高二数学上学期期中押题试卷01（测试范围：人教A版2019选修一，空间向量与立体几何、直线和圆的方程）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

2024-2025学年高二数学上学期期中押题试卷01 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，，，2，，且，则的值为　　 A． B． C．6 D． 2．图中的直线、、的斜率分别为、、，则　　 A． B． C． D． 3．三角形的三个顶点为，，，则的中线的长为　　 A．3 B．5 C．9 D．25 4．若直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，则　　 A． B． C． D．或 5．如图，在四面体中，是的中点，是上靠近点的四等分点，则　　 A． B． C． D． 6．已知直线，，若，则　　 A． B． C． D．1 7．已知直线经过，且在轴上的截距的取值范围为，，，则直线的斜率的取值范围为　　 A．或 B．或 C．或 D． 8．已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为　　 A．5 B． C．10 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．直线不过第二象限，则的可取值为　　 A． B．2 C．3 D．4 10．若直线，，，则　　 A．与两条坐标轴所围成的三角形的面积为4 B．，的交点坐标为 C． D．，之间的距离为 11．已知圆和圆相交于，两点，则下列说法正确的是　　 A． B．直线的方程为 C．线段的长为 D．到直线的距离与到直线的距离之比为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，3，，，1，，，1，，则顶点的坐标为 　　． 13．如图，空间四边形的所有棱长为1，、分别是棱、的中点，则与所成角为 　　． 14．由动点向圆引两条切线，，切点分别为，，，则动点的轨迹方程为 　　． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．三棱柱中，，．设，，． （1）试用，，表示向量； （2）若，，求的长． 16．已知直线． （1）求直线关于直线对称的直线方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程． 17．已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外． （1）求圆的圆心坐标； （2）若点在圆上，求的最大值与最小值． 18．已知等边△的边长为4，，，分别是边，，的中点（如图，现以为折痕把△折起，使点到达点的位置，且（如图． （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点． （1）求证：平面． （2）在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中押题试卷01 考试时间：120分钟 满分：150分 测试范围：空间向量与立体几何、直线和圆的方程 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，，，，2，，且，则的值为　　 A． B． C．6 D． 【分析】利用空间向量平行的坐标关系求解． 【解答】解：，，，，2，，且， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了空间向量的坐标运算，属于基础题． 2．图中的直线、、的斜率分别为、、，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据直线的倾斜角和斜率，结合图象，得出结论． 【解答】解：由图象可得，直线的倾斜角为钝角，直线的斜率， 由于、的倾斜角为锐角，且的倾斜角大于直线的倾斜角，， ， 故选：． 【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，属于基础题． 3．三角形的三个顶点为，，，则的中线的长为　　 A．3 B．5 C．9 D．25 【分析】根据题意求出点的坐标，再利用两点间的距离公式求解即可． 【解答】解：因为，， 所以的中点为， 又因为， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了两点之间的距离公式应用问题，是基础题． 4．若直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，则　　 A． B． C． D．或 【分析】根据条件得到，由此得到或． 【解答】解：直线的一个方向向量， 平面的一个法向量为， ， 或． 故选：． 【点评】本题考查直线与平面的位置关系的判断，考查直线与平面平行的性质与判断等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．如图，在四面体中，是的中点，是上靠近点的四等分点，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合空间向量的线性运算，即可求解． 【解答】解：是的中点，是上靠近点的四等分点， 则． 故选：． 【点评】本题主要考查空间向量的线性运算，属于基础题． 6．已知直线，，若，则　　 A． B． C． D．1 【分析】根据直线垂直的性质，建立关于的方程求出的值． 【解答】解：因为直线，，， 所以，解得． 故选：． 【点评】本题考查了直线垂直的性质，属于基础题． 7．已知直线经过，且在轴上的截距的取值范围为，，，则直线的斜率的取值范围为　　 A．或 B．或 C．或 D． 【分析】先设出符合题意的直线方程，然后结合题意可建立关系斜率的不等式组，可求． 【解答】解：由题意可得，直线的斜率一定存在，可设直线方程为，， 令可得， 由题意得且， 解得或． 故选：． 【点评】本题主要考查了直线方程的点斜式及直线截距的概念，属于基础题． 8．已知圆，直线，则直线被圆截得的弦长的最小值为　　 A．5 B． C．10 D． 【分析】先判定直线过定点，再由弦长公式计算即可． 【解答】解：由， ，即过定点， 由得，半径， 则当时，到的距离最远，此时被圆截得的弦长最小， 最小值为． 故选：． 【点评】本题考查直线过定点的求法，考查弦长的最小值的求法，属中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．直线不过第二象限，则的可取值为　　 A． B．2 C．3 D．4 【分析】根据题意对参数的值分类讨论，建立关于的关系式，解出实数满足的条件，从而得出符合条件的选项． 【解答】解：当即时，直线不过第二象限，所以符合题意； 当即时，直线过第二象限，所以不符合题意， 当时，直线，若直线不过第二象限，所以，解得． 综上所述：，对照各个选项，可知、、三项符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查直线的方程与直线的性质，考查了计算能力、分类讨论的数学思想，属于基础题． 