综合训练卷（八）-云南省《数学专题训练百套卷》第98卷（原卷版+解析版）

编写说明：云南省职教高考《数学专题训练百套卷》专辑，针对云南省中等职业学校师生参加职教高考需求，结合云南省的学生实际情况，并依据教育部《中等职业学校数学课程标准》的范围与要求编写。这套专辑由100份试卷三个部分组成。第一部分按章节逻辑编写的知识点训练卷共65份 ，第二部分是针对职教高考重点考察的内容，编写的25份专项训练卷，第三个部分是参考近几年全国各省职教高考真题，编写的10份综合训练卷。 本试卷是云南省职教高考《数学专题百套卷》的综合训练卷（八）。 《数学专题训练百套卷》 综合训练（八） 考试时间120分钟 满分100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．在数列中，，，，则（    ） A．10 B．1 C．4 D．5 3．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 4． 有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作多少个三角形（    ） A．28 B．42 C．56 D．112 5．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（   ） A． B． C． D． 9．已知直线：的倾斜角为，则（    ） A． B．0 C． D． 10．已知函数，对任意实数都有成立，若存在时，使得有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．不能确定 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．已知某班有男生25人，女生20人．为了解该班学生的体质健康情况，按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为9的样本进行调查．若样本按比例分配，则抽取的男生人数为 ． 12．已知向量.若三点共线，则 . 13．已知，则 . 14．定义：区间的长度等于.函数的定义域为，值域为.若区间的长度的最小值为，则实数a的值为 . 15．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最小值为 ． 三、解答题（本题共5小题，共40分） 16．在数列中，＝1，＝2+n﹣2（n≥2）． (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn． 17．中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据： 甲班 8 13 28 32 39 乙班 12 25 26 28 31 如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”． (1)请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； (2)从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率． 18．如图，在正三棱柱中，，点为的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 19．已知函数： (1)当时，求函数中的最小值，并求此时的取值； (2)求直线与上述函数的交点的中点坐标. 20．已知双曲线的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：云南省职教高考《数学专题训练百套卷》专辑，针对云南省中等职业学校师生参加职教高考需求，结合云南省的学生实际情况，并依据教育部《中等职业学校数学课程标准》的范围与要求编写。这套专辑由100份试卷三个部分组成。第一部分按章节逻辑编写的知识点训练卷共65份 ，第二部分是针对职教高考重点考察的内容，编写的25份专项训练卷，第三个部分是参考近几年全国各省职教高考真题，编写的10份综合训练卷。 本试卷是云南省职教高考《数学专题百套卷》的综合训练卷（八）。 《数学专题训练百套卷》 综合训练（八） 考试时间120分钟 满分100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两集合，再求两集合的交集. 【详解】解：由，，得到，即， 由，得到， 则， 故选：C． 2．在数列中，，，，则（    ） A．10 B．1 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题中递推公式分析求解. 【详解】因为，，， 所以. 故选：D. 3．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性以及函数值求解. 【详解】函数的定义域为， ，所以函数为偶函数，C,D错误； 又因为， 当时，，； 当时，； 当时，，，故A错误，B满足题意； 故选:B. 4． 有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作多少个三角形（    ） A．28 B．42 C．56 D．112 【答案】C 【分析】因选定三点为顶点的三角形只有一个，故是组合问题，列式求解即得. 【详解】因8个点中，任意三点不共线，且选定三点为顶点的三角形只有一个， 故这样的三角形有个. 故选：C. 5．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可判断大小. 【详解】由题知，， ， ， 所以. 故选：D 6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用空间点线面的位置关系判断各项； 【详解】对于A，若，则或，A错误； 对于B，若，则或，相交或异面，B错误； 对于C，因为，所以又因为，所以，C正确； 对于D，若，则或两平面相交，D错误； 故选：C. 7．“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的判断方法即可求解. 【详解】当两条直线异面时，满足“两条直线没有公共点”，但推不出“两条直线平行”， 又“两条直线平行”可以得出“两条直线没有公共点”， 所以“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的必要不充分条件， 故选：B. 8．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式求解即得. 【详解】. 故选：C 9．