专题07 立体几何（4考点）-【中职专用】四川省十年（2015-2024）对口高考数学真题分类汇编

专题07 立体几何 1.三视图：理解实物或空间图形的正视图、俯视图、左视图。 2.空间图形的画法：初步掌握画空间图形的直观图的斜二测法。 3.直棱柱、正棱锥的表面积：了解多面体及棱柱、棱锥的有关概念；理解 直棱柱、正棱锥的侧面展开图；掌握直棱柱、正棱锥的侧面积公式。 4.圆柱、圆锥、球的表面积：了解旋转体及圆柱、圆锥、球的有关概念；理解圆柱、圆锥的侧面展开图；掌握圆柱、圆锥的侧面积公式，了解球的表面积公式。 5.柱、锥、球的体积：理解柱、锥的体积公式，了解球的体积公式。 6.平面的基本性质：了解平面的概念；理解平面性质的三个公理；了解空间中点、线、面关系的符号表示。 7.直线与直线的位置关系：理解空间中直线与直线的位置关系；理解异面直线的定义及判定方法；了解异面直线所成的角的概念；理解异面直线垂直的判 定方法。 8.直线与平面的位置关系：理解空间中直线与平面的位置关系；了解直线与平面所成的角的概念；理解直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理和性 质定理。 9.平面与平面的位置关系：理解空间中平面与平面的位置关系；了解二面角及二面角的平面角的概念；理解平面与平面平行、平面与平面垂直的判定定理 和性质定理。 12 学科网（北京）股份有限公司 考点01 简单几何体的表面积与体积 1．（2019年职教师资和高职班对口考试）已知球的半径为6cm，则它的体积为（ ） A． B． C． D． 2.（2016年职教师资和高职班对口考试）底面半径为2，高为3的圆锥的体积为____． 3.（2015年职教师资和高职班对口考试）已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为（ ） A．6 B．3 C．2 D． 考点02 直线与直线的位置关系 1.（2024年对口高考）如图，已知四棱锥的底面为长方形，底面，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的正切值. 2. （2023四川对口招生）如图，在正方体中，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小. 3. （2020年职教师资和高职班对口考试）如图，在三核柱ABC- A1B1C1中，侧校AA1⊥底面ABC，⊿ABC是正三角形，AB=AA1=1，D为AC的中点。 (Ⅰ)证明: BD1⊥AC1； (Ⅱ)求三棱柱ABC- A1B1C1的体积. A C1 C B1 B A1 D 4.（2018年职教师资和高职班对口考试）如图,在四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,E为线段PB的中点. (1)求四棱锥P-ABCD的体积； (2)证明:BD⊥CE. P E D C B A 考点03 直线与平面的位置关系 1.（2021年职教师资和高职班对口考试）下列命题中不正确的是（ ） A.如果一条直线垂直于一个平面内的两条垂直直线,那么这条直线垂直于这个平面 B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于这个平面 C.如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线,那么这条直线垂直于这个平面 D.如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线,那么这条直线垂直于这个平面 2.（2021年职教师资和高职班对口考试）如图，B , C为圆锥AO底面圆周上的两点，E ,F分别为AB , BC的中点. (I)证明：EF//平面ACO; (II)若圆锥底面半径为1,母线的长为，二面角B-AO-C的大小为,求点O到平面ABC的距离. 3.（2019年职教师资和高职班对口考试）如图，已知在长方体中，，，，E为的中点． （Ⅰ）证明：平面BDE； （Ⅱ）求与平面ABCD所成的角的大小． 4．（2017年职教师资和高职班对口考试）如图，在正方体中，为线段的中点． （Ⅰ）证明：直线平面； （Ⅱ）证明：直线平面．（12分） 5.（2016年职教师资和高职班对口考试）如图，AB为圆柱OO的母线，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上，且BC＝AC． (I)证明：BC平面ACD； (II)求二面角B-AD-C的大小． 6.（2015年职教师资和高职班对口考试）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为，底面Rt△ABC中，AC⊥AB，AB＝AC＝，D为BC的中点． (I)证明：AD⊥平面BCC1B1； (II)求二面角C1－AD－C的大小． 考点04 平面与平面的位置关系 1. （2024年对口高考）设是三个不同的平面，是两条不同的直线.给出下列四个命题：（ ） ①若，则. ②若，则. ③若，则. ④若，则. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. （2023四川对口招生）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中的真命题是（ ） A.如果，，，那么 B.如果，，那么 C.如果，，，那么 D.如果，，那么 3（2022年职教师资和高职班对口考试）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.则下面四个命题正确的个数是（ ） ①若，，，则； ②若，，，则； ③若，，，则； ④若，，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.（2022年职教师资和高职班对口考试）在四棱锥中，，，，，平面. （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求二面角的正切值. 5.（2020年职教师资和高职班对口考试）设a，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 如果ma， na， m//β, n//β,那么a//β B. 如果a//β, ma, nβ，那么m//n C. 如果m⊥a，m⊥n，那么n⊥a D. 如果n⊥a，n//m，那么m⊥a 6.（2018年职教师资和高职班对口考试）设α,β是两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，给出下列三个命题：①.若l⊥α,m⊥α,则l∥m. ②.若α∥β,l∥α,m∥β,则l∥m. ③.若l∥m,l∥α,m∥β,则α∥β. 则下列命题中的真命题是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7．（2017年职教师资和高职班对口考试数学第14题）设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题中的真命题是（ ） A．如果，，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 立体几何 1.三视图：理解实物或空间图形的正视图、俯视图、左视图。 2.空间图形的画法：初步掌握画空间图形的直观图的斜二测法。 3.直棱柱、正棱锥的表面积：了解多面体及棱柱、棱锥的有关概念；理解 直棱柱、正棱锥的侧面展开图；掌握直棱柱、正棱锥的侧面积公式。 4.圆柱、圆锥、球的表面积：了解旋转体及圆柱、圆锥、球的有关概念；理解圆柱、圆锥的侧面展开图；掌握圆柱、圆锥的侧面积公式，了解球的表面积公式。 5.柱、锥、球的体积：理解柱、锥的体积公式，了解球的体积公式。 6.平面的基本性质：了解平面的概念；理解平面性质的三个公理；了解空间中点、线、面关系的符号表示。 7.直线与直线的位置关系：理解空间中直线与直线的位置关系；理解异面直线的定义及判定方法；了解异面直线所成的角的概念；理解异面直线垂直的判 定方法。 8.直线与平面的位置关系：理解空间中直线与平面的位置关系；了解直线与平面所成的角的概念；理解直线与平面平行、直线与平面垂直的判定定理和性 质定理。 9.平面与平面的位置关系：理解空间中平面与平面的位置关系；了解二面角及二面角的平面角的概念；理解平面与平面平行、平面与平面垂直的判定定理 和性质定理。 12 学科网（北京）股份有限公司 考点01 简单几何体的表面积与体积 1．（2019年职教师资和高职班对口考试）已知球的半径为6cm，则它的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2.（2016年职教师资和高职班对口考试）底面半径为2，高为3的圆锥的体积为____． 【答案】4π 3.（2015年职教师资和高职班对口考试）已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为（ ） A．6 B．3 C．2 D． 【答案】C 考点02 直线与直线的位置关系 1.（2024年对口高考）如图，已知四棱锥的底面为长方形，底面，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析； （2） 【分析】（1）作中点，连接，，证明为直角三角形，然后根据证明即可； （2）取上一点，作，连接，利用三角形面积求出，利用射影定理证明，从而得到二面角的平面角，然后求角的正切值即可. 【解析】（1）作中点，连接，，，， 因为，为，中点，则为中位线， 则，，. 因为底面为长方形，则， 因为底面，， ， ， 因为底面，， 因为，即 ， 所为直角三角形，则，因为，所以. （2）取上一点，作，连接， 因为底面，底面，则为在底面的射影， 因为底面，底面，所以， 又，面，所以面， 因为面，所以， 又因为平面，平面， 所以二面角的平面角为， 又因为底面，底面， 所以，所以为直角三角形. 因为底面为长方形，则为直角三角形，则， 因为，则， 又因为，则，则二面角的正切值为. 2. （2023四川对口招生）如图，在正方体中，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的大小. 【答案】 【分析】第（1）问由线面平行的判定定理即可证得。第（2）问中异面直线所成角的大小由定义法平移即可求得。