2024--2025学年北师大版八年级数学上册期中复习讲义2-勾股以及常见考点

2024--2025学年北师版八年级年级上学期中复习讲义2-勾股以及常见考点 一、勾股定理的几何应用 1．（23-24八年级上·四川成都·期中）若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】无理数的大小估算 【分析】利用正方形的面积＝边长×边长，可得正方形边长，再估算的范围即可． 此题主要考查了估算无理数的大小，思维方法：用有理数逼近无理数． 【详解】解：∵一个边长为a正方形的面积为30， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）若直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为 ． 【答案】或/或 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用．分是直角边和是斜边两种情况分类讨论，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：当是直角边时，第三边长为； 当是斜边时，第三边长为． 所以，第三边长为或． 故答案为：或 3．（23-24八年级上·四川成都·期中）直角三角形的两边分别为2和3，则斜边上的高为 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形的高有关的计算问题、分母有理化 【分析】本题主要考查了勾股定理，求三角形的高的长，设斜边上的高为h，分当长为3的边为斜边时，当长为3的边为直角边时，两种情况利用勾股定理求出第三边的长，再利用等面积法求出h的长即可得到答案． 【详解】解：设斜边上的高为h， 当长为3的边为斜边时，则第三边长为， 由三角形面积公式可得， ∴； 当长为3的边为直角边时，则第三边的长为， 由三角形面积公式可得， ∴； 综上所述，斜边上的高为或， 故答案为：或． 4．（七年级上·全国·单元测试）若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方是（    ） A．169 B．169或119 C．13或15 D．15 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】分边长为12的边为直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当边长为12的边为直角边时，则第三边的长的平方为； 当边长为12的边为斜边时，则第三边的长的平方为； 综上所述，第三边长的平方是169或119， 故选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键，在直角三角形中，如果两直角边的长为a、b，斜边的长为c，那么． 5．（八年级上·甘肃张掖·期中）在RtABC中，∠ABC=90º，BC=6，AC=8，则RtABC的斜边AB上的高CD的长是（     ） A． B． C．9 D．6 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】先由勾股定理算出AB=10，然后再由Rt△ABC中等面积法得到即可求解． 【详解】解：由勾股定理有：， 在Rt△ABC中，由等面积法可知：， 代入数据：， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，运用直角三角形面积的计算方法求出CD是解决问题的关键． 6．（八年级下·江西宜春·期末）如图，在中，，，，．求AC的长． 【答案】13． 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，即可得到AC长； 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AB＝15，AD＝12， ∴BD＝， ∵BC＝14， ∴， ∵AC＝ ∴AC＝． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理内容． 7．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，方格纸中小正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的顶点处，则点到边距离为 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、勾股定理与网格问题、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由网格求出三角形的面积，由勾股定理求出的长，利用三角形的面积计算公式即可求解，掌握三角形面积的不同求法是解题的关键． 【详解】解：由网格可得，的面积， 由勾股定理可得，， 设点到边距离为，则， 解得， 故答案为：． 8．（八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在中，，是边上的中线，则的面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵是边上的中线， ∴， ∴的面积是， 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 9．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，点，都在边上，且，若，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】如图所示，过点作于，先根据等腰直角三角形的性质得到，利用勾股定理求出，根据已知条件得出，则． 【详解】解：如图所示，过点作于，    ∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 10．（八年级上·浙江杭州·期末）在中，，，，为直线上一点，且与的两个顶点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为 ． 【答案】或4或或 【难度】0.4 【知识点】等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】分AC=AD、BA=BD、DA=DC、AC=CD四种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质或勾股定理求解即可． 【详解】在△ABC中，∠ABC=90，CA=3，CB=1， ∴AB=， ①当AC=AD时，△ACD为等腰三角形，如图，　 ∵AC=AD，AB=AB，∠ABC=∠ABD=90， ∴Rt△ABDRt△ABC(HL)， ∴BD=BC=1， ∴； ②当BA=BD时，△ABD为等腰三角形，如图， ∵BA=BD=， ∴； ③当DA=DC时，△ACD为等腰三角形，如图， 作DE⊥AC于E，设BD=， ∵DA=DC， ∴DA=DC=， ∵∠ABD=∠ABC=90， ∴，即， 解得：，即BD=， ∴； ④当AC=CD时，如图， 综上，此等腰三角形的面积为或4或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，分类讨论、正确的识别图形是解题的关键． 11．（23-24八年级上·四川成都·期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（，约公元年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中为三角形的三边长，，为三角形的面积）． 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为，三角形的面积为． （）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ （）利用材料解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为． 当时，请直接写出中最长边的长度； 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】（）；（）；． 【难度】0.65 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质化简、三角形三边关系的应用 【分析】（）求出，把的值代入海伦公式计算即可求解； （）把代入计算即可求解； 根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而化简，根据取最大值且为整数，确定出的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解； 本题考查了三角形的面积，三角形三边关系，二次根式，平方差公式，掌握三角形的三边关系和二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ； （）当时， ，，， ∴中最长边的长度为； ∵，， ∴， ∵，三角形的边为正数， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时，取最大值， ∴，，， ∴ ， ， ， ． 二、直角三角形的判定以及勾股数 12．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．0.6，0.8，1 B．，， C．7，24，25 D．4，5，6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】利用勾股数的特点验证即可得到答案． 【详解】A．，0.6和0.8不是整数，不能构成勾股数，故错误，不符合题意； B．，但不是整数，不能构成勾股数，故错误，不符合题意； C．，能构成勾股数，故正确，符合题意； D．，不能构成勾股数，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股数的特点，熟记勾股数的特点是关键． 13．（八年级上·四川成都·阶段练习）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（    ） A．2，4，6 B．1，，2 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】根据勾股数的定义，可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称为勾股数，依次进行判断即可． 【详解】解：A、∵，∴2，4，6不是一组勾股数，选项不符合题意； B、∵不是整数，∴1，，2不是一组勾股数，选项不符合题意； C、∵，∴是一组勾股数，选项符合题意； D、∵不是整数，不是一组勾股数，选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数的定义，准确理解勾股数的定义是解题的关键． 14．（八年级下·四川绵阳·期中）在中，的对边分别是a、b、c，下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】据三角形内角和定理可得A、D是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出B、C是否是直角三角形． 【详解】解：A、在中，，， ∴，则， 故是直角三角形，不符合题意； B、在中，，设， 则， 故是直角三角形，不符合题意； C、在中，， ∴，故是直角三角形，不符合题意； D、在中，，， 设， 解得：， ， 故不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解决本题的关键． 15．（八年级下·云南昆明·期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据勾股定理逆定理以及三角形内角和定理对各项逐一判断即可. 【详解】解：A. ， 此三角形是直角三角形；故A选项不符合题意； B. 设，则：，， ， 解得：， 此三角形不是直角三角形；故B选项符合题意； C.，且， ， ， 此三角形是直角三角形；故C选项不符合题意； D.由得：， 此三角形是直角三角形；故D选项不符合题意； 故选：B. 【点睛】本题考查直角三角形的判定，如果有边长，则可利用勾股定理的逆定理进行判定；如果有角度相关条件，则利用有一个角是的三角形是直角三角形进行判定. 16．（八年级上·四川成都·期中）已知的三边为、、，下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B.∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C.设，则∠， ∵， ∴，解得， ∴， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D.∵，设，则， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键． 17．（23-24八年级上·四川成都·期中）满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】解：A、，， ∴最大角为， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； B、设分别为， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； C、， ∴不符合三角形三边关系， 故本选项不符合题意； D、， ， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 18．