10．若直线，，，则　　 A．与两条坐标轴所围成的三角形的面积为4 B．，的交点坐标为 C． D．，之间的距离为 【分析】根据直线的方程求出截距判断，联立直线方程求出交点可判断，由直线方程得出平行判断，利用平行线间距离公式判断． 【解答】解：由可知在坐标轴上的截距为，， 所以与两条坐标轴所围成的三角形的面积为，故错误； 由得，则，的交点坐标为，故正确； 由，方程可得，，则，之间的距离为，故正确． 故选：． 【点评】本题主要考查直线平行的性质，以及平行线间距离公式，属于基础题． 11．已知圆和圆相交于，两点，则下列说法正确的是　　 A． B．直线的方程为 C．线段的长为 D．到直线的距离与到直线的距离之比为 【分析】利用圆的性质可判定项，利用两圆的公共弦方程公式计算可判定项，利用弦长公式可判定项，利用点到直线的距离公式可判定项． 【解答】解：对于项，因为两个圆相交，所以圆心，所在直线垂直平分两圆的公共弦，故正确； 对于项，因为圆和圆相交于，两点，所以两圆方程相减得到，即，故正确； 对于项，圆化为标准方程是， 圆心到直线的距离为， 所以，故正确； 对于项，因为圆化为标准方程是， 圆心到直线的距离为， 所以到直线的距离与到直线的距离之比为，故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查圆和圆的位置关系以及计算能力，属于中档题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，3，，，1，，，1，，则顶点的坐标为 　，3，　． 【分析】根据空间向量坐标运算求得正确答案． 【解答】解：设为空间坐标原点， 由于四边形是平行四边形， 所以， 所以． 故答案为：，3，． 【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算，属于基础题． 13．如图，空间四边形的所有棱长为1，、分别是棱、的中点，则与所成角为 　　． 【分析】借助等角定理作的平行线，可得等于与所成角，再结合边长，借助余弦定理计算即可得． 【解答】解：取中点，连接、、、， 则且，， 有，故，则， 由，故与所成角等于， 又， 即，即与所成角为． 故答案为：． 【点评】本题考查异面直线所成的角的余弦值，属于中档题． 14．由动点向圆引两条切线，，切点分别为，，，则动点的轨迹方程为 　　． 【分析】根据题意，由圆的切线的性质，求得，设，列出方程，即可求解． 【解答】解：如图所示，因为，可得， 又因为，所以， 设，则，即． 故答案为：． 【点评】本题考查轨迹方程的求法，是中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．三棱柱中，，．设，，． （1）试用，，表示向量； （2）若，，求的长． 【分析】（1）根据向量的数乘与加法运算，结合题意，可得答案； （2）根据向量的数量积运算，可得答案． 【解答】解：（1）由题意得，，由得， 则； （2）由题设条件：，同理可得， 则 ， ． 【点评】本题主要考查了向量的线性运算及向量数量积的性质的应用，属于中档题． 16．已知直线． （1）求直线关于直线对称的直线方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程． 【分析】（1）先找出已知直线上的任意两点，分别求出其关于对称的点的坐标，进而可求直线方程； （2）求出已知圆的圆心关于对称点的坐标，进而可求圆的方程． 【解答】解：（1）联立可得，， 任取直线上的点，关于直线对称的点， 则，解得，，即， 故所求直线的斜率， 所求直线方程为，即； （2）设圆的圆心关于关于直线对称的点为， 则， 解得，即所求圆的圆心为， 故所求圆的方程为． 【点评】本题主要考查了点关于直线对称点的求解，考查了计算能力，属于中档题． 17．已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外． （1）求圆的圆心坐标； （2）若点在圆上，求的最大值与最小值． 【分析】（1）利用圆心在直线上设圆心坐标，利用点在圆上，点在圆外，列方程即可得解； （2）利用点在圆上，的最大值与最小值即为点到圆心的距离加减圆的半径即可得解． 【解答】解：（1）设圆， 由题意得， 得， 即圆的圆心的坐标为； （2）由题意得， 则， 所以的最大值为，最小值为． 【点评】本题考查了圆方程的求法，点到圆上点的距离最值问题，是中档题． 18．已知等边△的边长为4，，，分别是边，，的中点（如图，现以为折痕把△折起，使点到达点的位置，且（如图． （1）证明：； （2）在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用折叠前后的相关位置关系，由线面垂直的判定定理和性质定理推理即得； （2）结合图形特征建系，求出相关点的坐标，将的坐标用参数表示，求出平面的法向量坐标，利用点到平面距离的空间向量公式列出方程，求解即得． 【解答】（1）证明：因为，分别是边，的中点， 所以， 如图，连接交于，连接， 由折叠可知，，，，，平面， 所以平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； （2）解：因为等边△的边长为4，是的中点， 所以，， 又因为，所以， 在△中，可得， 如图， 以为坐标原点，，所在直线为，轴，过作垂直于平面的直线为轴， 建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设， 在平面中，， 设平面的法向量， 则，令，得，， 故可取， 所以，， 则点到平面的距离为，即， 解得或（舍去）， 所以为的中点，所以， 所以满足条件的点存在，且． 【点评】本题考查线面垂直的性质定理的应用及用空间向量的方法求点到平面的距离，属于中档题． 19．如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点． （1）求证：平面． （2）在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先证明平面，建立空间直角坐标系，根据，得到，即可得证； （2）分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量夹角公式即可求解． 【解答】解：（1）证明：平面平面，平面平面， ，平面， 平面， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，0，，，2，，，0，，，0，，，2，，，1，， ， 设平面的法向量为， 则， 令，解得，， ， 又， ，即， 又平面， 平面． （2）假设在线段上存在点，使二面角的大小为， 设，，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，解得，， ， 又平面的一个法向量为， ， 即， 解得或（舍去）， 此时， 在线段上存在点，使二面角的平面角的大小为， 此时． 【点评】本题考查线面平行的判定以及空间向量的应用，属于中档题． 限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$