本题考查线面平行的判定定理及异面直线所成角的定义,是基础题. 【解析】（1）连接AC，BD，设，如图所示. ∵为的中点，为的中点，∴，. ∵为的中点，∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，∵， ∴平面. （2）连接. ∵，∴为异面直线与所成角. ∵为正三角形， ∴， ∴异面直线与所成角为60°. 3. （2020年职教师资和高职班对口考试）如图，在三核柱ABC- A1B1C1中，侧校AA1⊥底面ABC，⊿ABC是正三角形，AB=AA1=1，D为AC的中点。 (Ⅰ)证明: BD1⊥AC1； (Ⅱ)求三棱柱ABC- A1B1C1的体积. A C1 C B1 B A1 D 【解析】(Ⅰ)在正三角形ABC中，D为AC的中点，所以AC⊥BD， 因为AA1⊥平面ABC，BD平面ABC，所以AA1⊥BD， 又AC，AA1为平面AC C1A1内两条相交直线， 所以BD⊥平面AC C1A1，又AC1平面AC C1A1，所以BD⊥AC1. (Ⅱ) 在正三角形ABC中，BD⊥AC，AB=1，可得BD=，, 则. 4.（2018年职教师资和高职班对口考试）如图,在四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,E为线段PB的中点. (1)求四棱锥P-ABCD的体积； (2)证明:BD⊥CE. P E D C B A 【解析】(1)根据题意得 . （2）设线段BD的中点为O，连接OE，因为三角形BCD为等腰直角三角形，所以BD⊥OC， 又因为E为PB的中点，所以OE为三角形PDB的中位线，因此OE∥PD， 又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BD，可得OE⊥BD， 因为OC与OE是平面OEC内的两条相交直线，所以BD⊥平面OEC， 因为EC在平面OE C内， 所以BD⊥CE. 考点03 直线与平面的位置关系 1.（2021年职教师资和高职班对口考试）下列命题中不正确的是（ ） A.如果一条直线垂直于一个平面内的两条垂直直线,那么这条直线垂直于这个平面 B.如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于这个平面 C.如果一条直线垂直于一个平面内的任何一条直线,那么这条直线垂直于这个平面 D.如果一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线,那么这条直线垂直于这个平面 【答案】D 2.（2021年职教师资和高职班对口考试）如图，B , C为圆锥AO底面圆周上的两点，E ,F分别为AB , BC的中点. (I)证明：EF//平面ACO; (II)若圆锥底面半径为1,母线的长为，二面角B-AO-C的大小为,求点O到平面ABC的距离. 【答案】(I)在△ABC中，E ,F分别为AB , BC的中点，所以E F∥AC， 又E F平面ACO，AC平面ACO，所以EF//平面ACO. (II)连接AF，FO，如图， 在圆锥AO中，AO⊥底面BCO，所以AO⊥BO，AO⊥CO， 所以∠BOC为二面角B-AO-C的平面角，即∠BOC=， 在直角△ABO中，， 在等腰△OBC中， ， ， 在直角△AFO中，， 则， 设点O到平面ABC的距离为d， 则，解得， 所以点O到平面ABC的距离为. 3.（2019年职教师资和高职班对口考试）如图，已知在长方体中，，，，E为的中点． （Ⅰ）证明：平面BDE； （Ⅱ）求与平面ABCD所成的角的大小． 【答案】（Ⅰ）如图，连接AC，交BD于点O，连接OE， 在长方体中，四边形ABCD是长方形，所以O是AC的中点， 因为E为的中点，所以OE∥A1C， 又A1C 平面BDE，OE平面BDE，所以A1C∥平面BDE. （2）在长方体中，，，， 则，∠是与平面ABCD所成的角， 因为， 所以∠=45°，即与平面ABCD所成的角的大小为45°. 4．（2017年职教师资和高职班对口考试）如图，在正方体中，为线段的中点． （Ⅰ）证明：直线平面； （Ⅱ）证明：直线平面．（12分） 【答案】（Ⅰ）∵在正方体中平面，∴，又∵为线段中点，∴，直线平面． （Ⅱ）∵，∴平面，又∵，∴平面，∴平面平面，平面． 5.（2016年职教师资和高职班对口考试）如图，AB为圆柱OO的母线，AB为底面圆O的直径，点C在圆O上，且BC＝AC． (I)证明：BC平面ACD； (II)求二面角B-AD-C的大小． 【答案】(I)因为AD为圆柱OO的母线，所以AD⊥底面ABC， 因为BC底面ABC，所以AD⊥BC， 因为AB为底面圆O的直径，点C在圆O上，所以AC⊥BC， 因为AD∩AC=A，所以BC⊥平面ACD. (II) 因为AD为圆柱OO的母线，所以AD⊥底面ABC， 因为AC，AB底面ABC，所以AD⊥AC，AD⊥AB， 所以∠BAC是二面角B-AD-C的平面角， 因为AB为底面圆O的直径，点C在圆O上，所以AC⊥BC， 因为BC＝AC，所以∠BAC=∠ABC=45°， 综上，二面角B-AD-C的大小为45°. 6.（2015年职教师资和高职班对口考试）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为，底面Rt△ABC中，AC⊥AB，AB＝AC＝，D为BC的中点． (I)证明：AD⊥平面BCC1B1； (II)求二面角C1－AD－C的大小． 