（23-24八年级上·四川成都·期中）由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　） A． B． C．，， D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和．根据勾股定理的逆定理可以判断A、B、C，根据三角形内角和可以判断D． 【详解】解：由，可得，则，即由线段，，组成的三角形是直角三角形，故选项A不符合题意； ，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项B不符合题意； ，故选项中的三条线段可以构成直角三角形，故选项C不符合题意； ，最大的，故选项D中的三角形不是直角三角形，符合题意； 故选：D． 19．（2018九年级·全国·专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．    【答案】1 【难度】0.65 【知识点】二次根式的应用 【分析】把题中的三角形三边长代入公式求解. 【详解】∵S=，∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为： S==1， 故答案为1． 【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答． 三、数轴上表示实数 20．（八年级上·广东深圳·期中）如图，中，，，，点D是边上一点．若沿将翻折，点C刚好落在AB  边上点E处，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】化为最简二次根式、勾股定理与折叠问题 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠，解题的关键是根据勾股定理求出，根据折叠得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后根据勾股定理求出． 【详解】解：在中，由勾股定理可知， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， 设，则， 在中，， ∴． ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 21．（八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知于点C，点C对应的数是，那么数轴上点B所表示的数是 ．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴点B所表示的数是； 故答案为：． 22．（八年级下·湖北武汉·期中）如图，数轴上点对应的数分别为,以为边在数轴上方作正方形，连接,以圆心，的长为半径画圆弧交数轴(的左侧)于，则点在数轴上对应的数为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】首先利用勾股定理计算出AC的长，进而可得AE的长，然后再确定E点所对应的数． 【详解】∵点A，B对应在数分别是1，2， ∴AB＝1， ∵以AB为边在数轴上方作正方形ABCD， ∴CB＝1， ∴AC＝， ∴AE＝， ∵点A对应的数是1， ∴E在数轴上对应在数为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，关键是利用勾股定理计算出AC的长． 23．（17-18八年级上·广东深圳·期中）如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ．    【答案】 【难度】0.94 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】根据勾股定理计算长方形对角线的长，再由点A的位置，确定点A的符号，即可得出点A的坐标． 【详解】解：长方形对角线的长：=， ∴OA=， ∵点A在原点左侧， ∴A点表示的数是：， 故答案为． 【点睛】本题考查实数与数轴的关系和勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 24．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在数轴上点表示的实数是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理求出的长度，进而可得的长度，即可求解． 【详解】解：如图， 由勾股定理，得， ， 点A在数轴的负半轴上， 点A表示的实数是． 故答案为：． 25．（八年级下·湖北十堰·期中）如图，在数轴上点表示的实数是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴 【分析】在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长=， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 【点睛】题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键． 26．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在数轴上点D表示的实数为 ．    【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与无理数、实数与数轴 【分析】根据勾股定理求出圆弧的半径，再根据点D的位置可得答案． 【详解】解：∵，， ∵， ∴点D表示的数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用，体现了数形结合的数学思想，解题时注意点D在数轴的负半轴上． 27．（八年级上·陕西西安·期中）如图，是直角三角形，，点A表示的数是3，且，若以点C圆心为半径画弧交于点B以点O为圆心，为半径画弧交x轴于点D．则点D表示的数为 ．    【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】根据题意得出，，根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵点A表示的数是3， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴点D表示的数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与无理数，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方． 四、勾股与小正方的面积关系 28．（八年级上·广东佛山·阶段练习）如图,在Rt△ABC中，，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25和144,则AB的长度为(        )    A．13 B．169 C．119 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】由正方形的面积公式可知AC2=144，BC2=25，SM=AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，由此可求SM．即可得出AB的长． 【详解】∵在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，AC2=144，BC2=25， ∴AB2=25+144=169， ∴AB==13． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用；解题关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积，难度一般． 29．（23-24八年级上·四川成都·期中）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理在几何图形中的应用，通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后即可求出风车外围的周长，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，又∵为直角三角形，将长度为的边延长一倍长度为， ∴由勾股定理知，延伸后斜边长为， 又∵四个直角三角形全等， ∴这个风车外围周长为， 故选：． 30．（八年级下·全国·单元测试）如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为(　　) A．9 B．8 C．27 D．45 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】设正方形D的面积为x，根据图形得出方程2+4=x-3，求出即可． 【详解】∵正方形A、B、C的面积依次为2、4、3， ∴根据图形得：2+4=x−3． 解得：x=9． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理，根据图形推出四个正方形的关系是解决问题的关键． 31．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为3、5、4，则正方形D的面积为（    ） A．15 B．12 C．27 D．45 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】先设正方形的边长，再根据勾股定理列出方程，进而得出答案． 【详解】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，正方形D的边长为d，中间的正方形的边长为e， 可知，，. 根据勾股定理，得 ，， ∴， ∴， 所以正方形D的面积是12． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，理解正方形的面积和勾股定理的关系是解题的关键． 32．（八年级下·广东珠海·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”，若AB=10，AE=8，则正方形EFGH的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形EFGH的面积=大正方形面积-4个直角三角形面积即可求得正方形EFGH的面积． 【详解】解：直角三角形直角边的较短边为=6， 正方形EFGH的面积=10×10-8×6÷2×4=100-96=4． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 33．（八年级下·河北沧州·期中）如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形、若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是 ． 【答案】64 【难度】0.85 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴AB＝8（舍负）， 四边形为正方形， ， 阴影部分的面积， 故答案为：64． 【点睛】本题考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键． 34．（23-24八年级上·四川成都·期中）某仓库按如图方式堆放15只空油桶，每只油桶底面的直径均为，现要给它们盖一个遮雨棚，请根据截面示意图计算，遮雨棚的高度至少为 米（计算结果保留根号）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】仔细观察上图，可以看出15只油桶堆成的底面刚好构成一等边三角形，取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是，这堆油桶的最高点距地面的高度是该三角形的高加一只油桶的高． 此题主要考查等边三角形的性质及含的直角三角形的性质，此题关键是三个角处的三个油桶的圆心连线长为4个油桶的直径，考查学生分析题意的能力及勾股定理． 【详解】解：取三个角处的三个油桶的圆心，连接组成一个等边三角形，它的边长是，这个等边三角形的高是， 这堆油桶的最高点距地面的高度是：， 故答案为：． 35．（八年级上·江苏扬州·期中）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（    ） A．10 B． C．10或 D．10或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】分情况先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长． 【详解】解：如图所示： ， 则， 点是斜边的中点， ； 如图所示： ， ， 点是斜边的中点， ， 综上所述：原直角三角形纸片的斜边长是10或， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的剪拼，勾股定理，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解． 36．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图是由5个正方形和4个等腰直角三角形组成的图形．若正方形的面积是1，那么正方形的面积是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，根据正方形的面积求出其边长，再由勾股定理求出下一个正方形的边长，继而求出其面积，据此作答即可． 