专题3 有理数中的规律问题（解析版+原卷版）-2024-2025学年七年级数学上册提优专题训练及试卷测试(人教版2024）

专题3 有理数中的规律问题（四大题型）（原卷版） 专题解读： 本套专题有4大题型，题型针对性较高，覆盖面较广，选题有深度，可加强学生有理数规律和新定义综合应用的理解。 【题型1 数列型规律探究】 1．（2022秋•任城区期末）如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（　　） A．（3n﹣2）个 B．（3n+2）个 C．（5n+1）个 D．（5n﹣1）个 2．（2023秋•黄埔区月考）将正整数1，2，3，4，5，6，…．按如图数阵排列，用数对（m，n）表示该数阵中从上到下、从左到右第m行第n个数字，如（4，5）表示14，则2023用数对表示为（　　） A．（45，2） B．（45，3） C．（44，2） D．（44，3） 3．（2024•三台县二模）如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第二行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an．则a100的值为（　　） A．100 B．199 C．5050 D．10000 4．（2020秋•西湖区期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10并死去一个，按此规律，10小时后细胞存活的个数是（　　） A．1023 B．1024 C．1025 D．1026 5．（2021秋•涞水县期末）如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（　　） A．380 B．382 C．384 D．386 6．如图，在一个正方形的四个顶点处，按逆时针方向各写了一个数：2，0，0，1．然后取各边中点，并在各中点处写上其所在边两端点处的两个数的平均值．这四个中点构成一个新的正方形，又在这个新的正方形四边中点处写上其所在边两端点处的两个数的平均值．连续这样做到的10个正方形，则图上写出的所有数的和是（　　） A．30 B．27 C．20 D．10 7．（2023秋•冷水滩区月考）如图，在数轴上，点A表示数1，现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个长度单位到达点A3，按照这种移动规律进行下去，第2021次移动到点A2021，那么点A2021所表示的数为（　　） A．﹣3029 B．﹣3032 C．﹣3035 D．﹣3038 8．（2024春•沭阳县期末）观察式子：71＝7、72＝49、73＝343、74＝2401、75＝16807、76＝117649、…，请你判断72024的结果的个位数是（　　） A．1 B．3 C．7 D．9 9．（2024秋•奈曼旗期末）阅读材料，解决问题：由31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为3100＝34×25，所以3100的个位数字与34的个位数字相同，应为1； 因为32009＝34×502+1，所以32009的个位数字与31的个位数字相同，应为3． （1）请你仿照材料，分析求出299的个位数字及999的个位数字； （2）请探索出22010+32010+92010的个位数字； （3）请直接写出92010﹣22010﹣32010的个位数字． 10．（2023秋•庐江县期中）观察下面三行数： ﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、……；① 0、6、﹣6、18、﹣30、66、……；② 3、﹣3、9、﹣15、33、﹣63、……．③ （1）第①行数的第7个数是 　 　； （2）第②行数的第n（n≥2）个数是 　 　；（用含n的式子表示） （3）取①②③行中的第10个数，计算这三个数的和． 【题型2 裂项型规律探究】 11．（2024•新都区开学）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，（1）试利用图形所揭示的规律计算：　 ． （2）　 ． 12．（2022秋•泉州期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请回答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：a5＝　 　＝　 ； （2）用含n的代数式表示第n个等式：an＝　　＝　　（n为正整数）； （3）求a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2024的值． （4）求的值． 13．（2022秋•凤翔县月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如： |6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6：|﹣6﹣7|＝6+7； 根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： （1）|7﹣21|＝　 ； （2）|0.8|＝　 ； （3）||＝　 ； （4）用合理的方法计算：． 14．（2022秋•保定期中）观察下列各式： ﹣11 … （1）按照上述规律，第4个等式是 　 ； （2）第n个等式是：　 ； （3）运用你发现的规律计算：（）+（）； （4）（﹣1）+（）+（）+…+（）＝　 ． 15．（2023秋•川汇区月考）我们知道：1；；；…，反过来，可得：；；…，各式相加，可得：． 