第01讲 二次函数（2大知识点+3大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（湘教版）

第01讲 二次函数 课程标准 学习目标 二次函数的概念 1.经历探索表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。 2 能够表示简单变量之间的二次函数关系。 知识点01 二次函数的概念和一般形式 定义:如果函数的表达式是自变量的二次多项式,那么,这样的函数称为二次函数. 一般形式:(a,b,c是常数a≠0),其中x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项 注意:(1)在上式中,a≠0,b,c均可以为0; (2)二次函数的自变量的取值范围是所有实数,但在实际问题中,自变量的取值范围会有一定的限制,需要根据实际情况进行判断 【即学即练1】 下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数与一次函数定义，正确把握相关定义是解题关键．直接利用二次函数以及一次函数的定义分别判断得出答案． 【详解】解：A、，是一次函数，不符合题意； B、，当时，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，不是二次函数，不符合题意； 故选：C． 【即学即练2】 二次函数的一次项是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，在二次函数（其中a、b、c是常数，且）中，叫做二次项，叫做一次项，c叫做常数项，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的一次项是， 故答案为：． 规律总结： 判断函数是不是二次函数,整理函数关系式后要满足条件: (1)关系式是整式 (2)含有二次项; (3)二次项系数是字母时注明不为 0. 知识点02 列二次函数表达式 实际问题中建立二次函数表达式的步骤: (1)理解题意,分清实际问题中的已知量(常量)和未知量(变量); (2)找出题目中的等量关系; (3)根据等量关系写出用一个变量表示另一个变量的函数表达式.. 【即学即练1】 深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 【即学即练2】 一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据两次降价后的价格等于原价乘以(每次降价的百分率)，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：依题意，每次降价的百分率都是x，两次降价后的价格y(元)与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故答案为：． 题型01 二次函数的识别 【典例1】下列关于的函数一定为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数． 【详解】A、，是正比例函数，故该选项不正确，不符合题意；     B、 ，是二次函数，故该选项正确，符合题意；      C、，当时，是二次函数，故该选项不正确，不符合题意；     D、，未知数的最高次数不为2，不是二次函数，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先把关系式整理成一般形式，再根据二次函数的定义判定即可解答． 本题考查了二次函数的定义，若两个变量x、y之间的关系可以表示成（a、b、c是常数，）的形式，则称y是x的二次函数．解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义． 【详解】解：①，是二次函数； ②，没有说，不是二次函数； ③，是二次函数； ④，不是二次函数； 故选：B． 【变式2】在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系是二次函数关系的有（   ） ①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x的函数关系； ②在弹性范围内，弹簧测力计上弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的函数关系； ③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x的函数关系； ④若一辆汽车以的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程与行驶时间的函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断． 【详解】解：①依题意得：，属于二次函数关系，故符合题意； ②依题意得：，属于一次函数关系，故不符合题意； ③依题意得：，属于二次函数关系，故符合题意； ④依题意得：，属于一次函数关系，故不符合题意； 综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有2个． 故选：B． 【变式3】线段，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（   ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 【答案】C 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量间的关系，二次函数的定义，一次函数的定义等知识点，熟练掌握二次函数的定义和一次函数的定义是解题的关键． 根据题意可得出与，与的函数关系式，然后根据二次函数的定义和一次函数的定义即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， ， ，属于二次函数关系， ，属于一次函数关系， 故选：． 题型02 列二次函数关系式 【典例1】某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金． 【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：，三月份新产品的研发资金为：， 今年一季度新产品的研发资金， 故选：C． 【变式1】用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式） 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据长方形的宽和周长表示出长方形的长为，再根据长方形的面积公式可得答案，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】解：由题意得：长方形的长为， ∴， 故答案为：． 【变式2】边长为的正方形，如果边长增加，则面积与之间的函数关系式是 （写成一般式）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数关系式的知识，解决本题的关键是找到相应的等量关系，易错点是得到新正方形的边长．根据正方形的面积边长边长即可解答． 【详解】解：新正方形的边长是， 则面积． 所以面积与之间的函数关系式为， 故答案为：． 题型03 根据二次函数的定义求参数 【典例1】关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可得． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：C． 