【答案】(I)在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC， 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，所以CC1⊥AD， 又BC∩CC1＝C，所以AD⊥平面BCC1B1． (II)由(I)知AD⊥C1D，AD⊥BC，所以二面角C1－AD－C的平面角是∠C1DC， 因为CB=2，所以CD=1，又CC1＝，∠C1CD=90°，所以∠C1DC=60°. 考点04 平面与平面的位置关系 1. （2024年对口高考）设是三个不同的平面，是两条不同的直线.给出下列四个命题：（ ） ①若，则. ②若，则. ③若，则. ④若，则. 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】根据线面平行、面面平行以及面面垂直的性质分析求解. 【解析】①中若，根据面面平行的传递性可知，正确， ②中若，则有可能平行，也有可能相交，错误， ③中若，则有可能平行，也有可能相交，即平行于的交线时，也成立，错误， ④中若，则有可能平行，也有可能相交，错误， 所以正确命题个数是1个， 故选：A. 2. （2023四川对口招生）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题中的真命题是（ ） A.如果，，，那么 B.如果，，那么 C.如果，，，那么 D.如果，，那么 【答案】D 【分析】本题A选项考查面面平行的判定定理，B选项考查线面平行的判定定理，C选项考查面面垂直的性质定理，D选项考查面面垂直的判定定理,是基础题. 【解析】 由面面平行的判定定理可得A错误； 由线面平行的判定定理可得B错误； 由面面垂直的性质定理可得C错误； 由面面垂直的判定定理可得D正确. ∴选D. 3（2022年职教师资和高职班对口考试）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线.则下面四个命题正确的个数是（ ） ①若，，，则； ②若，，，则； ③若，，，则； ④若，，，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 答案：C 分析：本题以空间的平行与垂直为载体,考查了命题的真假的判断, 属于基础题着重考查空间直线与平面、 平面与平面的位置关系, 考查了空间想象的能力 解析： 对于①, ∵，，，∴,故①正确. 对于②, ∵，,直线和 相当于平面和的法向量,∵ ，∴,故②正确. 对于③, ∵，,直线和 相当于平面和的法向量,∵,∴故③不正确. 对于④, 若，, 直线和 相当于平面和的法向量, ∵, ∴,故④正确. ∴选C. 4.（2022年职教师资和高职班对口考试）在四棱锥中，，，，，平面. （Ⅰ）证明：平面平面； （Ⅱ）求二面角的正切值. 【答案】(Ⅰ) 略 （Ⅱ） 【解析】(Ⅰ)连接 AC，作AE⊥BC，交BC于E，交BD于G ， ∵AD∥BC，AD⊥CD ∴BC⊥CD ∴四边形AECD是矩形 ∵AD=CD ∴四边形AECD是正方形， ∴AD=CD=CE=AE，∠CAE= ∵2AD=2CD=BC，AE⊥BC ∴AE=BE ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠AEB=，∠BAE=， 则∠BAC=+=，即AB⊥AC ∵PA⊥面ABCD ∴PA⊥AC ∵AB⊥AC， PA∩AB =A ∴AC⊥面PAB ∵AC面 ∴平面平面 (Ⅱ)作AFBD ，交BD于F， ∵PA⊥面ABCD ∴PF⊥BD ∴∠PFA是二面角的平面角， ∵AE∥CD，2CE=CB，根据相似三角形定理可知GE是△BCD的中位线， ∴2GE=CD， ∴AG=GE=AE=AD AE⊥AD，AF⊥BD ∴把用等面积法表示 ∴ 解得 ∵PA=AD， ∴， 因此二面角的正切值是. 5.（2020年职教师资和高职班对口考试）设a，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 如果ma， na， m//β, n//β,那么a//β B. 如果a//β, ma, nβ，那么m//n C. 如果m⊥a，m⊥n，那么n⊥a D. 如果n⊥a，n//m，那么m⊥a 【答案】D 6.（2018年职教师资和高职班对口考试）设α,β是两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，给出下列三个命题：①.若l⊥α,m⊥α,则l∥m. ②.若α∥β,l∥α,m∥β,则l∥m. ③.若l∥m,l∥α,m∥β,则α∥β. 则下列命题中的真命题是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 7．（2017年职教师资和高职班对口考试数学第14题）设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题中的真命题是（ ） A．如果，，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$