根据上面的规律，解答下列问题： （1）　 ； （2）计算：； （3）计算：． 16．观察下列各式： ，，，… （1）猜想：　 ； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①计算：（）×（）×（）×…×（）×（）×（）＝　 ； ②将2012减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，依此类推，知道最后减去余下的，最后的结果是多少？ 【题型3 新定义型规律探究】 17．（2024秋•桐乡市期中）数列：0，2，4，8，12，18，…是我国的大衍数列，也是世界数学史上 第一道数列题．该数列中的奇数项可表示为，偶数项表示为． 如：第一个数为0，第二个数为2，… 现在数轴的原点上有一点P，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃． 第1秒时，点P在原点，记为P1； 第2秒时，点P向左跳2个单位，记为P2，此时点P2所表示的数为﹣2； 第3秒时，点P向右跳4个单位，记为P3，此时点P3所表示的数为2； … 按此规律跳跃，点P20表示的数为　 ． 【题型4 含n2型规律探究】 18．（2020秋•商河县期末）观察下列等式： （1）13＝12； （2）13+23＝32； （3）13+23+33＝62； （4）13+23+33+43＝102； 根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是（　　） A．45 B．54 C．55 D．65 19．（2024秋•香洲区期末）观察下列式子： 0×2+1＝12……① 1×3+1＝22……② 2×4+1＝32……③ 3×5+1＝42……④ …… （1）第⑤个式子　 　，第⑩个式子　 　； （2）请用含n（n为正整数）的式子表示上述的规律，并证明： （3）求值：（1）（1）（1）（1）…（1）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3 有理数中的规律问题（四大题型）（解析版） 专题解读： 本套专题有4大题型，题型针对性较高，覆盖面较广，选题有深度，可加强学生有理数规律和新定义综合应用的理解。 【题型1 数列型规律探究】 1．（2022秋•任城区期末）如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（　　） A．（3n﹣2）个 B．（3n+2）个 C．（5n+1）个 D．（5n﹣1）个 【思路引领】观察图形的变化先计算出前几个图形的小圆的个数，进而可得第n个图形的小圆个数． 【解答】解：观察图形的变化可知：第1个图形有5个小圆，即5＝2×1+3， 第2个图形有8个小圆，即8＝2×2+（3+1）， 第3个图形有11个小圆，即11＝2×3+（3+2），⋯， 依此规律，第n个图形的小圆个数是：2n+[3+（n﹣1）]＝3n+2， 故选：B． 【总结提升】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是先计算出前几个图形的小圆的个数，找到规律． 2．（2023秋•黄埔区月考）将正整数1，2，3，4，5，6，…．按如图数阵排列，用数对（m，n）表示该数阵中从上到下、从左到右第m行第n个数字，如（4，5）表示14，则2023用数对表示为（　　） A．（45，2） B．（45，3） C．（44，2） D．（44，3） 【思路引领】根据图中的数字，可以发现奇数行的数字按照从大到小排列，偶数行按照从小到大排列，每行的数字个数都是奇数个，第n行的最大数字是n2，从而可以将2023用数对表示出来． 【解答】解：由图可知， 第一行一个数字， 第二行3个数字，按照从小到大排列， 第三行5个数字，按照从大到小排列， 第四行7个数字，按照从小到大排列， …… 由上可得，第n行最大的数是n2， ∵2023＝442+87， ∴2023在第45行， ∵第45行数字的个数为：2×45﹣1＝89，这一行的数字按照从大到小排列，这一行的最大数为452＝2025， ∴2023是从左到右数第2025﹣2023+1＝3个数字， ∴2023用数对表示为（45，3）， 故选：B． 【总结提升】本题主要考查了数字规律题，准确分析计算是解题的关键． 3．（2024•三台县二模）如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第二行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an．则a100的值为（　　） A．100 B．199 C．5050 D．10000 【思路引领】根据题目中的数据，可以写出前几项，从而可以数字的变化特点，然后即可得到a100的值． 【解答】解：由题意可得， a1＝1， a2＝1+2＝3， a3＝1+2+3＝6， a4＝1+2+3+4＝10， a5＝1+2+3+4+5＝15， …， ∴an＝1+2+3+…+n， ∴当n＝100时，a100， 故选：C． 【总结提升】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求项的值． 4．（2020秋•西湖区期中）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10并死去一个，按此规律，10小时后细胞存活的个数是（　　） A．1023 B．1024 C．1025 D．1026 【思路引领】根据细胞分裂过程，归纳总结得到一般性规律，即可得到结果． 【解答】解：根据题意可知，1小时后分裂成4个并死去1个，剩3个，3＝2+1； 2小时后分裂成6个并死去1个，剩5个，5＝22+1； 3小时后分裂成10个并死去1个，剩9个，9＝23+1； … 故10小时后细胞存活的个数是210+1＝1025个． 故选：C． 【总结提升】此题考查了有理数的乘方，弄清题意是解本题的关键． 5．（2021秋•涞水县期末）如图所示：下列各三角形中的三个数均有相同的规律，由此规律最后一个三角形中，y的值是（　　） A．380 B．382 C．384 D．386 【思路引领】由所给的数，可知第一个数与第二数是相邻数，三角形中底下的数是上边两个数相乘再加2得到． 【解答】解：由题意可得，19右侧的数是20， y＝19×20+2＝382， 故选：B． 【总结提升】本题考查数字的变化规律，通过观察，确定数字之间的联系是解题的关键． 6．如图，在一个正方形的四个顶点处，按逆时针方向各写了一个数：2，0，0，1．然后取各边中点，并在各中点处写上其所在边两端点处的两个数的平均值．这四个中点构成一个新的正方形，又在这个新的正方形四边中点处写上其所在边两端点处的两个数的平均值．连续这样做到的10个正方形，则图上写出的所有数的和是（　　） A．30 B．27 C．20 D．10 【思路引领】根据已知可分别求得第一，二个正方形四个顶点的数的和，从而不难发现规律，根据规律解题即可． 【解答】解：∵一个正方形的四个顶点处，按逆时针方向各写了一个数：2，0，0，1， ∴第一个正方形的四个顶点的和＝2+0+0+1＝3， ∵第二个正方形的四个顶点处的数分别是：1，0，，， ∴第二个正方形的四个顶点之和＝1+03， 同理：第三个正方形的四个顶点之和1＝3， ∴可发现每个正方形的四个顶点之和均为3， ∵连续做到10个这样的正方形， ∴写出的所有数的和＝10×3＝30． 故选：A． 【总结提升】此题主要考查三角形中位线定理，关键是根据题意发现存在的规律． 7．（2023秋•冷水滩区月考）如图，在数轴上，点A表示数1，现将点A沿数轴作如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个长度单位到达点A3，按照这种移动规律进行下去，第2021次移动到点A2021，那么点A2021所表示的数为（　　） A．﹣3029 B．﹣3032 C．﹣3035 D．﹣3038 【思路引领】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，即可解答． 【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3＝﹣2； 第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6＝4； 第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9＝﹣5； 第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12＝7； 第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15＝﹣8； …； 则点A2021表示：（﹣3）+1＝﹣3032， 故选：B． 【总结提升】本题考查规律型：数字的变化类，数轴，解题的关键是写出前几次运动后对应的数据，发现其中的规律，然后解答本题． 8．（2024春•沭阳县期末）观察式子：71＝7、72＝49、73＝343、74＝2401、75＝16807、76＝117649、…，请你判断72024的结果的个位数是（　　） A．1 B．3 C．7 D．9 【思路引领】通过观察可知个位数字是7，9，3，1四个数字一循环，根据这一规律用2024除以4，根据余数即可得出答案． 【解答】解：∵71＝7、72＝49、73＝343、74＝2401、75＝16807、76＝117649、…， ∴个位数字以7、9、3、1这4个数字一循环， ∴2024÷4＝504…3， ∴72024的个位数字与73的个位数字相同是3． 故选：B． 【总结提升】此题主要考查了尾数特征，正确得出尾数变化规律是解题关键． 9．（2024秋•奈曼旗期末）阅读材料，解决问题：由31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，38＝6561，…， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为3100＝34×25，所以3100的个位数字与34的个位数字相同，应为1； 因为32009＝34×502+1，所以32009的个位数字与31的个位数字相同，应为3． （1）请你仿照材料，分析求出299的个位数字及999的个位数字； （2）请探索出22010+32010+92010的个位数字； （3）请直接写出92010﹣22010﹣32010的个位数字． 【思路引领】（1）此题不难发现：2n的个位数字是2，4，8，6四个一循环，所以99÷4＝24…3，则299的个位数字是8；9n的个位数字是9，1两个一循环，所以99÷2＝49…1，则999的个位数字是9． （2）分别找出22010和32010和92010的个位数字，然后个位数字相加所得个位数字就是22010+32010+92010的个位数字． （3）分别找出92010和22010和32010的个位数字，然后个位数字相减所得个位数字就是92010﹣22010﹣32010的个位数字，注意不够借位再减． 【解答】解：（1）由21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256， 不难发现2的正整数幂的个位数字以2、4、8、6为一个周期循环出现，由此可以得到： ∵299＝24×24+3， ∴299的个位数字与23的个位数字相同，应为8． 