江苏省南京市2024-2025学年八年级上学期期中数学复习（轴对称重难点近三年组题汇编）

江苏省南京市2024-2025学年度八年级上学期期中数学复习（轴对称章节重难点近三年组题汇编） 一、单选题 1．（21-22八年级上·江苏南京·期中）等腰三角形ABC的周长为8cm，AB＝2cm，则BC长为（　　） A．2cm B．3cm C．2或3cm D．4cm 2．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，等边的边长为4，过点B的直线，且与关于直线l对称，D为线段上一动点，则的最小值是（    ）    A．6 B．12 C．8 D． 3．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，．若某个三角形与能拼成一个等腰三角形（无重叠），则拼成的等腰三角形有(   ) A．种 B．种 C．种 D．种 4．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，点E在延长线上，已知，，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，于点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·江苏南京·期中）如图，将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形，拉动木条，四边形的形状会改变．当时，四边形的面积为16，则当时，四边形的面积为（　　）      A．4 B．8 C． D． 7．（21-22八年级上·江苏南京·期中）如图，方格纸中△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫格点三角形，图中与△ABC全等的格点三角形的个数为（不含△ABC）（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 8．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图1，在中，，为中点．将沿翻折，得到（如图2），为上一点，再将沿翻折，使得与重合（如图3），给出下列四个命题：①；②；③；④．其中真命题的是（   ） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 9．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，O为内的一点，D为AB边上的一点，，，，连接CD．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 10．（21-22八年级上·江苏南京·期中）如图，四边形ABCD是正方形，M、N分别为边AB、AD的中点，点P在正方形的边上（包括顶点），且△MNP是等腰三角形，则符合条件的点P的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，若，，，则的度数为 °． 12．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，以O为圆心，为半径画弧，分别交，于点D，B．若，，则 ． 13．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，点是的中点，将沿对折，点落在点处，与相交于点，则的度数为 ．    14．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，的垂直平分线，相交于点，若等于，则 ． 15．（23-24八年级上·江苏南京·期中）在中，，，，在边上有一点P，且是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为 ． 16．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，点D是边AC的中点，点E在边AB上，将沿DE翻折得△FED，若△FED有一边与BC平行，则的度数为 ． 17．（21-22九年级上·江苏南京·期中）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；②若AB＝AD，BC＝CD，则AC⊥BD；③若∠BCD＝2∠A，则BC＝CD；④存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．其中所有正确结论的序号是 ． 18．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90º，∠BCD＝135º，连接AC、BD．M是AC的中点，连接BM、DM．若AC＝10，则△BMD的面积为 ． 19．（23-24八年级上·江苏南京·期中）已知，M是边OA上的一个定点，且，N、P分别是边、上的动点，则的最小值是 ． 三、解答题 20．（24-25八年级上·江苏南京·期中）已知．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． (1)如图①，在边上找一点D，使点D到的距离等于D到的距离． (2)如图②，在边上找一点E，使点E到点C的距离等于E到的距离． 21．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，已知线段a，h，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形（不写作法，保留作图痕迹） (1)△ABC的底边长为a，底边上的高为h； (2)△ABC的腰长为a，腰上的高为h． 22．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图是的网格，每个边长均为1的正方形的顶点称为格点．已知为格点三角形（三个顶点均为格点）,请根据要求完成回答下列问题： (1)作关于直线对称的； (2)的面积为　　 ； (3)利用格点直线上找出一点，使得； (4)标出所有格点，使得与全等． 23．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）利用网格画四边形任意两边的垂直平分线，设它们相交于点； （2）点 （填“在”或“不在”）另外两条边的垂直平分线上； （3）把顶点向左移动8格，以上结论 （填“成立”或“不成立”）； （4）直接写出当四边形满足什么条件时，四边的垂直平分线交于一点． 