【详解】 如图，正方形的面积是1， ∴正方形的边长是1， 在等腰直角中， 由勾股定理得，，即正方形的边长是， ∴正方形的面积是2， 同理可得，正方形的面积是4，正方形的面积是8， ∴正方形的面积是16， 故选：C． 37．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理中的弦图模型，由图可知中间小正方形的边长为，再利用勾股定理求出边长即可求解； 【详解】解：如图， 由题意知：，， ∴ 在中，， ∴图2中的“风车”图案的周长为： 故选：C 38．（八年级下·河南安阳·阶段练习）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH．已知AM为RtABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为 ． 【答案】36 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、以直角三角形三边为边长的图形面积、根据正方形的性质求线段长 【分析】设，，则正方形ABCD的面积，由题意可知，结合，由此即可解决问题． 【详解】解：设，，则正方形ABCD的面积为： 观察图形可得： ∵ ∴， ∵正方形的面积为，即 ∴则正方形ABCD的面积为： 故答案为： 【点睛】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，解题的关键在于根据图形当中的关系灵活设出未知数，进而转化求解． 39．（八年级上·浙江温州·期中）将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，其中与共线．若，则的长为（　　） A． B．7 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、识别图形找等量关系，设为，为，得到，再得，设为x，得，即可解得． 【详解】解：如图， 设为，为， ∵为等腰三角形，， ∴，， ∵， ∴， 结合两图，可得， 设为x， 根据勾股定理得， ∴， 解得：x＝， ∴， 故选：D． 五、尺规作图 40．（八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，观察尺规作图的痕迹，若，则的长是 ．    【答案】 【难度】0.65 【知识点】作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】由已知条件可得，由作图知于点E，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图知于点E， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图及等腰三角形的性质、勾股定理． 41．（八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，在中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与，分别交于点，点，连结，当，时，则的周长是 ． 【答案】17 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点．理解线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解答本题的关键．先运用勾股定理求得，再利用基本作图得到MN垂直平分，则，然后运用等量代换可得的周长． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 由作法得垂直平分， ∴， ∴的周长． 故答案为：17． 42．（四川省成都市武侯区成都西川中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交边于点，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】根据是的垂直平分线，可以得到，，利用余角性质可以得到，进而得到，再利用勾股定理即可求出的长； 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，即： 在中，， 故答案为： 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及判定，余角的性质，勾股定理，掌握垂直平分线的尺规作图的方法及垂直平分线的性质，利用余角性质得到相等的角进而得到等腰三角形是解决本题的关键． 43．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，按下列步骤作图： 步骤1：分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； 步骤2：作直线交于点D，交于点E，则的长为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查线段垂直平分线，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键，连接，设，则，利用基本作图得到垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，则利用勾股定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：连接，如图， 设，则， 由作法得垂直平分， ∴， 在中，， 解得， 即的长为5． 故选：A． 六、蚂蚁最短距离 44．（八年级下·西藏那曲·期末）如图将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为，和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】长方体内对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，这样就是求出盒子的对角线长度即可． 【详解】解：由题意可知盒子底面对角线长为， 盒子的对角线长为， 则细木棒露在盒外面的最短长度是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，在实际问题中构建直角三角形利用勾股定理解决问题的思想是解题的关键． 45．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与相对的点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为 ．（取） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了平面展开图的最短路径问题，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解答本题的关键． 将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再利用两点之间线段最短，求出答案． 【详解】解：如图，即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线， 圆柱的底面半径为， ， 又， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是， 故答案为：． 46．（八年级上·吉林长春·期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝cm，高BC＝10cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为 cm． 【答案】13 【难度】0.65 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】化“曲”为“平”，在平面内，得到两点的位置，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】将圆柱体的侧面展开，如图所示： AB＝底面周长＝××＝12（cm），BP＝BC＝5（cm）， 所以AP＝（cm）， 故蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为13cm， 故答案为：13． 【点睛】本题考查最短距离问题，化“曲”为“平”，在平面内，利用两点之间线段最短和勾股定理是常用求解方法． 47．（八年级下·广东广州·期中）如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（　　） A．4cm B．5cm C．cm D．cm 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、几何体展开图的认识 【分析】先把圆柱体沿AB剪开，则AD的长为圆柱体的底面圆周长的一半，在Rt△ACD中，利用勾股定理即可求出AC的长． 【详解】解：如图所示，圆柱体的侧面展开图： ∵底面圆周长为8cm， ∴AD=BC=4cm， 又∵AB=3cm， ∴在Rt△ABC中，AC=(cm)， ∴蚂蚁爬行的最短路程为5cm． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开图---最短路径问题，解题的关键是会将圆柱的侧面展开，并利用勾股定理解答． 48．（八年级上·广东揭阳·期中）如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，其中B离上沿，则蚂蚁经过的最短路程为 ．    【答案】/13厘米 【难度】0.85 【知识点】几何体展开图的认识、最短路径问题、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】先把圆柱的侧面展开得其侧面展开图，则A，H所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半，，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得的长． 【详解】解：如图，将圆柱的侧面沿过A点的一条母线剪开，    连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短距离，C、H分别是、的中点， ∵底面周长是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴蚂蚁经过的最短距离为； 故答案为：． 【点睛】本题考查平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 49．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，有一个圆柱，底面圆周长为，高为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查的是平面展开的最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 把圆柱的侧面展开，连接，利用勾股定理即可得出的长，即蚂蚁从点爬到点的最短距离． 【详解】解：已知如图： ∵圆柱底面周长为、高为的中点， ∴， 在中，， ∴蚂蚁从点出发沿着圆柱的表面爬到点的最短距离为， 故答案为：． 50．（17-18八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm．    【答案】（3+3）． 【难度】0.65 【知识点】几何体的展开图、用勾股定理解三角形 【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图②的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】如图所示：    △BCD是等腰直角三角形，△ACD是等边三角形， 在Rt△BCD中，CD==6cm， ∴BE=CD=3cm， 在Rt△ACE中，AE==3cm， ∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm． 故答案为（3+3）． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，关键是把图②的几何体表面展开成平面图形，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解题. 51．（2023·湖北十堰·三模）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为，高为，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ）．    A．10 B．50 C．10 D．70 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】根据图形可知长方体的四个侧面都相等，所以分两种情况进行解答即可． 【详解】解：分两种情况：（其它情况与之重复） ①当蚂蚁从前面和右面爬过去时，如图1，连接，    在中，，， 根据勾股定理得：； ②当蚂蚁从前面和上面爬过去时，如图2，连接，    在中，，， 根据勾股定理得：； 蚂蚁爬行的最短距离为50． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用－求最短距离，读懂题意，熟悉立体图形的侧面展开图是解本题的关键． 52．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是 cm． 【答案】20 【难度】0.65 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线． 分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可． 【详解】解：①如图1，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ②如图2，展开后连接，则就是在表面上从A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：； ③如图3，展开后连接，则就是在表面上A到B的最短距离， 在中，由勾股定理得：． ∴蚂蚁爬行的最短路程是20cm． 故答案为：20． 53．（八年级上·陕西西安·期末）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米    A．16 B． C．15 D．14 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过P作于G，连接，    ∵米，米， ∴米， ∴（米）， ∴（米） ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 54．（九年级上·浙江宁波·期中）葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？ (1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？ (2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？ 【答案】(1)50cm (2)300cm 【难度】0.85 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、 圆柱的展开图 【分析】（1）将圆柱展开，可知底面圆周长，即为 的长，圆柱的高即为 的长，求出 的长即为葛藤绕树的最短路程． （2）先根据勾股定理求出绕行1圈的高度，再求出绕行10圈的高度，即为树干高． 【详解】（1）解：如图， 树干的周长即底面圆的周长为30cm cm 葛藤升高40cm cm 由勾股定理得 cm 所以，葛藤爬行的路程是50cm （2）解： 树干的周长即底面圆的周长为40cm cm 葛藤绕一圈爬行50cm cm 由勾股定理得绕行1圈的高度 爬行10圈到达树顶 树干高 cm 所以，树干高为300cm 【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图和勾股定理，解题关键是要弄清底面圆的周长即为矩形的边 的长． 七、勾股定理的实际应用 55．（八年级·全国·单元测试）学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉开6米后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为（    ） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】根据题意画出示意图，设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x＋2）m，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：画出示意图如下所示： 设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x＋2）m， 在Rt△ABC中，AB2＋BC2＝AC2， ∴x2＋62＝（x＋2）2， 解得：x＝8， ∴AB＝8m，即旗杆的高是8m． 故本题选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，能根据勾股定理构造方程模型是解题的关键． 56．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　） A．m B．4m C．m D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过B点作于点E，连接，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，由题意可知，大树高，小树高为， 过B点作于点E，连接， 则四边形是矩形， ， ， 在中， ， 即小鸟至少飞行， 故选：A． 57．（2017·浙江绍兴·中考真题）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（   ） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边，即可求出小巷宽度. 【详解】在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=2米，BD2+A′D2=A′B′2， ∴BD2+22=6.25， ∴BD2=2.25， ∵BD＞0， ∴BD=1.5米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的运用，利用梯子长度不变找到斜边是关键. 58．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，一个梯子长2米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求梯子顶端A下落了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】由题意可知，米，米，米，根据勾股定理可分别求出、的长，再求出的长即梯子顶端下落的距离． 【详解】解：由题意可知，，米，米，米， （米）， 在中，（米）， 在中，（米）， （米）， 即梯子顶端下落了米． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题关键是注意梯子的长度不变，利用勾股定理求出、的长． 59．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为米，若将它沿水平方向向前推进米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确作辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 过点作于点，得到，再利用勾股定理求出的长，由此得到答案． 【详解】如图，过点作于点， 则，四边形为矩形， 米， 米， 米， 米， 此时木马上升的高度为米， 故选：． 60．（17-18八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5m处折断倒下，倒下后树顶落在树根部大约12m处．这棵大树折断前高度估计为     （     ） A．25cm B．18m C．17m D．13m 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：AB=5，BC=12， 由勾股定理得：， 所以树高是AB+AC=18m． 选B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 61．（八年级下·重庆梁平·期中）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（    ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理，可求出、的长，则即为橡皮筋拉长的距离． 【详解】解：，，； 根据勾股定理，得：； ∴； ∴橡皮筋被拉长了2. 故选：A． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，理解被拉长部分并转化为几何线段计算是解题的关键． 62．（八年级上·山西长治·期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】勾股定理解得出，勾股定理解即可求解． 【详解】解：依题意，， 在中，， ∵，, 在中，， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． 63．（八年级上·江苏盐城·期末）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．    (1)若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间． (2)C岛在A港的什么方向？ 【答案】(1)3小时 (2)C岛在A港的北偏西42° 【难度】0.65 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】（1）中，利用勾股定理求得的长度，则，然后在中，利用勾股定理来求的长度，再根据时间路程速度即可求得答案； （2）由勾股定理的逆定理推知．由方向角的定义作答． 【详解】（1）解：由题意可知，AD⊥BC， 在中，， ∴， ， ∵BC＝125km， ， ， ∴（小时）， ∴从岛返回港所需的时间为3小时； （2），， ， ， ，   岛在港的北偏西．    【点睛】本题考查了勾股定理的应用，方向角问题，解题的关键是数形结合寻找直角三角形进行求解． 64．（八年级上·四川成都·期中）我县某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，米，米，米，米．求出空地的面积为 平方米． 【答案】24 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】如图所示，连接，利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明，再根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在， ∴， ∵， ∴是直角三角形，即， ∴平方米， 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，证明是解题的关键． 65．（第03讲勾股定理应用（知识解读 真题演练 课后巩固）-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读�题型专练》（苏科版））已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？    【答案】7200元 【难度】0.65 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】连接，在中，根据勾股定理得到的长为5，根据勾股定理的逆定理得到为一直角三角形，，根据四边形由和构成，即可求解． 【详解】连接， 在中，， 在中，， 而， 即， ∴是直角三角形，， ∴ ． ∴需费用（元）．    【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，勾股定理的逆定理判定直角三角形． 66．（八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以的速度收绳，12秒后船移动到点D的位置，问此时船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）    【答案】船向岸边移动了米 【难度】0.85 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】开始时，米，米，即可求得的值，12秒后根据，长度即可求得的值，即可解题． 【详解】解：在中，，米，米, 米， 此人以的速度收绳，秒后船移动到点的位置， 米， 米， 米， 答：船向岸边移动了米． 【点睛】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求12秒后的值是解题的关键． 67．（八年级下·甘肃庆阳·期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业． 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，，试求阴影部分的面积． 【答案】24 【难度】0.85 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，再利用面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，以及勾股定理的逆定理，熟练运用逆定理判定直角三角形是解本题的关键． 68．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，海中有一小岛，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在处测得小岛在北偏东方向上，航行16海里到处，这时测得小岛在北偏东方向上． (1)试说明是等腰三角形； (2)求点与小岛之间的距离； (3)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)海里 (3)不会，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据等角对等边证明边相等、含30度角的直角三角形、无理数的大小估算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解． （1）证明，然后根据等腰三角形的判定证明即可； （2）过点P作于H，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，最后利用含的直角三角形的性质求出即可； （3）用（2）中所求与12海里比较大小即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 根据题意，得，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形； （2）解：过点P作于H， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴， 即点与小岛之间的距离为海里； （3）解：由由（2）知， ∵， ∴，即， ∴渔船不改变航线继续向东航行，不会有触礁危险． 