不难发现9的正整数幂的个位数字以9、1为一个周期循环出现，由此可以得到： ∵999＝92×49+1， ∴999的个位数字与91的个位数字相同，应为9． （2）∵22010＝24×502+2， ∴22010的个位数字与22的个位数字相同，应为4； ∵32010＝34×502+2， ∴32010的个位数字与32的个位数字相同，应为9； ∵92010＝92×1005， ∴92010的个位数字与92的个位数字相同，应为1． ∴4+9+1＝14． ∴22010+32010+92010的个位数字为4； （3）92010﹣22010﹣32010的个位数字为21﹣4﹣9＝8． 【总结提升】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． 10．（2023秋•庐江县期中）观察下面三行数： ﹣2、4、﹣8、16、﹣32、64、……；① 0、6、﹣6、18、﹣30、66、……；② 3、﹣3、9、﹣15、33、﹣63、……．③ （1）第①行数的第7个数是 　﹣128；　； （2）第②行数的第n（n≥2）个数是 　（﹣2）n+2　；（用含n的式子表示） （3）取①②③行中的第10个数，计算这三个数的和． 【思路引领】（1）根据题目中数字的特点，可以写出第①行数的第7个数； （2）根据题目中的数字，可以写出第②行数的第n个数和第③行数的第n个数； （3）根据题意，解答即可． 【解答】解：（1）∵﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ∴这行数的第n个数为：（﹣1）n•2n， ∴当n＝7时，这个数为：（﹣1）7•27＝﹣128， 故答案为：﹣128； （2）第②行中的每个数都是对应的第①行的数字减2得到的， ∴第②行数的第n个数是：（﹣1）n•2n+2＝（﹣2）n+2， 故答案为：（﹣2）n+2； （3）第①行的第10个数是：（﹣2）10，第②行的第10个数是：（﹣2）10+2，第③行的第10个数是：1﹣（﹣2）10，和为： （﹣2）10+[（﹣2）10+2]+[1﹣（﹣2）10] ＝210+210+2+1﹣210 ＝210+3 ＝1024+3 ＝1027． 【总结提升】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数据． 【题型2 裂项型规律探究】 11．（2024•新都区开学）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去， （1）试利用图形所揭示的规律计算：　　． （2）　　． 【思路引领】（1）根据题目中式子的特点，可以计算出所求式子的结果； （2）根据题目中的图形，可以得到所求式子的值． 【解答】解：（1）设S， 则S， SS＝1， ， 得S， 即， 故答案为：； （2）由图可得， 1， 故答案为：． 【总结提升】本题考查图形的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 12．（2022秋•泉州期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 请回答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：a5＝　　＝　　； （2）用含n的代数式表示第n个等式：an＝　　＝　　（n为正整数）； （3）求a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a2024的值． （4）求的值． 【思路引领】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式的形式，从而可求解； （3）利用所给等式的形式，从而可求解； （4）仿照（3）的解答方式进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：第5个等式为：a5， 故答案为：，； （2）由题意得： an， 故答案为：，； （3）a1+a2+a3+…+a2024 ； （4） ． 【总结提升】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律并灵活运用． 13．（2022秋•凤翔县月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如： |6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6：|﹣6﹣7|＝6+7； 根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式： （1）|7﹣21|＝　21﹣7　； （2）|0.8|＝　0.8　； （3）||＝　　； （4）用合理的方法计算：． 【思路引领】（1）利用绝对值的意义，进行化简即可解答； （2）利用绝对值的意义，进行化简即可解答； （3）利用绝对值的意义，进行化简即可解答； （4）先化简每一个绝对值，然后再进行计算即可解答． 【解答】解：（1）|7﹣21|＝21﹣7， 故答案为：21﹣7； （2）|0.8|＝0.8， 故答案为：0.8； （3）||， 故答案为：； （4） ． 【总结提升】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 14．（2022秋•保定期中）观察下列各式： ﹣11 … （1）按照上述规律，第4个等式是 　　； （2）第n个等式是：　•　； （3）运用你发现的规律计算：（）+（）； （4）（﹣1）+（）+（）+…+（）＝　　． 