精品解析：福建省福州市延安中学2024-—2025学年上学期期中考试九年级数学模拟试卷

福州延安中学2024-2025学年第一学期初三期中模拟检测 数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列4个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 都有可能 3. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 50 4. 如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（　　） A. 2π B. 3π C. 4π D. π 5. 一元二次方程的两根的情况是（ ） A. 有两个相同的实数根 B. 有两个不相等的实数 C. 没有实数根 D. 不能确定 6. 如果，那么的值等于（　　） A. 0 B. 3 C. D. 7. 如图，，分别与相切于点A，B，与相切于点E，交于点F，交于点G，若，则的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数y=x2+bx+3如图所示，那么函数y=x2+（b﹣1）x+3的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A(0，4),B(4，4),C(6，2).则该圆弧所在圆的圆心的坐标为（ ） A. （2,1） B. （1,2） C. （2，-1） D. （2,0） 10. 如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y＝x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A. ﹣2＜k＜ B. ﹣2＜k＜﹣ C. ﹣2＜k＜0 D. ﹣2＜k＜﹣1 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点与关于原点对称，则_____． 12. 已知二次函数的图象与x轴无交点，则k的取值范围是_____． 13. 已知方程的两个解分别为，则=_____． 14. 在平面直角坐标系中，点是直线与轴之间的一个动点，且点是抛物线的顶点，则方程的解的个数是________． 15. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，且始终满足，则的最小值为______，的最大值为______． 三、解答题（共86分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知抛物线经过点、，求抛物线的解析式． 19. 如图，在矩形中，，点在边上，，垂足为． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 20. 如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求直径的长． 21. 突如其来的新冠疫情影响了某厂经济效益，在复工复产对产品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． （1）该商品的售价和进价分别是多少元？ （2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2035元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？ 22. 如图，已知，请用尺规作图法在线段上找一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 23. 安全驾驶：合理车距的保持艺术 背景 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离，整个停车过程中车辆可看作匀速直线运动． 素材 司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为秒，此反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离，满足（其中为汽车制动加速度，在城市道路约为）整个停车距离为． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离___（用含的代数式表示） 任务二 探索研究方法 若汽车行驶速度为，则求汽车的停车距离为多少米 任务三 尝试解决问题 某司机开车上班途中发现正前方米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 24. 如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交的延长线于点P，平分． （1）如图1，若是的直径，求证：与相切； （2）若是的直径， ，求的度数． （3）如图2，若，求的最大值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线上．该抛物线与y轴交点的纵坐标为，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当点A与点P关于该抛物线的对称轴对称时，求的面积； （3）当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，直接写出m的取值范围； （4）设此抛物线在点A与点P之间部分（含点A和点P）的图象为G，且函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，过点A作垂直于y轴的直线l，当该抛物线的最低点到直线l的距离是点P到直线l的距离的2倍时，直接写出m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州延安中学2024-2025学年第一学期初三期中模拟检测 数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列4个图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称的图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，也是轴对称的图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，是轴对称的图形，故本选项错误； D、是中心对称图形但不是轴对称的图形，故本选项正确． 故选：D． 2. 已知圆的半径为3，一点到圆心的距离是5，则这点在（ ） A. 圆内 B. 圆上 C. 圆外 D. 都有可能 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 解：∵点到圆心的距离5，大于圆的半径3， ∴点在圆外．故选C． 考点：点与圆的位置关系． 3. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ） A. 12 B. 18 C. 20 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的性质得到，则，再根据位似图形的周长之比等于位似比进行求解即可． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， ∵周长为8， ∴的周长为20． 故选C． 4. 如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为6，则弧BC的长为（　　） A. 2π B. 3π C. 4π D. π 【答案】A 【解析】 【分析】连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可． 【详解】解：连接OC、OB ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴∠COB＝＝60°， ∵OA=OB ∴△OBC是等边三角形， ∴OB＝OC＝BC＝6， 弧BC的长为: ． 故选：A． 【点睛】此题考查了扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，解题的关键是掌握扇形的弧长公式． 5. 一元二次方程的两根的情况是（ ） A. 有两个相同的实数根 B. 有两个不相等的实数 C. 没有实数根 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴有两个不相等的实数， 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式，先求出△的值，再根据△的符号即可得出一元二次方程根的情况． 6. 如果，那么的值等于（　　） A. 0 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考查了比例的性质，比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项．由比例的性质得到．代入求值即可． 【详解】解：， ， ． ． 故选：A． 7. 如图，，分别与相切于点A，B，与相切于点E，交于点F，交于点G，若，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据切线长定理得到，，，结合三角形的周长公式可求得的周长． 【详解】解：是的切线，， ，，， 的周长 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线长定理，熟记从圆外一点引圆的切线，则其切线长相等，并灵活应用是解题的关键． 8. 已知二次函数y=x2+bx+3如图所示，那么函数y=x2+（b﹣1）x+3的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵函数的a=1>0,过点(0,3)， ∴该函数的图象开口向上,一定过点(0,3)， 故选项A. D错误； 又∵二次函数的图象已知，对称轴在y轴右侧，故可知b<0，所以b−1<0， 抛物线的对称轴为 即对称轴也在y轴的右侧， 故选项B错误，选项C正确， 故选C. 9. 如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点A(0，4),B(4，4),C(6，2).则该圆弧所在圆的圆心的坐标为（ ） A. （2,1） B. （1,2） C. （2，-1） D. （2,0） 【答案】D 【解析】 【分析】由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为圆心； 【详解】：（1）如图：P就是求作的圆心，由作图得：点P在x轴上，点P坐标为：（2，0）； 【点睛】本题考查确定圆心的方法. 10. 如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y＝x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（　　） A. ﹣2＜k＜ B. ﹣2＜k＜﹣ C. ﹣2＜k＜0 D. ﹣2＜k＜﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】根据∠AOB＝45°求出直线OA的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，∠AOB＝45°， ∴直线OA的解析式为y＝x， 联立 消掉y得，x2﹣2x+2k＝0， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×2k＝0， 即k＝时，抛物线与OA有一个交点， 此交点的横坐标为1， ∵点B的坐标为（2，0）， ∴OA＝2， ∴点A的坐标为（，）， ∴交点在线段AO上； 当抛物线经过点B（2，0）时，×4+k＝0， 解得k＝﹣2， ∴要使抛物线y＝x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是﹣2＜k＜． 故选：A． 【点睛】此题考查二次函数图象与一次函数图象交点问题，一元二次方程根的判别式，扇形的性质，综合掌握各知识点并解决问题是解题的关键． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点与关于原点对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】解：点与关于原点对称， ，， 则． 故答案为： 【点睛】此题考查关于原点对称的两点特征：直角坐标系上一点关于原点对称的点为，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反是解题关键． 12. 已知二次函数的图象与x轴无交点，则k的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与x轴无交点，可得，解出k的范围即可求出答案． 【详解】解：二次函数的图象与x轴无交点， ， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，解题的关键是正确列出． 13. 已知方程的两个解分别为，则=_____． 【答案】8 【解析】 【分析】由根与系数的关系得出=6，=-2，将其代入中即可得出结论． 【详解】解：∵方程的两个解分别为， ∴，=-2， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出，=-2．解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键． 14. 在平面直角坐标系中，点是直线与轴之间的一个动点，且点是抛物线的顶点，则方程的解的个数是________． 【答案】，或 【解析】 【分析】点M的纵坐标小于2；点M的纵坐标等于2；点M的纵坐标大于2；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=2的解的个数． 【详解】点M的纵坐标小于2，方程x2+bx+c=2的解是2个不相等的实数根； 点M的纵坐标等于2，方程x2+bx+c=2的解是2个相等的实数根； 点M的纵坐标大于2，方程x2+bx+c=2的解的个数是0． 所以方程x2+bx+c=2的解的个数是0，1或2． 故答案是：0，1或2． 【点睛】考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用． 15. 如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、不规则图形的面积．利用规则图形面积的和差关系求阴影面积是解题关键．根据勾股定理求出的长，分别求出三个半圆的面积和的面积，用两小半圆与直角三角形的和减去大半圆的面积，即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 阴影部分的面积为， 故答案为：15． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，且始终满足，则的最小值为______，的最大值为______． 【答案】 ①. 4 ②. 6 【解析】 【分析】根据点、、的坐标，可知点是的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半解得的长，再由勾股定理解得的长，最后由点与圆的位置关系解得的最大值与最小值，进而确定的取值范围． 【详解】解：连接， 由题意，得：，， ， ， ， 要最大，就是点到上的一点的距离最大， 在的延长线上， ，， ， 的最小值是， 的最大值是， 故答案为：；． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，其中涉及坐标与图形的性质、勾股定理、直角三角形中线的性质等知识，是重要考点，难度较易，将问题转化为求的最大值是解题关键． 三、解答题（共86分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解得：，． 【点睛】此题考查一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法． 18. 已知抛物线经过点、，求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将、代入解析式即可求解；掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为． 19. 如图，在矩形中，，点在边上，，垂足为． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）证明:∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用得到，则根据可判断 ； （2）先利用勾股定理计算出，由于则利用相似比可计算出 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中， ， ∵， ，即 解得． 20. 如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． （1）求证：． （2）若，，求直径的长． 【答案】（1） 证明：∵，且过圆心O ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）的直径是 【解析】 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据垂径定理，得到，等腰三角形三线合一，即可得出结论； （2）连接，设的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，设的半径是r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴或（舍去）， ∴的直径是． 21. 突如其来的新冠疫情影响了某厂经济效益，在复工复产对产品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件． （1）该商品的售价和进价分别是多少元？ （2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2035元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？ 【答案】（1）商品的售价和进价分别是32元/件、24元/件 （2）3元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用、一元二次方程的应用；理解题意，列出方程是解决问题的关键． （1）根据每件的售价比进价多元，件的进价相当于件的售价，可以得到相应的一元一次方程，从而可以求得该商品的售价和进价分别是多少元； （2）根据题意和（1）中的结果，可以得到相应的一元二次方程，从而可以解答本题，注意每天所得的销售利润为元时，且销量尽可能大． 【小问1详解】 解：设进价为每件元，则售价为每件元， 由题意可得，， 解得， ， 答：商品的售价和进价分别是元件、元件； 【小问2详解】 设该商品应涨价元， 由题意可得，， 解得，，， 每天所得的销售利润为元时，且销量尽可能大， ， 答：该商品应涨价元． 22. 如图，已知，请用尺规作图法在线段上找一点，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角、相似三角形的判定与性质，以为圆心，任意长度为半径画弧交于，交于，以为圆心，长度为半径画弧交于，交于，以为圆心，长度为半径画弧交原弧于，作射线交于，点即为所求，证明，得出，即可得解． 【详解】解：如图，点即为所求， ， 由作图可得， ， ， ， ． 23. 安全驾驶：合理车距的保持艺术 背景 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离，整个停车过程中车辆可看作匀速直线运动． 素材 司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为秒，此反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离，满足（其中为汽车制动加速度，在城市道路约为）整个停车距离为． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离___（用含的代数式表示） 任务二 探索研究方法 若汽车行驶速度为，则求汽车的停车距离为多少米 任务三 尝试解决问题 某司机开车上班途中发现正前方米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 【答案】任务一：；任务二：；任务三：车速不超过时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 【解析】 【分析】任务一：根据列式表示即可； 任务二：把代入任务一所得函数解析式计算即可求解； 任务三：把代入任务一所得函数解析式计算即可求解； 本题考查了二次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：任务一：由题意得，， 故答案为：； 任务二：当时，； 任务三：把代入得，， 解得（不合，舍去），， 答：车速不超过时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 24. 如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交的延长线于点P，平分． （1）如图1，若是的直径，求证：与相切； （2）若是的直径， ，求的度数． （3）如图2，若，求的最大值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， 平分， ， ，即， 为的半径， ∴与相切； （2） （3）10 【解析】 【分析】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线判定、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等边三角形判定及性质、解直角三角形等知识，作出辅助线构造出等边三角形是解本题的关键． （1）连接，由得，根据平分，即得，而，即可得； （2）先判断出得出，进而求出，即可求出答案； （3）连接，在上截取，先判断出是等边三角形，进而判断出是等边三角形，进而判断出 ，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的直径， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：连接，在上截取， ， 平分， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 当为直径，即时，取最大值是10． 25. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线上．该抛物线与y轴交点的纵坐标为，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）当点A与点P关于该抛物线的对称轴对称时，求的面积； （3）当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7，直接写出m的取值范围； （4）设此抛物线在点A与点P之间部分（含点A和点P）的图象为G，且函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，过点A作垂直于y轴的直线l，当该抛物线的最低点到直线l的距离是点P到直线l的距离的2倍时，直接写出m的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）的面积为4 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合题，待定系数法求表达式及二次函数图象及性质， （1）用待定系数法求表达式即可； （2）根据对称性先求，进而求面积； （3）根据二次函数的增减性确定范围即可； （4）先求抛物线的最低点到直线l的距离和点P到直线l的距离，进而得到方程，解方程即可解决． 【小问1详解】 解：抛物线与y轴交点的纵坐标为， 即当时，，代入， ， 把点代入， 解得： ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， 抛物线对称轴为直线， 点，点A与点P关于该抛物线的对称轴对称， ， ， ； 【小问3详解】 解：抛物线对称轴为直线，且开口向上， 时，函数值y先随x的增大而减小，时,y随x的增大而增大， 当时，， 由对称性可知当时，， 当时，函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大，且y的最大值为7， ； 【小问4详解】 解：抛物线的最低点坐标为， 过点A作垂直于y轴的直线l，则直线l表达式为， 抛物线的最低点到直线l的距离是， 点P到直线l的距离， 抛物线的最低点到直线l的距离是点P到直线l的距离的2倍时， ，即， 是该抛物线上一动点，其横坐标为m， ， 或， 解得：或， 函数值y先随x的增大而减小，后随x的增大而增大， ， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $