1.2.2 数轴 (主书)-【重难点手册】2024-2025学年新教材七年级上册数学（人教版2024）

第一章有理散 1.2.2数轴 重点和难点 课标要求 重点：掌握数轴的概念 1.能根据数轴的三要素正确画出数轴 难点：能够说出数轴上的已知点所表示的数，能将有 2.理解数轴是从“形”的角度研究数字，初步感受数形 理数用数轴上的点表示出来】 结合的思想。 01必备知识梳理， 知识点1数轴的概念及画法 二定：确定原点，在直线的适当位置选取 1.数轴的概念 点作为原点，位置的选取可依实际问题的需 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫 要而确定 作数轴.原点、正方向和单位长度是数轴的 三选：选取正方向，一般取向右的方向为 三要素，原点是数轴上具有特殊意义的点，它 正方向，并用箭头表示（箭头标在所画直线部 相当于温度计中的零刻度线，一般规定向右为 分的最右边)， 正方向，同一条数轴上的单位长度应当一致. 四统一：统一单位长度，可根据实际问题 在理解数轴的概念时必须明确以下几点： 的需要，首先选取适当的长度作为一个单位长 (1)数轴是一条直线，不是曲线或折线，也 度，然后在直线上均匀地画出刻度线，最后从 不是线段或射线，它可以向两边无限延伸. 原点开始分别向左、右每隔一个单位长度取一 (2)数轴是有方向的，通常取向右或向上 点，如图所示。 的方向为正方向，向左或向下的方向为负 方向 -4-3-2-101234 (3)在数轴上一个适中的位置取一点表示 五标数：确定要表示的数的对应点的位 数0，这个点叫作原点，记作O 置，并用实心圆点表示，然后把表示的数写在 (4)选取适当的长度为单位长度（单位长 对应点的下方（或上方） 度必须一致)，从原点向右，每隔一个单位长度 例①下列数轴表示正确的是( 取一个点，依次表示数1,2,3，：从原点向左， 3210-1-2-3 -1-2-3012 每隔一个单位长度取一个点，依次表示数一1， A B 一2，一3，…，分数和小数也可以用数轴上的点 -3-2-1123 -3-2-10123 表示 0 D 2.数轴的画法 点拨数轴的三要素：原点、正方向、单位 画数轴时，关键是要体现出数轴的三要 长度来判断。 素：原点、正方向和单位长度.如果用数轴表示 解析A,B不符合数轴右边的数总比左边 数，那么步骤可归纳为：一画、二定、三选、四统 的数大的特点，故错误.C没有原点，故错误.D 一，五标数. 符合数轴的定义，故正确， 一画：画直线，一般是画一条水平的直线。 答案D 国避手册七年级教学上册网 知识点2数轴上的点与有理数之间的 点拨先按数轴的画法画出数轴，一1， 关系 一4，一2.5为负数，在原点左边，1.5,3为正 任意一个有理数都可以用数轴上的点来 数，在原点右边.以0为原点，再根据它们到原 表示，但数轴上的点不都表示有理数.一般地， 点的距离标出相应的点 设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原 解析如图所示 -4-2.5-101.53 点的右边，与原点的距离是α个单位长度：表 -5-4-3-2-1012345 示数一a的点在原点的左边，与原点的距离是 变式1如图，数轴上有A,B,C,D,E,F a个单位长度， 六个点，若每两个相邻的点的距离相等，则下 一止有理数原点有边的点 列说法中错误的是( F 0 惊点 数轴上的 A BC D E 数 一部分点 3号 负有理数→原点左边的点 A.原点在点C,D之间 例2画出数轴，并在数轴上标出表示下 B.有三个点表示的数是负数 列各数的点 C.这六个数中没有表示整数的点 -1,0,1.5,-4,3,-2.5. D.点D与原点最接近 02关健能的提。 题型1利用数轴求两点间的距离 2.5个单位长度. 由于距离没有方向性，所以数轴上到某一 例④A,B两点在数轴上，点A对应的数 点的距离相等的点一般有两个，因此要注意考 为2，若线段AB的长为3，求点B对应的数， 虑所有可能的结果。 解析(1)当点B在点A的右侧时，因为点 例3画一条数轴，把有理数1，一3，一1.5 A对应的数为2，线段AB的长为3，所以点B 用数轴上的点表示出来，并指出相邻两点之间 对应的数为5： 的距离是多少？ (2)当点B在点A的左侧时，因为点A对 点拔由于任何一个有理数都可以用数轴 应的数为2，线段AB的长为3，所以，点B对应 上的点表示，所以在确定数轴上的点对应的有 的数为一1. 理数时，应先确定点在原点的左侧还是右侧， 综上，点B对应的数为5或一1. 再确定点与原，点之间有几个单位长度 ◆变式2点A为数轴上表示一2的点，当 解析所画的数轴如图所示。 点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B 3151 3-21023 所表示的数为( ). 表示一3的，点与表示一1.5的点相距1.5个 A.2 B.-6 单位长度，表示一1.5的点与表示1的点相距 C.2或-6 D.以上答案都不对 10 第一章有理敬么 ®黑像 (2)一天，小明从家里先去邮局寄信后，以 求数轴上任意两点之间的距离就是求两点之 每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分 间有多少个单位长度，可借助于数轴加深理解.如 钟.试问这时小明约在什么位置？距图书馆和 例4 学校各约多少米？ 3个单位长度 解析(1)如图所示，以小明家为原，点，向 东为正方向 -1012345 当点B位于点A右侧时，点B对应的数为5. D B 一东 3个单位长度 -400 -150 050100单位：m B A (2)小明从邮局出发，以每分钟50米的速 -1012345 度往图书馆方向走了约8分钟，其路程为50 当，点B位于点A左侧时，点B对应的数为一1 8=400(米)，由图可知，C,D之间相距500米， 题型2利用数轴解决实际问题（动点 此时小明在学校与图书馆之间，距图书馆约 问题) 100米，距学校约150米. 利用数轴解决实际问题的关键是把实际 例7如图1所示，数轴上A,B两点所对 问题转化为数学模型，确定好原点、正方向和 应的数为一8,4，A,B两点各自以一定的速度 单位长度，将各个点在数轴上一一表示出来， 同时运动，且点A的速度为2单位长度/秒. A B 并以动点表示出行走的方向和路线，便可清晰 -8 4 直观地看出所要求的解。 图1 例5小李从A地向东走了100m,然后返 (1)若A,B两点相向而行，在原点O处相 回向西走了30m,又返回向东走了60m.问此 遇，求点B运动的速度： 时小李在出发点A的哪个方向？相距多远？ (2)若A,B两点从开始位置同时按照(1) 解析如图，记向东为正方向，点A为原 中的速度沿数轴正方向运动，试问经过多少秒 ,点.小李行走的路线是A→BC→D,点D在 后，点A,B距离原点O的距离相等？ 出发点A的正东方向，相距100一30十60 解析(1)因为点A,B同时到O点，A点 130(m). 到)点用时8÷2=4（秒），所以B点的速度为 B C→D 4÷4=1(单位长度/秒). -20020406080100120140东 (2)有两种情况：，点A未经过O点和点A 单位：m 例⑥小明的家、学校、邮局、图书馆坐落 经过O点。 在一条东西走向的大街上，依次记作A,B,C, 设经过1秒后，点A,B距离原，点O的距离 D,学校位于小明家正西150米处，邮局位于小 相等 第一种情况，点A未经过O点，如图2所 明家正东100米处，图书馆位于小明家正西 示，A运动到A'点，B运动到B'点 400米处. A A'O BB (1)用数轴表示出A,B,C,D的位置（建议 -8 以小明家为原点). 图2 11 国避手册七年级教学上册网 即AO=OB,所以8一21=4十t,解得1 单位长度到达点C 青（秒)。 (1)画出数轴并标出A,B,C三点在数轴 上的位置： 第二种情况，点A经过O点，如图3所示， (2)写出A,B,C三点表示的数： A运动到A'点，B运动到B'点，此时A',B两 (3)根据点C在数轴上的位置，点C可以 点重合 看作蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬行了几个 O B A'(B) -8 单位长度得到的？ 图3 ●变式4如图所示，A,B分别为数轴上的 即OA'=OB',所以21-8=4+1，解得1 两点，点A对应的数为一10，点B对应的数为 12(秒). 90.现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3单 答：经过号秒或12秒后，点A,B离原点0 位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子 蚂蚁Q恰好从点B出发，以5单位长度/秒的 的距离相等。 速度向左运动.求经过多长时间两只电子蚂蚁 ◆变式3一只蚂蚁沿数轴从原点出发，它 在数轴上相距20个单位长度？ 