第七章 平行线的证明 7.1 为什么要证明教学设计2024--2025学年北师大版八年级数学上册

第七章 平行线的证明 7.1 为什么要证明 教学目标 【知识与能力】 1.体会通过观察、猜想、归纳等得到的结论不一定正确,使学生对由这些方法得到的结论产生怀疑,从而认识到证明的必要性. 2.理解并掌握检验数学结论是否正确的常用方法,理解数学的严谨性. 【过程与方法】 通过观察、猜想、推理的过程,发展学生的探索意识与合作交流的意识. 【情感态度价值观】 发展学生的探索意识以及合作交流的习惯;关注现实,培养学生进行深入思考的能力和质疑精神. 教学重难点 【教学重点】 理解判断一个结论正确与否需要进行推理证明,理解并掌握应用实验进行证明、举反例验证、利用推理论证来验证某些结论是否正确的方法. 【教学难点】 体会数学推理的重要性和必要性. 教学过程 一、导入新知 现实生活中，我们常用观察的方法来了解世界.数学学习中，我们也用观察、实验、归纳的方法得出了很多结论.观察、实验、归纳的方法得到的结论一定正确吗？如果不是，那么，用什么方法证明它呢？ 二、课堂新授 数学的结论必须经过严格的论证 观察与思考 两图中的中间圆大小一样吗？ 图中的四边形是长方形吗？ 是静还是动？ 平行线:不敢相信图中的横线是平行的,不过它们就是平行线! 你觉得观察得到的结论正确吗？ 判断一个数学结论是否正确，仅观察、猜想、 实验还不够；必须经过一步一步、 有根有据的证明.请举例说明，你用到过的推理. 如图，假如用一根比地球的赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？（地球看成球形）能放进一个拳头吗？ 解：设赤道周长为C，铁丝与地球赤道之间的间隙为 =≈0.16（m）. 所以，它们的间隙能放进一个拳头. 大数学家也有失误 当n=0，1，2，3，4时，+1= 3，5，17，257，65 537，都是质数. 所以数学家费马断言对于所有自然数n，+1的值都是质数. 事实上，当n=5时，+1= 4 294 967 297=641×6 700 417. 总结： 这个故事告诉我们： 1.学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度. 2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确. 检验数学结论的常用方法 考点1 实验验证法 先观察再验证． (1)图①中实线是直的还是弯曲的？ (2)图②中两条线段a与b哪一条更长？ (3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？ 解：观察可能得出的结论是： ①实线是弯曲的；②a更长一些；③AB与DC不平行． 而我们用科学的方法验证后发现： ①实线是直的；② a与b一样长；③ AB平行于CD. 总结： 有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论． 练习 图中两条线段a与b的长度相等吗? 线段a与线段b哪个比较长？ 谁与线段d在一条直线上？ 考点2 推理证明法 当n为正整数时，代数式(n2-5n+5)2的值都等于1吗？ 解：当n=1时，(n2-5n+5)2=12=1； 当n=2时，(n2-5n+5)2=(-1)2=1； 当n=3时，(n2-5n+5)2=(-1)2=1； 当n=4时，(n2-5n+5)2=12=1； 当n=5时，(n2-5n+5)2=52=25≠1. 所以当n为正整数时，(n2-5n+5)2的值不一定等于1. 方法总结:验证特例是判断一个结论错误的最好方法． 练习 代数式n2-n+11的值都是质数吗？ 当n=0，1，2，3，4，5时，代数式n2 -n+11的值是质数吗？ n 0 1 2 3 4 5 n2-n+11 11 11 13 17 23 31 你能否得到结论：对于所有自然数n，代数式n2-n+11的值都是质数？ n 6 7 8 9 10 11 n2-n+11 41 53 67 83 101 121 对于所有自然数n，代数式n2-n+11的值不一定都是质数. 如图，从点O出发作出四条射线OA，OB，OC，OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD. (1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数. (2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数. (3)由(1)、(2)你发现了什么？ (4)你能肯定上述的发现吗？ 分析：图中∠AOB，∠COD均与∠BOC互余，根据角的和、差关系，可求得∠AOB与∠COD的度数．通过计算发现∠AOB＝∠COD，于是可以归纳∠AOB＝∠COD. 解：（1）解：因为OA⊥OC，OB⊥OD， 所以∠AOC＝∠BOD＝90°. 因为∠BOC＝30°， 所以∠AOB＝∠AOC-∠BOC＝90°-30°＝60°， ∠COD＝∠BOD-∠BOC＝90°-30°＝60°. (2)∠AOB＝∠AOC-∠BOC＝90°-54°＝36°， ∠COD＝∠BOD-∠BOC＝90°-54°＝36°. (3)由(1)、(2)可发现∠AOB＝∠COD. (4)因为∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90° 所以∠AOB＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD， 所以∠AOB＝∠COD. 方法总结:检验数学结论具体经历的过程是： 观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论． 练习 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点．连接DE，DE与BC有怎样的位置关系？有怎样的数量关系？先猜一猜，再设法检验你的猜想.你能肯定你的结论对所有△ABC都成立吗？与同伴进行交流. 解：DE与BC平行，DE的长度等于BC的一半.通过测量检验这个结论是正确的.这个结论对所有三角形都成立. 三、巩固练习 1.下列结论中你能肯定的是（ ） A.今天下雨，明天必然还下雨 B.三个连续整数的积一定能被6整除 C.小明在数学竞赛中一定能获奖 D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人 2.顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形 3.下列问题用到推理的是（ ） A.根据a=10，b=10,得到a=b B.观察得到三角形有三个角 C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘 D.由经验可知过两点有且只有一条直线 4.当x为任意实数时,x2+4x+5的值都大于零吗? 解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1. 因为(x+2)2≥0,所以(x+2)2+1＞0. 所以当x为任意实数时,x2+4x+5的值都大于零. 5.当n为正整数时，n2+3n+1的值一定是质数吗？ 解：不是，当n=6时， n2+3n+1=55不是质数. 6.如图，有A，B，C，D，E，F六个人坐在一张圆桌周围共进午餐.已知C坐在①号位，E和C相隔一人且坐在C的右边，D坐在A的对面，B与F相隔一人且坐在F的右边，F与A不相邻.请问A，B，C，D，E，F各坐在哪个位置？ 7.从2开始,连续的偶数相加,和的情况如下: 2+4=6=2×3； 2+4+6=12=3×4； 2+4+6+8=20=4×5；…… (1)请推测从2开始,n个连续偶数相加,和是多少. (2)取n=6,验证(1)的结论是否正确. 解:(1)2+4+6+…+2n=n(n+1). (2)当n=6时,按规律应是2+4+6+8+10+12=42=6×7,按(1)的结论是n(n+1)=6×(6+1),所以(1)的结论是正确的. 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $$