第17讲 探索确定位置方法与平面直角坐标系 （3个知识点+8种题型+分层练习）-2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第17讲 探索确定位置方法与平面直角坐标系 （3个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 知识点2．规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 知识点3．坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 题型强化 题型一．点的坐标 1．（2023春•临沂期中）在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•上城区月考）若点在轴上，点在轴上，则代数式的值是 　　． 3．（2023秋•鄞州区期中）已知点，试分别根据下列条件，求出的值： （1）点在轴上； （2）点到轴的距离为3，且在第三象限． 题型二．规律型：点的坐标 4．（2023秋•镇海区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，以为边在轴右侧作等边，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边△，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边△，，按此规律继续作下去，则点的纵坐标为　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•兰溪市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到△的位置，再到△的位置依次进行下去，若已知点，，则点的坐标为 　　． 6．（平阳县校级月考）如图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成△，第二次将△变换成△，第三次将△变换成△，已知，，，，，，，． （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将△变换成△，则的坐标是　　，的坐标是　　． （2）若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到△，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是　　，的坐标是　　． 三．坐标确定位置 7．（2023秋•武义县期末）下列说法中，能确定物体位置的是　　 A．离小明家3千米的大楼 B．东经，北纬 C．电影院中18座 D．北偏西方向 8．（2023秋•余杭区校级期中）若教室座位表的6列7行记为，则4列3行记为 　　． 9．（2023秋•瓯海区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标，点坐标，点坐标，点关于轴对称的点为点． （1）在图中画出，并直接写出点的坐标 　　； （2）的面积为 　　； （3）直接写出中边上的高为 　　． 题型四、用有序数对表示位置 10．热爱旅游的小李同学想来“海天佛国”普陀山游玩，以下表示普陀山地理位置最合理的是（    ） A．北纬，东经 B．距离杭州约242公里 C．在舟山市的东部海域 D．在浙江省 11．如图，雷达探测器在一次探测中发现了三个目标A、B、C，点A、B的坐标分别表示为，则点C的坐标表示为 ．    12．如图是某校区域示意图．规定列号写在前面，行号写在后面． (1)用数对的方法表示校门的位置． (2)数对在图中表示什么地方？ 题型五、坐标与图形 13．如图是在方格纸上画出的小旗图案，如果用表示点，表示点，那么点的位置可表示为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为 ． 15．如图，在8×8的方格纸中，△ABC是格点三角形，且A(-2，4)，C(0，3)． (1)在8×8的方格纸中建立平面直角坐标系，并求出B点坐标； (2)求△ABC的面积． 题型六、写出直角坐标系中点的坐标 16．已知点在第四象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是 ．    18．如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于轴对称的图形；（点，，分别对应点，，） (2)请分别写出点的坐标． 题型七、实际问题中用坐标表示位置 19．根据下列表述，能确定位置的是（    ） A．北纬30°，东经120° B．距市中心5千米处 C．在南偏西45° D．在人民路上 20．象棋在中国有着三千多年的历史，老少皆宜．其中棋盘、棋子都蕴含着中国文化，如图，已知“炮”所在位置的坐标为，“士”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，则“马”所在位置的坐标为 ． 21．如图是某校部分场所的平面示意图，若用表示图上寝室的位置，用表示教学楼的位置，请分别说出其他场所的位置．已知状元亭在操场和礼堂的正中间，请说出状元亭的位置． 题型八、根据方位描述确定物体的位置 22．在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（   ） A．北偏东 B．钱塘明月号楼室 C．金惠路号 D．东经，北纬 23．乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，雁荡山在乐成镇的 ． 24．如图，是一个简单的平面示意图，已知OA＝2km，OB＝6km，OC＝BD＝4km，点E为OC的中点，回答下列问题： (1)由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km处．请类似这种方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置； (2)图中到小明家距离相同的是哪些地方？ (3)若小强家在小明家北偏西60°方向2km处，请在图中标出小强家的位置． 分层练习 一、单选题 1．在平面坐标系中，位于第四象限的点是 （    ） A． B． C． D． 2．以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中位于第（    ）象限 A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 3．如图所示,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为A(0,1),B(2,-1),若点C到y轴的距离为m,点D到x轴的距离为n,则m和n分别为(　　) A．4,3 B．3,4 C．1,2 D．1,3 4．在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，并且知道藏宝地点的坐标是，则藏宝处应为图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 5．下列说法正确的是（　　） A．若mn＝0，则点P（m，n）表示原点 B．点（1，－a2）一定在第四象限 C．已知点A（1，－3），AB∥y轴，且AB＝4，则B点的坐标为（1，1） D．已知点A（1，－m2）与点B（1，3），则直线AB平行y轴 6．如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山的位置，用（1，5）表示隆回花瑶的位置，那么城市南山的位置可以表示为（   ） A．（2，1） B．（0，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 7．已知点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点P的坐标不可能为（　　） A．（1，2） B．（-2，-1） C．（2，-1） D．（2，1） 8．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，等边三角形的边长为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知平行四边形的顶点．若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按一定的规律移动，依次得到点，，，，，，，，……，根据这个规律，则点的坐标是（    ）    A． B． B． C． D． 二、填空题 11．已知点 A(x，y)，若 xy=0，那么点 A 在 ． 12．点到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 13．已知点A在x轴的下方，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点A的坐标为 . 14．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点、，所连线段的中点是M，则M的坐标为，如：点、点，则线段的中点M的坐标为，即.利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若，，线段的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则的值等于 15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，B（5，4），P为BC边上一点．当△OAP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为 ． 16．如图，（一周记为360°，一周多10°记为370°） 点A1用极坐标表示为 ； 点A2用极坐标表示为 ； 点A3用极坐标表示为 ； 点An用极坐标表示为 ． 三、解答题 17．如图，每个小正方形网格的边长表示50米，A同学上学时从家中出发，先向东走250米，再向北走50米就到达学校． (1)请你以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系； (2)利用（1）中建立的平面直角坐标系，以1米为1个单位长度，写出B同学家的坐标，若C同学家的坐标为，请在图上标出C同学家的位置． 18．如图，建立平面直角坐标系，使点、的坐标分别为和，写出点、、、、的坐标，并指出它们所在的象限． 19．计算题 (1)解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． (2)解三元一次方程组． (3)已知点．若点到轴的距离是到轴距离的2倍，求点的坐标． 20．在平面直角坐标系中，对于点若点的坐标为，则称点为点A的“级牵挂点”，如点的“级牵挂点”为，即． (1)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标，并求出点到轴的距离； (2)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标及所在象限； (3)如果点的“级牵挂点”在轴上，求点的坐标； 21．下图是聪聪家附近的平面图． (1)聪聪家到新华小学的实际距离是800米，这幅图的比例尺是多少？ (2)如果聪聪每分钟走50米，那他从家走到休闲广场需要多长时间？ (3)会展中心在聪聪家东偏北方向上，距离聪聪家1200米．请你在图上标出会展中心的位置． 22．如图，已知在平面内市政府所在位置的坐标为，文化宫所在位置的坐标为， (1)请你根据题目条件，画出平面直角坐标系； (2)用你建立的坐标系描述其他位置的坐标． 23．如图，在的网格中建立如图的平面直角标系，点，点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图． (1)在x轴的正半轴上找一点Q，使（保留画图过程的痕迹）； (2)已知，利用无刻度直尺作的高（保留画图过程的痕迹） (3)求高的值． 24．在中，，．    (1)如图1，若、两点的坐标分别是，，直接写出点的坐标_____________； (2)如图2，与轴交于点，取的中点，连接，．若轴，求证：． (3)如图3，若，点是射线上点的左边一动点，连，以为斜边作等腰，，连．当运动时，的面积是否发生改变？若不变，求其值；若发生改变，求其变化范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 探索确定位置方法与平面直角坐标系 （3个知识点+8种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．点的坐标 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 知识点2．规律型：点的坐标 1．所需能力：（1）深刻理解平面直角坐标系和点坐标的意义（2）探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律（3）探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 2．重点：探索各个象限的点和坐标轴上的点其坐标符号规律 3．难点：探索关于平面直角坐标系中有关对称，平移等变化的点的坐标变化规律． 知识点3．坐标确定位置 平面内特殊位置的点的坐标特征 （1）各象限内点P（a，b）的坐标特征： ①第一象限：a＞0，b＞0；②第二象限：a＜0，b＞0；③第三象限：a＜0，b＜0；④第四象限：a＞0，b＜0． （2）坐标轴上点P（a，b）的坐标特征： ①x轴上：a为任意实数，b＝0；②y轴上：b为任意实数，a＝0；③坐标原点：a＝0，b＝0． （3）两坐标轴夹角平分线上点P（a，b）的坐标特征： ①一、三象限：a＝b；②二、四象限：a＝﹣b． 题型强化 题型一．点的坐标 1．（2023春•临沂期中）在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：、在第一象限，故本选项错误； 、在第三象限，故本选项错误； 、在第二象限，故本选项正确； 、在第四象限，故本选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 2．（2023秋•上城区月考）若点在轴上，点在轴上，则代数式的值是 　0　． 【分析】根据题意得到，，求出，代入即可求解． 【解答】解：点在轴上，点在轴上， ，， 解得， ． 故答案为：0． 【点评】本题考查了坐标轴上的点的坐标的特点，一元一次方程的解法，求代数式的值等知识，如果一个点在轴上，则这个点的纵坐标为0，如果一个点在轴上，则这个点的横坐标为0，熟知坐标轴上的点的坐标的特点是解题关键． 3．（2023秋•鄞州区期中）已知点，试分别根据下列条件，求出的值： （1）点在轴上； （2）点到轴的距离为3，且在第三象限． 【分析】（1）利用轴上点的坐标性质纵坐标为0，进而得出的值，即可得出答案； （2）利用第三象限的点的横坐标和纵坐标均为负数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值解答即可． 【解答】解：（1）点在轴上， ， 解得：； （2）点到轴的距离为3， ， 又点在第三象限， ， 解得． 【点评】此题主要考查了点的坐标性质，掌握轴上的点的坐标特点以及第三象限的点的坐标特点是解答本题的关键． 题型二．规律型：点的坐标 4．（2023秋•镇海区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，以为边在轴右侧作等边，过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边△，再过点作轴的垂线，垂足为，以为边在右侧作等边△，，按此规律继续作下去，则点的纵坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是根据以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是此类推，得点的纵坐标是，得到问题答案． 【解答】解：点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ，点纵坐标是， 以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ，点的纵坐标是，即， 以为边在右侧作等边三角形， 同理，得点的纵坐标是， 按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是， 故选：． 【点评】本题考查了图形和数字规律的知识，解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含角的直角三角形的性质，从而完成求解． 5．（2023秋•兰溪市校级月考）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到△的位置，再到△的位置依次进行下去，若已知点，，则点的坐标为 　　． 【分析】根据点，得，再根据旋转的过程寻找规律即可求解． 【解答】解：， 点，， 根据勾股定理，得 ， 根据旋转可知： ， 所以点，； 继续旋转得， ，； ， 发现规律： ，． 所以点的坐标为． 故答案为． 【点评】本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是灵活运用旋转的知识． 6．（平阳县校级月考）如图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成△，第二次将△变换成△，第三次将△变换成△，已知，，，，，，，． （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将△变换成△，则的坐标是　　，的坐标是　　． （2）若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到△，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是　　，的坐标是　　． 【分析】（1）对于，，坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现的横坐标为，而纵坐标都是3，同理，，也一样找规律． （2）根据第一问得出总结规律即可知的坐标是，，的坐标是，． 【解答】解：（1）因为，，，纵坐标不变为3， 同时横坐标都和2有关，为，那么； 因为，，，纵坐标不变，为0， 同时横坐标都和2有关为，那么的坐标为； 故答案为：，； （2）由上题第一问规律可知的纵坐标总为3，横坐标为，的纵坐标总为0，横坐标为， 的坐标是，，的坐标是，． 故答案为：，，，． 【点评】本题考查了学生观察图形及总结规律的能力，涉及的知识点为：平行于轴的直线上所有点纵坐标相等，轴上所有点的纵坐标为0． 三．坐标确定位置 7．（2023秋•武义县期末）下列说法中，能确定物体位置的是　　 A．离小明家3千米的大楼 B．东经，北纬 C．电影院中18座 D．北偏西方向 【分析】根据坐标的定义逐个判断即可得到答案． 【解答】解：由题意可得， 离小明家3千米的大楼，可以在一个圆上，不固定，故不符合题意， 东经，北纬，能确定位置，故符合题意， 电影院中18座，没说明哪行的，不固定，故不符合题意， 北偏西方向没说明长度及观测点，不固定，故不符合题意， 故选：． 【点评】本题考查根据坐标确定物体位置，熟练掌握坐标的确定是关键． 8．（2023秋•余杭区校级期中）若教室座位表的6列7行记为，则4列3行记为 　　． 【分析】直接利用已知第4列第3行，记为，进而得出答案． 【解答】解：若教室座位表的6列7行记为， 则4列3行记为． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确理解题意是解题关键． 9．（2023秋•瓯海区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点坐标，点坐标，点坐标，点关于轴对称的点为点． （1）在图中画出，并直接写出点的坐标 　　； （2）的面积为 　　； （3）直接写出中边上的高为 　　． 【分析】（1）根据点的坐标作出三角形，利用图象法，求出点的坐标即可； （2）利用分割法求出三角形面积即可； （3）求得，然后利用三角形面积公式即可求得． 【解答】解：（1）如图所示： 点的坐标为：． 故答案为：． （2）； （3），， ， ． 故中边上的高为． 故答案为：． 【点评】本题考查坐标确定位置，三角形的面积，轴对称等知识，解题的关键是正确作出图形，数形结合解决问题． 题型四、用有序数对表示位置 10．热爱旅游的小李同学想来“海天佛国”普陀山游玩，以下表示普陀山地理位置最合理的是（    ） A．北纬，东经 B．距离杭州约242公里 C．在舟山市的东部海域 D．在浙江省 【答案】A 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了利用有序数对表示位置，理解坐标的实际意义与应用是解题关键．根据利用有序数对表示位置解答即可． 【详解】解：表示普陀山地理位置最合理的是北纬，东经， 故选：A． 11．如图，雷达探测器在一次探测中发现了三个目标A、B、C，点A、B的坐标分别表示为，则点C的坐标表示为 ．    【答案】 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】此题考查了用有序数对表示点的位置，根据点的位置写出答案即可． 【详解】解：如图所示，根据题意可得，点C的坐标表示为． 故答案为：． 12．如图是某校区域示意图．规定列号写在前面，行号写在后面． (1)用数对的方法表示校门的位置． (2)数对在图中表示什么地方？ 【答案】(1)； (2)教学楼． 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】（）根据校门所在的列及所在的行，即可表示出校门的位置； （）根据数对的表示方法找到对应的位置，即可得到数对表示的地点； 本题考查了用有序数对表示点的位置，理解序数对表示的含义是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可知，校门位于第列，第行， ∴校门的位置为数对； （2）解：数对表示的位置为第列，第行， 由图可知，表示的地方为教学楼． 题型五、坐标与图形 13．如图是在方格纸上画出的小旗图案，如果用表示点，表示点，那么点的位置可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标与图形 【分析】根据A点坐标，建立坐标系，可得C点坐标． 【详解】解：如图，以点A为原点建立平面直角坐标系 点C的位置可表示为（3，2）， 故选D． 【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确建立坐标系． 14．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P，若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为 ． 【答案】2a+b=﹣1 【知识点】坐标与图形 【详解】分析：根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得 再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a与b的数量关系． 详解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上， 则P点横纵坐标的和为0， 故2a+b+1=0， 整理得：2a+b=−1， 故答案为 点睛：考查了角平分线的作法，掌握每个象限内点的坐标特征是解题的关键. 15．如图，在8×8的方格纸中，△ABC是格点三角形，且A(-2，4)，C(0，3)． (1)在8×8的方格纸中建立平面直角坐标系，并求出B点坐标； (2)求△ABC的面积． 【答案】(1)坐标系见解析，B(-4，1)；(2)S△ABC=4. 【知识点】坐标与图形 【分析】(1)根据A，C两点坐标确定平面直角坐标系即可解决问题． (2)利用分割法求三角形的面积即可． 【详解】解：(1)平面直角坐标系如图所示，B(-4，1)． (2)S△ABC=3×4-×2×3-×2×1-×2×4=4． 【点睛】本题考查三角形的面积，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型六、写出直角坐标系中点的坐标 16．已知点在第四象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为5，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查了平面内的点的坐标特征及点到坐标轴距离的意义，熟练运用相关知识是解题的关键．根据点在第四象限，可得点的横坐标为正，纵坐标为负；再由点到轴的距离是3，可得点的纵坐标为；由点到轴的距离是5，可得点的横坐标为5，由此即可得点的坐标． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∵点到轴的距离为3，到轴的距离为5， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故选：D． 17．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是 ．    【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，根据平面直角坐标系中点的表示方法求解即可． 【详解】如图所示，    过点分别作轴与轴的垂线，垂足分别为和，垂足在轴上所表示的数为，垂足在轴上所表示的数是，所以，点的横坐标是，纵坐标是，点的坐标为． 故答案为： 18．如图，在平面直角坐标系中，． (1)在图中作出关于轴对称的图形；（点，，分别对应点，，） (2)请分别写出点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2) 【知识点】画轴对称图形、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查作图轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）根据点的位置写出坐标． 【详解】（1）解：如图，△即为所求； ； （2）解：． 题型七、实际问题中用坐标表示位置 19．根据下列表述，能确定位置的是（    ） A．北纬30°，东经120° B．