先向右爬行4个单位长度到达点A,再向左爬 AO B 行5个单位长度到达点B,最后向右爬行2个 -10 90 03热点考向聚焦。 者向1数轴上点的运动 数是-2. 例⑧（经典·成都中考）点P从数轴（向 右为正方向)上的一1所表示的点出发，分别按 图2 下列条件移动两次后到达终点，说出点P在终 点时所表示的数 考向2数轴上点的距离 (1)先向右移动3个单位长度，再向右移 例9(2021·南充中考)数轴上表示数m和 动2个单位长度： m十2的点到原点的距离相等，则m为( ). (2)先向右移动2个单位长度，再向左移 A.-2 B.2 C.1 D.-1 动3个单位长度 点拨由数抽上表示数m和m十2的点到 点拨用图示法将，点P的运动情况反映在 原，点的距离相等且m十2>m,得m<0,可根据 数轴上 数轴分析m的值. 解析(1)如图1所示，点P在终点时所表 解析，数轴上表示数m和m十2的点到 示的数是4. 原，点的距离相等且m十2>m, -8 101 3 ∴.m<0,如图所示. 图1 m-2 (2)如图2所示，点P在终点时所表示的 .一m=m十2，解得m=一1. 12 第一章有理数医组 答案D 解析(1)当线段长为1厘米时，如果它的 向3数轴上点的覆盖 两个端点正好与一个单位长度的两个整数点 例10（经典·孝感中考）数轴上的一个 重合，那么它能盖住两个整数点，依此类推， 点表示一个数，当这个点表示的是整数时，我 n厘米长的线段可以盖住(n十1)个整数点， 们称它是整数点.如果有一条数轴的单位长度 2米=200厘米，所以能盖住200十1=201（个） 是1厘米，有一条长为2米的线段放在该数轴 整数点 上，求它可以盖住的整数点的个数， (2)当长为1厘米的线段的两个端点与一 (1)若2米长的线段的两个端点恰好与两 个单位长度的两个整数，点不重合时，就只能 个整数点重合，则它可以盖住的整数点有 盖住一个整数点，依此类推，n厘米长的线段可 个： (2)若2米长的线段的两个端点不与两个 以盖住n个整数点，2米长的线段正好能盖住 整数点重合，则它可以盖住的整数点有 200个整数点。 个 答案(1)201.(2)200. 13重雕点手册七年级教学上册) 变式参考答案与提示 第一章有理数 即100-(3+5)=20，解得1=10（秒）. 1.1正数和负数 所以经过10秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相距 [变式1】C提示：-4，-2，-}，-1.23是 20个单位长度. 第二种情况，相遇后相距20个单位长度， 负数 100÷(3+5)=12.5(秒)，即P,Q两只电子蚂蚁在 1.2有理数及其大小比较 12.5秒时相遇. 1.2.1有理数的概念 20÷(3十5)=2.5（秒），即P,Q两只电子蚂蚁相 [变式1]C提示：A项中，有理数应该包括正有 遇后继续运动2.5秒时，彼此相距20个单位 理数、0和负有理数：B项中也漏掉了O:D项中的 长度 非正整数是指0和负整数，不包括分数。 所以经过15秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相距 [变式2]如图所示. 20个单位长度 答：经过10秒或15秒时，两只电子蚂蚁在数轴上 号.2012. 12 3.1416, 0,2012 -3.141 5 20,5.1,0,8% -0.1234.-88 -88 ，-0.1234 相距20个单位长度. 20,5.1.0.83 1.2.3相反数 正默集合 负数宋合 整架合 分数集合 [变式1]A提示：C的对面是0，B的对面是2， 1.2.2数轴 A的对面是一1. [变式]D 1.2.4绝对值 [变式2]C提示：点A可以向右移，也可以向 [变式1](1)±6.(2)0.(3)±3.(4)±士4， 左移. ±3，士2，土1.0. (5)±4. [变式3](1)如图所示. L2.5有理数的大小比较 月。9含言A [变式1]A (2)A,B,C三点表示的数分别为4，一1,1. [变式2](1)如图所示. (3)点C可以看作蚂蚁从原点出发，向右爬行1个 -x0-y王 单位长度 (2)x>-y>0>y>-x. [变式4】设经过t秒后，两只电子蚂蚁在数轴上相 第二章有理数的运算 距20个单位长度， 2.1有理数的加法与减法 本题分两种情况：相遇前相距20个单位长度和 2.1.1有理数的加法 相遇后相距20个单位长度. [变式1]D 第一种情况，相遇前相距20个单位长度. [变式2](1)原式=(12+8)+[（一13）+(-7)] 144