24．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图①，是等边三角形，点D在线段上，且，交于点E， (1)证明：是等边三角形； (2)如图②，已知两条直线，求作等边，使得点A在直线a上，点B与点C在直线b上．（用无刻度直尺和圆规作图，保留作图痕迹） 25．（23-24八年级上·江苏南京·期中）过点P用两种不同的方法，利用直尺和圆规作直线l，交两边于B、C，使得为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法）．    26．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）证明命题：一边中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形．（写出已知、求证和证明步骤） （2）如图，已知点、分别是外和内的两点．请利用直尺与圆规在的边上画出所有的点，使为直角三角形． 27．（23-24八年级上·江苏南京·期中）已知： 是等边三角形，点P、Q分别是边上的动点，且．连接交于点M．    (1)如图1，当点P是边的中点时，＝ ； (2)在P、Q运动过程中，的大小是否变化？请利用图2证明你的结论． 28．（23-24八年级上·江苏南京·期中）已知：点O到的两边所在直线的距离相等，且．    (1)如图1，若点O在边上，过点O分别作，垂足分别是E，F．求证：； (2)如图2，若点O在的内部，求证：； (3)若点O在的外部，“小强”同学认为也一定成立，你同意他的想法吗？若同意，请说明理由；若不同意，请画出反例并进行必要的标注． 29．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图， 在中，分别是边上的高，点 M 是的中点， 连接.    (1)求证：为等腰三角形； (2)直接写出与之间的数量关系： . 30．（22-23七年级下·江苏南京·期中）尺规作图：如图1，已知线段a、b，并且，在中，．求作直线l，使l分别满足下列条件并且在中分出一个面积等于的部分．      (1)在图2中，直线l经过的一个顶点； (2)在图3中，直线l不经过的任何一个顶点． 31．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的中线，于，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 32．（22-23八年级上·江苏南京·期中）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法． 已知：在四边形中，平分，． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，当时， ①求证：； ②若，，，则点C到的距离是______． 33．（22-23八年级上·江苏南京·期中）作图题（要求：画出图形，保留作图痕迹，不要求证明）． 已知及其内部一点P． (1)如图1，若点P在的角平分线上，请你在图1中过点P作直线，分别交于点C、D，使为等腰三角形，且是底边； (2)若点P不在的角平分线上（如图2），请你在图2中过点P作直线，分别交于点C、D，使为等腰三角形，且是底边． 34．（23-24八年级上·江苏南京·期中）【了解概念】 如图1，已知A，B为直线同侧的两点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，D为上一点，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D、Q关于直线的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置； （3）如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到的距离为2，直线l垂直平分边，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为 ． 35．（23-24八年级上·江苏南京·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型理解】 （1）如图①，，共顶点A，，，，连．由，得．又，，可以推理得到，进而得到______，______． 【问题研究】 （2）小明同学在思考完上述问题后，解决了下面的尺规作图问题． 如图②，已知直线a、b及点P，a与b不平行．作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上．    小明同学作法简述如下：如图③，过点P作，垂足为点D，以P为直角顶点作等腰直角三角形，过点E作，交b于点B，在a上截取，连．即为所要求作的等腰直角三角形． 请证明小明的作法是正确的． 【深入研究】 小明同学经过研究发现：在上题条件下，也能作出等边，使得点A、B分别在直线a、b上． （3）请你简述作法，并在图④中画出示意图．（不需要尺规作图） 参考答案： 1．B 【分析】按照AB为底边和腰，分类求解．当AB为底边时，BC为腰；当AB腰时，BC为腰或底边． 【详解】解：（1）当AB＝2cm为底边时，BC为腰， 由等腰三角形的性质，得BC＝（8﹣AB）＝3cm； （2）当AB＝2cm为腰时， ①若BC为腰，则BC＝AB＝2cm，不能构成三角形； ②若BC为底，则BC＝8﹣2AB＝4cm，不能构成三角形． 故选：B． 【点睛】此题考查了等腰三角形的定义，熟记定义并分类解决问题是解题的关键． 2．C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称图形的性质，全等三角形的性质与判定等等，先由等边三角形的性质得到，再由轴对称的性质得到也是边长为4的等边三角形，则，，证明，得到，则当三点共线时最小，即此时最小，最小值为． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是边长为4的等边三角形， ∴， ∵与关于直线l对称， ∴也是边长为4的等边三角形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时最小，即此时最小，最小值为， 故选C．    3．D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，根据题意，可画出种不同的拼法，即可求解，根据等腰三角形的判定画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，共有中拼法： 故选：． 4．C 【分析】本题主要考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的性质等知识，由，得，则，所以，因为，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．A 【分析】连接，过作于，得到，依据，即可得出，再根据直角三角形两锐角互余，即可得到． 【详解】解：如图，连接，    ∵点关于的对称点恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 6．B 【分析】过A作，交的延长线于E，根据条件和四边形的面积即可求解． 【详解】将四根长度相等的细木条首尾顺次相接，用钉子钉成四边形，拉动木条，四边形的形状会改变．当时，四边形的面积为16， ∴四边形是正方形， ∴， 过A作，交的延长线于E，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故选：B． 【点睛】本题考查求四边形的面积，涉及到直角三角形的性质等，正确作出辅助线是关键． 7．C 【分析】根据SSS在图中画出格点三角形DEF，使得△DEF≌△ABC，则可得出答案． 【详解】解：在图中画出格点三角形DEF，使得△DEF≌△ABC， 方法1，由正方形的轴对称性质画图，如以下4个图 由旋转性质，画以下3个图， 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，正方形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识，学会利用轴对称的性质、旋转的性质解题是关键． 8．A 【分析】根据折叠的性质得到，等量代换得到，求得；故①正确；假设，根据全等三角形的性质得到，由直角三角形的性质得到，于是得到与不一定全等；故②错误；假设，得到由直角三角形的性质得到，得到，推出不一定等于30°，得到不一定垂直于；故③错误；根据等腰三角形的性质得到，得到，根据三角形的内角和得到，故④正确． 【详解】解：如图， 将沿翻折，得到， ， 再将沿翻折，使得与重合 ， ， ；故①正确； 假设， ， 在中，，为中点， ， ， ， 而不一定等于， 与不一定全等；故②错误； 假设，则， 在中，，为中点， ， ， ， ， ， 而不一定等于， 不一定垂直于；故③错误； ， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，掌握直角三角形的性质、全等三角形的判定定理、翻转变换的性质是解题的关键． 9．D 【分析】由题意易证，然后可判断①②，根据全等三角形的性质及三角形外角的性质可判断③，过点D作于E，过点B作交的延长线于点F，证明，根据全等三角形的性质可得，利用三角形的面积公式可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 过点D作于E，过点B作交的延长线于点F，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 10．D 【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：如图，∵△MNP是等腰三角形， ∴符合条件的点P的个数有4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定，找出符合条件的点P的个数是解题的关键． 11．72 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用等腰三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，再利用三角形的外角性质可得，从而利用等腰三角形的性质可得，最后根据三角形内角和定理可得，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：72． 12． 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角定理；先根据等腰三角形的性质及三角形的外角定理得到，再根据三角形内角和定理求解，最后求出答案即可． 【详解】解：如图，连接， 由题可知， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 13．/120度 【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，涉及三角形的内角和定理的应用，解题的关键是掌握折叠的性质． 由，，得，根据是斜边的中点，得，可得，而将沿对折，使点落在点处，有，即知，从而可得答案． 【详解】解：，， ， 是斜边的中点， ， ， ， 将沿对折，使点落在点处， ， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】连接，根据三角形内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：如图，连接， ，的垂直平分线，相交于点， ，， ，，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 15．4 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据题意，进行分类讨论，画出符合实际条件的图形即可． 【详解】解：当时，点P在上； 当时，点P在上或点P在上； 当时，点P在上； 综上：满足条件的点P的个数为4， 故答案为：4．    16．或或 【分析】分三种情况讨论：当时，则，如图，当，记的交点为，如图，当时，再结合平行线的性质与轴对称的性质可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 当时， ∴， 如图，当，记的交点为， ∴， 由对折可得：， ∴， 如图，当时， ∴，而， ∴， 由对折可得：， ∴， 综上：为或或 故答案为：或或 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，轴对称的性质，平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练的利用轴对称的性质与平行线的性质解题是关键． 17．①②/②① 【分析】连接AC并延长至点E，根据三角形外角的性质可证明结论①；连接AC，BD，根据“”证明△ABC≌△ADC，结论②可得；由由∠BCD＝∠A+∠B+∠D可得∠A＝∠B+∠D，不能得出BC＝CD，可得结论③；连接BD，假设存在凹四边形ABCD，则可证△ABD≌△CDB，∠A＝∠BCD，从而得出结论④． 【详解】解：①连接AC并延长至点E，如图1所示： ∵∠BCE为△ABC的外角， ∴∠BCE＝∠BAC+∠B， ∵∠DCE为△DAC的外角， ∴∠DCE＝∠CAD+∠D， ∴∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝∠BAC+∠DAC+∠B+∠D＝∠BAD+∠B+∠D， 故①正确； ②连接AC，BD，如图2所示： 在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）． ∴∠BAC＝∠DAC， 又∵AB＝AD， ∴△ABD为等腰三角形， ∴AC⊥BD， 故②正确； ③若∠BCD＝2∠A，由∠BCD＝∠A+∠B+∠D可得∠A＝∠B+∠D， 不能得出BC＝CD， 故③不正确； ④连接BD，假设存在凹四边形ABCD， 有AB＝CD，AD＝BC， 则在△ABD和△CDB中， ， ∴△ABD≌△CDB（SSS）． ∴∠A＝∠BCD， 又∵∠BCD＝∠A+∠B+∠D， 故④不正确； 故答案为：①②． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、凹四边形的定义、三角形外角的性质、等腰三角形的性质等知识点，通过添加辅助线证明三角形全等是解题的关键． 18．/12.5 【分析】运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到等腰三角形BMD，利用四边形内角和定理，三角形外角定理，判定三角形BMD是等腰直角三角形，计算面积即可． 【详解】∵∠ABC＝∠ADC＝90º，∠BCD＝135º，M是AC的中点，AC＝10， ∴∠BAD＝45º，BM=DM=AM=CM=AC=5， ∴∠MAB=∠MBA，∠MAD=∠MDA， ∵∠BMC=∠MAB+∠MBA=2∠MAB，∠DMC=∠MAD+∠MDA=2∠MAD， ∴∠BMC+∠DMC=2∠MAB+2∠MAD=2∠BAD＝90º， ∴三角形BMD是等腰直角三角形， ∴△BMD的面积为=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形外角定理，熟练掌握直角三角形的性质，三角形外角定理是解题的关键． 19．4 【分析】作M关于的对称点Q，过Q作于N，交于P，则此时的值最小，连接，得出，，，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 【详解】解：作M关于的对称点Q，过Q作于N，交于P，连接，如图， ∵作点M、点Q关于的对称， ∴， ∴， 根据垂线段最短可知：当时，最小， ∴根据作图可知此时：最小，且最小为， ∵，作点M、点Q关于的对称，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中有：， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形性质，轴对称−最短路线问题，垂线段最短的应用，关键是确定P、N的位置． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了基本作图，作角平分线，作垂线，以及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握基本作图； （1） 作的平分线即可； （2）过作的垂线交的延长线于D，再作的平分线，根据角平分线的性质可证，E到的距离和E到的距离相等，也即E到点C的距离等于E到的距离，E为所求． 【详解】（1）解：如图，作的平分线与的交点D为所求， （2）解：如图，过作的垂线交的延长线于D，再作的平分线与的交点E即为所求． 21．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）首先作线段，再作出BC的垂直平分线，然后截取高为h，连接即可． （2）首先作直线垂直于直线，垂足为F，再直线上取线段，然后，连接即可． 【详解】（1）解：如图：即为所求作的三角形． （2）解：如图：即为所求作的三角形． 【点睛】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质等知识点，正确掌握线段垂直平分线的作法和等腰三角形的性质是解答本题的关键． 22．(1)见解析 (2)9 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）利用轴对称的性质，即可得到关于直线对称的； （2）利用割补法进行计算，即可得到的面积； （3）利用格点，结合菱形的性质即可得到P点； （4）依据与全等且为公共边，即可得到格点Q的位置． 【详解】（1）如图，△即为所求； （2）的面积为； 故答案为：9； （3）如图，点即为所求 （4）如图所示，，，即为所求． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，以及线段垂直平分线的定义，经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，垂直平分线简称“中垂线”． 23．（1）见解析；（2）在；（3）不成立；（4）当四边形满足对角互补时，四边的垂直平分线交于一点 【分析】本题考查了垂直平分线的性质； （1）根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可； （2）由（1）作图的结果可知在另外两边的垂直平分线上； （3）通过作图可知不在另外两边的垂直平分线上； （4）根据垂直平分线的性质和圆内接四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）如图所示： （2）如图所示，点在另外两条边的垂直平分线上； 故答案为：在； （3）如图所示， 把顶点向左移动8格，以上结论不成立； 故答案为：不成立； （4）观察图形可得点在的公共的斜边中点上，当四边的垂直平分线交于一点时，交点与四个顶点的距离相等， 所以，当四边形满足对角互补时，四边的垂直平分线交于一点． 24．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图−复杂作图、等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得，即可得出结论． （2）在直线b上任取两点B，D，以点B为圆心，线段的长为半径画弧，再以点D为圆心，线段的长为半径画弧，与前弧交于点E，作射线，交直线a于点A，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交直线b于点C，连接即可． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形 ∴ ∵ ∴， ∵ ∴为等边三角形． （2）如图②，在直线b上任取两点B，D， 以点B为圆心，线段的长为半径画弧， 再以点D为圆心，线段的长为半径画弧，与前弧交于点E， 作射线，交直线a于点A， 以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交直线b于点C， 连接 则等边即为所求． 25．见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，尺规作图；方法一：作的角平分线，过点P作的垂线，交两边于B、C，即为所求；取上任意点E，作；取上任意点G，连接并延长至H；作，交两边于B、C，即为所求． 【详解】解：方法一：作的角平分线，过点P作的垂线，交两边于B、C，即为所求； ∵平分，， ∴， 则为等腰三角形； 方法二：取上任意点E，作；取上任意点G，连接并延长至H；作，交两边于B、C，即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴， 则为等腰三角形．    26．（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，直角三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）写出已知，求证，证明即可； （2）以为直径作，与各边的交点即为所求． 【详解】解：（1）已知：如图，线段是的中线，且． 求证：是直角三角形． 证明：是的中线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （2）如图，点，，，即，为所求． 27．(1) (2)不变，证明见详解 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，即可求出； （2）根据等边三角形的性质得到，再证明，得到，利用三角形外角定理进行角的代换即可求解． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∵点P是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：的大小不变，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角定理等知识，熟知等边三角形的性质并灵活应用，证明三角形全等是解题关键． 28．(1)见解析 (2)见解析 (3)不同意，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则，进而可证； （2）过点O作于E，于F，如图1所示，证明，则，由，可得，则，进而可证； （3）由题意知分三种情况：①过点O作的延长线于点E，作的延长线于点F，如图3所示，证明，则，，进而可得，进而可证；②过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图4所示，证明，则，由，可得，③过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图5所示：同理②，可得，然后作答即可． 【详解】（1）证明：由题意知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过点O作于E，于F，如图1所示，    ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：不同意他的想法，理由如下： 分三种情况： ①过点O作的延长线于点E，作的延长线于点F，如图3所示：    ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ②过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图4所示：    ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ③过点O作于点E，作的延长线于点F，连接，如图5所示：    同理②，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，不一定成立． 29．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理． （1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的斜边上的中线性质可得，，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论和等腰三角形的性质可得，，从而利用三角形内角和定理可得，，然后利用平角定义以及三角形内角和定理可得可得，再根据垂直定义可得，从而可得，最后进行计算可得，即可解答． 【详解】（1）∵， ∴， ∵点M是的中点， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形； （2）， 理由：∵， ∴， ∴，， ∴ =2(∠ABC+∠ACB)-180° ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， 故答案为：． 30．(1)作图见解析 (2)作图解析 【分析】 （1）在线段上截取，则，根据与同高的特性可知，． （2）在线段上依次截取，则，于是．作的中点F，则．因此． 【详解】（1）如图，在中，以A为圆心、b长为半径，在边上截取．    连接． 