第七章 平行线的证明 7.2 定义与命题（第2课时）教学设计2024--2025学年北师大版八年级数学上册

7.2 定义与命题 第 2 课时 定理与证明 教学目标 【知识与能力】 1.了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理； 2.体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性． 【过程与方法】 通过对公理的认识，明确证明需要公理和定理. 经历实际情境，初步体会公理化的思想和方法. 【情感态度价值观】 通过从具体例子中提炼数学概念，培养学生思维的严密性和逻辑性. 结合实例让学生意识到证明的必要性，培养学生做到有理有据，有条理地表达自己的想法的良好意识，培养语言表达能力. 教学重难点 【教学重点】 理解公理、证明和定理的概念. 【教学难点】 理解公理与定理的区别，写出有理有据的证明过程. 教学过程 一、导入新知 如何证实一个命题是真命题呢？ 用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法. 这些方法往往并不可靠. 哦……那可怎么办 能不能根据已经知道的真命题证实呢? 那已经知道的真命题又是如何证实的? 二、课堂新授 公理、证明、定理的概念 了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数学家欧几里得(Euclid,公元前300前后)；找出下列各个定义并举例． 1.原名:某些数学名词称为原名. 2.公理:公认的真命题称为公理. 3.证明:除了公理外,其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.演绎推理的过程称为证明. 4.定理:经过证明的真命题称为定理. 本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条: 1.两点确定一条直线; 2.两点之间线段最短; 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）; 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等; 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等; 8.三边分别相等的两个三角形全等. 其他公理 等式的有关性质和不等式的有关性质（以后将会学到）都可以看作公理． “在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”.这一性质也看作公理,简称为“等量代换”. 证明的过程 证明定理“对顶角相等” 例 如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.求证：∠AOC =∠BOD. 证明：∵直线AB与直线CD相交于点O (已知)， ∴ ∠AOB与∠COD都是平角(平角的定义). ∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°，∠BOD＋∠AOD＝180°（补角的定义）. ∴ ∠AOC =∠BOD (同角的补角相等). 证明的书写格式： 根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证，经过分析找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据. 证明过程的注意事项： 证明的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. 证明定理 ：同角的补角相等. 已知：如图，∠2是∠1的补角， ∠3是∠1的补角. 求证：∠2=∠3. 证明：∵∠2是∠1的补角(已知), ∴ ∠2＋∠1=180°(补角的定义). ∴ ∠2＝ 180°-∠1 (等式的性质). ∵∠3是∠1的补角(已知), ∴ ∠3＋∠1＝180°(补角的定义). ∴ ∠3＝ 180°-∠1 (等式的性质). ∴ ∠2=∠3(等量代换). 考点 证明推理的应用 如图，∠1=∠2，试说明直线AB，CD平行. 分析：要证明AB，CD平行，就需要同位角相等的条件，图中∠1与∠3就是同位角.我们只要找到：能说明它们相等的条件就行了. 从图中，我们可以发现：∠2与∠3是对顶角，所以∠3=∠2.这样我们就找到了∠1与∠3相等的确切条件了. 证明：∵∠2与∠3是对顶角（对顶角的定义）， ∴∠3=∠2（对顶角的性质）. 又∵∠1=∠2（已知）， ∴∠1=∠3（等量代换）. ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）. 练习 如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截，在下面三个式子中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并写出对应的推理过程. ①AB∥CD，②BE∥CF，③∠1＝∠2 题设(已知): ①② . 结论(求证)： ③ . 证明：∵AB∥CD（已知）， ∴∠ABC＝∠DCB（两直线平行，内错角相等）. 又∵BE∥CF（已知）， ∴∠EBC＝∠FCB（两直线平行，内错角相等）. ∵∠ABC-∠EBC＝∠DCB-∠FCB（等式的性质）, ∴∠1＝∠2. 三、巩固练习 1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ） A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题 1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ） A.定理 B.公理 C.定义 D.只是命题 3.下列句子中，是定理的是（ ），是公理的是（ ）. A.若a=b，b=c，则a=c； B.对顶角相等; C.全等三角形的对应边相等，对应角相等. 4.在下面的括号内，填上推理的依据. 如图，AB ∥ CD,CB ∥ DE , 求证∠ B+ ∠D=180°. 证明： ∵ AB ∥ CD, ∴ ∠B= ∠C( ). ∵ CB ∥ DE, ∴ ∠ C+ ∠ D=180°( ). ∴ ∠ B+ ∠ D=180°( ). 5.已知：b∥c， a⊥b ．求证：a⊥c． 证明：∵ a ⊥b（已知）, ∴∠1=90°（垂直的定义）. 又∵b ∥ c（已知）, ∴∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）. ∴a ⊥ c（垂直的定义）. 6.填空： 已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4. 求证：EG∥FH． 证明：∵∠1=∠2（已知），∠AEF=∠1 （ ）, ∴∠AEF=∠2 （ ）． ∴AB∥CD （ ）． ∴∠BEF=∠CFE （ ）． ∵∠3=∠4（已知）, ∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3, 即∠GEF=∠HFE （ ）． ∴EG∥FH （ ）． 7.如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP，求证PG∥HQ. 证明：∵AB∥CD(已知)， ∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)． 又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)， ∴∠GPQ＝∠BPQ,∠HQP＝∠CQP(角平分线的定义)， ∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)， ∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)． 四、课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $$