6.3.2离散型随机变量的方差课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第六章 概率 6.3 离散型随机变量的均值与方差 （第二课时） 2023级高二数学集体备课组 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 思考 均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，但有时两个随机变量的均值相同，其取值却存在较大的差异.如何来研究这种差异呢？ 例如，有两批灯泡，其平均寿命都是1 000 h，仅由这一指标还不能判断这两批灯泡质量的好坏. 事实上，虽然两批灯泡的平均寿命相当，但有可能其中一批灯泡大部分的寿命集中在950 h~1 050 h； 而另一批灯泡有可能一部分寿命很长，能达到1 500 h，另一部分寿命很短，只能达到500 h左右. 因此，为了判断灯泡质量的好坏，还需要进一步考察灯泡寿命与其均值的偏离程度. 若偏离程度小，则灯泡的寿命比较稳定；若偏离程度大，则灯泡寿命的稳定性比较差. 新知学习 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 设有两种不同类型的灯泡，通过抽样，获得它们的“寿命”分别为（单位：h）. 已知的分布列如表 950 1 000 1 050 700 1 000 1 300 根据的分布列计算可得1 000 h，也就是这两种灯泡的平均寿命都是1 000 h. 进一步观察，我们可以发现，类型的灯泡寿命介于950 h~1 050 h，类型的灯泡寿命介于700 h~1 300 h，直观上看，类型的灯泡寿命与其均值的偏离程度要小一些. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 抽象概括 若离散型随机变量的分布列表如下： 则描述了相对于均值的偏离程度， 而为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量与其均值的平均偏离程度. 我们称为随机变量的方差，其算术平方根为随机变量的标准差，记作 . 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度. 方差（标准差）越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； 反之，方差（标准差）越大，则随机变量的取值越分散. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 在上面的例子中， 类型灯泡寿命的方差为， 标准差为　； 类型灯泡寿命的方差为×3002， 标准差为. 显然，类型灯泡的方差要小，质量要好. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例1　随机抛掷一枚均匀的骰子，求掷出的点数的方差和标准差（结果精确到0.01）. 1 2 3 4 5 6 1×+2×+3×+4×+5×+6×＝3.5； ； ≈1.71. 典例剖析 【解】掷出点数的分布列如下表： 题型1　利用公式直接求方差 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 思考 已知是一个随机变量，且分布列如下表所示. … … … … 设a，b都是实数,且a≠0，则Y=aX+b也是一个随机变量，而且E(Y)=aE(X)+b，那么，这两个随机变量的方差之间有什么联系呢？ 分析：若X与Y都是离散型随机变量，且Y=aX+b，则由X与Y之间分布列和均值之间的关系可知 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 题型2　利用性质求随机变量的均值与方差 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 8 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 9 跟踪训练 已知η的分布列为 (1)求的方差及标准差; (2)设,求. 0 10 20 50 60 解:(1)∵E(η)=0×+10×+20×+50×+60×=16, D(η)=(0-16)2×+(10-16)2×+(20-16)2×+(50-16)2×+(60-16)2×=384, ∴=8. (2)∵Y=2η-E(η),∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1 536. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 归纳 离散型随机变量的期望与方差 名词 数学期望 方差 定义 性质 数学 意义 是一个常数,它反映了随机变量取值的平均水平,亦称均值 是一个常数,它反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例3　甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，设ξ，η分别表示甲、乙两人所加工出的次品件数，且ξ和η的分布列分别如下表： 【解】因为0×+1×+2×＝0.7，0×+1×+2×＝0.7，即， 说明甲、乙两名工人所加工出的平均次品件数相同，可以认为他们的技术水平相当. 又因为（0-0.7）2×+（1-0.7）2×+（2-0.7）2×＝0.81， （0-0.7）2×+（1-0.7）2×+（2-0.7）2×＝0.61， 所以，说明工人乙的技术比较稳定. 0 1 2 0 1 2 试比较这两名工人谁的技术水平更高. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 解题步骤 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 1.比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中,需先计算均值,看一下谁的平均水平高. 2.在均值相等或接近的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定. 3.下结论.依据均值和方差做出结论. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 跟踪训练　为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列． (2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人． 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 解析：(1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1. 因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. 所以ξ，η的分布列分别为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 (2)由(1)可得Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)； Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)； Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96； Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21. 由于Eξ>Eη，说明甲平均射中的环数比乙高； 又因为Dξ<Dη，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定． 所以，甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会． 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 离散型随机变量的期望与方差 名词 数学期望 方差 定义 性质 数学 意义 是一个常数,它反映了随机变量取值的平均水平,亦称均值 是一个常数,它反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度 课堂小结 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 ▲必做题： 教材第209页 练习1、2 课后作业 ▲选做题： 教材第209页 练习3 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 谢 谢！ 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例2、已知随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P eq \f(1,2) eq \f(1,4) a (1)求随机变量X2的分布列； (2)计算X的方差； (3)若随机变量Y＝4X＋3，求Y的均值和方差． 【解】(1)由分布列的性质知eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋a＝1，故a＝eq \f(1,4)，从而X2的分布列为 X2 0 1 P eq \f(1,4) eq \f(3,4) 　　(2)方法一：由(1)知a＝eq \f(1,4)，所以X的均值EX＝－1×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(1,4)＝－eq \f(1,4).故X的方差DX＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(1,4))) eq \s\up12(2)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＋\f(1,4))) eq \s\up12(2)×eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,4))) eq \s\up12(2)×eq \f(1,4)＝eq \f(11,16).　 方法二：由(1)知a＝eq \f(1,4)，所以X的均值EX＝－1×eq \f(1,2)＋0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(1,4)＝－eq \f(1,4)，X2的均值EX2＝0×eq \f(1,4)＋1×eq \f(3,4)＝eq \f(3,4)，所以X的方差DX＝EX2－(EX)2＝eq \f(11,16). (3)因为随机变量Y＝4X＋3，所以EY＝4EX＋3＝2，DY＝42DX＝11. $$ 第六章 概率 6.3 离散型随机变量的均值与方差 （第三课时） 2023级高二数学集体备课组 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例1 一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个.现随机取出小球，当有放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则（　） A. B. C. D.   【解】所有可能的取值为0，1，2，所有可能的取值为0，1， ，，1--＝，故，. ＝，＝，故，. 所以. B 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例2 已知离散型随机变量X的分布列如下表.若E(X)=0，D(X)=1, a=　　　,b=　　　.  【解】由题知,=, 解得. -1 0 1 2 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 ABD 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 4 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 5 B 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 6 0 1 2 4 5 0.3 0.2 0.2 0.1 若离散型随机变量满足，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 例5（多选）设离散型随机变量的分布列为 AC 【解】由离散型随机变量分布列的性质得， 则， . 因为离散型随机变量满足， 所以. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例6 假定某射手每次射击命中目标的概率为.现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为. （1）求的分布列； （2）分别求均值和方差.   【解】 （1）由题意得的所有可能取值为1，2，3， ＝，＝×＝，＝×＝. 所以X的概率分布列为 1 2 3 （2）由题意，得均值＝1×+2×+3×＝， 方差＝++＝. 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 9 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 10 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 11 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 12 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 13 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 14 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 15 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 16 离散型随机变量的期望与方差 名词 数学期望 方差 定义 性质 数学 意义 是一个常数,它反映了随机变量取值的平均水平,亦称均值 是一个常数,它反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度 课堂小结 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 ▲必做题： 教材第209页 习题6-3 A组题1、2、3 课后作业 ▲选做题： 教材第209页 习题 6-3 B组题1、2 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 谢 谢！ 江西省修水县第一中学 修水县第一中学 例3(多选)[山东聊城一中2022高二期中]随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P a eq \f(b,2) eq \f(b,2) 其中ab≠0，则下列说法正确的是(　　)． A．a＋b＝1 B．Eξ＝eq \f(3b,2) C．Dξ随b的增大而减小 D．Dξ有最大值 【解】根据分布列的性质得a＋eq \f(b,2)＋eq \f(b,2)＝1，即a＋b＝1，故A正确； 根据期望公式得Eξ＝0×a＋1×eq \f(b,2)＋2×eq \f(b,2)＝eq \f(3b,2)，故B正确； 根据方差公式得Dξ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－ \f(3b,2)))2×a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－ \f(3b,2)))2×eq \f(b,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－ \f(3b,2)))2×eq \f(b,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－ \f(3b,2)))2×(1－b)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－ \f(3b,2)))2×eq \f(b,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－ \f(3b,2)))2×eq \f(b,2)＝－ eq \f(9,4)b2＋ eq \f(5,2)b＝－ eq \f(9,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－ \f(5,9)))2＋ eq \f(25,36)， 因为0<b<1, 所以当0<b≤eq \f(5,9)时，Dξ随b的增大而增大；当eq \f(5,9)<b<1时，Dξ随b的增大而减小，故C错误；当b＝eq \f(5,9)时，Dξ取得最大值eq \f(25,36)，故D正确．故选ABD. 例4 已知随机变量X满足E(2X＋3)＝7，D(2X＋3)＝16，则下列选项正确的是(　　)． A．EX＝eq \f(7,2)，DX＝eq \f(13,2) B．EX＝2，DX＝4 C．EX＝2，DX＝8 D．EX＝eq \f(7,4)，DX＝8 【解】由E(2X＋3)＝2EX＋3＝7，得EX＝2，由D(2X＋3)＝4DX＝16，得DX＝4，故选B. 例7 [陕西宝鸡2022高二期末]为了响应大学毕业生自主创业的号召，小李毕业后开了家水果店，水果店每天以每个5元的价格从农场购进若干西瓜，然后以每个10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的西瓜当作赠品处理． (1)若水果店一天购进16个西瓜，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：个，n∈N)的函数解析式． (2)水果店记录了100天西瓜的日需求量(单位：个)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率． ①若水果店一天购进16个西瓜，X表示当天的利润(单位：元)，求X的分布列、数学期望及方差． ②若水果店计划一天购进16个或17个西瓜，你认为应购进16个还是17个？请说明理由． 【解】(1)当n≥16时，y＝16×(10－5)＝80， 当n≤15时，y＝(10－5)n－5(16－n)＝10n－80，所以y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10n－80，n≤15，,80，n≥16，))n∈N. (2)①依题意可得X的可能取值为60，70，80， 所以P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7， 所以X的分布列为 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 　　所以EX＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，DX＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44. ②购进17个西瓜时，当天的利润为y＝(14×5－3×5)×0.1＋(15×5－2×5)×0.2＋(16×5－1×5)×0.16＋17×5×0.54＝76.4.