【变式1】当函数是二次函数时，的取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的定义：形如、、是常数的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义解答即可； 【详解】解：由题意得：，即， 故答案为：． 【变式2】关于的函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的概念：关于自变量的二次三项式，一般形式为，a、b、c是常数；根据概念得，，求解即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：； 故答案为：． 【变式3】已知是关于的二次函数，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（，，为常数，）的函数叫做二次函数，据此求解即可；根据x的指数，且系数求解即可. 【详解】解：依题意， 解得： 又 ∴ 一、单选题 1．下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的定义，从而完成求解．根据二次函数的定义，对各个选项逐个分析，即可得到答案． 【详解】解：不是二次函数，故选项A不符合题意； ，不是二次函数，故选项B不符合题意； 是二次函数，故选项C符合题意； 是一次函数，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的识别，能够整理为形式的函数为二次函数，由此逐项判断即可． 【详解】解：A、是二次函数，不合题意； B、，是二次函数，不合题意； C、，是二次函数，不合题意； D、，不是二次函数，符合题意； 故选D． 3．下列表达式中，为自变量，是的二次函数的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握形如的函数叫二次函数是解题的关键．利用二次函数的定义逐一判断解题即可． 【详解】解：A．中，当时，不是二次函数，不符合题意； B．，符合二次函数的定义，是二次函数，符合题意； C．，未知数的最高次数是3，不是二次函数，不符合题意； D．，分母含有未知数，不是二次函数，不符合题意； 故选：B． 4．若关于x的函数是二次函数，则m的值为（    ） A．3 B．0 C．不等于0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如的函数是二次函数，熟记定义是解此题的关键．根据定义解答即可． 【详解】解：关于x的函数是二次函数， ∴， ∴， 故选：A． 5．下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，正比例函数的定义，反比例函数的定义，根据题意正确列出函数解析式并进行判断是解题的关键． ①根据矩形的面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ②根据圆柱的侧面积公式计算，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可； ③根据利润(售价进价)销售量列出关系式，然后根据函数解析式判断是否是二次函数即可． 【详解】解：① 是的反比例函数，故题不符合题意； 是的正比例函数，故②不符合题意； ③，是的二次函数，故③符合题意； 故选：C． 6．如图，、是反比例函数在第一象限图象上的两点，动点从坐标原点出发，沿图中箭头所指方向匀速运动，即点先在线段上运动，然后在双曲线上由到运动，最后在线段上运动，最终回到点过点作轴，垂足为点，设的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】当点在上运动时，此时随的增大而增大，当点在上运动时，不变，当点在上运动时，随的增大而减小，根据以上判断做出选择即可． 【详解】解：当点在上运动时，不变， 所以A、C选项错误； 当点在上运动时，此时随的增大而增大， 设与轴的夹角是，点运动速度为，则，是二次函数， 同理，当在上运动时，也是的二次函数，故B错误，D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的解析式，从而确定其图象． 7．下面两个问题中都有两个变量： ①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x； ②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x． 其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（　　） A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数 C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数 【答案】B 【分析】先根据矩形的周长和面积公式列出函数关系式，然后根据反比例函数和二次函数的定义即可解答． 【详解】解：①∵矩形的周长为20，一边长x ∴另一边长为 ∴为二次函数； ②∵矩形的面积为20，矩形的长x ∴是反比例函数． 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数、二次函数解析式的判定等知识点，正确列出函数解析式是解答本题的关键． 8．对于关于x的函数，下列说法错误的是(  ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 【答案】C 【分析】根据正比例函数、一次函数、二次函数的定义判断即可． 【详解】、当时，该函数为正比例函数，故不符合题意； 、当时，，即，该函数为一次函数，故不符合题意； 、当时，该函数为正比例函数，故符合题意； 、当该函数为二次函数时，，故不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数、二次函数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 9．匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空水瓶的形状可知空水瓶的横截面先增大后减小，横截面为圆形，所以水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线，整体为水面高度增长速度先快、后慢、再快，对应函数图像先陡、后缓、再陡． 【详解】解：下面的容器较粗，中间最粗，上面最细， ∵容器横截面为圆形，横截面， ∴水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线， ∴对应函数图像先陡、后缓、再陡， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图像，解决本题的关键是根据底面积在变化从而判断水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线． 10．我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据定义逐项分析判断即可． 【详解】解：， 是完美方根数对； 故①正确； 不是完美方根数对； 故②不正确； 若是完美方根数对，则 即 解得或 是正整数 则 故③正确； 若是完美方根数对，则 , 即 故④正确 故选C 【点睛】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键． 二、填空题 11．当 时，是二次函数． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义可得，，再求解即可． 【详解】解：由题意，得，， 解得， 即当时，是二次函数， 故答案为：． 12．