4.1.2平面的基本性质导学案-2024-2025学年高二上学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（上册）

单县五中 职教高二年级 数学导学案 2024年10月23日 星期三 平面的基本性质 【学习目标】 通过实验观察，能分析得出平面的三个基本性质和三个推论；体会直线是构成平面图形的基本要素，平面是构成空间几何体的基本要素，初步实现由二维平面向三维空间的认知转变；感悟数学源于生活，增强学习兴趣；逐步培养和提升数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养. 【重难点】 重点：平面的三个基本性质和三个推论 难点：对性质3的理解 【情境导入】 问题1.如图所示，分别尝试用一个指尖、两个指尖、三个指尖顶起一块硬纸板，看看哪种方式能比较稳地将硬纸板顶起来？你有什么发现？ 【探究新知】 知识点1. 公理1 这个现象蕴含着平面的如下重要性质.  公理1 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 这个公理也可以说成“ 不共线 的 三点 确定一个 平面 ”. 如图所示，点A、B、C不共线．由公理 1可知，存在唯一的平面α，使得A∈α，B∈α，C∈α. 容易看出，经过一个点、两个点或共线的三个点 无数 个平面，也可以说成“一个点，两个点或共线的三个点 不能 确定一个平面”. 知识点2. 公理2 问题2.将一根细线拉直,然后把它的两个端点固定在桌面上,如图所示,观察细线上其他的点与桌面的关系.如果抓住细线中的一点并拉离桌面,细线还是直线吗？ 如果将细线抽象为直线，桌面抽象成平面，可以得出平面的如下性质.  公理2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.有且只有一个平面 如图所示，由A∈α，B∈α，可知AB⊆α . 当一条直线上的所有点都在平面内时,称 直线 在 平面内 ，或者说 平面 经过 直线 . 因为直线和平面都是由点组成的集合，所以直线m在平面α内可表示为 m⊆α .当直线m不在平面α内时，表示为  m⊈α ，此时直线与平面有 一个 公共点或 没有 公共点. 表示直线在平面内时，要把直线画在表示平面的图形的 内部 . 知识点3. 3个推论 由公理1、2得到以下结论.  推论1 经过 一条直线 和该直线 外 的 一点 有且只有一个平面.  如图1所示，A∈l，存在唯一的平面α，使得A∈α，l⊆α. 推论2 经过 两 条 相交 直线有且只有一个平面.  如图2所示，直线m与直线n相较于点A，存在唯一的平面α，使得m⊆α，n⊆α. 推论3 经过 两条平行 直线有且只有一个平面.  如图3所示，m∥n，存在唯一的平面α，使得m⊆α，n⊆α. 图1 图2 图3 知识点3. 公理3 将一块薄的硬纸板平放到桌面上，可视作硬纸板和桌面所在的平面重合，如图所示.抬起硬纸板的一端，让另一端紧贴桌面，则硬纸板和桌面所在台面有一条公共直线.继续抬起硬纸板，将纸板的一角支在桌面上，则支点就是硬纸板和桌面所在平面的一个公共点. 问题4.这时，它们所在的平面就只有这一个公共点么？ 考虑到平面具有无限延展性，我们把硬纸板向下延展.容易看出，硬纸板所在的平面与桌面所在的平面有一条公共直线由此，得 到平面的性质： 公理3 如果两个平面有一个 公共点 ，那么它们有且只有一条经过 的 公共直线 .  此时，称两个平面 相交 ，并把 公共直线 称为两个平面的 交线 .当平面α与平面β相交于直线l 时，记作 α⋂β=l. . 如图所示，A∈α，A∈β，存在唯一的直线l，使得A∈l, α⋂β=l. 温馨提示 画两个平面 相交 时，一定要画出它们的 交线 ，平面被遮挡部分用 虚线 表示或者 不画 . 【典型例题】 例2试用符号语言表示下列语句,并画出相应的图形. (1)点A、B在直线l上，直线l 在平面α内； (2)平面α和平面β相交于直线l. 解 (1) A、B ∈l， l ⊆α，如图所示. 画法： ①画平行四边形表示平面α； ②在平行四边形内画点A、B ； ③连接A、B并延长，在直线AB上标出直线l. (2) α⋂β=l，如右图所示. 画法： ①画线段 AB表示交线l，如右图所示； ②过点A画与l不同的两条相交线段CD、EF，再过点B画 C'D'与E'F'，使C'D'∥CD、E'F'∥EF，C'D'=CD，E'F'=EF； ③连接 CC' 、DD'、EE'、FF'，分别将平面 CD'和平面EF'标注为平面α和平面β，再将被遮挡部分改为虚线或不画，最后擦去字母A、B、C、D、A'、B'、C'、D'. 例3判断下列说法是否正确. (1)经过三个点有且只有一个平面；  (2)如果直线l与平面α有三个公共点，那么l ⊆α； (3)用三角板的一个顶点与桌面接触，只有一个公共点，故两 个平面可以只有一个公共点.  解 (1)错误.经过不共线的三点有且只有一个平面.当三点共线时，经过这三个点有无数个平面；  (2)正确.当一条直线有两个点在平面内时，这条直线就在平面内； (3)错误.当两个平面有一个公共点时，这两个平面就有一条经过该点的公共直线，因此它们一定有无数个公共点.  例4 在正方体 ABCD-A1B1C1D1[图(1)]中，找出符合下列条件的平面. (1)经过点A1、B、D的平面； (2)经过直线BC和点D1的平面； (3)经过直线BD和DD1的平面； (4)经过直线AB和C1D1的平面. 解 (1)经过点A1、B、D的平面是平面A1BD，如图(2)所示； (2)经过直线BC和点D1平面是平面BCD1，如图(3)所示； (3)经过直线BD和DD1的平面是平面BDD1，如图(4)所示； (4)经过直线AB和C1D1的平面是平面ABC1D1，如图(5)所示； 【课堂练习】 1.判断下列说法是否正确.  (1) 经过直线m和点A的平面有且只有一个；（ × ） (2) 两条相交直线可以确定一个平面； （ √ ） (3) 同时经过两条平行直线的平面不止一个；（ × ）  (4) 两个平面可以只有一条公共线段.（ × ） 2. 根据平面的基本性质和推论证明平行四边形是平面图形(填空).  已知：四边形 ABCD 是一个平行四边形. 求证：AB、BC、CD、DA 四条边共面.  证明：因为 AB∥CD，所以 AB 和CD 确定平面α，如图所示.  因为A∈AB，B∈AB，C∈CD，D∈CD, 所以A、B、C、D均在平面α内. 从而，有AD⊆ α ，BC⊆ α ， AB⊆ α ， CD⊆ α . 所以，AB、BC、CD、DA四条边共面. 3.试用12根长短相等的小木棍(或铁丝等)制作正方体模型 ABCD-A1B1C1D1， 并指出由顶点A和棱CC1所确定的平面. 平面ACC1A1 【课堂小结】 你本节课的收获 印数：600 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$