江苏省南京市2024-2025学年 八年级上学期期中专题复习试卷（前四章）

2024-2025学年度江苏省南京市八年级上学期期中专题复习摸底练习 全等三角形、轴对称图形、勾股定理与实数（前四章节） 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏南京·期中）2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布原定于2022年9月10日至25日举行的杭州2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·江苏南京·期中）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·江苏南京·期中）整数a满足，则a的值为（      ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（23-24七年级上·江苏南京·期中）如图，将两个长为2宽为1的小长方形，沿图中的虚线剪开后拼成一个边长为a的正方形，则数轴上可以表示数a的点是（    ）    A．M B．N C．P D．Q 5．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，是的中线，E为线段上一点，交于点F，且，，则线段的长是（    ） A． B． C． D．b 6．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，点在的平分线上（不与点重合），于点，，若是边上任意一点，连接，则下列关于线段的说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，的三边、、的长分别为12、14、20，其三条角平分线将分成三个三角形，则　　 A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·江苏南京·期中）小慧在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面（如图1），在小慧的基础上，小雯又切掉一块“角”，得到一个新的三角形截面（如图2），那么的形状是（    ）    A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．可能是锐角三角形或直角三角形，但不可能是钝角三角形 D．可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形 二、填空题 9．（22-23八年级上·江苏南京·期中）的立方根是 ， 的平方等于16． 10．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，．添加一个条件 ，则可用“”判定． 11．（22-23八年级上·江苏南京·期中）以下四个命题：①有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形全等；②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形全等；③有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；④有两角和第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．其中真命题有 ．（填序号） 12．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E，连接．若，的周长为，则的周长为 ． 13．（23-24八年级上·江苏南京·期中）若一个正数的两个平方根是和，则 ，这个正数是 ． 14．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，中，是的垂直平分线，分别交于点D、E，，的周长为，则的周长为 ． 15．（23-24八年级上·江苏南京·期中）在中，，，，在边上有一点P，且是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为 ． 16．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，已知在中，于点D，，，，动点P从点A出发，向终点B运动，速度为每秒1个单位，运动时间为t秒．当t的值是 秒，是等腰三角形． 17．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，分别以AB、AC、BC为边在AB同侧作正方形ABDE、ACPQ、BCMN，四块阴影部分面积分别为、、、，若，则 ． 18．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏南京·期中）求下列各式中的x： (1)； (2)． 20．（22-23八年级上·江苏南京·期中）如图是的网格，每个边长均为1的正方形的顶点称为格点．已知为格点三角形（三个顶点均为格点）,请根据要求完成回答下列问题： (1)作关于直线对称的； (2)的面积为　　 ； (3)利用格点直线上找出一点，使得； (4)标出所有格点，使得与全等． 21．（23-24八年级上·江苏南京·期中）过点P用两种不同的方法，利用直尺和圆规作直线l，交两边于B、C，使得为等腰三角形（保留作图痕迹，不写作法）．    22．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度． 23．（23-24八年级上·江苏南京·期中）数学老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表： n 2 3 4 5 … a 3 8 15 24 … b 4 6 8 10 … c 5 10 17 26 … 由表可知，当时，；当时，； (1)当时，b＝ ，c＝ ． (2)请你分别观察a，b，c与n（）之间的关系． a＝ ，b＝ ，c＝ ． (3)猜想以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形，并说明理由． 24．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，在中，于D，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿着运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当__________时，平分的面积； (2)求当t为何值时，为轴对称图形； (3)若点E、F分别为、上的动点，则的最小值为__________． 25．（23-24八年级上·江苏南京·期中）（1）【旧题重现】《学习与评价》有这样一道习题： 如图①，、分别是和的、边上的中线，，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． （2）【深入研究】 如图②，、分别是和的、边上的中线，，，．判断与是否仍然全等． 26．（23-24八年级上·江苏南京·期中）【了解概念】 如图1，已知A，B为直线同侧的两点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，D为上一点，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D、F关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图2，在（1）的条件下，若点Q是射线EF上一点，且点D、Q关于直线的“等角点”为点C，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点Q的位置； （3）如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到的距离为2，直线l垂直平分边，点P为O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为 ． 