【思路引领】（1）根据所给的等式特点，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，可得第n个等式是•； （3）利用（2）的规律进行运算即可； （4）根据（2）的结论，将所求的式子变形为﹣1，再求和即可． 【解答】解：（1）第4个等式是， 故答案为：； （2）第n个等式是•， 故答案为：•； （3）（）+（） ； （4）（﹣1）+（）+（）+…+（） ＝﹣1 ＝﹣1 ， 故答案为：． 【总结提升】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用该规律进行运算是解题的关键． 15．（2023秋•川汇区月考）我们知道：1；；；…，反过来，可得：；；…，各式相加，可得：． 根据上面的规律，解答下列问题： （1）　　； （2）计算：； （3）计算：． 【思路引领】（1）利用规律展开即可解决问题； （2）探究规律，利用规律即可解决问题； （3）探究规律，利用规律即可解决问题． 【解答】解：（1） ＝1 ， 故答案为：； （2） ； （3） （...） ． 【总结提升】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型． 16．观察下列各式： ，，，… （1）猜想：　　； （2）根据上面的规律，解答下列问题： ①计算：（）×（）×（）×…×（）×（）×（）＝　　； ②将2012减去它的，再减去余下的，再减去余下的，再减去余下的，依此类推，知道最后减去余下的，最后的结果是多少？ 【思路引领】（1）约分计算即可求解； （2）①先算括号里面的减法，再约分计算即可求解； ②根据题意列出算式2012×（1）×（1）×…×（1），再先算括号里面的减法，再约分计算即可求解． 【解答】解：（1）猜想：； （2）①（）×（）×（）×…×（）×（）×（） ； ②依题意有 2012×（1）×（1）×…×（1） ＝2012 ＝1． 故答案为：；． 【总结提升】此题考查了有理数的混合运算，第（3）问根据题意列出算式是解本题的关键． 【题型3 新定义型规律探究】 17．（2024秋•桐乡市期中）数列：0，2，4，8，12，18，…是我国的大衍数列，也是世界数学史上 第一道数列题．该数列中的奇数项可表示为，偶数项表示为． 如：第一个数为0，第二个数为2，… 现在数轴的原点上有一点P，依次以大衍数列中的数为距离向左右来回跳跃． 第1秒时，点P在原点，记为P1； 第2秒时，点P向左跳2个单位，记为P2，此时点P2所表示的数为﹣2； 第3秒时，点P向右跳4个单位，记为P3，此时点P3所表示的数为2； … 按此规律跳跃，点P20表示的数为　﹣110　． 【思路引领】n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…20时，P对应的值为：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，••，200．依次求出：P1＝0，P2＝﹣2，P3＝2，P4＝﹣6，…P20＝﹣110即可． 【解答】解：n＝1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，…20时， P对应的值为：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，••，200． 依次求出：P1＝0，P2＝﹣2，P3＝2，P4＝﹣6，P5＝6，P6＝18， P7＝12， … P14＝﹣56， … P20＝﹣110． 故答案为：﹣110． 【总结提升】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【题型4 含n2型规律探究】 18．（2020秋•商河县期末）观察下列等式： （1）13＝12； （2）13+23＝32； （3）13+23+33＝62； （4）13+23+33+43＝102； 根据此规律，第10个等式的右边应该是a2，则a的值是（　　） A．45 B．54 C．55 D．65 【思路引领】仔细观察数字变化规律，利用规律求解即可． 【解答】解：观察下列等式： （1）13＝12； （2）13+23＝32； （3）13+23+33＝62； （4）13+23+33+43＝102； … ∴第十个等式为：13+23+…+93+103＝（1+2+3+4+…+9+10）2＝552； 故选：C． 【总结提升】考查了数字变化的规律问题，解题的关键是仔细观察数列并找到图形变化的规律，难度不大． 19．（2024秋•香洲区期末）观察下列式子： 0×2+1＝12……① 1×3+1＝22……② 2×4+1＝32……③ 3×5+1＝42……④ …… （1）第⑤个式子　4×6+1＝52　，第⑩个式子　9×11+1＝102　； （2）请用含n（n为正整数）的式子表示上述的规律，并证明： （3）求值：（1）（1）（1）（1）…（1）． 【思路引领】（1）根据已知等式中的规律即可得； （2）根据整数的平方等于前一个整数与后一个整数乘积与1的和可得； （3）利用所得规律变形为，约分即可得． 【解答】解：（1）第⑤个式子为4×6+1＝52，第⑩个式子9×11+1＝102， 故答案为：4×6+1＝52，9×11+1＝102； （2）第n个式子为（n﹣1）（n+1）+1＝n2， 证明：左边＝n2﹣1+1＝n2， 右边＝n2， ∴左边＝右边， 即（n﹣1）（n+1）+1＝n2． （3）原式 ． 【总结提升】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出（n﹣1）（n+1）+1＝n2的规律，并熟练加以运用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$