距市中心5千米处 C．在南偏西45° D．在人民路上 【答案】A 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了坐标确定位置．根据有序数对，坐标，可确定点的位置． 【详解】解：A、北纬，东经，能确定位置，故本选项符合题意； B、距市中心5千米处，只有距离，没有方向，无法确定位置，故本选项不符合题意； C、在南偏西，只有方向，没有距离，无法确定位置，故本选项不符合题意； D、在人民路上，不能确定位置，故本选项不符合题意． 故选：A． 20．象棋在中国有着三千多年的历史，老少皆宜．其中棋盘、棋子都蕴含着中国文化，如图，已知“炮”所在位置的坐标为，“士”所在位置的坐标为，“相”所在位置的坐标为，则“马”所在位置的坐标为 ． 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了坐标表示位置；根据题意建立平面直角坐标系，根据坐标系，即可求解． 【详解】解：依题意，建立平面直角坐标如图所示， ∴“马”所在位置的坐标为, 故答案为：． 21．如图是某校部分场所的平面示意图，若用表示图上寝室的位置，用表示教学楼的位置，请分别说出其他场所的位置．已知状元亭在操场和礼堂的正中间，请说出状元亭的位置． 【答案】操场的坐标为，礼堂坐标为，食堂的坐标为，图书馆的坐标为，状元亭的坐标为 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据题意建立平面直角坐标系。根据平面直角直角坐标系直接得出答案。 【详解】解：如图，根据表示图上寝室的位置， 表示教学楼的位置建立平面直角坐标系： 所以操场的坐标为，礼堂坐标为，食堂的坐标为，图书馆的坐标为，状元亭的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是根据题意正确建立平面直角坐标系． 题型八、根据方位描述确定物体的位置 22．在平面内，下列数据不能确定物体位置的是（   ） A．北偏东 B．钱塘明月号楼室 C．金惠路号 D．东经，北纬 【答案】A 【知识点】根据方位描述确定物体的位置 【分析】根据平面内的点与有序实数对一一对应对各选项进行判断． 【详解】解：塘明月号楼室、金惠路号、东经，北纬都可确定物体位置， 北偏东只能确定方向，但不能确定具体物体的位置． 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住直角坐标系中特殊位置点的坐标特征． 23．乐清雁荡山以山水奇秀闻名天下，号称“东南第一山”．如图，雁荡山在乐成镇的 ． 【答案】北偏东27°的处 【知识点】根据方位描述确定物体的位置 【分析】由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东27度的方向，距离原点处，即可求解． 【详解】解：由图象可得：乐成镇位于坐标原点，雁荡山在乐成镇的北偏东27度的方向，距离原点处， 即雁荡山在乐成镇的北偏东27度的处． 故答案为：北偏东27度的处． 【点睛】本题主要考查了方向角和方位，熟练掌握方向角和方位的确定是解题的关键． 24．如图，是一个简单的平面示意图，已知OA＝2km，OB＝6km，OC＝BD＝4km，点E为OC的中点，回答下列问题： (1)由图可知，高铁站在小明家南偏西65°方向6km处．请类似这种方法用方向与距离描述学校、博物馆相对于小明家的位置； (2)图中到小明家距离相同的是哪些地方？ (3)若小强家在小明家北偏西60°方向2km处，请在图中标出小强家的位置． 【答案】(1)学校在小明家北偏东45°方向2km处，博物馆在小明家南偏东50°方向4 km处 (2)图中到小明家距离相同的是学校和公园和影院 (3)见解析 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、用方向角和距离确定物体的位置、根据方位描述确定物体的位置 【分析】(1)由图可知，学校在小明家北偏东45°方向2km处，博物馆在小明家南偏东50方向4km处； (2)观察图形，根据OA， OE， OD的长度及图中各角度，即可得出结论． (3)作北偏西60°角，取OE = 2即可． 【详解】（1）解：学校在小明家北偏东45°方向2km处，博物馆在小明家南偏东50°方向4 km处； （2）图中到小明家距离相同的是学校和公园和影院； （3）如图，点F即为小强家． 【点睛】本题考查了方向角，解题的关键是熟练掌握运用方位角及确定位置需要两个元素． 分层练习 一、单选题 1．在平面坐标系中，位于第四象限的点是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据第四象限点的坐标特点，横坐标为正，纵坐标为负即可得出答案． 【详解】解：第四象限点的坐标特点为横坐标为正，纵坐标为负， 只有D选项符合题意 故选D． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，用到的知识点为：点在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0． 2．以方程组的解为坐标的点在平面直角坐标系中位于第（    ）象限 A．I B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限、加减消元法 【分析】求出方程组的解，确定出点坐标，即可做出判断． 【详解】解：， ∴①＋②得：2x＝-3，即x＝， 将x＝代入①得：y＝−， ∴所求坐标为（，−）， 则此点在第三象限． 故选：C． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组与坐标系，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 3．如图所示,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为A(0,1),B(2,-1),若点C到y轴的距离为m,点D到x轴的距离为n,则m和n分别为(　　) A．4,3 B．3,4 C．1,2 D．1,3 【答案】A 【分析】本题应从A、B两点的坐标入手，通过数格子的方法确定单位长度以及C、D各点的坐标，再根据点到坐标轴的距离确定m、n的值，如坐标（x,y）,那么此点到x轴的距离为y的绝对值,到y轴的距离为x的绝对值. 【详解】解：通过A、B两点的坐标可以确定图中每个格子所代表的单位长度为1， ∴C点的坐标为：（4，1），D点的坐标为：（2，3）， 因此m=4，n=3， 故选A． 【点睛】本题用到的知识点为：点到x轴的距离为这个点纵坐标的绝对值；点到y轴的距离为这个点横坐标的绝对值． 4．