则直线就是所求作的直线l． （2）如图．    ①用圆规工具在边上顺次截取． ②作点的中点F，连接． 则直线就是所求作的直线l． 【点睛】本题考查了三角形面积的之间的关系、线段中点的作图，解题的关键是理解两个三角形面积关系与底、高之间的联系． 31．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质证明结论； （2）由（1）得，可得，根据三角形外角的性质得，从而，再结合直角三角形两锐角关系可得绪论． 【详解】（1）连接， 在中，点是的中点， ， ， ， 又， ． （2）如图， 由（1）知，， ， 又， ， ∵， ， ， ， ∵， ， 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等边对等角是解题的关键． 32．(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）只需证明，即可求解； （2）①过点C作交于点E，过点C作交于点F，通过证明，即可求解； ②证明，可得，再由已知得到，则点C到的距离是． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①证明：过点C作交于点E，过点C作交于点F， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：由①可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴点C到的距离是， 故答案为：2． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，角平分线的定义是解题的关键． 33．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质，过点P作的垂线与相交即可得解； （2）根据（1）的方法，先作的平分线，然后在过点P作角平分线的垂线分别与相交即可得解． 【详解】（1）如图1，画法：过点P作的垂线，分别交于点C、D， 则是以为底边的等腰三角形； （2）如图2，画法：作的角平分线，过点P作角平分线的垂线，分别交角的两边于点C、D， 则是以为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查了复杂作图，等腰三角形的判定，主要有角平分线的作法，过一点作已知直线的垂线的作法，是基本作图，需熟练掌握． 34．（1）是，见解析；（2）见解析；（3）4 【分析】（1）由垂直平分，得，则，而，则，所以点B是点D，F关于直线的“等角点”； （2）按照基本作图“作一个角等于已知角”的要求作，交于点Q，则点D，Q关于直线的“等角点”为点C； （3）作于点J，于点K，于点L，则，由角平分线的性质得，则点O在的平分线上，连接，设直线l交于点R，交于点T，则，所以，由点P为点O，B关于直线l“等角点”，得，则，可证明O、P、C三点在同一条直线上，则，所以的最小值为线段的长，可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）点B是点D，F关于直线AB的“等角点”， 理由：∵点D，E关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B是点D，F关于直线的“等角点”． （2）如图2， 作法：1，以C为圆心，长为半径作弧，交与G、H； 2．连接，以H为圆心，长为半径作弧，与前弧相交于点I； 3．作射线交于点Q， 点Q就是所求的点． 理由：由作法得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D，Q关于直线的“等角点”为点C， ∴点Q就是所求的点． （3）如图3，作于点J，于点L，作于点K， ∵点O到的距离为2， ∴， ∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴点O在的平分线上， 连接，设直线l交于点R， ∵直线l垂直平分边， ∴， ∴， ∵点P为点O，B关于直线l“等角点”， ∴， ∴， ∴， ∴O、P、C三点在同一条直线上， ∴，平分， ∴的最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】此题重点考查轴对称的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、角平分线的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两点之间线段最短等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 35．（1） （2）见解析（3）见解析 【分析】（1）由推导出，则，，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）由，，得，而，，可证明，得，，可证明，所以即为所要求作的等腰直角三角形； （3）作于点F，依次在右侧作出等边和等边，连接交直线a于点I，再连接并延长交直线b于点B，在射线上取一点A，使，连接，即得到所要求作的等边，理由是：先证明，进而证明，得，再推导出，则是等边三角形． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． （2）∵ △PDE <math latex="$\bigtriangleup&amp;#32;PDE$"><mrow><mo>△</mo><mi>P</mi><mi>D</mi><mi>E</mi></mrow></math> 是以P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴即为所要求作的等腰直角三角形． （3）如图④， 作法：1．作于点F； 2．以为边在右侧作等边； 3．以为边在上方作等边c； 4．连接交直线a于点I； 5．连接并延长交直线b于点B； 6．在射线上取一点A，连接，使； 7．连接， 就是所要求作的等边三角形． 证明：由作法得和都是等边三角形，， ∴， ∴点P、点H都在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分， ∴IG=IF， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴就是所要求作的等边三角形 学科网（北京）股份有限公司 $$