精品解析：2024—2025学年九年级上学期人教版数学期中强化训练

2024—2025学年人教版数学九年级上册期中强化训练 一、单选题 1. 有以下两个方程：甲：，乙：，其中（ ） A. 甲是一元二次方程 B. 乙是一元二次方程 C. 甲和乙均是一元二次方程 D. 甲和乙均不是一元二次方程 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可作答． 【详解】甲：，含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，故是一元二次方程， 乙：，含有2个未知数，故不是一元二次方程， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握相关的定义，是解答本题的关键．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：D． 3. 甲、乙、丙三人解方程的过程如图所示，则下列判断正确的是（ ） 甲 乙 丙 两边同时除以得，方程的解为. 整理得. ，，， . 方程有两个不相等的实数根， 即， 移项得， 因式分解得， 于是得，或， ， A. 只有甲的解法正确 B. 只有乙的解法正确 C. 只有丙的解法正确 D. 三人的解法均不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法解题即可． 【详解】解：甲的解法错误不能同时除以，会出现漏解忽略的情况； 乙的解法错误，没有将一元二次函数整理成一般式，故的值错误，； 丙利用因式分解法，解法正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． 4. 用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（　　） A. （x﹣1）2＝4 B. （x+1）2＝4 C. （x+2）2＝1 D. （x﹣2）2＝1 【答案】B 【解析】 【分析】先将常数项移到方程右边，再将两边都加上一次项系数一半的平方，据此可得答案． 【详解】解：∵x2+2x-3=0， ∴x2+2x=3， 则x2+2x+1=3+1，即（x+1）2=4， 故选：B． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点O按逆时针方向旋转，再向下平移4个单位长度，得到线段，则点A的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转及平移的性质画出图形，然后问题可求解． 【详解】A点绕O点逆时针旋转，得到点， 向下平移4个单位，得到， 故选：D． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、坐标与图形及平移的性质，熟练掌握旋转的性质、坐标与图形及平移的性质是解题的关键． 6. 三角形的两边分别为4和3，第三边是方程的一个实数根，则该三角形的形状是（　　） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】先求出方程的解，得到第三边的边长，再根据勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】解：， ， ，， ，， 边长不能为负数， 第三边只能为5， ， 该三角形的形状是直角三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理的应用，能根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状是解题的关键． 7. 已知，下列结论正确的个数为（　　） ①若是完全平方式，则； ②的最小值是2； ③若n是的一个根，则； ④若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式．①利用完全平方式求解；②利用整式的加减运算和配方法求解；③根据一元二次方程的解，以及完全平方公式求解；④利用完全平方公式求解． 【详解】解：①∵是完全平方式， ∴， ∴，故结论正确； ②∵，而， ∴， ∴最小值是2，故结论正确； ③∵ 把代入，得： ， 即， 此时， ∴，即， ∴， ∴故结论错误； ④∵， ∴， ∴，故结论错误； 故选B． 8. 已知非负数，满足且，设的最大值为，最小值为，则的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知等式可得，，再根据为非负数求出的取值范围，然后根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：，， ，， 为非负数， ， 解得，符合为非负数， ， 在内，随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为， 则， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题关键． 9. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】将绕点逆时针旋转至， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度． 10. 抛物线与轴的公共点是，，直线经过点，直线与抛物线另一个交点的横坐标是4，它们的图象如图所示，有以下结论： ①拋物线对称轴是； ②； ③时，； ④若，则． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性即可求出抛物线的对称轴，从而判断①；将代入抛物线的解析式中，即可判断②；结合图象即可判断③；利用待定系数法求出二次函数解析式，从而求出一次函数和二次函数图象的交点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式即可判断④． 【详解】解：∵抛物线与轴的公共点是，， ∴拋物线对称轴是，故①正确； 将代入抛物线的解析式中，得，故②正确； 由图象可知：当时，，故③正确； ∵ ∴抛物线的解析式为 将，代入解析式中，得 解得： ∴抛物线的解析式为 当x=4时，y= 将和（4，）代入中，得 解得：，故④正确． 综上：正确的个数为4 故选D． 【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质和求一次函数的解析式，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式和二次函数图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键． 二、填空题 11. 如图，是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为，点A和点B均在直线上． ①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为． 其中正确的是______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系，利用数形结合，一一判断即可； 【详解】解：①由抛物线对称轴为直线，从而，则，故①正确； ②抛物线开口向下，与y轴相交与正半轴，则，，而，因而，故②错误； ③由抛物线对称性，与x轴的一个交点，则另一个交点坐标为，故③错误； ④方程从函数角度可以看作是与直线求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为，则抛物线与直线有两个交点，故方程有两个不相等的实数根，故④正确； ⑤由图象可知，当时，；当时，，所以，即，故⑤错误； ⑥由图象可知，当或时，一次函数图象在二次函数图象上方，所以，即，所以的解集为或，故⑥错误； 故答案为：①④． 【点睛】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解题的关键是利用数形结合方法解答． 12. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设主干长出个支干，由题意列出方程即可，根据题意的等量关系建立方程是解题的关键． 【详解】设主干长出个支干，小分支的数量为（个）， 根据题意可列出方程：， 故答案为：． 13. 如图，已知抛物线与直线两个交点坐标分别为、，则关于x的不等式的解集是 ____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式，根据图形抛物线与直线的两个交点情况可知，不等式的解集为抛物线的图象不在直线图象的上方对应的自变量的取值范围． 【详解】解：抛物线与直线的两个交点坐标分别为、， 由图象可知，关于的不等式的解集是， 故答案为：． 14. 设x1、x2是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【详解】解：由题意得，x1+x2=3，x1x2=-2， 所以x12+3x1x2+x22 =(x1+x2)2+x1x2 =32+(-2) =9-2 =7 故答案为7． 15. 已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长为______，宽为______时，旋转形成的圆柱的侧面积最大． 【答案】 ①. 9 ②. 9 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．设矩形的长是a，宽各为b，由矩形的周长为36，得．因为旋转形成的圆柱侧面积是：，所以要求侧面积最大，即求的最大值，由此能求出结果． 【详解】解：设矩形的长为a，宽为b， ∵矩形的周长为36， ∴， 解得：， ∵旋转形成的圆柱侧面积是：， ∴要求侧面积最大，即求的最大值， ， ∴当时有最大值81， 此时． 答：矩形的长，宽都为时，旋转形成的圆柱侧面积最大． 故答案为：9；9． 16. 如图，和是等腰直角三角形，，的边AF，AG交边BC于点D，E．若，，则AD的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转全等和勾股定理解三角形，将顺时针旋转到位置，得到直角三角形，可求出，再证明，得到，进而求出，过点A作，由等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再在直角三角形求出． 【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转到位置，连接 ∵和是等腰直角三角形，， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 过点A作， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题涉及了旋转的性质、半角模型、构造全等三角形转换线段关系和勾股定理，解题关键是通过旋转构造全等三角形得到，由求出． 三、解答题 17. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，求平均每次降价的百分率． 【答案】20% 【解析】 【分析】设这种商品平均每次降价的百分率为x，然后根据增长率问题可列方程进行求解即可． 【详解】解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得， ， 解得＝0.2＝20%，＝1.8（不合题意，舍去）； 答：平均每次降价的百分率是20%． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 18. 如果关于x的一元二次方程(m2﹣4)x2﹣2(m﹣2)x+1＝0有实数根，求m的取值范围． 【答案】m＜2且m≠-2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m2-4≠0且△=4（m-2）2-4（m2-4）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得m2-4≠0且△=4（m-2）2-4（m2-4）≥0， 解得m＜2且m≠-2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，该市图书馆每月接纳能力不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 【答案】（1） （2）能接纳，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第三个月进馆达到288次，列方程求解； （2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可． 【小问1详解】 解：设进馆人次的月平均增长率为x， 根据题意，得： 解得，（舍去） 答：进馆人次的月平均增长率为． 【小问2详解】 解：第四个月进馆人数为（人次） 由于 答：市图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，，它的对称轴为直线． （1）若该抛物线经过点，求的值； （2）当时， 若，则 0；（填“”“”或“”） 若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）；或． 【解析】 【分析】（）把点代入解析式求得，然后利用对称轴公式即可求得的值； （）根据图象上点的坐标特征即可求解； 由，得，又，则，再根据抛物线对称轴为直线，且经过原点，得与轴的另一个交点为，从而有或，解出不等式即可； 本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线图象开口向下， ∵时，， ∴抛物线过原点， ，， ∴对称轴， ∴ 故答案为：； ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，且经过原点， ∴与轴的另一个交点为， ∵， ∴或， 解得：或． 21. 如图，已知抛物线与直线：交于两点，顶点为D． （1）请根据图象直接写出时x的取值范围； （2）将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得抛物线的解析式． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式之间的关系，二次函数图象的平移问题，待定系数法求二次函数解析式等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （2）先根据旋转方式求出点C的坐标，再把原抛物线解析式化为顶点式，进而设出平移的后的解析式，再把点C的坐标代入平移后的解析式求解即可． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，当二次函数图象在一次函数图象上方时，自变量的取值范围为或， ∴当时，x的取值范围或； 【小问2详解】 解：设将绕点A顺时针旋转后的对应图形为， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴点C坐标为， ∵原抛物线解析式为， ∴可设平移后的抛物线解析式为， 把点代入中得：， ∴， ∴平移后的抛物线解析式为 22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点，与直线交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，函数有最小值，求m的值； （3）过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求m的取值范围； ②当时，直接写出线段PQ与二次函数的图象有一个交点时m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的解析式为； （2）由抛物线的对称轴为直线，根据当时，函数有最小值，可得时，，即可解得的值为； （3）①，根据的长度随的增大而减小，可得，即可解得解得； ②由，得，（Ⅰ）当时，在二次函数的图象的最高点，与抛物线只有1交点，（Ⅱ）当时，、都在直线的右侧，与抛物线只有1交点；（Ⅲ）直线关于对称轴直线的对称直线为，当时，与抛物线只有1交点． 【小问1详解】 解：将，点代入得： ， 解得， ， 答：二次函数的解析式为； 【小问2详解】 抛物线的对称轴为直线， 在时，随的增大而减小， 而当时，函数有最小值， 时，， 即， 解得或（不合题意，舍去）， 的值为； 【小问3详解】 ①， 当时，，的长度随的增大而减小， 当时，，的长度随增大而增大， 满足题意， 解得； ②， ， 解得， （Ⅰ）当时，在二次函数的图象的最高点，与抛物线只有1交点，如图： （Ⅱ）当时，如图： 此时、都在直线的右侧，与抛物线只有1交点； （Ⅲ）直线关于对称轴直线的对称直线为， 当时，如图： 此时与抛物线只有1交点； 综上所述，当或时，与抛物线只有一个交点． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，二次函数图象上点坐标特征，抛物线与线段的交点等，解题的关键是数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年人教版数学九年级上册期中强化训练 一、单选题 1. 有以下两个方程：甲：，乙：，其中（ ） A. 甲一元二次方程 B. 乙是一元二次方程 C. 甲和乙均是一元二次方程 D. 甲和乙均不是一元二次方程 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙三人解方程的过程如图所示，则下列判断正确的是（ ） 甲 乙 丙 两边同时除以得，方程的解为. 整理得. ，，， . 方程有两个不相等的实数根， 即， 移项得， 因式分解得， 于是得，或， ， A. 只有甲解法正确 B. 只有乙的解法正确 C. 只有丙解法正确 D. 三人的解法均不对 4. 用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0，配方后得到的方程是（　　） A. （x﹣1）2＝4 B. （x+1）2＝4 C. （x+2）2＝1 D. （x﹣2）2＝1 5. 如图，在平面直角坐标系中，将线段先绕原点O按逆时针方向旋转，再向下平移4个单位长度，得到线段，则点A的对应点的坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 三角形的两边分别为4和3，第三边是方程的一个实数根，则该三角形的形状是（　　） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 无法确定 7. 已知，下列结论正确的个数为（　　） ①若是完全平方式，则； ②的最小值是2； ③若n是的一个根，则； ④若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知非负数，满足且，设的最大值为，最小值为，则的值是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ） A B. C. D. 10. 抛物线与轴的公共点是，，直线经过点，直线与抛物线另一个交点的横坐标是4，它们的图象如图所示，有以下结论： ①拋物线对称轴是； ②； ③时，； ④若，则． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题 11. 如图，是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为，点A和点B均在直线上． ①；②；③抛物线与x轴的另一个交点是；④方程有两个不相等的实数根；⑤；⑥不等式的解集为． 其中正确的是______． 12. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，若设主干长出个支干，则可列方程为_____． 13. 如图，已知抛物线与直线的两个交点坐标分别为、，则关于x的不等式的解集是 ____________． 14. 设x1、x2是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 15. 已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长为______，宽为______时，旋转形成的圆柱的侧面积最大． 16. 如图，和是等腰直角三角形，，的边AF，AG交边BC于点D，E．若，，则AD的值是______． 三、解答题 17. 某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，求平均每次降价的百分率． 18. 如果关于x的一元二次方程(m2﹣4)x2﹣2(m﹣2)x+1＝0有实数根，求m的取值范围． 19. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆288人次，若进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，该市图书馆每月接纳能力不能超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，该市图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，，它的对称轴为直线． （1）若该抛物线经过点，求值； （2）当时， 若，则 0；（填“”“”或“”） 若对于，都有，求的取值范围． 21. 如图，已知抛物线与直线：交于两点，顶点为D． （1）请根据图象直接写出时x的取值范围； （2）将绕点A顺时针旋转后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得抛物线的解析式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点，与直线交于点． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，函数有最小值，求m的值； （3）过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小． ①求m的取值范围； ②当时，直接写出线段PQ与二次函数的图象有一个交点时m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$