在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点和，并且知道藏宝地点的坐标是，则藏宝处应为图中的（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【知识点】坐标与图形 【分析】结合题意，根据点的坐标的性质，推导得出原点的位置，再根据坐标的性质分析，即可得到答案． 【详解】∵点和， ∴坐标原点的位置如下图： ∵藏宝地点的坐标是 ∴藏宝处应为图中的：点 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，解题的关键是熟练掌握坐标的性质，从而完成求解． 5．下列说法正确的是（　　） A．若mn＝0，则点P（m，n）表示原点 B．点（1，－a2）一定在第四象限 C．已知点A（1，－3），AB∥y轴，且AB＝4，则B点的坐标为（1，1） D．已知点A（1，－m2）与点B（1，3），则直线AB平行y轴 【答案】D 【知识点】判断点所在的象限、坐标与图形 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征进行一一判断． 【详解】解：A、若mn=0，则n=0或m=0或m=0、n=0，所以点P（m，n）不一定表示原点，不符合题意； B、当a=0时，点（1，－a2）位于坐标轴上，不符合题意； C、已知点A（1，－3），AB∥y轴，且AB=4，则B点的坐标为（1，1）或（1，－7），不符合题意； D、已知点A（1，－m2）与点B（1，3），则直线AB平行y轴，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号以及坐标轴上点的坐标特点是解决的关键． 6．如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用（0，0）表示新宁莨山的位置，用（1，5）表示隆回花瑶的位置，那么城市南山的位置可以表示为（   ） A．（2，1） B．（0，1） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 【答案】C 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】建立直角坐标系，即可确定南山的位置． 【详解】建立平面直角坐标系如图， 则城市南山的位置为（﹣2，﹣1） 故选：C． 【点睛】本题考查用坐标表示位置，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 7．已知点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点P的坐标不可能为（　　） A．（1，2） B．（-2，-1） C．（2，-1） D．（2，1） 【答案】A 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度求出点P可能的横坐标与纵坐标，即可得解． 【详解】∵点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为2， ∴点P的横坐标为2或-2，纵坐标为1或-1， ∴点P的坐标不可能为（1，2）． 故选A． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，等边三角形的边长为，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、坐标与图形 【分析】作，根据等边三角形三线合一可求出，，再根据勾股定理求出，观察图象所在的象限即可得出答案. 【详解】解：如图，作于点D， ∵是等边三角形，， ∴， ∵边长为4， ∴，， ∴， 又∵通过观察图像可知C点在第二象限， ∴C的坐标是， 故选：B． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、坐标与图形性质和勾股定理的运用，注意点C在第二象限． 9．如图，已知平行四边形的顶点．若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为， 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为， 第三次轴对称变换，点的坐标为， 第四次轴对称变换，点的坐标为， ∴每次轴对称变换重复一轮， ∵， ∴经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为为， 故选：． 10．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按一定的规律移动，依次得到点，，，，，，，，……，根据这个规律，则点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】点坐标规律探索 【分析】首先观察平面直角坐标系中坐标的数据，可知、、、……横纵坐标相同，总结出规律，得出纵坐标，然后找出和，和，和，和……横坐标相差的数之间的规律，得出横坐标，即可得解． 【详解】解：根据平面直角坐标系中坐标的数据，可得出 、、、……横纵坐标相同，规律为， ∴的横纵坐标为：， ∴的纵坐标为， ∵和，和，和，和……横坐标相差的数规律是， ∴的横坐标为， ∴的坐标为，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的规律，解题的关键是找出点的坐标的一般规律． 二、填空题 11．已知点 A(x，y)，若 xy=0，那么点 A 在 ． 【答案】坐标轴上 【知识点】判断点所在的象限 【分析】根据任何数同零相乘都等于0求出x、y的值，再根据坐标轴上点的坐标特征解答． 【详解】解：∵xy＝0， ∴x＝0或y＝0或x＝y＝0， 当x＝0时，点A（x，y）在y轴上， 当y＝0时，点A（x，y）在x轴上， 当x＝y＝0，点A（x，y）在原点， 综上所述，点A（x，y）在坐标轴上． 故答案为：坐标轴上． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 12．点到x轴的距离是 ，到y轴的距离是 【答案】 4； 3 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：点P（3，4）到x轴的距离是4，到y轴的距离是3． 故答案为4；3． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 13．已知点A在x轴的下方，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，则点A的坐标为 . 