若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题主要考查二次函数的性质以及一次函数的图像，由二次函数的定义得出即可得到答案． 【详解】解：由于是关于的二次函数， 且， ， 故一次函数的解析式为， 故一次函数过一、二、三象限， 故答案为：四． 13．如果函数是二次函数，那么m的值是 ． 【答案】3 【分析】直接利用二次函数的定义计算得出答案； 【详解】解：∵ 函数 是二次函数， 且， 解得： ， 故答案为：3 ； 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键 14．点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 【答案】3 【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：点在函数的图象上， ， ， 则代数式， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． 15．如图，正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为 ． 【答案】 【分析】根据点B的纵坐标是横坐标的2倍，和点在抛物线的第一象限的图象上，可以求得点的坐标． 【详解】解：设点的横坐标为，纵坐标为， 解得（不合题意，舍去），， ， 点的坐标为， 连接， 则， 四边形是正方形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是求出点的坐标． 16．已知函数．若这个函数是二次函数，求的取值范围 【答案】且 【分析】根据二次函数的定义，即可得不等式，解不等式即可求得． 【详解】解：函数是二次函数， ， 解得， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键． 三、解答题 17．已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离； (2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件． 【答案】(1)，，原点到直线的距离是 (2)当且时，这个函数是二次函数 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的定义、一次函数图象和性质、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握一次函数与二次函数相关知识点． （1）先由是关于x的一次函数得出，且，再代入点，即可求出n的值，再根据等面积法求解即可得出原点到直线的距离； （2）先由是关于x的二次函数得出，再求解即可． 【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得， 解得：或， 又∵，即． ∴当时，这个函数是一次函数． 此时，函数， 将点代入得：； 令，则， 令，则， 故函数与坐标轴的交点为和， 两交点的距离为， 故原点到直线的距离． （2）解：根据二次函数的定义，得， 解得且． ∴当且时，这个函数是二次函数． 18．已知函数 ． (1)当m为何值时，此函数是一次函数； (2)当m为何值时，此函数是二次函数． 【答案】(1) (2)且 【分析】此题主要考查一次函数与二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握形如的函数关系称为一次函数；形如的函数关系称为二次函数是解题的关键． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）根据二次函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是一次函数， ∴． 解得：． （2）解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：且． 19．已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（）根据二次函数的定义即可求解； （）根据（）得出二次函数的解析式，再把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，且， 解得， ∴当时是的二次函数； （2）解：∵， ∴， ∵点在此函数图象上， ∴． 20．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 【答案】(1) (2)不能 【分析】本题考查了列二次函数关系，解一元二次方程的应用； （1）根据题意和图形可以求得关于的关系式； （2）令，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 即关于的关系式是； （2）解：依题意， 即 ∵， 原方程无实数解， ∴两个鸡场面积和不能等于（） 21．要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇长为的门，若设鸡场的长为． (1)的长为_____________（用含的代数式表示） (2)若两个鸡场的总面积为，求S与的函数关系式 (3)能否围成总面积为的两个长方形养鸡场？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能；的长为 【分析】（1）根据长方形的周长公式，表示出的长即可； （2）根据长方形面积公式求出S与的函数关系式即可； （3）根据“鸡场的总面积为”，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵篱笆总长为，鸡场的长为， ∴， 故答案为：． （2）解：， 答：S与的函数关系式为． （3）解：能围成总面积为的两个长方形养鸡场； 根据题意得：， 解得：，， ∵墙的长度， ∴， 解得：， ∴不符合题意舍去， ∴的长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程和不等式组的应用，列代数式，求二次函数解析式，解题的关键是理解题意，设出宽表示出长，根据数量关系，列出方程． 22．如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．    (1)若，求的长； (2)设，，写出y关于x的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定可得，然后根据相似三角形的性质即可得． （2）由，可得，结合，，，，可得，则，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得，经检验符合题意． （2）∵， ∴， ∵，，，， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次函数 课程标准 学习目标 二次函数的概念 1.经历探索表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。 2 能够表示简单变量之间的二次函数关系。 知识点01 二次函数的概念和一般形式 定义:如果函数的表达式是自变量的 多项式,那么,这样的函数称为二次函数. 一般形式:(a,b,c是常数a≠0),其中x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的 系数、一次项系数和常数项 注意:(1)在上式中,a≠0,b,c均可以为0; (2)二次函数的自变量的取值范围是 ,但在实际问题中,自变量的取值范围会有一定的限制,需要根据实际情况进行判断 【即学即练1】 下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】 二次函数的一次项是 ． 