参考答案： 1．D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：选项A、B、C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 选项D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，根据勾股定理的逆定理判断A和C即可；根据三角形的内角和定理判断B和D即可． 【详解】解：A．∵， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故本选项符合题意； C．∵ ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵ ∴， ∴是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查无理数的估算，确定即可求得结果 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以，只有选项C符合题意， 故选：C 4．C 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，无理数的估算，根据图形割补先得到正方形的边长为，再估算无理数的范围，从而可得答案． 【详解】解：∵正方形的边长， ∵， 而在与之间；，为负数，在，之间， 故选C 5．D 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，延长到点M，使，连接，证明，得出，进而得出即可得出答案． 【详解】解：延长到点M，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．D 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点到的距离为，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：∵点在的平分线上，，， ∴点到边的距离等于， ∴点到的距离为， ∵点是边上的任意一点， ∴的最小值为3，即． 故选：D． 【点睛】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 7．D 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是过作于，于，于，由角平分线的性质得到，由三角形面积公式即可得到． 【详解】解：过作于，于，于， ，，分别平分，，， ， 的面积，的面积，的面积， ． 故选：D． 8．D 【分析】此题考查截一个几何体，勾股定理的应用；说明是锐角，可能是锐角可能是直角也可能是钝角，可得结论． 【详解】解：设 在中，， 在中，， 在中，， ， 为锐角 同理，和都为锐角． 为锐角三角形， 根据前面的性质可得， ， ， ， ， ， ， 是锐角， 是钝角， 当点接近时，可能是钝角，可能是直角， 可能是锐角三角形可能是直角三角形也可能是钝角三角形， 故选：D． 9． / 【分析】根据立方根和平方根的概念即可得到结果． 【详解】解：， ， 的立方根是，16的平方根是， 故答案为：， 【点睛】本题考查了立方根和平方根，熟练掌握相关概念，注意立方根可正可负，正数有两个平方根，且互为相反数是解题关键： 10．（答案不唯一） 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，熟记判定全等三角形是解本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴补充， ∴， 故答案为： 11．③④/④③ 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：①有两边和其中一边上的高线对应相等的两个三角形不一定全等， 如图，两个三角形符合条件，但不一定全等， 故①错误，是假命题，不符合题意； ②有两边和第三边上的高线对应相等的两个三角形不一定全等， 如图，和符合条件，但不一定全等， 故②错误，是假命题，不符合题意； ③有两角和其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等， 如图，和中，，，是的角平分线，是的角平分线，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③正确，是真命题，符合题意； ④有两角和第三个角的角平分线对应相等的两个三角形全等， 如图，和中，，，是的角平分线，是的角平分线，且， ∴， 同③可得， 故④正确，是真命题，符合题意． 其中真命题是③④， 故答案为：③④． 【点睛】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 12．10 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及判定及垂直平分线的性质；进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．由已知条件，利用垂直平分线的性质可得其两条边，然后等效替换即可求出周长． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， △BCE的周长． 故答案为：10． 13． 16 【分析】本题考查了平方根的性质，熟练掌握平方根的和为零是解题的关键．根据正数的两个平方根和为0计算即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得：， 则， 那么这个正数是， 故答案为：；16． 14．28 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．先根据线段垂直平分线的性质得到，则利用利用的周长为得到，然后利用等线段代换得到的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， ∴的周长＝． 故答案为：． 15．4 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，根据题意，进行分类讨论，画出符合实际条件的图形即可． 【详解】解：当时，点P在上； 当时，点P在上或点P在上； 当时，点P在上； 综上：满足条件的点P的个数为4， 故答案为：4．    16．5或6或 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，分类讨论是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴ 时： ∵， ∴ ∵ ∴， 解得：； 时： ∵ ∴， 解得：； 时： ∵， 又 ∴ 解得： 故答案为：5或6或 17． 【分析】把图中四块阴影部分的面积转化为三角形面积，通过三角形全等即可转化为，即可得到答案． 【详解】解：连接，过点E作于点，记的交点为，的交点为， ∵，而， ∴， ∴， 故； 又∵， 而， ∴， ∴， ∴， 而，则， ∵， ∴， 而， ∴， 同理可证， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用（或）证明三角形全等是解本题的关键． 18． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识点，截取，连接；过点D作，垂足为E，证可推出为等腰直角三角形；点D在射线上运动，当时，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，截取，连接；过点D作，垂足为E； 可得等腰直角三角形； ∵ ∴ ∵ ∴ 则：， ∴， 即 即为等腰直角三角形 ∴ ∵点F为定点 ∴点D在射线上运动 当时，最小， 在等腰直角中：， ∴， 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了根据平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先将常数项移到等号右边，再根据平方根的定义，即可解答； （3）根据立方根的定义，两边同时开立方，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ． 20．(1)见解析 (2)9 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）利用轴对称的性质，即可得到关于直线对称的； （2）利用割补法进行计算，即可得到的面积； （3）利用格点，结合菱形的性质即可得到P点； （4）依据与全等且为公共边，即可得到格点Q的位置． 【详解】（1）如图，△即为所求； （2）的面积为； 故答案为：9； （3）如图，点即为所求 （4）如图所示，，，即为所求． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，以及线段垂直平分线的定义，经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，垂直平分线简称“中垂线”． 21．见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，尺规作图；方法一：作的角平分线，过点P作的垂线，交两边于B、C，即为所求；取上任意点E，作；取上任意点G，连接并延长至H；作，交两边于B、C，即为所求． 【详解】解：方法一：作的角平分线，过点P作的垂线，交两边于B、C，即为所求； ∵平分，， ∴， 则为等腰三角形； 方法二：取上任意点E，作；取上任意点G，连接并延长至H；作，交两边于B、C，即为所求； ∵， ∴， ∴， ∴， 则为等腰三角形．    22．木马上升的高度为1米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．过点C作于点F，则米，在中，由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点F，则米， 由题意得：米， 在中，由勾股定理得： 米， 则米， 即木马上升的高度为1米． 23．(1)12，37 (2) (3)是，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是仔细观察表中的数据，找出规律，进而利用勾股定理的逆定理解决问题． （1）观察表格，即可得出时a、b、c的值； （2）利用图表可以发现a，b，c与n的关系，a与c正好是加、减1，即可得出答案； （3）计算出的值以及的值，再利用勾股定理逆定理即可求出． 【详解】（1）解：由图表可以得出： ∵时，， 时，， 时，， 时，， ∴时，； （2）解：由规律可得：； （3）解：以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 证明：∵， ， ∴， ∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形． 24．(1) (2)当t为或2或秒时，为轴对称图形 (3) 【分析】本题考查了勾股定理，轴对称的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）先求出的长，再根据中线平分面积求解即可； （2）根据题意可得为等腰三角形，再分四种情况分别求解即可； （3）在撒花姑娘截取，过点P作，垂足为F，交于E，求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分的面积， ∴为中点， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：为轴对称图形，即为等腰三角形， 当时， ∴， ∴； 当时，点P在线段上， ∵， ∴ ∴， ∴； 当，点P在线段上时， 设，则， 在中，，即， 解得，不符合题意； 当，点P在线段上时，过点P作，垂足为M， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴； 综上，当t为或2或秒时，为轴对称图形； （3）解：在上截取，过点P作，垂足为F，交于E， 此时，，即为最小值， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 25．（1）见解析（2）和仍然全等，理由见解析 【分析】（1）根据中点可得，运用“边边边”可证，可得，在运用“边角边”可证； （2）延长至，使，连接，延长至，使，连接， 可得，，可证，同理可证，由此即可求证． 本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握中点的运用，倍长中线的运用，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）证明：是的中线， ， 分别是的中线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：①；②；③；④； （2）解：和仍然全等，理由如下： 延长至，使，连接，延长至，使，连接， 和分别是和的和边上的中线， ，． 在和中， ， ， ，， 同理，， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， 又，， ∴． 26．（1）是，见解析；（2）见解析；（3）4 【分析】（1）由垂直平分，得，则，而，则，所以点B是点D，F关于直线的“等角点”； （2）按照基本作图“作一个角等于已知角”的要求作，交于点Q，则点D，Q关于直线的“等角点”为点C； （3）作于点J，于点K，于点L，则，由角平分线的性质得，则点O在的平分线上，连接，设直线l交于点R，交于点T，则，所以，由点P为点O，B关于直线l“等角点”，得，则，可证明O、P、C三点在同一条直线上，则，所以的最小值为线段的长，可求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）点B是点D，F关于直线AB的“等角点”， 理由：∵点D，E关于直线对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B是点D，F关于直线的“等角点”． （2）如图2， 作法：1，以C为圆心，长为半径作弧，交与G、H； 2．连接，以H为圆心，长为半径作弧，与前弧相交于点I； 3．作射线交于点Q， 点Q就是所求的点． 理由：由作法得，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D，Q关于直线的“等角点”为点C， ∴点Q就是所求的点． （3）如图3，作于点J，于点L，作于点K， ∵点O到的距离为2， ∴， ∵，的平分线交于点O， ∴，， ∴， ∴点O在的平分线上， 连接，设直线l交于点R， ∵直线l垂直平分边， ∴， ∴， ∵点P为点O，B关于直线l“等角点”， ∴， ∴， ∴， ∴O、P、C三点在同一条直线上， ∴，平分， ∴的最小值为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4， 故答案为：4 学科网（北京）股份有限公司 $$