【答案】（3，﹣5）或（﹣3，﹣5） 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】直接利用点A在x轴下方再结合到坐标轴的距离进而得出答案． 【详解】解：∵点A在x轴的下方，且到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，∴点A的纵坐标为：﹣5，横坐标为：±3，故点A的坐标为：（3，﹣5）或（﹣3，﹣5）． 故答案为（3，﹣5）或（﹣3，﹣5）． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，正确分类讨论是解题的关键． 14．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点、，所连线段的中点是M，则M的坐标为，如：点、点，则线段的中点M的坐标为，即.利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若，，线段的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则的值等于 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据中点坐标公式求出点G的坐标，根据线段的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1，列出方程组求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ∵线段的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1， ∴， 解得：（舍去），或， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，根据线段的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，B（5，4），P为BC边上一点．当△OAP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为 ． 【答案】（2，4）或（3，4）． 【知识点】坐标与图形 【分析】分两种情形分别求解即可解决问题. 【详解】①当AP＝AO＝5时，在Rt△ABE中，PB＝＝3， ∴PC＝2， ∴P（2，4）． ②当OP′＝OA＝5时，同法可得CP′＝3， ∴P′（3，4）， 综上所述，满足条件的点P坐标为（2，4）或（3，4）． 故答案为（2，4）或（3，4）． 【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 16．如图，（一周记为360°，一周多10°记为370°） 点A1用极坐标表示为 ； 点A2用极坐标表示为 ； 点A3用极坐标表示为 ； 点An用极坐标表示为 ． 【答案】 （2，0°） （4，120°） （8，240°） （）． 【知识点】点坐标规律探索 【分析】因为一周记为，一周多记为，即而得出点用极坐标表示为，根据规律求出的表示形式． 【详解】∵一周记为，一周多记为， ∴横坐标为2，纵坐标为， ∴点用极坐标表示为； ∵横坐标为4，纵坐标为， 点用极坐标表示为； ∵横坐标为8，纵坐标为， 点用极坐标表示为； 根据上述规律， ∴点用极坐标表示为． 【点睛】本题考查了利用角表示坐标的规律性题目，正确读懂题意是解题的关键． 三、解答题 17．如图，每个小正方形网格的边长表示50米，A同学上学时从家中出发，先向东走250米，再向北走50米就到达学校． (1)请你以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系； (2)利用（1）中建立的平面直角坐标系，以1米为1个单位长度，写出B同学家的坐标，若C同学家的坐标为，请在图上标出C同学家的位置． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、坐标与图形 【分析】此题考查了利用点坐标确定直角坐标系，根据点的位置得到点的坐标，由点的坐标描点，正确掌握点与坐标的关系是解题的关键． （1）根据同学到学校的方向与距离确定学校在点向右5个网格，再向上1个网格的位置，即可建立直角坐标系，根据点在坐标系中的位置得到坐标； （2）根据点的坐标知点在第二象限，到x轴3个网格的距离，到y轴1个网格的距离，由此描出点． 【详解】（1）如图所示，建立直角坐标系： （2）由题意可得：； C同学家如图所示． 18．如图，建立平面直角坐标系，使点、的坐标分别为和，写出点、、、、的坐标，并指出它们所在的象限． 【答案】见解析 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了直角坐标系，解题的关键是掌握直角坐标系中点的坐标特征，根据点、的坐标分别为和，建立直角坐标系即可求解． 【详解】解：建立直角坐标系如图： 在第二象限，在第一象限，在第一象限，在第一象限，在第一象限． 19．计算题 (1)解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． (2)解三元一次方程组． (3)已知点．若点到轴的距离是到轴距离的2倍，求点的坐标． 【答案】(1)；把不等式组的解集表示在数轴上见解析 (2) (3)（1，2）或（-3，6） 【知识点】求点到坐标轴的距离、求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集、三元一次方程组的定义及解 【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可，最后把解集表示在数轴上； （2）用消元法解三元一次方程组即可； （3）根据点到轴的距离是到轴距离的2倍，列出关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示： （2） ①+②+③得：， ①×2-②得：， ⑤×9-④得：，解得：， 把代入④得：，解得：， 把，代入①得：，解得：， ∴三元一次方程组的解集为：． （3）∵点到轴的距离是到轴距离的2倍， ∴， 当时，原方程可变为：，解得：（舍去） ； 当时，原方程可变为：，解得：，此时点P坐标为：（1，2）； 当时，原方程可变为：，解得：，此时点P坐标为：（-3，6）； 综上分析可知，点P的坐标为：（1，2）或（-3，6）． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，三元一次方程组，直角坐标系中点的特点，根据m的取值范围进行分类讨论，是解题的关键． 20．在平面直角坐标系中，对于点若点的坐标为，则称点为点A的“级牵挂点”，如点的“级牵挂点”为，即． (1)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标，并求出点到轴的距离； (2)已知点的“级牵挂点”为，求点的坐标及所在象限； (3)如果点的“级牵挂点”在轴上，求点的坐标； 【答案】(1)，2； (2)点的坐标为，在第四象限； (3)． 【知识点】判断点所在的象限、求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】（1）根据“级牵挂点”的定义直接进行计算即可得到的坐标，根据的纵坐标即可求出点到轴的距离； （2）设点的坐标为，根据“级牵挂点”的定义建立方程组，解方程组求出点的坐标，即可判断点的坐标及所在象限； （3）先根据“级牵挂点”求出的坐标，再根据在轴上求出m的值，即可求得答案． 【详解】（1）解：点的“级牵挂点”为， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， 即 且到轴的距离为； （2）解：∵点的“级牵挂点”为 设点的坐标为 解得 点的坐标为，在第四象限． （3）解：点的“级牵挂点”， ，， 即， 点在轴上， ， ， 则， 的坐标为． 【点睛】本题考查直角坐标系，点到坐标轴的距离，点象限的判定等，正确理解“级牵挂点”的定义是解题的关键． 21．下图是聪聪家附近的平面图． (1)聪聪家到新华小学的实际距离是800米，这幅图的比例尺是多少？ (2)如果聪聪每分钟走50米，那他从家走到休闲广场需要多长时间？ (3)会展中心在聪聪家东偏北方向上，距离聪聪家1200米．请你在图上标出会展中心的位置． 【答案】(1) (2)32分钟 (3)见详解 【知识点】比例尺应用、用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查图上距离与实际距离的换算、用方位角和距离确定物体位置，（1）先测量出聪聪家到新华小学的图上距离，再根据比例尺等于图上距离与实际距离的比，求出这幅图的比例尺； （2）测量出聪聪家到休闲广场的图上距离，再根据实际距离等于图上距离除以比例尺，求出聪聪家到休闲广场的实际距离；再根据时间等于路程除以速度，用聪聪家到休闲广场的距离除以聪聪每分钟走的速度，即可解答；（3）根据图上距离等于实际距离乘以比例尺，先求出聪聪家到会展中心的图上距离，再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以聪聪家为观测点，画出会展中心的位置． 【详解】（1）解：∵测量聪聪家到新华小学的图上距离是，， ∴， 答：这幅图的比例尺是． （2）解：∵测量聪聪家到休闲广场的图上距离是． ∴， ∵， ∴（分钟）， 答：他从家走到休闲广场需要32分钟． （3）解：∵， ∴， 如图： 22．如图，已知在平面内市政府所在位置的坐标为，文化宫所在位置的坐标为， (1)请你根据题目条件，画出平面直角坐标系； (2)用你建立的坐标系描述其他位置的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)医院，体育馆，火车站，市场 【知识点】实际问题中用坐标表示位置、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】题考查了平面直角坐标系，解题的关键是掌握确定平面直角坐标系的方法． （1）根据市政府所在位置的坐标和文化宫所在位置的坐标，先确定原点，即可画出平面直角坐标系； （2）根据（1）中画出的平面直角坐标系，即可写出其他位置的坐标． 【详解】（1）平面直角坐标系如图 （2）医院，体育馆，火车站，市场 23．如图，在的网格中建立如图的平面直角标系，点，点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图． (1)在x轴的正半轴上找一点Q，使（保留画图过程的痕迹）； (2)已知，利用无刻度直尺作的高（保留画图过程的痕迹） (3)求高的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)． 【知识点】利用网格求三角形面积、格点图中画等腰三角形、画三角形的高、坐标与图形 【分析】本题考查的是等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． （1）利用网格的特点画，且，再连接，与x轴交于点Q，则利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得答案； （2）利用网格的特点取格点，连接交于点，从而可得答案； （3）先利用割补法求得的面积，利用勾股定理求得的长，再利用等积法即可求解． 【详解】（1）解：如图，点Q即为所求作的点，满足， ； （2）解：的高如图所示， （3）解：， ， ∵， ∴． 24．在中，，．    (1)如图1，若、两点的坐标分别是，，直接写出点的坐标_____________； (2)如图2，与轴交于点，取的中点，连接，．若轴，求证：． (3)如图3，若，点是射线上点的左边一动点，连，以为斜边作等腰，，连．当运动时，的面积是否发生改变？若不变，求其值；若发生改变，求其变化范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的面积不改变，为定值50 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、坐标与图形 【分析】（1）如图，过作轴于，证明，结合A、B两点的坐标分别是，，可得，，从而可得答案； （2）过作交轴于点，证明，则有，，由，，得，从而可得，再证明，根据性质即可求解； （3）如图，取的中点Q，连接，，，证明，设，，，，可得，，，证明，可得，而，可得． 【详解】（1）解：如图，过作轴于，    ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵A、B两点的坐标分别是，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，过作交轴于点，    ∴，即， ∴，   ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）解：如图，取的中点Q，连接，，，    ∵，点Q为的中点， ∴， ∴设，， ∴，， ∵为等腰直角三角形，的中点为Q， ∴，， ∴，，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质与判定，坐标与图形，全等三角形的判断与性质，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作出合适的辅助线是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$