的距离，记为．已知矩形的四个顶点依次是，若点P在矩形的四条边上，则满足的点P有 个．    37．（23-24八年级上·四川成都·期中）正方形，，，按如图的方式放置，点，，和点，，分别在直线和轴上，已知点，，按此规律，则的坐标是 ． 38．（七年级下·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 （其中为常数，且 ），则称是点的“族衍生点”．例如：点 的“族衍生点”的坐标为，即． （1）点的“族衍生点”的坐标为 ； （2）若点的“族衍生点”的坐标是 ，则点的坐标为 ； （3）若点（其中），点的“族衍生点”为点，且，求的值． 39．（23-24八年级上·四川成都·期中）问题背景：如图，方格纸中每个小方格的边长为1，我们把小方格顶点处的点称为格点． 问题提出：      （1）若格点（、、都在格点上）是锐角三角形且面积为5，请在图1中任意画出一个符合要求的格点． 问题探究： （2）若格点满足，，，请在图2中画出一个符合要求的格点，并计算的面积； 问题解决： （3）我们将（2）中求解面积的过程称为构图法，现在有一个三角形的三条边长分别为，，且满足，．请利用构图法求这个三角形的面积（用含a、b的代数式表示）． 40．（七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，点第一次跳动至点，第二次跳动至点，第三次跳动至点，第四次跳动至点，…，依此规律跳动下去，点A第100次跳动至点的坐标是 ．    41．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在直角坐标系中，点A在x轴上，，以OA为边作等边，延长到点，使；以为边作等边，延长到点，使；以为边作等边，延长延长到点，使；按照以上方式依次作则点的坐标为 ． 42．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，直线：，直线：分别交y轴于A，B两点，过B作y轴垂线交直线于，过作垂线交于，再过，作垂线交直线于，过作垂线交于，…依次类推，则的坐标是 ． 43．（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，已知等边的边长为1，作于点D，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；作于点，在x轴上取点，使，以为边作等边；…，且点，…都在第一象限，如此下去，则点的坐标为 ．    四、最值问题 44．（八年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点、点，点P是x轴正半轴上一动点给出4个结论： 线段AB的长为5； 在中，若，则的面积是； 使为等腰三角形的点P有3个； 设点P的坐标为，则+的最小值为． 其中正确的结论有 ． 45．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，．在y轴上有一动点C，当的周长最小时，点C的坐标是 ．    46．（八年级上·江苏常州·期中）如图，纸片的直角边AC落在直线l上，，，，平面内一点O到直线l的距离为9，纸片沿直线l左右移动，则的最小值是 ．    47．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，如图点，，轴，垂足为，点为线段上一动点，为中点，为中点，为中点，当周长最小时，点坐标为 ． 48．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，为线段上一动点，将点绕点逆时针旋转得到，连接，当最小时，点的坐标为 ．    五、作图 49．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)证明：为直角三角形； (2)作出关于对称图形，并写出的坐标 50．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在直角坐标平面内，的三个顶点的坐标分别为，，．    (1)画出关于轴的对称图形； (2)求出的面积； (3)若点是轴上一点，求的最小值． 51．（八年级上·四川成都·期末）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上． (1)画△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出A1的坐标 　 　； (2)试判断△ABC的形状，说明理由，并求出△ABC的面积． 52．（江苏省苏州市苏州工业园区星海实验中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题）如图，在边长为1的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的．    (1)利用网格线画，使它与关于直线对称． (2)在直线上作点，使的值最小，此时______． (3)在直线上找一点，使点到两边的距离相等． 53．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，的顶点均在格点上．    (1)画关于y轴的对称图形； (2)试判断的形状，说明理由； (3)在y轴上求作一点P，使得最小，并求出这个最小值． 54．（八年级下·浙江台州·开学考试）如图，已知△ABC的三个顶点在格点上． (1)作出与△ABC关于y轴对称的图形； (2)直接写出点C关于x轴对称C2的坐标： ； (3)在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．请在图中标出点P的位置． 55．（23-24八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知    (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若与关于轴对称，画出并写出的坐标 ； (3)已知为轴上一点，则的最小值为 ． 56．（23-24八年级上·四川成都·期中）在直角坐标系内的位置如图所示． (1)请在这个坐标系内画出，使与关于y轴对称，并写出点的坐标； (2)计算面积． (3)在轴上找一点P，使得的值最小．请在图中标出P点的位置，并保留作图痕迹． 57．（八年级上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，的位置如图所示，已知点的坐标是 (1)点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______） (2)求的面积． (3)作点关于轴的对称点，那么两点之间的距离是______． 58．（七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．    (1)在平面直角坐标系中画出； (2)若点与点关于轴对称，则点的坐标为________； (3)已知为轴上一点，若的面积为2，求点的坐标． 59．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为，点C与点A关于y轴对称． (1)请在图中画出； (2)的面积是_______； (3)写出点A关于的对称点的坐标_______； (4)在y轴上有一点D，且，则点D的坐标为_______． 60．