因为76.4＞76，所以应购进17个． 例8 [河北张家口2022高二期末]已知投资甲、乙两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2.经统计分析，X1和X2的分布列分别为 表1： X1 0.3 0.18 0.1 P 0.2 0.5 0.3 表2： X2 0.25 0.15 P 0.2 0.8 (1)若在甲、乙两个项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资甲、乙两个项目所获得的利润，求Y1和Y2的数学期望和方差，并由此分析投资甲、乙两个项目的利弊． (2)若在甲、乙两个项目上总共投资100万元，求在甲、乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率＝eq \f(利润,投资额). 【解】(1)由题意，得 EX1＝0.3×0.2＋0.18×0.5＋0.1×0.3＝0.18， DX1＝(0.3－0.18)2×0.2＋(0.18－0.18)2×0.5＋(0.1－0.18)2×0.3＝0.004 8， EX2＝0.25×0.2＋0.15×0.8＝0.17， DX2＝(0.25－0.17)2×0.2＋(0.15－0.17)2×0.8＝0.001 6. 又Y1＝100X1，Y2＝100X2，所以EY1＝100 EX1＝100×0.18＝18，DY1＝1002DX1＝1002×0.004 8＝48， EY2＝100EX2＝100×0.17＝17，DY2＝1002DX2＝1002×0.001 6＝16. 因此投资甲项目的平均利润18万元大于投资乙项目的平均利润17万元，但投资甲项目的方差48也远大于投资乙项目的方差16.所以投资甲项目的平均利润大，方差也大，相对不稳定，而投资乙项目的平均利润小，方差也小，相对稳定．若长期投资可选择投资甲项目，若短期投资可选择投资乙项目． (2)设x万元投资甲项目，则(100－x)万元投资乙项目， 则投资甲项目的利润Z1＝xX1，投资乙项目的利润Z2＝(100－x)X2. 设f(x)为投资甲项目所获利润的方差与投资乙项目所获利润的方差和， 则f(x)＝DZ1＋DZ2＝x2DX1＋(100－x)2DX2 ＝0.004 8x2＋0.001 6(100－x)2 ＝0.001 6(4x2－200x＋10 000)， 当x＝－ eq \f(－200,2×4)＝25时，f(x)的值最小． 故投资甲项目25万元，投资乙项目75万元时，可使所获利润的方差和最小． 例9在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略： 策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分； 策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分． 本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下完成下面小题的情况如下表： 已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其他题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题： (1)若该同学此次考试决定采用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差； (2)若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案． 【解】(1)设事件B1为“第11题得0分”，事件B2为“第11题得2分”，事件B3为“第11题得5分”，事件A1为“第12题得0分”，事件A2为“第12题得2分”，所以P(B1)＝0.1，P(B2)＝0.6，P(B3)＝0.3，P(A1)＝0.5，P(A2)＝0.5.由题意可知，X的可能取值为0，2，4，5，7，则P(X＝0)＝P(B1A1)＝0.1×0.5＝0.05，P(X＝2)＝P(B1A2＋B2A1)＝0.1×0.5＋0.6×0.5＝0.35，P(X＝4)＝P(B2A2)＝0.6×0.5＝0.3，P(X＝5)＝P(B3A1)＝0.3×0.5＝0.15，P(X＝7)＝P(B3A2)＝0.3×0.5＝0.15，所以该同学第11题和第12题总得分X的分布列为 X 0 2 4 5 7 P 0.05 0.35 0.3 0.15 0.15 　　所以EX＝0×0.05＋2×0.35＋4×0.3＋5×0.15＋7×0.15＝3.7， DX＝(0－3.7)2×0.05＋(2－3.7)2×0.35＋(4－3.7)2×0.3＋(5－3.7)2×0.15＋(7－3.7)2×0.15＝3.61. (2)依题意该同学的答题方案有：方案一：11题采用策略B，12题采用策略A；方案二：11题和12题均采用策略B；方案三：11题和12题均采用策略A；方案四：11题采用策略A，12题采用策略B.设随机变量Y为该同学采用方案二时，第11题和第12题总得分，则Y的可能取值为0，2，4，5，7，10，故P(Y＝0)＝0.1×0.1＝0.01，P(Y＝2)＝0.1×0.2＋0.6×0.1＝0.08，P(Y＝4)＝0.6×0.2＝0.12，P(Y＝5)＝0.1×0.3＋0.7×0.1＝0.1，P(Y＝7)＝0.6×0.7＋0.3×0.2＝0.48，P(Y＝10)＝0.3×0.7＝0.21，故Y的分布列为 　 　所以EY＝0×0.01＋2×0.08＋4×0.12＋5×0.1＋7×0.48＋10×0.21＝6.6，但因为时间超过10分钟，其他的题得分少1分，相当于得分均值为6.6－1＝5.6(分)，因为5.6＞3.7，方案三的期望值一定小于4，故不选方案一和方案三．设随机变量Z为该同学采用方案四时，第11题和第12题总得分，则Z的可能取值为0，2，4，5，7，故P(Z＝0)＝0.2×0.1＝0.02，P(Z＝2)＝0.2×0.2＋0.8×0.1＝0.12，P(Z＝4)＝0.8×0.2＝0.16，P(Z＝5)＝0.2×0.7＝0.14，P(Z＝7)＝0.8×0.7＝0.56，故Z的分布列为 　 　所以EZ＝0×0.02＋2×0.12＋4×0.16＋5×0.14＋7×0.56＝5.5，方案四的期望值也小于EY，故不选方案四．所以建议该同学选择方案二：11题和12题均采用策略B答题． $$