69．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图是人们喜爱的秋千，已知秋千静止的时候，踏板A离地高为0.5米，将它往前推进2米到B（即的长为2），此时踏板离地高为1米，求秋千绳索的长度． 【答案】秋千绳索的长度为米 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的运用，设米，易得（米），在中，建立式子，即可作答． 【详解】解：∵踏板A离地高为0.5米，为1米， ∴（米）， ∵的长为2 故设米， 在中， 即 解得 故秋千绳索的长度为米． 70．（八年级下·山东德州·期末）如图1，同学们想测量旗杆的高度．他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到点处，如图3．    (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 【答案】(1)旗杆的高度为米 (2)绳结离地面米高 【难度】0.65 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】（1）由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答； （2）由题可知，米，米．在中根据勾股定理列出方程，求出，进而求解即可． 【详解】（1）如图，设旗杆的长度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 故旗杆的高度为米： （2）由题可知，米，米． 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴（米）， ∴米． 故绳结离地面米高．    【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． 71．（八年级上·四川成都·期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 寸．    【答案】101 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论． 【详解】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示： 由题意得：OA＝OB＝AD＝BC， 设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸， 则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸， ∴AE＝（r﹣1）寸， 在Rt△ADE中， AE2＋DE2＝AD2，即（r﹣1）2＋102＝r2， 解得：r＝50.5， ∴2r＝101（寸）， ∴AB＝101寸， 故答案为：101    【点睛】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键． 72．（北师大版2023-2024学年八年级数学上册1.3勾股定理的应用同步测试卷）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度为米； (2)他应该往回收线8米． 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米， 答：风筝的高度为米； （2）解：由题意得，， ， （米， （米， 他应该往回收线8米． 73．（八年级上·江西萍乡·阶段练习）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点B、F在线段上，点C在上，支杆．            (1)当E与C点重合，时，是什么三角形； (2)若时，B，D相距48cm，试判定与的位置关系，并说明理由； (3)当，时，求的长． 【答案】(1)直角三角形 (2)见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形、二次根式的混合运算 【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明即可； （2）利用勾股定理逆定理证明即可； （3）过F作于H，先证明，即可得，再利用勾股定理即可作． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∴是直角三角形； （2）如图，连接，据题意，得； ∴； ∵； ∴， 即是直角三角形，且， ∴； （3）据题意，可得； 过F作于H，如图，    ∴， ∵， ∴； ∴，即； ∴； ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理，明确题意，是解答本题的关键． 74．（23-24八年级上·四川成都·期中）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为 【难度】0.65 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理求出、的长，即可解决问题． 【详解】解：由题意可知，，点、、三点共线， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 答：这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为． 75．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，正方形的边长为15，，BG＝DH＝9，连接，则线段的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角，以及运用勾股定理进行计算是解答此题的关键． 延长交于点E，先利用勾股定理的逆定理证，，再证和全等得，进而可得，，由此可得和全等，进而得，，，据此得，，然后在中由勾股定理可求出的长． 【详解】解：延长交于点E，如图：    ∵四边形为正方形，边长为15， ，， ，，， ，， ， 即为直角三角形，则， 同理：， 在和中， ， ， ，， ，， ， 又，， ，， ， 在和中， ， ，，， ， 同理：， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：． 故选：D． 76．（八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m． (1)求旗杆距地面多高处折断（）； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面3m处折断 (2)距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险 【难度】0.85 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】（1）设长为，则长，再利用勾股定理建立方程即可； （2）先画好图形，再求解，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意，知． 因为， 设长为，则长， 则， 解得． 故旗杆距地面3m处折断； （2）如图． 因为点D距地面， 所以， 所以， 所以距离旗杆底部周围m的范围内有被砸伤的风险． 【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键． 八、折叠 77．（2023·湖南株洲·一模）如图在中，，，，将沿对折，使点C落在上的E处，则的长是 ．    【答案】3 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合 【分析】先由勾股定理求出，再由，列出比例式代入数值即可求得； 【详解】解：在中， ，，， ， 是由折叠得到， ,， ， ,， ， ， 即：， 解得：． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形的折叠，相关知识点有：勾股定理、相似三角形的性质与判定等知识点，折叠前后的元素对应是解题关键． 78．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的长为 ，的长为 ． 【答案】 4 5 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题、根据等角对等边求边长 【分析】由折叠的对称性知，在中利用勾股定理可求得；再由折叠性可证结合内错角，可证，则可推得．解题的关键运用折叠性与勾股定理． 【详解】解：∵是四边形与的对称轴， ∴， 又∵ 设，则 在中，， ∴ 解得： 则． ． 由折叠的性质知，再由知 ∴，则 故答案为：4；5 79．（23-24八年级上·四川成都·期中）把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，． (1)求重叠部分的面积； (2)求折㾗的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查了矩形与折叠，涉及勾股定理， （1）由折叠可得，设，则，由勾股定理求得，根据三角形的面积求解即可； （2）过点E作，垂足为G，由折叠得，设，则，勾股定理求出，再求得，再由勾股定理求解即可； 熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， 由折叠可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即， ∴的面积为； （2） 如图，过点E作，垂足为G， ∴， 由折叠得， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即， ∴， 在中，由勾股定理得． 80．（八年级下·天津南开·期末）如图所示，四边形是长方形，把沿折叠到，与交于点E，若，则的长为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】根据矩形性质得AB＝DC＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，∠B＝90°，再根据折叠性质得∠DAC＝∠D′AC，而∠DAC＝∠ACB，则∠D′AC＝∠ACB，所以AE＝EC，设BE＝x，则EC＝4﹣x，AE＝4﹣x，然后在Rt△ABE中利用勾股定理可计算出BE． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝DC＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，∠B＝90°． ∵△ACD沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E， ∴∠DAC＝∠D′AC， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴∠D′AC＝∠ACB， ∴AE＝EC． 设BE＝x，则EC＝4﹣x，AE＝4﹣x， 在Rt△ABE中，∵AB2+BE2＝AE2， ∴32+x2＝（4﹣x）2，解得x＝， 即BE的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质和勾股定理，解题关键是设未知数，表示线段长，利用勾股定理列方程． 81．（八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，，，为上一点，连接，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，求的长度． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】根据勾股定理，求解．由翻折的性质可知，设，根据勾股定理，得，再列方程求解即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理，得． 由翻折的性质可知， 设， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得：．故的长度为． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，轴对称的性质，掌握“轴对称的性质得到”是解本题的关键． 82．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在长方形中，点E是的中点，将沿翻折得到，交于点H，延长相交于点，若，，则 ．    【答案】 【难度】0.4 【知识点】用HL证全等（HL）、勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，连接，根据点是的中点得，根据四边形是长方形得，根据将沿翻折得到得，利用证明，得，设，则，，在中，根据勾股定理得，，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵点是的中点， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得， 故答案为：． 83．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，分别在边上取点，将沿直线翻折得到，使得点的对应点恰好落在延长线上，当时，的长为 ，当时，的长为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、勾股定理与折叠问题 【分析】由折叠的性质可得，先求出，从而可得，再由勾股定理可得，最后由，进行计算即可；令交于，连接，由折叠的性质可得：，，，，由得出，，证明得到，设，则，，根据建立方程，解方程即可得出的长，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 如图，令交于，连接， ， ， 由折叠的性质可得：，，，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， 设，则， ， ， ， 整理得：，即， ， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 84．（2011·河南三门峡·中考模拟）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到的位置，与CD交于点E． （1）求证：； （2）若，点P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥CD于H．求PG + PH的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【难度】0.4 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题 【分析】（1）由折叠的性质知，，，，则由得到； （2）由，可得，又由，即可求得的长，然后在中，利用勾股定理即可求得的长，再过点作于，由角平分线的性质，可得，易证得四边形是矩形，继而可求得答案． 【详解】（1）四边形为矩形，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到B′的位置， ，， 又， ； （2）， ， ， ， 在中，， 过点作于， ，， ， ，， ， 、、共线， ， 四边形是矩形， ， ． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的判定和性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用． 85．（23-24八年级上·四川成都·期中）折叠问题是几何变换常见的数学问题，其本质是轴对称图形，而长方形的折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：在长方形纸片中，，，点M在边上，． 【活动探究1】 （1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点B落在点处，与交于点E，求线段的长． 【活动探究2】 （2）如图2，在图1的基础上将纸片左边部分沿折叠，使恰好落在直线上，点C，D的对称点为，． ①求折痕的长； ②连接，求的长． 【答案】（1）（2）①② 【难度】0.4 【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】（1）根据折叠的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论； （2）①根据折叠的性质得到，求得，由（1）知，，根据勾股定理即可得到结论； ②如图，根据全等三角形的判定和性质定理和勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）∵将长方形纸片沿折叠， ， ∵ 解得 （2）①：将纸片左边部分沿折叠，使恰好落在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图2，    ∵， ∴， ∴， 有 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键． 九、勾股定理的几何应用解答题 86．（2023·北京海淀·二模）如图，正方形，点A在直线l上，点B到直线l的距离为3，点D到直线l的距离为2．则正方形的边长为 ．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】点到直线的距离、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】过点B作于点E，过点D作于点F，证明，得出，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示：    则，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 87．（九年级上·山东·单元测试）在△ABC中，AB=2，AC=,∠B=30º，则 ∠BAC的度数是 ． 【答案】15°或105° 【难度】0.65 【知识点】解直角三角形的相关计算 【分析】根据角的正弦函数与三角形边的关系，可求出各边的长，然后运用三角函数定义求解. 【详解】本题分两种情况： ①如图，为边上的高， 由，，得， ， ， ， ； ②如图， 为边上的高， 由，，得， ， ， ， ，， . 故答案为：或. 【点睛】本题考查了分类讨论解直角三角形的能力，注意要分两种情况讨论. 88．（八年级上·重庆沙坪坝·期末）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地进行新的规划，点D是边上的一点，过点D作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米．    (1)求的长； (2)求小路的长． 【答案】(1)9米 (2)米 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（1）根据，得到，运用勾股定理，计算即可． （2）根据直角三角形的面积不变性；列出等式求解即可． 【详解】（1）∵米，米， 米． ∴， ∴， ∵米，米， ∴(米)． （2）∵米，米，米,， ，． ∴(米)． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，直角三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 89．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，于点D，于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，当点E为边中点时，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【难度】0.65 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的重心： （1）通过证明，即可作答． （2）设，则，因为点E为边中点，，所以是的中垂线，即，根据勾股定理，建立等式，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 则，， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， 即 所以； （2）解：由（1）知， 则 设，则， ∵点E为边中点，， ∴是的中垂线， 即， 在中， 故 解得（，舍去） 即 90．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，点A，B，C三点在一直线上，在同侧作，，若，分别平分，，过点B作的平分线交于点F． (1)已知，求的度数； (2)若，，求线段的长； (3)在（2）的条件下，若，求的长 【答案】(1) (2)8 (3)4.48 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据角平分线性质和三角形外角定理可得，结合即可求得答案； （2）由题干得和，由角平分线性质进一步得和，等腰三角形的判定和性质得即可； （3）延长交于G，作于H，由角平分线性质得，利用勾股定理得，根据三角形面积可得，进一步得到、和，由可求得，即可求得答案． 【详解】（1）解：，分别平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）延长交于G，作于H， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定和性质及勾股定理，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，并利用勾股定理找到等量关系． 91．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，以B为圆心，为半径画弧，交线段于点D，以A为圆心，为半径画弧，交线段于点E，连接．    (1)若，求的度数； (2)若，求及的长． 【答案】(1) (2)的长为4，的长为 【难度】0.65 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据作图可知，，再由直角三角形的性质得，然后由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，即可得出结论； （2）根据作图可知，，在中，由勾股定理得出方程，求出，则，过点C作于点F，再由三角形面积求出，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据作图可知，， ， ， ， ， ； （2）根据作图可知，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 如图，过点C作于点F，    则， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， 即的长为4，的长为． 92．（八年级上·福建三明·期中）已知，如图，中，，，，以斜边为底边作等腰三角形，腰刚好满足，并作腰上的高．    (1)求证：； (2)求等腰三角形的腰长． 【答案】(1)见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、根据等边对等角证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、两直线平行内错角相等 【分析】（1）由平行线的性质得，由等腰三角形的性质得，可证，再根据证明可得结论； （2）由（1）得：，，设，在中由勾股定理得出方程求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（1）得：，， 设，则， 在中,由勾股定理得, ， 即， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 93．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，．在y轴上有一动点C，当的周长最小时，点C的坐标是 ．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、求一次函数解析式 【分析】本题考查了对称的性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与轴的交点．作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为的周长最小时的C点，待定系数法求直线的解析式，然后求直线与轴的交点坐标即可． 【详解】解：如图，作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为的周长最小时的C点，    ∴的点坐标为， 设直线的解析式为， 将，的点坐标代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得， ∴， 故答案为：． 94．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，P是长方形内部的动点，，的面积等于12，则点P到B、C两点距离之和的最小值为 ． 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，解答时涉及三角形的面积、轴对称的性质、线段和最短问题，将两条线段和最短的问题转化为一条线段的长是解题的关键； 先根据三角形的面积求出中边上的高，过作的平行线，找点关于直线的对称点，推出的最小值即为的长即可． 【详解】解：设中边上的高是h． ， ∴， ， ∴动点P在与平行且与的距离是3的直线l上， 过点B作直线l的对称点，连接交直线l于点P， ∵B与关于直线l对称， ， 故的最小值即为的长， ∵四边形是矩形， ， 故的最小值是10， 故答案为：10． 95．（八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则BD的长 cm    【答案】5 【难度】0.85 【知识点】勾股定理与折叠问题、折叠问题 【分析】首先由勾股定理求得，然后由翻折的性质求得，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中，两直角边，， ． 由折叠的性质可知：，，， ，， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 故答案为：5. 【点睛】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关键． 96．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，中，平分交于点，，当为直角三角形时，线段的值为 .    【答案】或 【难度】0.4 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】对为直角三角形进行分类讨论，即：①；②，两种情况，再利用等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：，平分， ， ①当时，如图所示：    ∵平分，，， ∴等边三角形， ，， ， ，， ； ②当时，如图所示：    ∴， ， ， ， ∵， ， ； 解得： 综上所述，为或， 故答案为：或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024--2025学年北师版八年级年级上学期中复习讲义2--勾股以及常见考点 一、勾股定理的几何应用 1．（23-24八年级上·四川成都·期中）若一个边长为a正方形的面积为30，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川成都·期中）若直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为 ． 3．（23-24八年级上·四川成都·期中）直角三角形的两边分别为2和3，则斜边上的高为 4．（七年级上·全国·单元测试）若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长的平方是（    ） A．169 B．169或119 C．13或15 D．15 5．（八年级上·甘肃张掖·期中）在RtABC中，∠ABC=90º，BC=6，AC=8，则RtABC的斜边AB上的高CD的长是（     ） A． B． C．9 D．6 6．（八年级下·江西宜春·期末）如图，在中，，，，．求AC的长． 7．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，方格纸中小正方形的边长为，的三个顶点都在小正方形的顶点处，则点到边距离为 ． 8．（八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，在中，，是边上的中线，则的面积是（　　）    A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，点，都在边上，且，若，则的长为（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 10． （八年级上·浙江杭州·期末）在中，，，，为直线上一点，且与的两个顶点构成等腰三角形，则此等腰三角形的面积为 ． 11．（23-24八年级上·四川成都·期中）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料．古希腊的几何学家海伦（，约公元年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中为三角形的三边长，，为三角形的面积）． 材料．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：其中三角形边长分别为，三角形的面积为． （）利用材料1解决下面的问题：当时，求这个三角形的面积？ （）利用材料解决下面的问题：已知三条边的长度分别是，记的周长为． 当时，请直接写出中最长边的长度； 若为整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 二、直角三角形的判定以及勾股数 12．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．0.6，0.8，1 B．，， C．7，24，25 D．4，5，6 13．（八年级上·四川成都·阶段练习）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（    ） A．2，4，6 B．1，，2 C． D． 14．（八年级下·四川绵阳·期中）在中，的对边分别是a、b、c，下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 15．（八年级下·云南昆明·期末）已知的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 16．（八年级上·四川成都·期中）已知的三边为、、，下列条件不能判定为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 17．（23-24八年级上·四川成都·期中）满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A． B． C． D． 18．（23-24八年级上·四川成都·期中）由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　） A． B． C．，， D． 19．（2018九年级·全国·专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为 ．    三、数轴上表示实数 （选）20．（八年级上·广东深圳·期中）如图，中，，，，点D是边上一点．若沿将翻折，点C刚好落在AB  边上点E处，则 ． 21．（八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知于点C，点C对应的数是，那么数轴上点B所表示的数是 ．    22．（八年级下·湖北武汉·期中）如图，数轴上点对应的数分别为,以为边在数轴上方作正方形，连接,以圆心，的长为半径画圆弧交数轴(的左侧)于，则点在数轴上对应的数为 ． 23．（17-18八年级上·广东深圳·期中）如下图，作一个以数轴的原点为圆心，长方形对角线为半径的圆弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 ．    24．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在数轴上点表示的实数是 ． 25．（八年级下·湖北十堰·期中）如图，在数轴上点表示的实数是 ． 26．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在数轴上点D表示的实数为 ．    27．（八年级上·陕西西安·期中）如图，是直角三角形，，点A表示的数是3，且，若以点C圆心为半径画弧交于点B以点O为圆心，为半径画弧交x轴于点D．则点D表示的数为 ．    四、勾股与小正方的面积关系 28．（八年级上·广东佛山·阶段练习）如图,在Rt△ABC中，，正方形AEDC，BCFG的面积分别为25和144,则AB的长度为(        )    A．13 B．169 C．119 D． 29．（23-24八年级上·四川成都·期中）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．在中，若直角边，，将四个直角三角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（    ） A． B． C． D． 30．（八年级下·全国·单元测试）如图，所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面积依次为2，4，3，则正方形D的面积为(　　) A．9 B．8 C．27 D．45 31．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为3、5、4，则正方形D的面积为（    ） A．15 B．12 C．27 D．45 32．（八年级下·广东珠海·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABCD，中间阴影部分是一个小正方形EFGH，这样就组成一个“赵爽弦图”，若AB=10，AE=8，则正方形EFGH的面积为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 33．（八年级下·河北沧州·期中）如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形、若右边的直角三角形ABC中，AC＝17，BC＝15，则阴影部分的面积是 ． 34．（23-24八年级上·四川成都·期中）某仓库按如图方式堆放15只空油桶，每只油桶底面的直径均为，现要给它们盖一个遮雨棚，请根据截面示意图计算，遮雨棚的高度至少为 米（计算结果保留根号）． 35．（八年级上·江苏扬州·期中）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（    ） A．10 B． C．10或 D．10或 36．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图是由5个正方形和4个等腰直角三角形组成的图形．若正方形的面积是1，那么正方形的面积是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 37．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形．中间是个小正方形．这个图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，现分别连接大、小正方形的四组顶点得到图2的“风车”图案（阴影部分）．若图1中的四个直角三角形的较长直角边为9，较短直角边为5，则图2中的“风车”图案的周长为（    ） A． B． C． D． 38．（八年级下·河南安阳·阶段练习）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH．已知AM为RtABM较长直角边，AM=2EF，则正方形ABCD的面积为 ． 39．（八年级上·浙江温州·期中）将一个等腰三角形纸板沿垂线段，进行剪切，得到三角形①②③，其中与共线．若，则的长为（　　） A． B．7 C． D． 五、尺规作图 40．（八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，观察尺规作图的痕迹，若，则的长是 ．    41．（八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，在中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与，分别交于点，点，连结，当，时，则的周长是 ． 42．（四川省成都市武侯区成都西川中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试题）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交边于点，连接．若，，则的长为 ． 43．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，按下列步骤作图： 步骤1：分别以点A，点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； 步骤2：作直线交于点D，交于点E，则的长为（　　） A．5 B． C． D． 六、蚂蚁最短距离 44．（八年级下·西藏那曲·期末）如图将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为，和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在外面的最短长度是 ． 45．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，有一圆柱，其高为，它的底面半径为，在圆柱下底面处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与相对的点处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为 ．（取） 46．（八年级上·吉林长春·期末）如图，有一个圆柱，底面圆的直径AB＝cm，高BC＝10cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁能够找到距离食物的最短路径，则蚂蚁从点A爬到点P的最短路程为 cm． 47．（八年级下·广东广州·期中）如图，圆柱体的底面圆周长为8cm，高AB为3cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则爬行的最短路程为（　　） A．4cm B．5cm C．cm D．cm 48．（八年级上·广东揭阳·期中）如图，有一圆柱，其高为，它的底面周长为，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，其中B离上沿，则蚂蚁经过的最短路程为 ．    49．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，有一个圆柱，底面圆周长为，高为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为 ． 50．（17-18八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm．    51．（2023·湖北十堰·三模）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为，高为，则蚂蚁爬行的最短距离为（    ）．    A．10 B．50 C．10 D．70 52．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是 cm． 53．（八年级上·陕西西安·期末）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，点到的距离是6米，有一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米    A．16 B． C．15 D．14 54．（九年级上·浙江宁波·期中）葛藤是一种刁钻的植物．它自己腰托不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是绕树盘旋上升的路段，总是沿着最短路线——盘旋前进的，难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？ (1)如图，如果树干的周长（即底面圆的周长）为30cm，从点A绕一圈到点B，葛藤升高40cm，则它爬行路程是多少厘米？ (2)如果树干的周长（即底面圆的周长）为40cm，绕一圈爬行50cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？ 七、勾股定理的实际应用 55．（八年级·全国·单元测试）学校旗杆上的绳子垂到地面还多2米，将绳子的下端拉开6米后，下端刚好接触地面，则旗杆的高度为（    ） A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 56．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　　） A．m B．4m C．m D． 57．（2017·浙江绍兴·中考真题）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（   ） A．0.7米 B．1.5米 C．2.2米 D．2.4米 58．（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，一个梯子长2米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯滑动后停在的位置上，测得长为米，求梯子顶端A下落了（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 59．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索的长度为米，若将它沿水平方向向前推进米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 60．（17-18八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5m处折断倒下，倒下后树顶落在树根部大约12m处．这棵大树折断前高度估计为     （     ） A．25cm B．18m C．17m D．13m 61．（八年级下·重庆梁平·期中）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了（    ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 62．（八年级上·山西长治·期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘B处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与C处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离为，则底部边缘A处与E之间的距离为（    ） A． B． C． D． 63．（八年级上·江苏盐城·期末）一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．    (1)若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间． (2)C岛在A港的什么方向？ 64．（八年级上·四川成都·期中）我县某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，米，米，米，米．求出空地的面积为 平方米． 65．（第03讲勾股定理应用（知识解读 真题演练 课后巩固）-2023-2024学年八年级数学上册《知识解读�题型专练》（苏科版））已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？    66．（八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以的速度收绳，12秒后船移动到点D的位置，问此时船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）    67．（八年级下·甘肃庆阳·期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业． 某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，，试求阴影部分的面积． 68．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，海中有一小岛，它的周围12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在处测得小岛在北偏东方向上，航行16海里到处，这时测得小岛在北偏东方向上． (1)试说明是等腰三角形； (2)求点与小岛之间的距离； (3)如果渔船不改变航线继续向东航行，是否有触礁危险，并说明理由． 69．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图是人们喜爱的秋千，已知秋千静止的时候，踏板A离地高为0.5米，将它往前推进2米到B（即的长为2），此时踏板离地高为1米，求秋千绳索的长度． 70．（八年级下·山东德州·期末）如图1，同学们想测量旗杆的高度．他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图． 小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到点处，如图3．    (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 71．（八年级上·四川成都·期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 寸．    72．（北师大版2023-2024学年八年级数学上册1.3勾股定理的应用同步测试卷）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 73．（八年级上·江西萍乡·阶段练习）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点B、F在线段上，点C在上，支杆．    (1)当E与C点重合，时，是什么三角形； (2)若时，B，D相距48cm，试判定与的位置关系，并说明理由； (3)当，时，求的长． 74．（23-24八年级上·四川成都·期中）消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 75．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，正方形的边长为15，，BG＝DH＝9，连接，则线段的长为（　　）    A． B． C． D． 76．（八年级上·陕西咸阳·期中）如图，一根直立的旗杆高8m，因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A的距离为4m． (1)求旗杆距地面多高处折断（）； (2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1m的点D处，有一条明显裂痕，将旗杆修复后，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的风险？ 八、折叠 77．（2023·湖南株洲·一模）如图在中，，，，将沿对折，使点C落在上的E处，则的长是 ．    78．（23-24八年级上·四川成都·期中）已知，如图长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的长为 ，的长为 ． 79．（23-24八年级上·四川成都·期中）把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，． (1)求重叠部分的面积； (2)求折㾗的长． 80．（八年级下·天津南开·期末）如图所示，四边形是长方形，把沿折叠到，与交于点E，若，则的长为 ． 81．（八年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，，，为上一点，连接，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处，求的长度． 82．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在长方形中，点E是的中点，将沿翻折得到，交于点H，延长相交于点，若，，则 ．    83．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，分别在边上取点，将沿直线翻折得到，使得点的对应点恰好落在延长线上，当时，的长为 ，当时，的长为 ． 84．（2011·河南三门峡·中考模拟）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到到的位置，与CD交于点E． （1）求证：； （2）若，点P为线段AC上任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥CD于H．求PG + PH的值． 85．（23-24八年级上·四川成都·期中）折叠问题是几何变换常见的数学问题，其本质是轴对称图形，而长方形的折叠又往往会与勾股定理相关联．数学活动课上，同学们以“折叠”为主题开展了数学活动：在长方形纸片中，，，点M在边上，． 【活动探究1】 （1）如图1，将长方形纸片沿折叠，点B落在点处，与交于点E，求线段的长． 【活动探究2】 （2）如图2，在图1的基础上将纸片左边部分沿折叠，使恰好落在直线上，点C，D的对称点为，． ①求折痕的长； ②连接，求的长． 九、勾股定理的几何应用解答题 86．（2023·北京海淀·二模）如图，正方形，点A在直线l上，点B到直线l的距离为3，点D到直线l的距离为2．则正方形的边长为 ．    87．（九年级上·山东·单元测试）在△ABC中，AB=2，AC=,∠B=30º，则 ∠BAC的度数是 ． 88．（八年级上·重庆沙坪坝·期末）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地进行新的规划，点D是边上的一点，过点D作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米．    (1)求的长； (2)求小路的长． 89．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，于点D，于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，当点E为边中点时，求的长． 90．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，点A，B，C三点在一直线上，在同侧作，，若，分别平分，，过点B作的平分线交于点F． (1)已知，求的度数； (2)若，，求线段的长； (3)在（2）的条件下，若，求的长 91．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，以B为圆心，为半径画弧，交线段于点D，以A为圆心，为半径画弧，交线段于点E，连接．    (1)若，求的度数； (2)若，求及的长． 92．（八年级上·福建三明·期中）已知，如图，中，，，，以斜边为底边作等腰三角形，腰刚好满足，并作腰上的高．    (1)求证：； (2)求等腰三角形的腰长． 93．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，．在y轴上有一动点C，当的周长最小时，点C的坐标是 ．    94．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，P是长方形内部的动点，，的面积等于12，则点P到B、C两点距离之和的最小值为 ． 95．（八年级上·山东青岛·阶段练习）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则BD的长 cm    96．（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，中，平分交于点，，当为直角三角形时，线段的值为 .    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$