已知直线：的倾斜角为，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角为得直线与轴垂直，从而得系数关系. 【详解】由题意直线倾斜角为，则直线轴， 故方程中，的系数为， 即，解得．此时，直线符合题意. 故选：D． 10．已知函数，对任意实数都有成立，若存在时，使得有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】试题分析：由对任意实数都有成立可知函数的对称轴为，则在上函数单调递增，要使得在有解，则 考点：函数的图像，方程的解 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．已知某班有男生25人，女生20人．为了解该班学生的体质健康情况，按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为9的样本进行调查．若样本按比例分配，则抽取的男生人数为 ． 【答案】5 【分析】利用比例分配的分层抽样的性质直接求解． 【详解】解：由比例分配的分层抽样得：男生应该抽取的人数为：． 故答案为：5． 12．已知向量.若三点共线，则 . 【答案】 【分析】求出的坐标，根据可得. 【详解】因为，所以， 又三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为： 13．已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程的解法及正弦函数的性质，利用余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由，得，解得或（舍）， 所以. 故答案为：. 14．定义：区间的长度等于.函数的定义域为，值域为.若区间的长度的最小值为，则实数a的值为 . 【答案】4 【解析】画出函数的图像.根据函数的值域为，结合区间的长度的最小值，求得的值. 【详解】由题意可作出函数的图像，如图所示. 在区间和区间上的取值范围都是. 因为，所以区间的长度最小，故，解得. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查对数型函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 15．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最小值为 ． 【答案】1 【分析】先得出圆心的轨迹圆，再用轨迹圆的圆心到直线的距离减半径即可. 【详解】由题意知，半径为1的圆经过点，所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 到直线的距离为， 所以圆心到直线距离的最小值为. 故答案为：1 三、解答题（本题共5小题，共40分） 16．在数列中，＝1，＝2+n﹣2（n≥2）． (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据定义法证明是等比数列，然后求出数列的通项公式即可得到 的通项公式 （2）根据数列通项的特点先分组，再采用公式法求和即可 【详解】（1）明：因为＝， 数列 是首项为 +1＝2，公比为2的等比数列， 那么，即 ． （2）由（1）知， ＝＝ 17．中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康．某校为了解甲、乙两班学生每周自我熬夜学习的总时长（单位：小时），分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周自我熬夜学习的总时长的样本数据： 甲班 8 13 28 32 39 乙班 12 25 26 28 31 如果学生平均每周自我熬夜学习的总时长超过26小时，则称为“过度熬夜”． (1)请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值； (2)从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率． 【答案】(1)24.4小时 (2) 【分析】（1）根据平均数计算公式直接计算可得； （2）列举出所有可能情况，然后由古典概型概率公式可得. 【详解】（1）甲班样本数据的平均值为， 由此估计甲班学生每周平均熬夜时间24小时； 乙班样本数据的平均值为， 由此估计乙班学生每周平均熬夜时间24.4小时． （2）由题知，甲班“过度熬夜”的有3人，记为，乙班“过度熬夜”的有2人，记为， 从中任取2人，有，共10种可能， 其中都来自甲班的有，共3种可能， 所以所求概率． 18．如图，在正三棱柱中，，点为的中点. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 【答案】（1）见解析；（2） . 【分析】（1）连接交于M，连接DM，通过证明即可得证； （2）转换顶点即可得解. 【详解】（1）连接 ,与相交于M，连接DM，则M是的中点，又D为BC的中点 所以，平面，平面， 所以平面； （2）在正三棱柱中，，点为的中点. 故三棱锥的体积. 19．已知函数： (1)当时，求函数中的最小值，并求此时的取值； (2)求直线与上述函数的交点的中点坐标. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）考查基本不等式，注意到，则，并说明取等条件即可. （2）两函数的交点坐标即将两个函数解析式联立方程组，由于求的是中点坐标，故不需要将两个交点坐标求出，使用韦达定理即可. 【详解】（1）当时，， 当且仅当即时等号成立， 故函数中的最小值为，此时. （2）联立可得， 设函数与直线的两个交点坐标为，， 则线段中点坐标为， 由韦达定理可得，带入中点坐标可得 线段中点坐标为， 故答案为. 20．已知双曲线的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点可构造方程求得，由此可得双曲线方程； （2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果. 【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，； 双曲线过点，； 由得：，双曲线的方程为：； （2）由（1）得：双曲线的焦点坐标为； 若直线过双曲线的左焦点，则， 由得：； 设，，则， ； 由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，； 综上所述：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$