精品解析：2024-2025学年人教版九年级上册月考数学试卷 （10月份）

2024-2025学年九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程5x2+4x－1=0的二次项系数和一次项系数分别为(　　) A. 5和4 B. 5和－4 C. 5和－1 D. 5和1 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的一般形式的各项系数的概念，即可得到答案． 【详解】5x2+4x－1=0的二次项系数和一次项系数分别为：5和4． 故选A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般形式的各项系数的概念，掌握一元二次方程的一般形式的各项系数的概念是解题的关键． 2. 已知点A和点B关于原点对称，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于原点对称点的坐标变化规律求出的值，计算即可． 【详解】解：已知点A和点B关于原点对称， 则， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了关于原点对称点坐标变化规律，解题关键是明确关于原点对称两个点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤：①将方程化为一般式，然后通过移项再将常数项移至方程的右边；②将二次项系数化为，当二次项系数不是时，则在方程两边同时除以二次项系数；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式；④配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 4. 如图，在等边 中，D 是边 上一点，连接．将绕点B逆时针旋转，得到，连接．若，，则的周长是（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键．由旋转的性质可得，，，可得是等边三角形，即可求，根据的周长，可求的周长． 【详解】解：将绕点逆时针旋转，得到 ，， ∴是等边三角形 ∵是等边三角形 ∴的周长 ∴的周长 故选：C． 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根，即可求解． 【详解】解：一元二次方程中， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：D ． 6. 某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，若每轮感染中平均一人感染人数相同，则每轮感染中平均一人感染人数为（ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得，解方程即可． 本题考查根据实际问题列出一元二次方程，先用含有x的代数式计算出第一轮感染后的人数，再在第一轮感染人数的基础上列出第二轮感染后的人数，列出等式，能够找到等量关系是解决本题的关键． 【详解】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得， 解方程，得（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了18个人， 故选B． 7. 已知点，，都在二次函数的图像上， 则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意可得该抛物线开口向下，对称轴为直线，得到离对称轴越远的点，其值越小，即可求解． 【详解】解：二次函数的解析式为， 对称轴为直线，， 该抛物线开口向下， 离对称轴越远的点，其值越小， 点，，， ，，，即， ， 故选：C． 8. 要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．关系式为：球队总数每支球队需赛的场数，把相关数值代入即可． 【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛场，但2队之间只有1场比赛， 所以可列方程为：． 故选：B 9. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形， 依题意得：， 故选：C． 10. 已知方程的两根分别为、，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，先根据一元二次方程的解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，最后代入求值即可． 【详解】解：方程的两根分别为、， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有__________（填序号）． ①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形． 【答案】②④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180度后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：①平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； ②矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； ③等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； ④线段是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； ⑤菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意． 故答案为：②④⑤． 12. 已知是方程的根，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 故答案为：． 13. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移原则计算即可． 本题考查了二次函数的平移计算，熟练掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 14. 如图，等边的顶点在坐标原点，顶点在轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，能构造直角三角形是解此题的关键．过点作轴于点，由等边三角形的性质可得：，，由旋转的性质可得：，，推出，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 是等边三角形， ，， 由旋转知，，， ， ， 点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为______米． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度． 根据题意可知，此运动员将铅球推出的距离就是该函数与x轴正半轴的交点的横坐标的长度，故令求出相应的x的值，即可得到此运动员将铅球推出的距离． 【详解】解：∵， ∴当，时，， 即， 解得，（舍去）， ∴运动员小铭将铅球推出距离为11米． 16. 如图，在中，，；将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】在的上方作，且使，连接，．设，则，根据证明得出，，得出，即可推出结论． 【详解】解：如图，在的上方作，且使，连接，．过点C作的垂线，F为垂足． ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ，， 又， ， 在和中， ， ， ，． ， ， ， 的最小值为12， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，配方法的应用，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 或 ∴，； 【小问2详解】 ∴，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹） （1）将绕点顺时针旋转得到图形，请画出此图形； （2）求出的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用旋转的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）利用面积的和差求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 的面积为：． 19. 如图，已知在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，设运动时间为． （1）几秒后， 的面积等于 （2）几秒后，的长度能取得最小值，其最小值为多少？ 【答案】（1）2秒或6秒 （2）4秒后，取得最小值，最小值为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，配方法的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设运动时间为x秒，则，，根据三角形面积公式列出方程即可； （2）设运动时间为t秒，则，，根据勾股定理列出的式子，根据配方法即可求得最小值． 【小问1详解】 解：设运动时间为x秒，则，，根据题意得： ， 解得：， 答：2秒或6秒后，的面积等于； 【小问2详解】 解：设运动时间为t秒，则，， ∵， ∴在中， ， ， ∴当时，取得最小值为：． 即4秒后，取得最小值，最小值为． 20. 已知抛物线 （1）该抛物线的对称轴为 ； （2）若， 设点， 在该抛物线上，若 ，求m的取值范围． 【答案】（1）直线 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴； （2）根据关于对称轴的对称点为，根据二次函数的性质确定m的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴关于对称轴的对称点为． ∵，， ∴当时，抛物线开口向上，当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小， ∴或． 21. 某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． （1）若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ （2）通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）18元 （2）销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元 【解析】 【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果； （2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值． 【小问1详解】 解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能让利于顾客，只能取， ∴售价应（元）， 答：每千克特产商品的售价应为18元； 【小问2详解】 解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则 ∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元． 【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键． 22. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第二象限内的一个动点，连接，，设点P的横坐标为m． （1）求线段的长； （2）请用含m的代数式表示的面积； （3）若，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为 【解析】 【分析】（1）令，求出，，即可得解； （2）连接，求出，得到，求出，由题意得：，求出，，再由即可得解； （3）根据题意结合（2）得出，计算即可得解． 【小问1详解】 解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ， 在中，令，则，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得：， 由题意得：， 解得：，， ∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数综合—三角形面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 23. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出的长． 【答案】（1）， （2）（1）中的结论成立，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转得出，进而判断出，得出，进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，即可得出结论； ②当点E在线段的延长线上时，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ， ， ∵， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（1）中结论仍然成立， 理由： 由旋转知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中， ； 综上，的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 24. 在中，，， 点是的中点， 连接， 将绕着点顺时针旋转，旋转角为，点、的对应点分别为点、， 连接， 已知． （1）当为锐角， 且 时，求的值； （2）当时，画出图形，并求与重叠部分的面积； （3）将绕着点旋转一周，取中点为，求动点到距离的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转得：，推出，利用勾股定理的逆定理可得，推出，最后根据角的和差即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可得：，，推出，，由旋转可得：，，，，推出，得到，根据勾股定理求出，证明四边形是正方形，，得到，最后根据与重叠部分的面积为：，即可求解； （3）取的中点，连接，，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，推出，根据在中，，即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； 【小问2详解】 ，点是的中点，， ，， ，， 由旋转可得：，，，， ， ， 由勾股定理得：，即， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ，， 在和中， ， ， ， 与重叠部分面积为：， 【小问3详解】 如图，取的中点，连接，，过点作于点， ，为的中点， ， 在中，， 在中，， 点到距离最大值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，点的坐标为， 点的坐标为． （1）求抛物线过点时，求实数的值； （2）已知点的坐标为，求的最小值； （3）若抛物线与线段有且只有一个交点，求实数的取值范围． 【答案】（1）的值为或 （2）的最小值为 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，轴对称——最短路径问题，一次函数的图像与性质，解题的关键是灵活运用相关知识． （1）将代入抛物线中求解即可； （2）将抛物线化为顶点式可得，推出抛物线的顶点在直线上运动，作点关于直线的对称点，过点作轴于点，得到，当、、三点共线时，的值最小，最小值为，根据勾股定理求出即可； （3）先求出直线的解析式为，联立，结合判别式可得：，由（1）知，当时抛物线过点，点在线段上， 当抛物线过点时，，可得：，，结合当时，抛物线过，两点，即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线过点， ， 解得：或， 的值为或； 【小问2详解】 ， ， 抛物线的顶点在直线上运动， 如图，作点关于直线的对称点，过点作轴于点， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， ， ，， ， 的最小值为； 【小问3详解】 设直线的解析式为， 将点，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由（2）知，抛物线的顶点在直线上运动，在抛物线上从左到右的运动过程中，会经历抛物线与线段从相离到相切、相交、再相离的过程， 联立， 得到：， ， 解得：， 由（1）知，当时抛物线过点，点在线段上， 当抛物线过点时，， 解得：，， 当时，抛物线过，两点， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级（上）月考数学试卷（10月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 方程5x2+4x－1=0的二次项系数和一次项系数分别为(　　) A. 5和4 B. 5和－4 C. 5和－1 D. 5和1 2. 已知点A和点B关于原点对称，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 3. 用配方法解方程时，配方后所得的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在等边 中，D 是边 上一点，连接．将绕点B逆时针旋转，得到，连接．若，，则的周长是（ ） A. 17 B. 18 C. 19 D. 以上都不对 5. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 6. 某病毒传播性极强，有一人感染，经过两轮传播后共有361人感染，若每轮感染中平均一人感染人数相同，则每轮感染中平均一人感染人数为（ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 7. 已知点，，都在二次函数的图像上， 则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 已知方程的两根分别为、，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2024 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有__________（填序号）． ①平行四边形、②矩形、③等腰三角形、④线段、⑤菱形． 12. 已知是方程的根，则____________ 13. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为____________． 14. 如图，等边的顶点在坐标原点，顶点在轴上，，将等边绕原点顺时针旋转至的位置，则点的坐标为_______________． 15. 如图，运动员小铭推铅球，铅球行进高度y（米）与水平距离x（米）间的关系为，则运动员小铭将铅球推出的距离为______米． 16. 如图，在中，，；将绕点C顺时针旋转得到，则线段的长度的最小值是________． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点都在格点上，点的坐标为．请解答下列问题：（保留作图痕迹） （1）将绕点顺时针旋转得到图形，请画出此图形； （2）求出的面积． 19. 如图，已知在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，设运动时间为． （1）几秒后， 的面积等于 （2）几秒后，的长度能取得最小值，其最小值为多少？ 20. 已知抛物线 （1）该抛物线的对称轴为 ； （2）若， 设点， 在该抛物线上，若 ，求m的取值范围． 21. 某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． （1）若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品售价应为多少元？ （2）通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 22. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第二象限内的一个动点，连接，，设点P的横坐标为m． （1）求线段的长； （2）请用含m的代数式表示的面积； （3）若，求点P坐标． 23. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是______，位置关系是______； （2）【探究】：把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）【拓展】：把绕点在平面内自由旋转，若，，当A，，三点在同一直线上时，直接写出长． 24. 在中，，， 点是中点， 连接， 将绕着点顺时针旋转，旋转角为，点、的对应点分别为点、， 连接， 已知． （1）当为锐角， 且 时，求的值； （2）当时，画出图形，并求与重叠部分的面积； （3）将绕着点旋转一周，取中点为，求动点到距离的最大值． 25. 在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为，点的坐标为， 点的坐标为． （1）求抛物线过点时，求实数值； （2）已知点的坐标为，求的最小值； （3）若抛物线与线段有且只有一个交点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$