精品解析：浙江省杭州树兰中学2024—-2025学年上学期第二次月考八年级数学试卷

杭州树兰中学2024年秋季八年级数学第二次独立练习 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面的图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于的不等式的解在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集为　　 A. B. C. D. 4. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（ ） A. 距离学校1200米处 B. 北偏东方向上1200米处 C. 南偏西方向上的1200米处 D. 南偏西方向上的1200米处 6. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 7. 命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③全等三角形对应边相等．其中逆命题为真命题的有几个（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，小手盖住的点的坐标可能是（　　） A. （4，﹣1） B. （﹣1，﹣4） C. （2，3） D. （﹣2，2） 9. 已知一个直角三角形的周长是，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（ ） A. 5 B. 2 C. D. 1 10. 如图，在中，°，°，分别是线段的中点，有下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 用不等式表示“与2的差不足15”就是________． 12. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_____． 13. 如图，在中，平分，则_____________． 14. 如图，线段OB，OC，OA的长度分别是1，2，3，且OC平分∠AOB. 若将A点表示为(3，30°)，B点表示为(1，120°)，则C点可表示为______________. 15. 如图，在四边形中，平分，，°，，，则四边形周长为________． 16. 已知三个非负数a、b、c满足a+2b＝1和c＝5a+4b，则b的取值范围是_____，c的取值范围是_____． 三、解答题（6分+6分+8分+8分+10分+10分+12分+12分，共72分） 17. 解下列一元一次不等式（组）： （1）， （2）． 18. 在中，，利用直尺和圆规作图． （1）作出的角平分线； （2）若，，求出斜边上的高的长度． 19. 若方程组的解满足，求k的取值范围． 20. 如图，△中，，，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 21. 已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． （1）点在轴上． （2）点的纵坐标比横坐标大3． （3）点在过点且与轴平行的直线上． 22. 某学校初二年级党支部组织“品读经典，锤炼党性”活动，需要购买不同类型的书籍给党员老师阅读．已知购买1本类书和2本类书共需82元；购买2本类书和1本类书共需74元． （1）求，两类书的单价； （2）学校准备购买，两类书共34本，且类书的数量不高于类书的数量．购买书籍的花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？ 23. △ ABC中，AB = AC (1)如图 1，如果∠BAD = 30°，AD是BC上的高，AD =AE，则∠EDC = (2)如图 2，如果∠BAD = 40°，AD是BC上高，AD = AE，则∠EDC = (3)思考:通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示: (4)如图 3,如果AD不是BC上的高，AD = AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由 24. 如图1，点C在y轴正半轴上，过点C作轴，以为斜边作等腰直角三角形，使得直角顶点A恰好落在x轴正半轴上．已知，且a，b满足：． （1）求点B坐标． （2）如图2，点D为的中点，连，过C作且，连接交于点N．求的值． （3）如图3，若D点为等腰直角三角形外部一点，，连接交y轴于点E，平分交于F．试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭州树兰中学2024年秋季八年级数学第二次独立练习 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面的图形是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对常见的安全标记图形进行判断． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，只有A选项能找到一条直线使图形沿直线翻折后，能够完全重合，是轴对称图形，其余B、C、D三选项均不能找到这样一条直线，不是轴对称图形． 故选A． 2. 下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形三边之间的关系，逐个判断即可． 【详解】解：A、∵，∴能搭成三角形，不符合题意； B、∵，∴能搭成三角形，不符合题意； C、∵，∴能搭成三角形，不符合题意； D、∵，∴不能搭成三角形，符合题意； 故选：D． 3. 已知关于的不等式的解在数轴上表示如图所示，则这个不等式的解集为　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，解题关键是理解并掌握在数轴上表示不等式的解集的方法．