第一章直角三角形的边角关系第2讲 锐角三角函数的应用2023-2024学年北师大版数学九年级下册

第一章直角三角形的边角关系第2讲 锐角三角函数的应用2023-2024学年九年级下册数学北师大版 专题一 解直角三角形 【典例精讲】 题型 1 可直接解直角三角形 【例1】已知Rt ABC中,∠C=90 , 根据下列条件解直角三角形. (1)∠A=60 , b=4; (2) ∠A=60 , a+b=6; (3)∠A=45 , S ABC=12. 举一反三 1. 在 ABC中,∠C=90 , 根据下列条件解直角三角形: (1)c=2,∠A=30 ; (2)a=3,b=9. 题型2 “不可直接解直角三角形”——设元、借助方程求解 【例2】如图, 在四边形ABCD中, 点 E 是边AB 上一动点, 且求AE的长. 举一反三 2. 如图, 在中, D是BC边上的一点,且 若 求CD的长. 题型3 “化斜为直”解斜三角形 【例3】如图在 中, (1) 求BC的长. (2) 若 求CD的长. 举一反三 3. 如图, 中, 点 D, E分别在边 BC、AC 上, 求线段AD的长. 题型4 与三角函数、相似等相关的证明 【例4】如图, 在正方形ABCD中,点G在边BC上(不与点B, C重合), 连接AG, 作于点E,BF⊥AG于点F, 设 (1) 求证: (2) 连接BE, DF, 设 求证: 举一反三 4. 如图, 在平行四边形中,点E是BC上一点,点F是CD上一点, 求证: 专题二 解直角三角形的应用 【典例精讲】 题型 1 三角函数中的坡度问题 【例1】速滑运动受到许多年轻人的喜爱. 如图所示,四边形 BCDG 是某速滑场馆建造的滑台,已知CD∥EG,滑台的高DG 为5米,且坡面 BC的坡度为1∶1. 后来为了提高安全性,决定降低坡度,改造后的新坡面 AC的坡度为1: (1) 求新坡面 AC的坡角及 AC的长; (2) 原坡面底部 BG的正前方10米处 是护墙EF,为保证安全,体育管理部门规定,坡面底部至少距护墙7米. 请问新的设计方案能否通过,试说明理由. (参考数据: 举一反三 1. 为了学生的安全,某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造. 已知四边形ABCD为矩形, 10m,其坡度为 将步梯DE改造为斜坡AF,其坡度为 求斜坡AF的长度.(结果精确到0.01m,参考数据: 题型 2 三角函数中的航海问题 【例2】如图,在南北方向的海岸线MN上,有A,B两艘巡逻船,现均收到故障船 C的求救信号.已知A,B两船相距 海里,船C在船A 的北偏东 方向上,船C在船B的东南方向上,MN上有一观测点 D,测得船 C 正好在观测点 D 的南偏东 方向上. (1) 分别求出A与C,A与D之间的距离AC和AD (若结果有根号,请保留根号); (2)已知据观测点D处75海里范围内有暗礁. 若巡逻船A沿直线AC去营救船 C,在去营救的途中有无触暗礁危险? (参考数据: 举一反三 2. 如图,在一笔直的海岸线l上有A,B两个观测站,A在B 的正东方向, (单位: km). 有一艘小船在点P 处,从A 测得小船在北偏西的方向,从B 测得小船在北偏东 的方向. (1) 求点 P到海岸线l的距离; (2)小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后,到达点 C 处. 此时,从B测得小船在北偏西 的方向. 求点 C与点 B之间的距离. (上述2个小题的结果都保留根号) 题型3 三角函数中的视角问题 【例3】如图所示,点E与树AB的根部点A,建筑物CD的底部点 C 在一条直线上, 小明站在点 E 处观测树顶 B 的仰角为 他从点 E出发沿EC方向前进6m到点 G时,观测树顶 B 的仰角为 此时恰好看不到建筑物CD的顶部D(H,B,D三点在一条直线上).已知小明的眼睛离地面1.6m,求建筑物CD的高度 (结果精确到0.1m). (参考数据: 举一反三 4. 某市为了加快5G网络信号覆盖,在市区附近小山顶架设信号发射塔,如图所示. 小军为了知道发射塔的高度,从地面上的一点A 测得发射塔顶端P点的仰角是 ,向前走 60m到达 B 点测得 P 点的仰角是 测得发射塔底部 Q点的仰角是 请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度. (结果精确到0.1米, 专题三 三角函数与一次函数、反比例函数的综合 【典例精讲】 题型1 知函数解析式求三角函数值 【例1】已知一次函数. 与反比例函数 的图像交于第一象限内的P( , s), Q(4, m)两点,与x轴交于 A点,点P关于原点的对称点为P',求∠P'AO的正弦值. 举一反三 1. 矩形 AOBC中, 分别以OB,OA所在直线为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点F是BC边上一个动点(不与B,C重合),过点 F的反比例函数 的图象与边AC交于点 E. 连接EF, 求 的正切值. 题型2 知三角函数值求反比函数的比例系数的值 【例2】如图, 点 A(-1,0), B(0,3), 点C在第二象限内, AB平分双曲线 经过点C,试求k的值. 举一反三 2. 如图,菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上,点O是坐标原点, 反比例函数 的图象经过点 C,与AB交于点 D,若 的面积为20,求k的值. 题型 3 知三角函数值求点的坐标 【例3】如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD 的边 AB 所在直线的解析式为 , 顶点 C, D在反比例函数 的图象上,若 求点 D的坐标. 举一反三 3. 如图, 矩形OABC的顶点A, C分别在x, y轴的正半轴上,点 D为对角线OB的中点, 点 E(4,n)在边AB 上,反比例函数 在第一象限内的图象经过点D,E,与BC边交于点 F,且 将矩形折叠,使点O与点F重合,折痕分别与x,y轴正轴交于点H,G,求线段OG的长. 学科网(北京)股份有限公司 $$