（八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0，1)，B(2，0)，C(4，4)均在正方形网格的格点上．    （1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标； （2）已知P为y轴上一点，若△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 61．（23-24八年级上·四川成都·期中）为了更好的开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的4棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视． (1)请在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得古树，的位置分别表示为，； (2)在（1）建立的平面直角坐标系中． ①表示古树C的位置的坐标为______，并在网格中标出古树的位置； ②现需要在沿轴的道路某处点向古树，修建两条步道，使得点到古树，的距离和最小． 请在网格中画出点（保留作图痕迹，不写作图过程）； 该距离和的最小值为______． 62．（23-24八年级上·四川成都·期中）把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．函数图象是函数的重要表示方法，借助图象能直观地帮助我们分析函数特征． (1)根据绘制函数图象的一般步骤，请在如图网格中画出函数的图象； (2)轴正半轴上有一动点，过作轴的平行线，当直线与函数的图象所围成的封闭图形的周长为时，求的值． 六、变量之间的关系--实际应用 63．（八年级下·湖北武汉·期末）甲、乙两车从A地出发，匀速驶向地．甲车以的速度行驶后，乙车才沿相同路线行驶，乙车先到达地并停留后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离与乙车行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是；②；③点的坐标是；④，其中正确的有 （填序号）． 64．（八年级上·广东佛山·期中）甲、乙两人相约周末登山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： (1)______米； (2)求出甲距地面的高度与登山时间的关系式，并指出一次项系数的实际意义； (3)若乙提速后，乙登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，则在整个爬山过程中，登山多长时间时，甲乙两人距离地面的高度差为70米？ 65．（八年级下·吉林长春·阶段练习）甲骑自行车、乙骑摩托车沿相同路线由地到地，行驶过程中路程与时间的函数关系的图象如图．请你根据图象解决下列问题：    (1)谁先出发？先出发多少时间？谁先到达终点？先到多少时间？ (2)分别求出甲、乙两人的行驶速度； (3)并根据图中的情形，分别求出甲乙关于行程与行驶时间之间的函数关系式． (4)根据图象回答：①何时两人相遇；②在什么时间段内甲在乙的前面；③在什么时间段甲在乙的后面． 66．（23-24八年级上·四川成都·期中）M，N两地相距，甲、乙两人沿同一条路从M地到N地．与分别表示甲、乙两人离开M地的距离与时间之间的关系，根据图象解答下列问题：    (1)分别求出甲、乙两人离开M地的距离y与时间x之间的函数关系式； (2)当时，求两人相距时的时间． 67．（23-24八年级上·四川成都·期中）共享电动车是一种新理念下的交通工具：主要面向的出行市场，现有，两种品牌的共享电动车，收费与骑行时间之间的函数关系如图所示，其中品牌收费方式对应，品牌的收费方式对应． (1)当 分钟时，，两种品牌收费相同，此时收费 元； (2)求骑行品牌共享电动车超过后的函数表达式； (3)请求出，两种品牌收费相差元时的值． 68．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟元）两种，设A套餐每月话费为（元），B套餐每月话费（元），月通话时间为x分钟． (1)直接写出与x，与x的函数关系式； (2)如果某用户使用A套餐本月缴费50元，求他本月的通话时间？ (3)如果某用户这个月的通话时间为280分钟时，选择哪种套餐更划算？ 69．（23-24八年级上·四川成都·期中）1号探测气球从海拔10米处出发，以1米/分的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以a米/分的速度竖直上升．两个气球都上升了60分钟，1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：米）与上升时间x（单位：分）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：    (1)b＝_____； (2)请求出与x的函数关系式； (3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为6米？ 七、位置与坐标与几何综合 70．（八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，有两点，且a，b满足． (1)求A，B两点的坐标； (2)若点P在x轴上，且的面积为6，求点P的坐标． 71．（八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在直角坐标系中，为，两点分别在轴、轴上，点坐标为，将沿翻折，点落在点位置，交轴于点E，求点坐标． 72．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知A、B、C三点的坐标分别为，，（如图所示），b，c满足关系式，． (1)求a，b，c的值； (2)在y轴上是否存在一点M，使为等腰三角形，若存在，若不存在，请说明理由． 73．（七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点作x轴的垂线l，点A与点B关于直线l对称； (1)点B的坐标为________； (2)点C的坐标为，顺次连接，若在四边形内部有一个点P，满足，且，求点P的坐标； (3)在四边形外部是否存在点Q，满足，且，若存在，直接写出Q点坐标，若不存在请说明理由． 74．（八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内，且使得AB = 4，OB = 3． （1）试判断△AOB的形状，并说明理由； （2）在第二象限内是否存在一点P，使得△POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； （3）如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC = BD．求AC + OD的最小值． 75．（23-24八年级上·四川成都·期中）点、点和点为平面直角坐标系中的三个点，给出如下定义：若，且，则称为点关于点的等垂点． (1)已知点的坐标为 ①如图1，若点为原点，直接写出关于的等垂点的坐标______； ②如图2，为轴上一点，且点关于点的等垂点恰好在一次函数的图象上，求点的坐标； (2)如图3，若点的坐标为，为直线上一点，关于点的等垂点位于轴右侧，连接，，请问是否有最小值？若有，请求出最小值；若无，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$