在数轴上表示不等式的解集时，“，”要用实心圆点表示；“，”要用空心圆点表示；“，”向右画；“，”向左画．据此可得答案． 【详解】解：由数轴可得不等式的解集为：． 故选：B． 4. 如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出． 【详解】根据定义可得A选项是作BC边上的高，符合题意， B选项作的不是三角形ABC的高，不符合题意， C选项是作AB边上的高，不符合题意， D选项是作AC边上的高，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形高线的作法，熟练掌握定义是解题关键． 5. 如图，小明家相对于学校的位置，下列描述最准确的是（ ） A. 距离学校1200米处 B. 北偏东方向上的1200米处 C. 南偏西方向上的1200米处 D. 南偏西方向上的1200米处 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方向角，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：用点表示小明家，点表示学校，射线表示正北方向，过的直线表示南北方向， ， ∵， ∴， ∴小明家相对于学校的位置为南偏西方向上的1200米处， 故选：C． 6. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形外角的性质，首先求出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴． 故选：C． 7. 命题：①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③全等三角形的对应边相等．其中逆命题为真命题的有几个（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】解：①对顶角相等的逆命题为：相等的角是对顶角，为假命题， ②两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，为真命题， ③全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形是全等三角形，为真命题． 故选C． 点睛：本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 8. 如图，小手盖住的点的坐标可能是（　　） A. （4，﹣1） B. （﹣1，﹣4） C. （2，3） D. （﹣2，2） 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出小手盖住的点在第二象限，再根据各象限内点的坐标特征解答． 【详解】解：由图可知，小手盖住的点在第二象限， （4，﹣1），（﹣1，﹣4），（2，3），（﹣2，2）中只有（﹣2，2）在第二象限． 故选D． 【点睛】此题重点考查学生对平面直角坐标系的象限的理解，掌握平面直角坐标系每个象限的特点是解题的关键. 9. 已知一个直角三角形的周长是，斜边上的中线长为2，则这个三角形的面积为（ ） A. 5 B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可求得斜边的长，再根据直角三角形的周长和勾股定理，可求得两直角边的长或长的乘积，由此可求出这个三角形的面积． 【详解】解：设两直角边分别为a，b，斜边为c， 根据三角形的性质知：c=4， ∴， 可得：ab=4． 故三角形的面积=. 故选B. 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，在解题过程中，应了解直角三角形的一些特殊性质，在进行求解的时候使问题变得简单． 10. 如图，在中，°，°，分别是线段的中点，有下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一定理可证，从而可证、，根据点是的中点可证，可证结论正确； 根据有两个角相等的三角形相似可证、且它们的相似比都是，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可证结论正确； 根据点是的中点，可证，根据是等边三角形，可证，再根据直角三角形边与角的关系可证结论正确； 根据中点的定义可证，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可证，从而可证结论正确． 【详解】解：，，为边上的中点， ， 是等边三角形， ， 又点是的中点， 平分， ，，， ，， 点是的中点， ， ， 是等边三角形， 故正确； 点、分别是、中点， ， ， ， ， 在和中， ，， 且，， ， ， ， 故正确； 点是的中点， ， 又是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形，又点是的中点， ，，， ， ， ， 故正确； 点、分别是、的中点， ， 在中， ， ， 又， 是的垂直平分线， ， 又， ， ， 故正确． 故应选D 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数．解决本题的关键是把这些关于三角形的性质和判定综合运用． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 用不等式表示“与2的差不足15”就是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列不等式，根据题意正确列出不等式即可． 【详解】解：用不等式表示“与2的差不足15”就是， 故答案为：． 12. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_____． 【答案】两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”． 所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．” 