规律总结： 判断函数是不是二次函数,整理函数关系式后要满足条件: (1)关系式是整式 (2)含有二次项; (3)二次项系数是字母时注明不为 0. 知识点02 列二次函数表达式 实际问题中建立二次函数表达式的步骤: (1)理解题意,分清实际问题中的已 (常量)和未知量(变量); (2)找出题目中的等量关系; (3)根据等量关系写出用一个变量表示另一个变量的函数表达式.. 【即学即练1】 深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【即学即练2】 一部售价为5000元的手机，一年内连续两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是 ． 题型01 二次函数的识别 【典例1】下列关于的函数一定为二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数中是二次函数的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系是二次函数关系的有（   ） ①设正方形的边长为x，面积为y，则y与x的函数关系； ②在弹性范围内，弹簧测力计上弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的函数关系； ③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x的函数关系； ④若一辆汽车以的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程与行驶时间的函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】线段，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿线段运动至点，以线段为边作正方形，线段长为半径作圆，设点的运动时间为，正方形周长为，的面积为，则与，与满足的函数关系分别是（   ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．二次函数关系，正比例函数关系 题型02 列二次函数关系式 【典例1】某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】用一根长为的铁丝，把它折成一个长方形框．设长方形的宽为，面积为，则y关于x的函数关系式是 ．（化成一般式） 【变式2】边长为的正方形，如果边长增加，则面积与之间的函数关系式是 （写成一般式）． 题型03 根据二次函数的定义求参数 【典例1】关于x的函数是二次函数，则a应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式1】当函数是二次函数时，的取值为 ． 【变式2】关于的函数是二次函数，则的值是 ． 【变式3】已知是关于的二次函数，求的值． 一、单选题 1．下列关于的函数中，一定是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，不是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列表达式中，为自变量，是的二次函数的是（） A． B． C． D． 4．若关于x的函数是二次函数，则m的值为（    ） A．3 B．0 C．不等于0 D．2 5．下面问题中，与满足的函数关系是二次函数的是（   ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与医柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件元出售，可卖出件．利润（元）与每件进价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 6．如图，、是反比例函数在第一象限图象上的两点，动点从坐标原点出发，沿图中箭头所指方向匀速运动，即点先在线段上运动，然后在双曲线上由到运动，最后在线段上运动，最终回到点过点作轴，垂足为点，设的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   7．下面两个问题中都有两个变量： ①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x； ②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x． 其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（　　） A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数 C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数 8．对于关于x的函数，下列说法错误的是(  ) A．当时，该函数为正比例函数 B．当时，该函数为一次函数 C．当该函数为二次函数时，或 D．当该函数为二次函数时， 9．匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 10．我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数，，如果满足时，称为一组完美方根数对．如上面是一组完美方根数对．则下面4个结论：①是完美方根数对；②是完美方根数对；③若是完美方根数对，则；④若是完美方根数对，则点在抛物线上．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．当 时，是二次函数． 12．若是关于的二次函数，则一次函数的图象不经过第 象限． 13．如果函数是二次函数，那么m的值是 ． 14．点在函数的图象上，则代数式的值等于 ． 15．如图，正方形的顶点B在抛物线的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线的长为 ． 16．已知函数．若这个函数是二次函数，求的取值范围 三、解答题 17．已知函数． (1)若这个函数是一次函数，且点在一次函数上，求m，n的值与原点到直线的距离； (2)若这个函数是二次函数，求m的值满足的条件． 18．已知函数 ． (1)当m为何值时，此函数是一次函数； (2)当m为何值时，此函数是二次函数． 19．已知函数 （为常数）． (1)求当为何值时是的二次函数？ (2)在（）的条件下，点在此函数图象上，求的值． 20．如图，利用一面墙（墙的长度为），用长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道宽的门，设的长为． (1)若两个鸡场的面积和为，求关于的关系式； (2)两个鸡场面积和可以等于（）吗？如果可以，求出此时的值． 21．要建如图所示两个长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙长，另外的边用竹篱笆围成，已知篱笆总长为，且在边上开一扇长为的门，在边上开一扇长为的门，若设鸡场的长为． (1)的长为_____________（用含的代数式表示） (2)若两个鸡场的总面积为，求S与的函数关系式 (3)能否围成总面积为的两个长方形养鸡场？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 22．如图，，，，射线于点C，E是线段上一点，F是射线上一点，且满足．    (1)若，求的长； (2)设，，写出y关于x的函数关系式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$