精品解析：辽宁省沈阳市2024—2025学年北师大版数学八年级上册期中模拟测试卷

2024～2025学年第一学期期中模拟测试卷 八年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷满分120分． 班级： 姓名： 一、选择题（共10道，每题3分，共30分） 1. 下列各数不是无理数的是（ ）． A. B. C. D. 2. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列图象中，y是x的函数的是（ ） A B. C. D. 4. 如果点M在y轴左侧，且在x轴的上方，到两坐标轴的距离都是4，则点M的坐标为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，P表示的数是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大的正方形E的面积是（ ）． A 90 B. 15 C. 47 D. 26 7. 已知点A的坐标为，过点A的直线轴，点B在直线l上，且，则点B的坐标为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 如图，在离水面点A高度为的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的）． A. 9米 B. 8米 C. 7米 D. 6米 9. 如图，点Р为长方形边上一个动点，运动路线是，设点Р运动的路径长为x，的面积为y，图2是y随x变化的函数图象，则长方形的对角线BD的长是（ ） A. B. 8 C. 10 D. 10. 甲、乙两个工程队分别同时维修两段道路，所维修的道路长度与维修的天数之间的函数关系图象如图所示，下列结论正确的是( ) A. 开工第2天时，甲队比乙队多维修 B 开工第6天时，甲队比乙队多维修 C. 甲队维修道路长度为时，乙队所维修的道路长度为 D. 开工第天或第天时，甲、乙两队所维修道路长度的差为 二、填空题 11. 计算：__________． 12. 如图，已知点，，，则的面积为________． 13. 如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为10cm．在容器内壁距离容器底部3cm 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为________（不计壁厚）． 14. 如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCD，沿着BC边上一点E与点A的连线折叠，点B'是点B的对应点，延长EB'交DC于点G，B'G＝cm，则△ECG的面积为_____cm2． 15. 小明和小亮分别从同一直线跑道A、B两端同时相向匀速出发，第一次相遇后小明觉得自己速度太慢便立即提速至原速的1.5倍，然后匀速运动到B端，且小明到达B端后立即以提速后的速度调头返回．小亮匀速跑步到A端后，立即按原速返回（忽略小明、小亮调头时间），当小明、小亮再次相遇时二人停止运动．已知两人相距的距离y（米）与小亮出发时间x（秒）之间的关系如图所示，则第二次相遇时小明与B端的距离为______米． 三、解答题 16. 计算 （1） （2） 17. 已知：，求代数式值 18. 如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点P为直线上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于y轴的对称点． （1）请求出的面积． （2）设点P的横坐标为a，那么点Q的坐标为______． （3）设和的面积相等，且点P在点Q的右侧，请求出此时P点坐标． （4）如果的面积是的面积的2倍，请直接写出此时点P的坐标． 四、解答题 19. 某校八年级一班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了以下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？ 20. 某公司采购员到紫阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg） 方式一：会员 500 1600 方式二：非会员 0 2100 设该公司此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． （1）请直接写出、关于x的函数表达式； （2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，则该公司此次购买了多少千克这种茶叶？ （3）若该公司此次购买茶叶的总预算为8400元，则按照哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 21. 观察下列等式，然后解答问题： ， ， ， ， （1）计算： __________； ； （2）计算： ； ． 五、解答题 22. 如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过点作交于D，交y轴于点，且． （1）求B点坐标为______；线段的长为______； （2）确定直线解析式，求出点坐标； （3）如图，点是线段上一动点不与点、重合，交于点，连接． ①点移动过程中，线段与数量关系是否不变，猜想并证明； ②当和面积相等时，求点N的坐标． 23. 【问题背景】 如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为解决此题可以用如下方式：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可以得到线段之间的数量关系 ． （2）如图3，在等腰直角中，，点E、F在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． 结论应用】 （3）如图4，在四边形中，，在边和分别有一点E和点F，使的周长恰好是长的2倍，求此时的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年第一学期期中模拟测试卷 八年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷满分120分． 班级： 姓名： 一、选择题（共10道，每题3分，共30分） 1. 下列各数不是无理数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可． 【详解】解：，，是无理数，是有理数，不是无理数， 故选B． 2. 满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，以及勾股定理逆定理判断能否构成直角三角形，逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形，故选项B不符合题意； ∵， ∴设， ∴， ∴是直角三角形，故选项C不符合题意； ∵， ∴， ∴不是直角三角形，故选项D符合题意； 故选D． 3. 下列图象中，y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．根据函数的意义即可求出答案． 【详解】A、C、D选项中对于x的每一个确定的值，y可能会有两个值与其对应，不符合函数的定义; 只有B选项对于x的每一个确定的值，y有唯一的值与之对应，符合函数的定义． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了函数的定义．解题的关键是掌握函数的定义，在定义中特别要注意，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应． 4. 如果点M在y轴左侧，且在x轴的上方，到两坐标轴的距离都是4，则点M的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求点的坐标，根据题干得到点在第二象限，且横纵坐标的绝对值均为4，进行求解即可． 【详解】解：∵点M在y轴左侧，且在x轴的上方， ∴点在第二象限， ∵点到两坐标轴的距离都是4， ∴； ∴点M的坐标为； 故选B． 5. 如图，P表示的数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与无理数，实数与数轴，根据勾股定理求出半径的长，再根据两点的距离求出点P表示的数即可． 【详解】解：由图和勾股定理，得：圆弧的半径为：， ∴点表示的数到数之间的距离为， ∴P表示的数是； 故选A． 6. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大的正方形E的面积是（ ）． A. 90 B. 15 C. 47 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由勾股定理，得：正方形A、B下面的正方形的面积为：，正方形C、D下面的正方形的面积为：， ∴最大的正方形E的面积为； 故选C． 7. 已知点A的坐标为，过点A的直线轴，点B在直线l上，且，则点B的坐标为（　　） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线轴，可得点B的纵坐标为3，再由，可得点B的横坐标，即可求解． 【详解】解：∵直线轴， ∴点A，B的纵坐标相同， ∵点A的坐标为， ∴点B的纵坐标为3， ∵， ∴点B的横坐标为或， ∴点B的坐标为或． 故选：A 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，根据题意得到点A，B的纵坐标相同是解题的关键． 8. 如图，在离水面点A高度为的岸上点C处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置，则船向岸边移动了（ ）（假设绳子是直的）． A. 9米 B. 8米 C. 7米 D. 6米 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理问题成为解题的关键． 先在中运用勾股定理求得，再运用勾股定理求得，最后根据线段的和差求得即可解答． 【详解】解:在中，，, ∴， ∵此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置， ∴， ∴， ∴，即船向岸边移动了． 故选A． 9. 如图，点Р为长方形边上的一个动点，运动路线是，设点Р运动的路径长为x，的面积为y，图2是y随x变化的函数图象，则长方形的对角线BD的长是（ ） A. B. 8 C. 10 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意及图易得，，进而根据勾股定理可求得的长． 【详解】解：∵设点P运动的路径长为，△ABP的面积，运动路线是A→B→C→D→A， ∴由图2可得，当运动到点到点之间是不变的， ∴， ∴， ∵四边形ABCD是矩形，，， ∴在中，． 故选A． 【点睛】本题主要考查函数图像，关键是根据图像得到动点的运动规律，进而得到几何中线段的长，最后利用勾股定理求解即可． 10. 甲、乙两个工程队分别同时维修两段道路，所维修的道路长度与维修的天数之间的函数关系图象如图所示，下列结论正确的是( ) A. 开工第2天时，甲队比乙队多维修 B. 开工第6天时，甲队比乙队多维修 C. 甲队维修道路长度为时，乙队所维修的道路长度为 D. 开工第天或第天时，甲、乙两队所维修道路长度的差为 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象数据直接分析B选项错误，进而求得甲队在的时段内，与之间的函数关系式是；乙队在的时段内，与之间的函数关系式是；得出甲队维修道路长度为时，乙队所维修的道路长度为，判断C选项，当时，求得甲、乙两队所维修道路长度的差为，即可判断A选项，当时，，即可求得，继而判断D选项，即可求解． 【详解】由图象可得， 甲队开挖到时，用了天，开挖天时，甲队比乙队少挖了()，故B选项错误； 甲队在的时段内，设与之间的函数关系式为, ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， 即甲队在时段内，与之间的函数关系式是； 乙队在的时段内，设与之间的函数关系式为, ∵点在该函数图象上， ∴， 解得， 即乙队在的时段内，与之间的函数关系式是； ∴当，解得， 在中，当时， ∴甲队维修道路长度为时，乙队所维修的道路长度为，故C选项错误； 当时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相差 ()；故A选项错误 当时，， 解得； 即开工第天或第天时，甲、乙两队所维修道路长度的差为.故D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，求得函数解析式结合图象分析是解题的关键． 二、填空题 11. 计算：__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查立方根和算术平方根运算，先进行开方运算，再进行加法运算即可． 【详解】解：； 故答案为：6． 12. 如图，已知点，，，则的面积为________． 【答案】12 【解析】 【分析】首先过点作轴于点，由点，可得，，继而求得的面积． 【详解】解：过点C作轴于点， ∵点， ∴， ∴． 故答案为：12． 【点睛】此题考查了坐标与图形的关系以及三角形的面积，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 13. 如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为10cm．在容器内壁距离容器底部3cm 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为________（不计壁厚）． 【答案】13 【解析】 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点， 连接，则即为最短距离， ∴=5cm，=3cm， ∴BD=12cm， =13（cm）． 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为13cm． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 14. 如图，在一次综合实践活动中，小明将一张边长为10cm的正方形纸片ABCD，沿着BC边上一点E与点A的连线折叠，点B'是点B的对应点，延长EB'交DC于点G，B'G＝cm，则△ECG的面积为_____cm2． 【答案】 【解析】 【分析】根据翻折的性质可知△ABE和△AB′E全等，则BE＝B′E，连接AG，可证△AB′G≌△ADG，则DG＝ B′G＝ cm，CG＝10－DG＝ cm，在Rt△ECG中，设BE＝x cm，根据勾股定理列出方程，可求出BE的值，从而求出CE，最后由三角形面积公式求出△ECG的面积. 【详解】根据翻折的性质可知△ABE和△AB′E全等，BE＝B′E， 连接AG，如图， ∵A B′＝AD，AG＝AG， ∴Rt△AB′G≌Rt△ADG， ∴DG＝B′G＝ cm， ∴CG＝10－DG＝ cm， 在Rt△ECG中，设BE＝x cm，则CE＝(10－x)cm，EG＝ B′E＋ B′G＝(x＋)cm, 根据勾股定理列出方程，CE2＋CG2＝EG2, 即, 解得：x＝2, 所以BE＝2 cm，CE＝10－2＝8 (cm)， △ECG的面积＝(cm2) 故答案为：. 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，结合全等的知识找出题中的线段之间的关系是本题的解题关键. 15. 小明和小亮分别从同一直线跑道A、B两端同时相向匀速出发，第一次相遇后小明觉得自己速度太慢便立即提速至原速的1.5倍，然后匀速运动到B端，且小明到达B端后立即以提速后的速度调头返回．小亮匀速跑步到A端后，立即按原速返回（忽略小明、小亮调头时间），当小明、小亮再次相遇时二人停止运动．已知两人相距的距离y（米）与小亮出发时间x（秒）之间的关系如图所示，则第二次相遇时小明与B端的距离为______米． 【答案】240 【解析】 【分析】根据第一次相遇用60秒和第一次相遇后两人速度相同，列出方程组即可求解． 【详解】解：设开始小明和小亮的速度分别为：a、b，则小明加速后的速度为1.5a， 两人第一次相遇的时间为60秒，故60（a+b）＝600①； 在100秒到400秒时，小明和小亮的速度分别为：1.5a，b，此时两人的距离保持不变，说明此时的两人的速度相同，即1.5a＝b②， 联立①②并解得：，即开始小明和小亮的速度分别为4和6； 小明到达B地到第二次相遇的时间为(秒) , 故第二次相遇时，小明距离B地的距离为40×6=240 (米) 故答案为240. 【点睛】此题为一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，重点是求两人的速度． 三、解答题 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）先化简各数，再合并同类二次根式即可； （2）先进行完全平方和平方差公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式 ． 17. 已知：，求代数式值 【答案】 【解析】 【分析】观察，显然，要求的代数式可以变成x，y的差与积的形式，从而简便计算． 【详解】解：∵x＝ (+)，y＝ (-)， ∴xy=×2=，x-y=, ∴原式=（x-y）2+xy=5+=5． 【点睛】此类题注意变成字母的和、差或积的形式，然后整体代值计算． 18. 如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点P为直线上任意一点（不与A、B重合），点Q是点P关于y轴的对称点． （1）请求出的面积． （2）设点P的横坐标为a，那么点Q的坐标为______． （3）设和的面积相等，且点P在点Q的右侧，请求出此时P点坐标． （4）如果的面积是的面积的2倍，请直接写出此时点P的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）或． 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式计算即可； （2）关于y轴对称的纵坐标相等，横坐标互为相反数，计算即可； （3）根据等底同高的两个三角形面积相等得，设此时P的坐标为，则点Q坐标为有，求解即可； （4）根据两个三角形同高考核面积关系可得，设此时P的坐标为，则点Q坐标为，当点Q在点P左侧时有，当点Q在点P右侧有，求解即可． 【小问1详解】 解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵P为直线上任意一点，点P的横坐标为a，点Q是点P关于y轴的对称点， ∴， 则点Q的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 ∵和的面积相等，点O到直线的距离都是3， ∴， 设此时P的坐标为，则点Q坐标为， 则有， 解得：， 则P坐标为； 【小问4详解】 的面积是的面积的2倍，点O到直线的距离都是3， ∴， 设此时P的坐标为，则点Q坐标为， 如图，当点Q在点P左侧时： 则有， 解得：， 则P坐标为； 如图，当点Q在点P右侧时： 则有， 解得：， 则P坐标为； 综上所述：P坐标为或 【点睛】此题考查了关于y轴对称的点的坐标，以及三角形面积，两点之间的距离；熟练掌握关于y轴对称点的特征及两点之间的距离是解本题的关键． 四、解答题 19. 某校八年级一班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了以下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降7米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）17.7米 （2）5米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键： （1）勾股定理求出的长，再用的长即可； （2）求出下降后的长，再利用勾股定理求出此时的长，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意，得：， 由勾股定理，得：， ∴； 答：风筝的垂直高度为17.7米； 【小问2详解】 当风筝沿方向下降7米时，此时， ∴此时， ∴他应该往回收线米； 答：他应该往回收线5米． 20. 某公司采购员到紫阳茶叶市场购买某品牌毛尖茶，商家推出了两种购买方式： 会员卡费用（元/张） 茶叶价格（元/kg） 方式一：会员 500 1600 方式二：非会员 0 2100 设该公司此次购买茶叶，按方式一购买茶叶的总费用为元，按方式二购买茶叶的总费用为元． （1）请直接写出、关于x的函数表达式； （2）若按方式一购买茶叶的总费用和按方式二购买茶叶的总费用相同，则该公司此次购买了多少千克这种茶叶？ （3）若该公司此次购买茶叶的总预算为8400元，则按照哪种方式购买可以获得更多的茶叶？ 【答案】（1），； （2）该公司此次购买了这种茶叶； （3）若该公司此次购买茶叶的总预算为8400元，则按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，理解题意，正确表示出函数关系式是解题关键． （1）根据两种购买方式分别列式，即可得到函数表达式； （2）根据两种方式购买茶叶总费用相同列方程求解，即可得到答案； （3）结合（1）所得关系式，分别求出两种方式购买的茶叶质量，再进行比较，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意，得，； 小问2详解】 解：根据题意，得，解得． 答：该公司此次购买了这种茶叶． 【小问3详解】 解：若按照第一种方式购买茶叶，则， 解得， 若按照第二种方式购买茶叶，则， 解得． ∵， ∴按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶． 答：若该公司此次购买茶叶的总预算为8400元，则按照第一种方式购买可以获得更多的茶叶． 21. 观察下列等式，然后解答问题： ， ， ， ， （1）计算： __________； ； （2）计算： ； ． 【答案】（1）；2022 （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算、运用平方差公式和完全平方公式进行运算、积的乘方的逆运算等知识，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）观察题目中的等式，即可求得答案；将原式整理为，进而可得，然后利用平方差公式进行求解即可； （2）利用积的乘方的逆运算，将原式整理为，然后利用平方差公式进行求解即可；将原式整理为，然后利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 原式 ； 【小问2详解】 原式 ； 原式 ． 五、解答题 22. 如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于A、B两点，过点作交于D，交y轴于点，且． （1）求B点坐标为______；线段的长为______； （2）确定直线解析式，求出点坐标； （3）如图，点是线段上一动点不与点、重合，交于点，连接． ①点移动过程中，线段与数量关系是否不变，猜想并证明； ②当和面积相等时，求点N的坐标． 【答案】（1）， （2）（，） （3）①线段与数量关系是保持不变，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据直线交坐标轴于A、B两点，点A在轴上，点B在轴上，可以求得点B的坐标和的长； （2）根据≌，可以得到，再根据点坐标可以的大点的坐标即可求得直线的解析式，然后与直线联立方程组，即可求得点的坐标； （3）①根据题目中的条件，可以证明≌，即可得到和的数量关系；②根据全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：直线交坐标轴于A、B两点， 当时，，当时，， 点A的坐标为，点B的坐标为， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：过点作交于，交轴于点且已知， ，，， 点， ， ， 点的坐标为， 设过点，点的直线解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 即直线的解析式为， 由，得， 即点的坐标为（，）； 【小问3详解】 解：①线段与数量关系是保持不变， 证明：≌， ∴OE=OA，∠OEM=∠OAN， ∵∠BOA=90°，， ∴∠MON=∠BOA=90°， ∴∠MOE+∠EON=∠EON+∠NOA， ∴∠MOE =∠NOA，， 在和中， ， ∴≌（ASA）， ∴OM=ON， 即线段与数量关系是保持不变； ②∵≌，≌， ∴和面积相等，与面积相等， ∴与面积相等， ∵和面积相等， ∴与面积相等， 即面积是面积的一半， ∴， ∴， 解得：， 把代入， 解得：， 点的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数的性质、三角形的面积、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 23. 【问题背景】 如图1，在四边形中，，E、F分别是上的点，且，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为解决此题可以用如下方式：如图2，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可以得到线段之间数量关系 ． （2）如图3，在等腰直角中，，点E、F在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图4，在四边形中，，在边和分别有一点E和点F，使的周长恰好是长的2倍，求此时的度数． 【答案】（1）（2），理由见解析（3） 【解析】 【分析】（1）延长到点，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可得到线段，，之间的数量关系； （2）过点作，取，连接，，即可证明，可得，再证明，可得，又可证明为直角三角形，则利用勾股定理即可得出，，之间的关系． （3）连接，延长至点，使，连接，证明，，，从而最终得出的度数． 【详解】解：（1），理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2），，之间的关系是：，理由如下： 如图，过点作，取，连接，， ， ， ， 即， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）如图，连接，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 的周长恰好是长的倍， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 且，， ， ， 所以，的度数是． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，四边形的内角和定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，运用类比的方法作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$