2025年九年级中考数学一轮复习课件：第二十一讲直角三角形

第二十一讲　直角三角形 必备知识·夯根基 【知识要点】 1.直角三角形的性质与判定 (1)性质:①直角三角形的两个锐角__________  ②在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的__________  ③在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的__________  (2)判定:①定义法:有一个角是__________的三角形  ②两个内角__________的三角形 　互余　 　一半　 　一半　 　直角　 　互余　 【对点练习】 1.(1)如图所示,在△ABC中,其中BC⊥AC,∠A=30°,AB=8 m,点D是AB的中点,点E 是AC的中点,则DE的长为 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 (2)如图,直角三角形两条直角边AC,BC边长分别是3和4,则AB上的中线长为( ) A.5 B.2.5 C.2.4 D.3 D B 【知识要点】 2.勾股定理及逆定理 (1)勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c, 那么_____________.  (2)勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足_____________,那么这个 三角形是直角三角形.  　a2+b2=c2　 　a2+b2=c2　 【对点练习】 2.(教材再开发·人教八下P34T5改编)如图所示的一块地,已知∠ADC=90°, AD=12 m,CD=9 m,AB=25 m,BC=20 m,则这块地的面积为　　　平方米.( )  A.96 B.204 C.196 D.304 A 【知识要点】 3.命题、定理 (1)互逆命题:如果两个命题的__________和__________正好相反,我们把这样的两个命 题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的____________.  (2)互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个 定理为__________定理.  【对点练习】 3.(1)将命题“钝角大于它的补角”写成“如果…那么”的形式: ____________________________________________.  (2)“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是________(填“真”或“假”)命题.  　题设　 　结论　 　逆命题　 　互逆　 　如果一个角是钝角,那么这个角大于它的补角　 　假　 考点1　直角三角形的性质 【例1】(2024·陕西中考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是BC 的中点,连接AE,则图中的直角三角形共有 ( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 高频考点·释疑难 C 【跟踪训练】 1.(2023·衢州中考)如图是脊柱侧弯的检测示意图,在体检时为方便测出Cobb 角∠O的大小,需将∠O转化为与它相等的角,则图中与∠O相等的角是( ) A.∠BEA B.∠DEB C.∠ECA D.∠ADO B 2.(2024·兰州中考)如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,EF⊥AB于 点F,若AD=4,则EF=_______.  　2　 考点2　勾股定理及其逆定理 【例2】(2024·南充中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,AD平分 ∠CAB交BC于点D,点E为边AB上一点,则线段DE长度的最小值为 ( ) A. B. C.2 D.3 C 【跟踪训练】 1.满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为 ( ) A.AB=,BC=4,AC=5 B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5 C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D. |cos A-|+(tan B-)2=0 C 2.(2024·甘孜州中考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,折叠△ABC,使点A与 点B重合,折痕DE与AB交于点D,与AC交于点E,则CE的长为_______.  　3　 3.(2023·东营中考)(1)用数学的眼光观察 如图①,在四边形ABCD中,AD=BC,P是对角线BD的中点,M是AB的中点,N是DC的中点. 求证:∠PMN=∠PNM. (2)用数学的思维思考 如图②,延长图①中的线段AD交MN的延长线于点E,延长线段BC交MN的延长线于点F. 求证:∠AEM=∠F. (3)用数学的语言表达 如图③,在△ABC中,AC<AB,点D在AC上,AD=BC,M是AB的中点,N是DC的中点,连接MN并延长, 与BC的延长线交于点G,连接GD.若∠ANM=60°,试判断△CGD的形状,并进行证明. 【解析】(1)∵P是BD的中点,N是DC的中点,M是AB的中点, ∴PN是△BCD的中位线,PM是△ABD的中位线,∴PN=BC,PM=AD, ∵AD=BC,∴PM=PN,∴∠PMN=∠PNM; (2)由(1)知,PN是△BDC的中位线,PM是△ABD的中位线, ∴PN∥BC,PM∥AD, ∴∠PNM=∠F,∠PMN=∠AEM, ∵∠PNM=∠PMN,∴∠AEM=∠F; (3)△CGD是直角三角形,理由如下: 如图,连接BD,取BD的中点P,连接PM,PN, ∵N是CD的中点,M是AB的中点, ∴PN是△BCD的中位线,PM是△ABD的中位线, ∴PN∥BC,PN=BC,PM∥AD,PM=AD, ∵AD=BC,∴PM=PN,∴∠PNM=∠PMN, ∵PM∥AD,∴∠PMN=∠ANM=60°, ∴∠PNM=∠PMN=60°, ∵PN∥BC,∴∠CGN=∠PNM=60°, 又∵∠CNG=∠ANM=60°, ∴△CGN是等边三角形.∴CN=GN, 又∵CN=DN,∴DN=GN, ∴∠NDG=∠NGD=∠CNG=30°, ∴∠CGD=∠CGN+∠NGD=90°, ∴△CGD是直角三角形. 考点3　命题与定理 【例3】(2024·湖南中考)下列命题中,正确的是 ( ) A.两点之间,线段最短 B.菱形的对角线相等 C.正五边形的外角和为720° D.直角三角形是轴对称图形 A 【跟踪训练】 (2024·遵义一模)下列命题是真命题的是( ) A.内错角相等 B.菱形的四条边相等 C.正五边形是中心对称图形 D.单项式5ab2的次数是4 B 1.(2022·贵阳中考)如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个 小正方形拼成的大正方形.若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3, 则中间小正方形的周长是( ) A.4 B.8 C.12 D.16 贵州3年真题 B 2.(2022·黔西南中考)在如图所示的Rt△ABC纸片中,∠ACB=90°,D是斜边AB的中 点,把纸片沿着CD折叠,点B到点E的位置,连接AE.若AE∥DC,∠B=α,则∠EAC等 于( ) A.α B.90°-α C.α D.90°-2α B 3.(2022·遵义中考)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,点M,N分别为 BC,AC上的动点,且AN=CM,AB=.当AM+BN的值最小时,CM的长为__________.  　2-　 $$