故答案为“两直线平行，同位角相等”． 【点睛】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键． 13. 如图，在中，平分，则_____________． 【答案】36 【解析】 【分析】设的度数为x，根据等腰三角形的性质得到由三角形外角性质得到，再由角平分线定义得出，再根据三角形内角和为，解出x即可． 【详解】解： 设的度数为x， ， 平分， ， ， 解得：， ． 故答案为：36． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和三角形外角性质，解题的关键是能根据位置关系将各角的的大小表示出来． 14. 如图，线段OB，OC，OA的长度分别是1，2，3，且OC平分∠AOB. 若将A点表示为(3，30°)，B点表示为(1，120°)，则C点可表示为______________. 【答案】(2，75°) 【解析】 【详解】∵线段OB、OC、OA的长度分别是1、2、3，且OC平分∠AOB．若将A点表示为（3，30°），B点表示为（1，120°）， ∴∠AOB=90°，∠AOC=45°， 则C点可表示为（2，75°）． 故答案为（2，75°）． 15. 如图，在四边形中，平分，，°，，，则四边形的周长为________． 【答案】22 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、矩形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线、矩形、勾股定理、等腰三角形的性质，从而完成求解． 过点A做交于点E，根据角平分线和平行线性质，推导得；通过判定四边形为矩形，得，；再根据勾股定理计算，得，从而得到四边形的周长． 【详解】解：如图，过点A做交于点E ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 又∵，即 ∴， ∴四边形的周长， 故答案为：22． 16. 已知三个非负数a、b、c满足a+2b＝1和c＝5a+4b，则b的取值范围是_____，c的取值范围是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据a＋2b＝1，可得a＝1−2b，再根据a、b是非负数，求出b的取值范围即可；根据已知条件用含b的代数式表示c，再根据b的取值范围，求出c的取值范围即可． 【详解】解：∵a＋2b＝1， ∴a＝1−2b， ∵a、b是非负数， ∴a≥0，b≥0， ∴1−2b≥0， ∴0≤b≤； ∵a＋2b＝1，c＝5a＋4b， ∴c＝5－6b， ∵0≤b≤， ∴－3≤－6b≤0， ∴2≤5－6b≤5，即2≤c≤5． 故答案为，． 【点睛】此题主要考查了不等式的性质和应用，分别用含b的代数式表示a，c是解题关键． 三、解答题（6分+6分+8分+8分+10分+10分+12分+12分，共72分） 17. 解下列一元一次不等式（组）： （1）， （2）． 【答案】（1） （2）该不等式组无解 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． （1）按照去分母，移项，合并同类型，化系数为1的步骤进行解答即可； （2）分别求解两个不等式，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，即可得出不等式组解集． 【小问1详解】 解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数1，得：． 【小问2详解】 解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组无解． 18. 在中，，利用直尺和圆规作图． （1）作出的角平分线； （2）若，，求出斜边上的高的长度． 【答案】（1）画图见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）利用尺规作∠CAB的角平分线即可． （2）作CH⊥AB于H，利用面积法求解即可． 【详解】解：（1）如图，线段即为所求； （2）作于， 在中，∵，，， ∴， ∵， ∴. 【点睛】本题考查作图-复杂作图，角平分线的定义、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 19. 若方程组的解满足，求k的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】观察方程的特征，x，y的系数之和相等，则可以把两个方程相加后，用含k的式子表示出，再代入到求解k的取值范围即可． 【详解】解： ①+②得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 【点睛】本题主要考查了整体思想及一元一次不等式的解法，观察方程的特征，发现x，y的系数之和相等是解题的关键． 20. 如图，△中，，，为延长线上一点，点在上，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出图形中隐含的相等或全等关系是解题的关键． （1）运用直接证明，即可利用全等三角形的性质解决问题． （2）证明；求出，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：在与中， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， ； ，， ， ． 21. 已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． （1）点在轴上． （2）点的纵坐标比横坐标大3． （3）点在过点且与轴平行的直线上． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征以及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标为0列方程求出的值，再求解即可； （2）根据纵坐标与横坐标的关系列方程求出的值，再求解即可； （3）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同列方程求出的值，再求解即可． 【小问1详解】 解：点轴上， ， 解得， ， ， 所以，点的坐标为； 【小问2详解】 解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得， ， ， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：点在过点且与轴平行的直线上， ， 解得， ， 点的坐标为． 22. 某学校初二年级党支部组织“品读经典，锤炼党性”活动，需要购买不同类型的书籍给党员老师阅读．已知购买1本类书和2本类书共需82元；购买2本类书和1本类书共需74元． （1）求，两类书的单价； （2）学校准备购买，两类书共34本，且类书的数量不高于类书的数量．购买书籍的花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？ 【答案】（1）类书的单价为22元，类书的单价为30元 （2）学校共有3种购买方案： 方案1：购买类书15本，类书19本； 方案2：购买类书16本，类书18本； 方案3：购买类书17本，类书17本． 【解析】 【分析】(1)设A类书的单价为x元，B类书的单价为y元，根据“购买1本A类书和2本B类书共需82元；购买2本A类书和1本B类书共需74元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出A，B两类书的单价； (2)设购买A类书m本，则购买B类书(34-m)本，根据“购买A类书的数量不高于B类书的数量，购买书籍的花费不得高于900元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：设类书的单价为元，类书的单价为元， 依题意得：，解得：． 答：类书的单价为22元，类书的单价为30元． 【小问2详解】 解：设购买类书本，则购买类书本， 依题意得：，解得：． 又∵为正整数， ∴可以15，16，17， ∴该学校共有3种购买方案，分别如下所示： 方案1：购买类书15本，类书19本； 方案2：购买类书16本，类书18本； 方案3：购买类书17本，类书17本． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 23. 在△ ABC中，AB = AC (1)如图 1，如果∠BAD = 30°，AD是BC上的高，AD =AE，则∠EDC = (2)如图 2，如果∠BAD = 40°，AD是BC上的高，AD = AE，则∠EDC = (3)思考:通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系?请用式子表示: (4)如图 3,如果AD不是BC上的高，AD = AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由 【答案】（1）15°；（2）20°；（3）∠BAD=2∠EDC；（4）成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，可知∠DAE=30°，再根据AD=AE，可求∠ADE的度数，从而可知答案； （2）同理易知答案； （3）通过（1）（2）题的结论可知∠BAD=2∠EDC， （4）由于AD=AE，所以∠ADE=∠AED，根据已知容易证得∠BAD=2∠EDC. 【详解】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高， ∴∠BAD=∠CAD=30° ∵AD=AE， ∴ ∴∠DEC=90°-∠AD =15°； （2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高， ∴∠BAD=∠CAD=40° ∵AD=AE， ∴ ∴∠DEC=90°-∠ADE=20°； （3）根据前两问可知：∠BAD=2∠EDC （4）仍成立，理由如下： ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED ∵∠BAD+∠B=∠ADC，∠ADC=∠ADE+∠EDC ∴∠ADC=∠AED+∠EDC ∵∠AED=∠EDC+∠C ∴∠ADC=（∠EDC+∠C）+∠EDC=2∠EDC+∠C 又∵AB=AC ∴∠B=∠C ∴∠BAD=2∠EDC 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一，熟知等腰三角形顶角平分线，底边上的高和中线三线合一是解题的关键. 24. 如图1，点C在y轴正半轴上，过点C作轴，以为斜边作等腰直角三角形，使得直角顶点A恰好落在x轴正半轴上．已知，且a，b满足：． （1）求点B坐标． （2）如图2，点D为的中点，连，过C作且，连接交于点N．求的值． （3）如图3，若D点为等腰直角三角形外部一点，，连接交y轴于点E，平分交于F．试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质求出即可求解； （2）过E作于H．根据证明得，，根据证明得，进而可求出； （3）设，，由可得，从而，由三角形外角的性质得，进而可证结论成立． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴． ∴ 【小问2详解】 如图，过E作于H． 由得 又，故 在与中， 则 则，，故H是AC的中点． 在与中， 则 则，故 因此：． 【小问3详解】 ．理由如下： 设， 因为，所以 又，所以 由得： 整理得： ∵ 所以． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，非负数的性质，全等三角形的性质，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$