精品解析：期中培优训练试题2024-2025学年人教版数学九年级上册

2024—2025学年人教版数学九年级上册 期中培优训练 一、单选题 1. 下列疫情防控标识图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点（﹣1，y1）、（﹣2，y2）、（2，y3）都在二次函数y=﹣3ax2﹣6ax+12（a＞0）上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A. y1＞y3＞y2 B. y3＞y2＞y1 C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y2＞y3 3. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则矩形ABCD的面积为（ ） A. B. 12 C. D. 或 6. 如图，经过原点O的与、轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C D. 8. 某学校准备修建一个面积为200平方米矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（ ） A. x(x－10)＝200 B. 2x＋2(x－10)＝200 C. x(x＋10)＝200 D. 2x＋2(x＋10)＝200 9. 如图，已知正方形，点、分别是、边上，且，将绕点逆时针旋转90°，得到．下列结论正确的是（ ） A. 是的中点 B. C. D. 10. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是．下列结论中：①；②；③；④若点在该抛物线上，则．⑤方程有两个不相等的实数根；其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题 11. 若函数过点，则________． 12. 如果关于x的方程x2﹣x﹣2m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是 _______． 13. 若二次函数y＝x2＋3x－c(c为整数)图象与x轴没有交点，则c的最大值是________. 14. 抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（2，0）．当y＞0时，x的取值范围是_____． 15. 如图，在矩形中，．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，点的对应点分别为．当点落在对角线上时，点与点之间的距离是 _____． 三、解答题 16. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）． 17. 已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，试求的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 19. 如图，点D是等边△ABC内一点，将线段AD绕着点A逆时针旋转60°得到线段AE，连结CD并延长交AB于点F，连结BD，CE． （1）求证：△ACE≌△ABD； （2）当CF⊥AB时，∠ADB＝140°，求∠ECD的度数． 20. 在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣1，﹣1）． （1）画出△ABC向上平移4个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标； （2）画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点B1的对应点B2的坐标． 21. 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1． ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　； （2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值； （3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值． 22. 如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m． （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年人教版数学九年级上册 期中培优训练 一、单选题 1. 下列疫情防控标识图案中，是中心对称图形的是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，进行判断即可． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 已知点（﹣1，y1）、（﹣2，y2）、（2，y3）都在二次函数y=﹣3ax2﹣6ax+12（a＞0）上，则y1、y2、y3大小关系为（　　） A. y1＞y3＞y2 B. y3＞y2＞y1 C. y3＞y1＞y2 D. y1＞y2＞y3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意首先可知二次函数图像开口向下，进一步可得出其对称轴为：，然后根据图像上的点的横坐标距离对称轴的远近来比较各自纵坐标的大小即可. 【详解】∵， ∴，即该二次函数图像开口向下， 由二次函数解析式可知其对称轴为：， ∵点（﹣1，y1）、（﹣2，y2）、（2，y3）都在该二次函数图像上， 而三点的横坐标距离对称轴的距离由近到远为：（﹣1，y1）、（﹣2，y2）、（2，y3）， ∴y1> y2> y3， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了二次函数图像性质与特点，熟练掌握相关方法是解题关键. 3. 如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，作轴于．解直角三角形求出，即可． 【详解】解：如图，作轴于． 由题意：，， ， ，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化——旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 4. 对于实数a，b定义运算“”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得到关于x的方程，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】∵实数a，b定义运算“”为， ∴可化为， 整理得：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式，准确理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 5. 矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则矩形ABCD的面积为（ ） A. B. 12 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先求的两个根再根据矩形的性质，用勾股定理求得另一边长或，计算面积即可． 【详解】∵， ∴（x-2）（x-5）=0， ∴ ∴另一边长为=或=， ∴矩形的面积为2×=或5×=5， 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练解方程，灵活用勾股定理是解题的关键． 6. 如图，经过原点O的与、轴分别交于A、B两点，点C是劣弧上一点，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵与所对的弧是同一段弧，且， ∴， 故选：B． 7. 已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-2，然后比较三个点距直线x=-2的远近得到y1、y2、y3的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的解析式为y=3（x+2）2， ∴抛物线的对称轴为直线x=-2， ∵A（1，y1）、B（2，y2）、C（-3，y3）， ∴点B离直线x=-2最远，点C离直线x=-2最近， 而抛物线开口向上， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 8. 某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为（ ） A. x(x－10)＝200 B. 2x＋2(x－10)＝200 C. x(x＋10)＝200 D. 2x＋2(x＋10)＝200 【答案】C 【解析】 【分析】设长为(x＋10)米，可列方程x(x＋10)＝200． 【详解】解：∵花圃的长比宽多10米，设花圃的宽为x米， ∴长为(x＋10)米． ∵花圃的面积为200， ∴可列方程为x(x＋10)＝200． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的几何问题，利用“长比宽多10米”用未知数把长和宽表示出来是解题的关键． 9. 如图，已知正方形，点、分别是、边上，且，将绕点逆时针旋转90°，得到．下列结论正确的是（ ） A. 是的中点 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形和旋转的性质，可得证得△EDF≌△MDF，可得EF=FM，然后逐项判断即可求解． 【详解】解：在正方形中，AD=CD=BC，∠ADC=∠A=∠B=∠DCM=90°， ∵将绕点逆时针旋转90°，得到． ∴∠ADE=∠CDM，DE=DM，∠EDM=90° ∵， ∴∠ADE+∠CDF=45°， ∴∠MDF=∠CDF+∠CDM=45°=∠EDF， ∵DF=DF， ∴△EDF≌△MDF，故C正确，符合题意； ∴EF=FM， 在中，， ∴，即不是的中点，故A错误，不符合题意； 无法确定BE与BF的大小，故B错误，不符合题意； ∵∠A=∠B=90°， ∴∠AED+∠ADE=∠BEF+∠BFE=90°， ∵∠DEF的大小无法确定， ∴∠AED与∠BFE的大小无法确定， ∵∠AED=∠M， ∴∠M与∠BFE的大小无法确定， ∴EF不一定与DM平行，故D错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 10. 抛物线的部分图象如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是．下列结论中：①；②；③；④若点在该抛物线上，则．⑤方程有两个不相等的实数根；其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，明确题意、利用二次函数的性质以及数形结合的思想是解题的关键． 根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，最大值（最小值）以及对称性综合判断即可解答． 【详解】解：抛物线开口向下，则， 对称轴为，即， 抛物线与y轴交在正半轴，， 故，故①正确， 抛物线的对称轴是，则，故，故②正确； ∵与轴的一个交点坐标为， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，所以③正确； ∵当时，此时，即该函数取得最大值， ∴点在该抛物线上，则，故正④确； ∵由图象可得，抛物线的顶点的纵坐标大于4， ∴直线与抛物线有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故⑤正确． 综上，正确的有①②③④⑤，共5个． 故选：A． 二、填空题 11. 若函数过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将点代入二次函数的解析式中，从而我们可以得出的值． 【详解】解：将点代入二次函数中， 得： 解得：， 故答案为：． 12. 如果关于x的方程x2﹣x﹣2m＝0没有实数根，那么实数m的取值范围是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】由于方程没有实数根，则其判别式Δ＜0，由此可以建立关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围． 【详解】解：由题意知， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 13. 若二次函数y＝x2＋3x－c(c为整数)的图象与x轴没有交点，则c的最大值是________. 【答案】－3 【解析】 【详解】分析:判断抛物线与x轴的交点个数,可根据的值进行判断,当时,抛物线与x轴有2个交点, 当时,抛物线与x轴有1个交点,当时,抛物线与x轴没有交点. 详解:因为抛物线y＝x2＋3x－c(c为整数)的图象与x轴没有交点, 所以, 所以, 因为c为整数, 所以c的最大值是-3. 故答案为:-3. 点睛:本题主要考查二次函数图象与一元二次方程的关系,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象与一元二次方程的关系. 14. 抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（2，0）．当y＞0时，x的取值范围是_____． 【答案】x＜﹣1或x＞2##x＞2或x＜-1 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，得抛物线的开口向上，再根据二次函数图像的性质分析，即可得到答案． 【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（2，0）， ∴抛物线的开口向上， 如图： ∴当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣1或x＞2． 故答案为：x＜﹣1或x＞2． 【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解． 15. 如图，在矩形中，．将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形，点的对应点分别为．当点落在对角线上时，点与点之间的距离是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质与旋转，三角形的全等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 根据题意，画出旋转后图形，证即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16. 用适当的方法解下列方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，正确的计算是解题的关键： （1）直接开方，进行求解即可； （2）移项后，利用因式分解法进行求解即可． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： ∴． 17. 已知、是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，试求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）因为方程有两个实数根，得到△≥0，由此可求k的取值范围， （2）由一元二次方程的解的定义得出，x12=-3x1-k+3，将它代入x12+2x1+x2+k=3，得出x1=x2，那么△=32-4（k-3）=0，即可求出k的值． 【详解】解： （1）∵一元二次方程有两个实数根， ∴，解得：. ∴当时，关于的一元二次方程有两个实数根. （2）∵是关于的一元二次方程的根， ∴，即， ∵， ∴， ∴, ∴， 解得：. 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）﹣2，0． 【解析】 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】解：（1）如图所示，分别确定平移后的对应点， 得到A1B1C1即为所求； （2）如图所示，分别确定旋转后的对应点， 得到A2B2C2即为所求； （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 19. 如图，点D是等边△ABC内一点，将线段AD绕着点A逆时针旋转60°得到线段AE，连结CD并延长交AB于点F，连结BD，CE． （1）求证：△ACE≌△ABD； （2）当CF⊥AB时，∠ADB＝140°，求∠ECD的度数． 【答案】（1）详见解析；（2）50° 【解析】 【分析】（1）由“SAS”可证△ACE≌△ABD； （2）由等边三角形的性质和等腰三角形的性质可求∠BDF＝70°，即可得∠ABD＝20°，由全等三角形的性质可得∠ACE＝20°，即可求解． 【详解】解：（1）∵△ABC等边三角形 ∴AC＝AB，∠CAB＝60° ∵将线段AD绕着点A逆时针旋转60°得到线段AE ∴AE＝AD，∠EAD＝∠CAB＝60° ∴∠EAC＝∠DAB，且AC＝AB，AE＝AD ∴△ACE≌△ABD（SAS） （2）∵CF⊥AB，AC＝BC ∴DF垂直平分AB，∠ACF＝∠ACB＝30° ∴AD＝DB，且DF⊥AB ∴∠ADF＝∠BDF＝∠ADB＝70° ∴∠ABD＝20° ∵△ACE≌△ABD ∴∠ABD＝∠ACE＝20° ∴∠ECD＝∠ACE+∠ACF＝50° 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 20. 在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，△ABC的顶点在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣1，﹣1）． （1）画出△ABC向上平移4个单位长度得到的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标； （2）画出△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点B1的对应点B2的坐标． 【答案】（1）见解析；点B1的坐标为（-1，3）；（2）见解析；点B2的坐标为（3，1）． 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质进行求解即可得到答案； （2）根据关于原点旋转90度的作图方法和点的坐标特点进行求解即可． 【详解】解：（1）∵三角形ABC向上平移4个单位得到三角形，B（-1，-1）， ∴的坐标为（-1，3）， 如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； ∵是绕原点顺时针旋转90度得到，（-1，3）， ∴的坐标为（3，1）． 【点睛】本题主要考查了旋转作图和平移作图，解题的关键在于能够熟练掌握根据平移方式确定点的坐标以及绕原点旋转90度的点的坐标特征． 21. 把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：若代数式M＝a2﹣2ab+2b2﹣2b+2，利用配方法求M的最小值：a2﹣2ab+2b2﹣2b+2＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2b+1+1＝（a﹣b）2+（b﹣1）2+1． ∵（a﹣b）2≥0，（b﹣1）2≥0， ∴当a＝b＝1时，代数式M有最小值1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　； （2）若代数式M＝+2a+1，求M的最小值； （3）已知a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0，求代数式a+b+c的值． 【答案】（1）4；（2）M的最小值为﹣3；（3）a+b+c=. 【解析】 【分析】（1）根据常数项等于一次项系数的一半进行配方即可； （2）先提取，将二次项系数化为1，再配成完全平方，即可得答案； （3）将等式左边进行配方，利用偶次方的非负性可得a，b，c的值，从而问题得解． 【详解】（1）∵a2+4a+4＝（a+2）2 故答案为4； （2）M＝+2a+1 ＝（a2+8a+16）﹣3 ＝（a+4）2﹣3 ∴M的最小值为﹣3 （3）∵a2+2b2+4c2﹣2ab﹣2b﹣4c+2＝0， ∴（a﹣b）2+（b﹣1）2+（2c﹣1）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，2c﹣1＝0 ∴a＝b＝1， ， ∴a+b+c=． 【点睛】本题考查了配方法的应用，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． 22. 如图所示是隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=x2+bx+c表示，且抛物线上的点C到OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为m． （1）求抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向车道，那么这辆货车能否安全通过？ （3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【答案】（1）抛物线的函数关系式为y=x2+2x+4，拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）可以通过，理由见解析（3）两排灯的水平距离最小是． 【解析】 【分析】（1）根据点B和点C在函数图象上，利用待定系数法求出b和c的值，从而得出函数解析式，根据解析式求出顶点坐标； （2）根据题意得出车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）），然后求出当x=2或x=10时y的值，与6进行比较大小，比6大就可以通过，比6小就不能通过； （3）将y=8代入函数，得出x的值，然后进行做差得出最小值． 【详解】解：（1）由题知点在抛物线上 所以， 解得， ∴， ∴当时， ∴抛物线解析式为，拱顶D到地面OA的距离为10米； （2）由题知车最外侧与地面OA的交点为（2，0）（或（10，0）） 当x=2或x=10时，， 所以可以通过； （3）令，即，可得，解得 答：两排灯的水平距离最小是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$