第七章 平行线的证明 7.3 平行线的判定教学设计2024--2025学年北师大版八年级数学上册

7.3 平行线的判定 教学目标 【知识与能力】 1．了解并掌握平行线的判定公理和定理； 2．了解证明的一般步骤． 【过程与方法】 通过经历利用平行线的第一个判定定理简单论证平行线的另两个判定定理的过程，进一步掌握平行线的判定方法，领悟归纳和转化数学思想方法. 【情感态度价值观】 通过判定定理的证明、推导，进一步发展空间观念，培养逻辑思维能力. 教学重难点 【教学重点】 平行线判定定理的推导 【教学难点】 判定定理的证明 教学过程 一、导入新知 装修师傅随身只带了一个量角器，要判断一块破碎的玻璃板的上下两边是否平行，你能帮助他解决这个问题吗？ 二、课堂新授 同位角相等，两直线平行 我们已经学习过用三角尺和直尺画平行线的方法. 一放二靠三推四画 （1）画图过程中，什么角始终保持相等？ （2）直线a，b位置关系如何？ （3）将其最初和最终的两种特殊位置抽象成几何图形： （4）由上面的操作过程，你能发现判定两直线平行的方法吗？ 判定方法1：两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成：同位角相等，两直线平行. 几何语言： ∵∠1=∠2（已知），∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行）. 考点 利用同位角相等判定两直线平行 下图中，如果∠1=∠7，能得出AB∥CD吗？写出你的推理过程. 解：∵∠1=∠7（已知）， ∠1=∠3（对顶角相等）， ∴ ∠7=∠3（等量代换）. ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）. 练习 如图，∠1＝∠2＝35°，则AB与CD的关系是AB∥CD， 理由：同位角相等，两直线平行. 内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.这个定理可以简单说成:内错角相等,两直线平行. 你能运用所学知识来证实它是一个真命题吗? 已知:如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的内错角,且∠1=∠2. 求证:a∥b. 证明：∵ ∠1=∠2（已知）， ∠1=∠3（对顶角相等）， ∴∠2=∠3（等量代换）. ∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）. 判定方法2：两条直线被第三条直线所截 ,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成：内错角相等，两直线平行. 几何语言： ∵∠3=∠2（已知），∴a∥b（内错角相等，两直线平行）. 考点 利用内错角相等判定两直线平行 完成下面证明：如图，CB平分∠ACD，∠1＝∠3.求证AB∥CD. 证明：∵CB平分∠ACD，∴∠1＝∠2（角平分线的定义）. ∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3. ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 练习 已知∠3=45 °，∠1与∠2互余，试说明AB//CD？ 解：∵∠1与∠2互余， ∴ ∠1+∠2=90°（互余的定义）. ∵∠1=∠2（对顶角相等）， ∴∠1=∠2=45°. ∵∠3=45°（已知）， ∴∠2=∠3. ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行）. 同旁内角互补，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 条件是：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补， 结论是：这两条直线平行. 已知：如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角,且∠1与∠2互补. 求证：a∥b. 证明：∵ ∠1与∠2互补（已知）， ∴∠1+∠2=180°（补角的定义）. 又∵∠3+∠1=180°（平角的定义） ∴∠2=∠3（同角的补角相等）. ∴ a∥b（同位角相等,两直线平行）. 判定方法3：两条直线被第三条直线所截 ,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 几何语言： ∵∠1+∠2=180°（已知），∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）. 考点 利用同旁内角互补判定两直线平行 如图：直线AB，CD都和AE相交，且∠1+∠A=180° ．求证：AB//CD. 证明：∵∠1+∠A=180°（已知）， ∠1=∠2（对顶角相等）， ∴∠2+∠A=180°（等量代换）. ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）. 练习 根据条件完成填空. ①∵∠2=∠6（已知）， ∴ AB∥CD（同位角相等,两直线平行）. ②∵∠3=∠5（已知）， ∴AB∥CD（内错角相等,两直线平行）. ③∵∠4+∠5=180°（已知）， ∴AB∥CD（同旁内角互补,两直线平行）. 练习 蜂房的底部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如右图所示，其中∠α=110°，∠β=70°,试确定这三个四边形的对边的位置关系，并说明你的理由. 答：这三个四边形的对边分别平行，因为∠α+∠β=180°,根据同旁内角互补，两直线平行. 三、巩固练习 1.如图,可以确定AB∥CE的条件是( ) A.∠2=∠B B. ∠1=∠A C. ∠3=∠B D. ∠3=∠A 2.如图,已知∠1=30°,∠2或∠3满足条件∠2=150°或∠3=30°，则a∥b. 3.如图. （1）从∠1=∠4，可以推出AB∥CD，理由是内错角相等，两直线平行. （2）从∠ABC+∠BCD=180°，可以推出AB∥CD，理由是同旁内角互补，两直线平行. (3)从∠3=∠2，可以推出AD∥BC，理由是内错角相等，两直线平行. (4)从∠5=∠ABC，可以推出AB∥CD， 理由是同位角相等,两直线平行. 4.根据条件完成填空. ①∵∠1=∠2（已知）,∴AB∥CE(内错角相等,两直线平行). ②∵∠1+∠3=180°（已知）,∴CD∥BF(同旁内角互补,两直线平行). ③∵∠1+∠5=180°（已知）,∴AB∥CE(同旁内角互补,两直线平行). ④∵∠4+∠3=180°（已知），∴CE∥AB(同旁内角互补,两直线平行), 5.如图，已知∠1=∠3，AC平分∠DAB，你能判断哪两条直线平行？请说明理由？ 解：AB∥CD. 理由：∵AC平分∠DAB（已知）, ∴∠1=∠2（角平分线定义）. 又∵∠1=∠3（已知）, ∴∠2=∠3（等量代换）. ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行). 6.如图，已知∠MCA=∠A，∠DEC=∠B，那么DE∥MN吗？为什么？ 解：DE∥MN. 理由：∵ ∠MCA= ∠ A（已知）, ∴ AB∥MN（内错角相等，两直线平行）. 又 ∵∠ DEC= ∠ B（已知）, ∴ AB∥DE（同位角相等，两直线平行）. ∴ DE∥MN（如果两条直线都和第三条直线平行，那 么这两条直线也互相平行）. 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $$