专题4.2 一次函数与几何压轴（十大题型）-2024-2025学年八年级数学上册《重难点题型•高分突破》（北师大版）

专题4.2 一次函数与几何压轴（十大题型） 【题型1 一函数中面积问题】 【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】 【题型3 次函数中直角三角形的存在性问题】 【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】 【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】 【题型7 一次函数中矩形的存在性问题】 【题型8 一次函数中正方形的存在性问题】 【题型9 一次函数与相等角/2倍角的问题】 【题型10 一次函数中45°角问题】 【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积 【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径： ①知底求高、转化线段； ②图形割补、面积和差； ③平行交轨、等积变换。 【技巧点睛3】处理线段问题 （1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）； （2） 线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。 【技巧点睛4】角度问题 （1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。 （2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点 【技巧点睛5】最值问题 （1） 求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑； （2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型 【技巧点睛6】特殊三角形存在问题 等腰三角形存在性问题 1、找点方法： ①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 D 点外）与 A、B 构成以 A 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 E 点外）与 A、B 构成以 B 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰三 角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 2、求点方法： 2、 直角三角形存在性问题 若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。 【技巧点睛6】四边形存在问题 1．坐标系中的平行四边形： （1）对边平行且相等： （2）对角线互相平分： 即 A、C 中点与 B、D 中点重合． 以上两条可统一为： 总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等 方法归纳： 1、列出四个点坐标 2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组 3、验证点是否符合题意 【题型1 一函数中面积问题】 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，，已知， ，直线与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； 【变式1-1】已知直线与直线． (1)求两直线交点C的坐标； (2)求的面积． (3)在直线上能否找到点P，使得，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由． 【变式1-2】如图，已知直线经过点并和x轴交于点A．    (1)求点A的坐标； (2)若直线与y轴交于点D，与直线交于点C，求点C与点D的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【变式1-3】如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是的中点． (1)求点C的坐标； (2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标； (3)点P在y轴上，且三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点P的坐标． 【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】 【典例2】如图，直线y＝－x＋8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处. （1）求A、B两点的坐标； （2）求直线AM的表达式； （3)在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.    【变式2-1】如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. （1）求点A，B的坐标； （2）过点B作直线与x轴相交于点P，且使，求的面积. （3）如果x轴上有一动点M，要使以A、B、M为顶点的三角形构成为等腰三角形，请探究并求出符合条件的所有M点坐标. 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(5，0)和点B（0，4）．      （1）求直线AB所对应的函数表达式； （2）设直线y＝x与直线AB相交于点C，求△BOC的面积； （3）若将直线OC沿x轴向右平移，交y轴于点O′，当△AB O′为等腰三角形时，直接写出点O′的坐标． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点C． （1）求点C的坐标． （2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标． （3）在直线AB上是否存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型3 次函数中直角三角形的存在性问题】 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，与直线交于点C． （1）求点A，B的坐标． （2）若点C的坐标为，求线段的长． （3）若P是x轴上一动点，是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】综合与探究： 如图，直线与轴，轴分别交于两点，其中． （1）求的值； （2）若点是直线上的一个动点，当点仅在第一象限内运动时，试写出的面积与的函数关系式； （3）探索：①在（2）条件下，当点运动到什么位置时，的面积是1； ②在①成立的情况下，已知，在轴上是否存在一点，使是直角三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．    （1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”； （2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”． ①求y与x的函数关系式； ②若直线DM与x轴相交于点F，当△MEF为直角三角形时，求点D的坐标． 【变式3-3】如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(−4，4)，点B的坐标为(2，0)． (1)求线段AB的长； (2)点M是坐标轴上的一个点，若以AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标； (3)如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC−OD的值是否发生变化?若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围(不要求写解题过程)． 【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且． (1)求点B与点C的坐标； (2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【变式4-1】如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，点A是x轴负半轴上一点，并且，点E是线段上一动点（不与端点重合），过点E作轴，交于F． (1)求所在直线的解析式； (2)若轴于点D，点D的坐标为，请用含m的代数式表示与的长； (3)在x轴上是否存在一点P，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点，点的横坐标为2． (1)求直线的解析式； (2)在轴上取点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．若，求点的坐标； (3)在第二象限内，是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接． (1)求，两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时，第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别落在轴、轴上，点，一次函数的图像与轴、边交于点、． (1)求的长； (2)若点是轴上一动点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)点是一次函数图像上一动点，且点在第二象限，点是轴上一个动点，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标． 【变式5-1】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于、两点．点在上，且，作直线．    (1)A点坐标为_________，B点坐标为_________； (2)求直线的解析式； (3)在直线上找一点，使得，请直接写出点的坐标； (4)在坐标平面内是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4交x轴于点A，直线y＝﹣x＋2交x轴于点B，两直线交于点C． （1）求证：△ABC是直角三角形． （2）平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】已知：直线y＝与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处． （1）直接写出点A、点B的坐标： （2）求AC的长； （3）点P为平面内一动点，且满足以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接回答： ①符合要求的P点有几个？ ②写出一个符合要求的P点坐标． 【变式5-4】如图,Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点C在y轴上,OA和OC是方程x−(3+)x+3=0的两根(OA>OC),∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE. (1)求点D的坐标； (2)设点M为直线CE上的一点,过点M作AC的平行线,交y轴于点N,是否存在这样的点M，使得以M、N、D．C为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴于、两点，，且、的长分别是一元二次方程的两根． （）求直线的函数表达式． （）点是轴上的点，点是第一象限内的点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 【变式6-1】如图1，直线y＝﹣x+6与y轴于点A，与x轴交于点D，直线AB交x轴于点B，△AOB沿直线AB折叠，点O恰好落在直线AD上的点C处． （1）求点B的坐标； （2）如图2，直线AB上的两点F、G，△DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点G的坐标； （3）如图3，点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且P、Q均在第四象限，点E是x轴上一点，若四边形PQDE为菱形，求点E的坐标． 【变式6-2】如图1，直线l1：y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线l2：y=x交于点C． （1）求A，B两点的坐标； （2）求△BOC的面积； （3）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线AO方向作匀速滑动，分别交直线l1，l2及x轴于点M，N和Q．设运动时间为t（s），连接CQ． ①当OA=3MN时，求t的值； ②试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴、y轴交于点A、点B，且与直线：于点C． Ⅰ如图，求出B、C两点的坐标； Ⅱ若D是线段OC上的点，且的面积为4，求直线BD的函数解析式． Ⅲ如图，在Ⅱ的条件下，设P是射线BD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型7 一次函数中矩形的存在性问题】 【典例7】如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)点P为坐标平面内的点，在x轴上是否存在点M，使得四边形是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点C为线段AB的中点．    （1）求点B的坐标； （2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式； （3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-2】如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标，是绕点O顺时针旋转90°得到，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F． (1)求直线BD的解析式 (2)求的面积 (3)点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，已知的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，且、的长满足，的平分线交轴于点，过点作的垂线，垂足为点，交轴于点. （1）求线段的长. （2）求直线所对应的函数关系式. （3）若是射线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【变式7-4】已知如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y=3x交于点C，且|OA-6|+=0，将直线y=kx+b沿直线y=3x折叠，与x轴交于点D，与y轴交于点E． （1）求直线y=kx+b的解析式及点C的坐标； （2）求△BCE的面积； （3）若点P是直线y=3x上的一个动点，在平面内是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型8 一次函数中正方形的存在性问题】 【典例8】综合与探究 如图1，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交x轴于点，交y轴于点D，交直线于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，是平面内一点，是否存在以A，E，M，N为顶点的正方形？若存在，求出所有满足条件的N点坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，，则的最小值是__________． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点． (1)求出点的坐标． (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设是射线上的点，在轴的上方是否存在点，使以为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-2】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点．把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕交轴于点．直线与直线相交于点． (1)求的长： (2)求直线的解析式： (3)在轴上存在点，当的值最小时，点的坐标为__________； (4)在轴上方的平面内存在一点，平面内存在一点，使以、、、为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．    (1)求出点A的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在x轴的上方是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型9 一次函数与相等角/2倍角的问题】 【典例9】如图，正方形的边长为2，在轴上，在轴上，且，，点C为的中点，直线交轴于点F．    (1)求直线的函数关系式； (2)过点C作，交轴于点E，求证：； (3)点P是直线上的一个动点，求的最小值． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，且a、b满足．    (1)如图1，求的面积； (2)如图2，若P为的中点，点M，N分别是边上的动点，点M从顶点A出发向O运动，点N从顶点O向点B运动，且他们的速度都是1个单位长度/秒，在点M和点N的运动过程中，探究线段和之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (3)若P为线段上异于A、B的任意一点，过点B作垂直于直线于点F，并延长交x轴于点D，E为x轴上一点，且（与不平行），设，请直接写出y与x的数量关系式． 【变式9-2】如图，平面直角坐标系中，，A、B在x轴上，连接，点E在上，连接． (1)请直接写出与的位置关系； (2)请应用（1）中结论求证：； (3)连接，若点，请直接写出三角形的面积． 【变式9-3】如图，已知一次函数y＝3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC与x正半轴交于点C，且AC＝BC． （1）求直线AC的解析式； （2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF交x轴于点G，求证：AD＝BG； （3）在（2）的条件下，线段EF、DG分别与y轴交于点M、N，若∠AFD＝2∠BAO，求线段MN的长． 【题型10 一次函数中45°角问题】 【典例10】已知，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)如图①，点A的坐标为　　，点B的坐标为　　； (2)如图②，点C是直线上不同于点B的点，且． ①点C的坐标为　　； ②过动点且垂直于x轴的直线与直线交于点E，若点E在线段上，则m的取值范围是　　； (3)若，求直线的解析式． 【变式10-1】如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点C，，点M 在直线上，． (1)求直线的函数解析式． (2)如图1，点N在的延长线上，，连接交x轴于点P，求点P的坐标． (3)如图2，连接 ，在直线 上是否存在点 K，使得．若存在，求点K的坐标；若不存在，说明理由． 【变式10-1】已知，平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，直线：（，为常数，且）与轴正半轴及直线分别交于点，． (1)如图1，若点在轴上，且． ①填空：点的坐标为________，点的坐标为________，直线的解析式为________； ②为直线上一点，且，求点的坐标； (2)如图2，若，，求直线的解析式． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，． (1)求一次函数的解析式． (2)若将直线绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数解析式． 39．【基础模型】 如图，等腰直角三角形中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明，我们将这个模型称为“形图”．    【模型应用】 （1）如图1所示，已知，，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，点在第一象限，则点的坐标为________；    【模型构建】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，交轴于点．    ①请求出直线的函数解析式； ②为轴上一点，连接，若，求坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 一次函数与几何压轴（十大题型） 【题型1 一函数中面积问题】 【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】 【题型3 次函数中直角三角形的存在性问题】 【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】 【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】 【题型7 一次函数中矩形的存在性问题】 【题型8 一次函数中正方形的存在性问题】 【题型9 一次函数与相等角/2倍角的问题】 【题型10 一次函数中45°角问题】 【技巧点睛1】铅锤法求三角形面积 【技巧点睛2】处理与一次函数相关的面积问题，有三条主要的转化途径： ①知底求高、转化线段； ②图形割补、面积和差； ③平行交轨、等积变换。 【技巧点睛3】处理线段问题 （1）在平面直角坐标系中，若线段与y轴平行，线段的长度时端点纵坐标之差（上减下，不确定时相减后加绝对值），若线段与x轴平行，线段的长度时端点横坐标之差（右减左，不确定时相减后加绝对值）； （2） 线段相关计算注意使用”化斜为直”思想。 【技巧点睛4】角度问题 （1）若有角度等量关系，不能直接用时，我们要学会角度转化，比如借助余角、补角、外角等相关角来表示，进行一些角度的和差和角度的代换等，直到转化为可用的角度关系。 （2）遇45°角要学会先构造等腰直角三角形，然后构造“三垂直”全等模型，一般情况下是以已知点作为等腰直角三角形的直角顶点 【技巧点睛5】最值问题 （1） 求线段和最值，可以从“两点之间线段最短”“垂线段最短”“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”的模型去考虑； （2）注意“转化思想”的运用，将不可用线段进行转化，变成我们熟悉的模型 【技巧点睛6】特殊三角形存在问题 等腰三角形存在性问题 1、找点方法： ①以 AB 为半径，点 A 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 D 点外）与 A、B 构成以 A 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ②以 AB 为半径，点 B 为圆心做圆， 此时，圆上的点（除 E 点外）与 A、B 构成以 B 为顶点的等腰三角形 （原理：圆上半径相等） ③做 AB 的垂直平分线，此时，直线上的点（除 F 点外）与 A、B 构成以 C 为顶点的等腰三 角形（原理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 2、求点方法： 2、 直角三角形存在性问题 若▲ABC是直角三角形，则分三种情况分类讨论：∠A=90°，∠B=90°，∠C=90°，然后利用勾股定理解题。 【技巧点睛6】四边形存在问题 1．坐标系中的平行四边形： （1）对边平行且相等： （2）对角线互相平分： 即 A、C 中点与 B、D 中点重合． 以上两条可统一为： 总结：平面直角坐标系中，平行四边形两组相对顶点的横坐标之和相等，纵坐标之和相等 方法归纳： 1、列出四个点坐标 2、分三组对角线讨论列方程组，解方程组 3、验证点是否符合题意 【题型1 一函数中面积问题】 【典例1】如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，，已知， ，直线与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，三角形的面积公式，掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据待定系数法求解； （2）先求出点、的坐标，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 直线经过点， ， ， 解得：， 直线的解析式为：； （2）当时，有， 解得：， ， ， ， 联立：， 得：， ， ． 【变式1-1】已知直线与直线． (1)求两直线交点C的坐标； (2)求的面积． (3)在直线上能否找到点P，使得，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)点P有两个，坐标为或 【分析】本题考查了一次函数综合题，难度较大，关键是掌握利用分类讨论的思想进行解题． （1）解方程组即可得出交点坐标； （2）分别求出的坐标即可求出三角形的面积； （3）假设在直线上存在点使得，设点，分类讨论的取值后即可得出答案； 【详解】（1）解：解方程组解得：， 所以点的坐标为； （2）解：直线与轴的交点的坐标为， 直线与轴的交点的坐标为，所以， ∴； （3）解：假设在直线上存在点使得， 设点， 则①当时，有， 即， 解得(舍去)或， 把代入，得； ②当时，有， 即， 解得，把代入得， 所以在直线上存在点和，使得． 【变式1-2】如图，已知直线经过点并和x轴交于点A．    (1)求点A的坐标； (2)若直线与y轴交于点D，与直线交于点C，求点C与点D的坐标； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1)A点坐标 (2)C点坐标； (3)9 【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，三角形的面积，关键是掌握以上知识点． （1）在中，令，即可求解；； （2）联立两个函数解析式，即可求得的坐标，根据直线与轴交于点，当时，，即可得出点的坐标； （3）设直线交轴于点，过点作于，求得直线、直线与轴的交点坐标，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A， 当时，， A点坐标； （2）解：联立和， 解得：，代入，得， C点坐标； ∵直线与y轴交于点D， 当时，， ． （3）解：设直线交y轴于点E，过点C作于F，如图，    在中，令，则， ， ∵点，，． ，，， ． 【变式1-3】如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是的中点． (1)求点C的坐标； (2)在x轴上找一点D，使得，求点D的坐标； (3)点P在y轴上，且三角形的面积是三角形面积的2倍，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的综合题，一次函数的性质，利用数形结合的思想解决问题是本题的关键． （1）先求出点B的坐标，再依据点C是的中点，求出点C的坐标． （2）先根据题意求出，设点，则，再根据三角形面积公式可求的长，解得m的值，即可得出点D的坐标． （3）设点P的坐标为，根据，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与y轴交于点B， 令得，， ∴， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∴． （2）解：∵直线与x轴交于点A， 令得，， ∴， ∴， ∴， 设点，则， ∴， 解得或， ∴点D的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， ∵，即， ， ，即 点的坐标为或． 【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】 【典例2】如图，直线y＝－x＋8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处. （1）求A、B两点的坐标； （2）求直线AM的表达式； （3)在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.    【答案】（1）；（2）；（3）P（4,0）或或或. 【分析】（1）求点A坐标，令y=0，得A点坐标（6,0），求点B坐标，令x=0，得A点坐标（0,8）；（2）由勾股定理可得线段AB=10，由折叠的性质可知，设，在中，由勾股定理可得x值，求出点M坐标用待定系数法可得直线AM的表达式；（3） 【详解】解：（1）y＝－x＋8 令则， 令，则 （2）由（1）知，由勾股定理得， 由折叠的性质可知， 设，则 在中，根据勾股定理得 解得 设直线AM的表达式为 则，解得 所以直线AM的表达式为. （3）由（2）知，可得 ①以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时    可得，所以P（4,0）； ②以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时    或1，所以或； 作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时     设，则，根据勾股定理得，解得 所以. 综合上述，点P的坐标为P（4,0）或或或 【点睛】本题考查了一次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式，勾股定理的折叠问题，等腰三角形的性质和判定，将图形与数学知识相结合是解题的关键. 【变式2-1】如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B. （1）求点A，B的坐标； （2）过点B作直线与x轴相交于点P，且使，求的面积. （3）如果x轴上有一动点M，要使以A、B、M为顶点的三角形构成为等腰三角形，请探究并求出符合条件的所有M点坐标. 【答案】（1）；（2）的面积为6或者18；（3）符合条件的所有M点坐标为或或或 【分析】（1）首先令求出的值，再令求出的值即可得出两点的坐标； （2）根据，要分类讨论点的方向，点可以在点的左侧或者右侧两种情况，求出的长，再根据三角形的面积公式求解即可． （3）分三种情况讨论：当A为顶点时、B为顶点时、AB为底边时，求出相应线段，根据点在坐标轴上的位置选择合适的符号，进而写出坐标． 【详解】（1）令，则，得， 令，则， 则两点的坐标为： （2）分两种情况：①当点P位于y轴左侧时； ∴ 则； ②当点P位于y轴右侧时； ∴ 则 ∴的面积为6或18； （2）∵ ∴，；∴ 分三种情况： ①当A为顶点时： 时，则，且M在x轴上， ∴M在A点左侧时，，∴ M在A点右侧时，，∴ ②当B为顶点时： 时，M位于y轴右侧，∵， ∴，∴ ③当AB为底边时： 时，如图：直线为的垂直平分线，则 在中，设 则 ∴由勾股定理得： ∴ 解得： ∴                 ∴ ∴符合条件的所有M点坐标为或或或 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，以及一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合及分类讨论的思想．本题要求求出相应线段后，注意根据点在坐标轴上的位置选择合适的符号，进而写出坐标． 【变式2-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(5，0)和点B（0，4）．      （1）求直线AB所对应的函数表达式； （2）设直线y＝x与直线AB相交于点C，求△BOC的面积； （3）若将直线OC沿x轴向右平移，交y轴于点O′，当△AB O′为等腰三角形时，直接写出点O′的坐标． 【答案】(1)； (2)S△BOC=；(3) 点O′的坐标为（0，）或（0，-4）或（0，）. 【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB所对应的函数表达式； （2）联立直线OC及直线AB所对应的函数表达式为方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式结合点B的坐标即可求出△BOC的面积； （3）分AB=AO′，O′B=O′A，BA=BO′三种情况考虑：①当AB=AO′时，由等腰三角形的性质可得出OB=OO′，结合点B的坐标可得出点O′的坐标；②当O′B=O′A时，设OO′=x，则O′A=4+x，在Rt△AOO′中利用勾股定理可求出x的值，进而可得出点O′的坐标；③当BA=BO′时，利用勾股定理可求出BO′的值，结合点B的坐标可得出点O′的坐标．综上，此题得解． 【详解】解：（1）∵A（5，0），B（0，4） 设AB表达式为：y=kx+b，将A，B坐标代入表达式 ， 解得：k=，b=4， ∴AB表达式为：. (2) 联立和y=x， 解得：y=x= ∴C(,)， ∴S△BOC==. (3) 若△ABO′为等腰三角形，有三种情况 ①当AB=AO时，由三线合一可得OB=OO′， ∵B（0，4）， ∴O′（0，-4）； ②当O′B=O′A时，设OO′=x， ∴O′B=O′A=4+x， ∵OA=5, ∴在△OO′A中，OO′2+OA2=O′A2， 则x2+52=（4+x）2， 解得：x=， ∴O′（0，）； ③当BA=BO′时，设OO′=y， ∴O′B=AB=4+y， ∵OA=5, ∴在△ABO中，AO2+BO2=AB2， 则42+52=（4+y）2， 解得：y=， ∴O′（0，） 综上：点O′的坐标为（0，）或（0，-4）或（0，）. 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出直线AB所对应的函数表达式；（2）联立两直线的函数表达式成方程组，通过解方程组求出点C的坐标；（3）分AB=AO′，O′B=O′A，BA=BO′三种情况，利用等腰三角形的性质及勾股定理求出点O′的坐标． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y=x交于点C． （1）求点C的坐标． （2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△POC是等腰三角形时P的坐标． （3）在直线AB上是否存在点M，使得△MOC的面积是△AOC面积的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）(4，4)；（2）(4，0)或(8，0) 或(，0) 或(，0) ；（3）存在，理由见解析，M（8，−4）或（0，12） 【分析】（1）联立两直线解析式成方程组，解方程组即可得出点C的坐标； （2）分OC=PC，OC=OP，PC=OP三种情况进行讨论； （3）分两种情况讨论：当M在x轴下方时；当M在x轴上方时.把△MOC的面积是△AOC面积的2倍的数量关系转化为△MOA的面积与△AOC面积的数量关系即可求解. 【详解】解： (1)联立两直线解析式成方程组，得：， 解得：， ∴点C的坐标为(4，4)． (2) 如图， 分三种情况讨论： OC为腰，当OC=P1C时， ∵C（4，4）， ∴P1（8，0）； OC为腰，当OC=OP2= OP3时， ∵C（4，4）， ∴OC=， ，； 当P4C=OP4时，设P（x，0）， 则x= ， 解得x=4， ∴P4（4，0）． 综上所述，P点坐标为P1（8，0），P2（，0），，P4（4，0）． （3）当y=0时，有0=−2x+12， 解得：x=6， ∴点A的坐标为(6，0)， ∴OA=6， ∴S△OAC=× 6× 4=12． 设M（x，y），当M在x轴下方时△MOC的面积是△AOC面积的2倍， ∴△MOA的面积等于△AOC的面积，， ∴， ∴y=−4， ∴， ∴x=8， ∴M（8，−4） 当M在x轴上方时△MOC的面积是△AOC面积的2倍， ∴△MOA的面积等于△AOC的面积的3倍， ∴ ∴y=12时， ∴， ∴x=0， ∴M（0，12） 综上所述，M（8，−4）或（0，12）. 【点睛】本题考查的是一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标问题及等腰三角形的性质和判定等知识，在解答（2）、（3）时要注意进行分类讨论，不要漏解． 【题型3 次函数中直角三角形的存在性问题】 【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，与直线交于点C． （1）求点A，B的坐标． （2）若点C的坐标为，求线段的长． （3）若P是x轴上一动点，是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为（0，4）； （2）；（3）存在，当点P的坐标为或时，是直角三角形． 【分析】（1）分别令y=0和x=0求得A、B两点的横坐标和纵坐标，即可确定点A，B的坐标； （2）过点C作于点H．然后求得AH和CH，最后运用勾股定理解答即可； （3）分AB为斜边、AB为直角边且点B为直角顶点和点A为直角顶点三种情况解答即可 【详解】解：（1）∵， ∴令，则，解得，点A的坐标为； 令，则，所以点B的坐标为； （2）如图1，过点C作于点H． ∵点在直线上， ∴，解得． ∴点C的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得； （3）存在． 理由如下： ①当是斜边时，． ∵， ∴当点P与原点O重合时，， ∴当点P的坐标为时，是直角三角形； ②设是直角边，点B为直角顶点，即，如图2． ∵线段在第一象限， ∴这时点P在x轴负半轴． 设点P的坐标为，则． ∵， ∴，，． ∵， ∴，解得， ∴当点P的坐标为时，是直角三角形； ③设是直角边，点A为直角顶点，即． ∵点A在x轴上，P是x轴上的动点，∴． 综上，当点P的坐标为或时，是直角三角形． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与及几何变换、一次函数的性质及直角三角形的判定等知识点，掌握分类讨论思想和一次函数图像的性质是解答本题的关键． 【变式3-1】综合与探究： 如图，直线与轴，轴分别交于两点，其中． （1）求的值； （2）若点是直线上的一个动点，当点仅在第一象限内运动时，试写出的面积与的函数关系式； （3）探索：①在（2）条件下，当点运动到什么位置时，的面积是1； ②在①成立的情况下，已知，在轴上是否存在一点，使是直角三角形？若存在，请写出满足条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①当的坐标为时，的面积是1；②存在点使是直角三角形．点坐标， 【分析】（1）求出点B的坐标，然后将点B的坐标代入解析式中即可求出结论； （2）根据点A在直线上即可用x表示出点A的纵坐标，然后根据三角形的面积公式即可求出结论； （3）①将S=1代入（2）的解析式中即可求出结论； ②设点，根据直角三角形的直角的情况分类讨论，分别画出对应的图形，根据等腰直角三角形的性质即可分别求出结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴． （2）由（1）知，， ∴直线解析式为， ∵点是第一象限内的直线上的一个动点， ∴， ∴． （3）①如图，由（2）知，， ∵的面积是l， ∴， ∴， ∴当的坐标为时，的面积是1． ②存在点使是直角三角形．点坐标，． 理由如下：设点，如图， 当时，轴，此时与点横坐标相同， ∴， ∴． 当时， ∵ ∴为等腰三角形 ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即满足条件的所有点坐标为，． 【点睛】此题考查的是一次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定及性质是解题关键． 【变式3-2】定义：在平面直角坐标系中，对于任意P（x1，y1），Q（x2，y2），若点M（x，y）满足x＝3（x1+x2），y＝3（y1+y2），则称点M是点P，Q的“美妙点”．例如：点P（1，2），Q（﹣2，1），当点M（x，y）满足x＝3×（1﹣2）＝﹣3，y＝3×（2+1）＝9时，则点M（﹣3，9）是点P，Q的“美妙点”．    （1）已知点A（﹣1，3），B（3，3），C（2，﹣2），请说明其中一点是另外两点的“美妙点”； （2）如图，已知点D是直线y＝+2上的一点．点E（3，0），点M（x，y）是点D、E的“美妙点”． ①求y与x的函数关系式； ②若直线DM与x轴相交于点F，当△MEF为直角三角形时，求点D的坐标． 【答案】（1）点B是A、C的“美妙点”，说明见解析；（2）①y＝x+3；②点或或或 【分析】（1）由“美妙点”的定义：在平面直角坐标系中，对于任意，若点M（x，y）满足，则称点M是点P，Q的“美妙点”．可得答案； （2）①设点D（m，m+2），由“美妙点”的定义，建立的关系式，的关系式，联立两个关系式消去即可得到答案； ②由点M（9+3m，m+6），D（m，m+2），E（3，0），分∠MEF为直角、∠MFE是直角、∠EMF是直角三种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵3×（﹣1+2）＝3，3×（3﹣2）＝3， ∴点B是A、C的“美妙点”； （2）设点D（m，m+2）， ①∵M是点D、E的“美妙点”． ∴x＝3（3+m）＝9+3m，y＝3（0+m+2）＝m+6， 故m＝x﹣3， ∴y＝（x﹣3）+6＝x+3； ②由①得，点M（9+3m，m+6）， 如图1，当∠MEF为直角时，则点M（3，4）， ∴9+3m＝3，解得：m＝﹣2； ∴点D（﹣2，）； 当∠MFE是直角时，如图2， 则9+3m＝m，解得：m＝﹣， ∴点D（﹣，）；    当∠EMF是直角时，如图，    作MG⊥EF交EF于点G, ∵D（m，m+2）, M（9+3m，m+6） ∴DM的直线方程为： , 令y=0得， ，∴F（，0） 易得△MFG∽△EGM可得，MG2=FG×EG 即（m+6）2=(9+3m+)(3-9-3m) 解得：m= ∴或 综上，点或或或． 【点睛】本题考查的是一次函数的运用，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解，考查了利用方程思想求解函数解析式，考查直角三角形的性质及直角三角形的分类讨论，掌握以上知识是解题的关键． 【变式3-3】如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(−4，4)，点B的坐标为(2，0)． (1)求线段AB的长； (2)点M是坐标轴上的一个点，若以AB为直角边构造直角三角形△ABM，请求出满足条件的所有点M的坐标； (3)如图2，以点A为直角顶点作∠CAD=90°，射线AC交x轴的负半轴与点C，射线AD交y轴的负半轴与点D，当∠CAD绕点A旋转时，OC−OD的值是否发生变化?若不变，直接写出它的值；若变化，直接写出它的变化范围(不要求写解题过程)． 【答案】（1）；（2）；（3）不变， 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）分∠BAM=90°或∠ABM=90°两种情况构造直角三角形，然后运用勾股定理求解即可； （3）过A分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为G、H，可证明△AGC≌△AHD，可得到GC=HD，从而可把OC-OD转化为HD-OD，再利用线段的和差可求得OC-OD=OG+OH=8． 【详解】（1）作AE⊥x轴于点E ∵点A(−4，4)，点B(0，2)，． ∴AE=4，  BE=6．     ∴线段AB (2)∵△ABM是以AB为直角边的直角三角形， ∴有∠BAM=90°或∠ABM=90°， ①当∠BAM=90°时，如图1， 过A作AB的垂线，交x轴于点，交y轴于点M2， 设M1（x，0）， AM12=(-4-x)2+(4-0)2=x2+8x+32，   BM12=(2+x)2=x2+4x+4，       AB2=52 ∵AM12+AB2 =BM12 ∴x2+8x+32+52=x2+4x+4，   得：x=-20， ∴M1（-20，0） 设M2（0，y） AM22=(-4-0)2+(4-y)2=y2-8y+32，   BM22=22+y2 =y2+4，  AB2=52 ∵AM22+AB2 =BM22 ∴y2-8y+32+52=y2+4 得：y=10， ∴M2（0，10） ②当∠ABM=90°时，如图2， 过B作AB的垂线，交y轴于点M3， 设M3（0，y） AM32=(-4-0)2+(4-y)2=y2-8y+32，    BM32=22+y2 =y2+4，   AB2=52 ∵BM32+AB2 =AM32 ∴y2+4+52=y2-8y+32 得：y=-3， ∴M3（0，-3） 综上可知点M的坐标为M1（-20，0），M2（0，10），M3（0，-3） (3)不变．OC−OD=8． 理由如下： 过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为G、H，如图3． 则∠AGC=∠AHD=90°， 又∵∠HOC=90°， ∴∠GAH=90°， ∴∠DAG+∠DAH=90°， ∵∠CAD=90°， ∴∠DAG+∠CAG=90°， ∴∠CAG=∠DAH． ∵A(−4，4)， ∴OG=AH=AG=OH=4． 在△AGC和△AHD中 ∠AGC=∠AHD，AG=AH，∠CAG=∠DAH ∴△AGC≌△AHD(ASA)， ∴GC=HD． ∴OC−OD=(OG+GC)−(HD−OH)=OG+OH=8． 故OC−OD的值不发生变化，值为8 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质及分类讨论思想等．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出M点的位置是解题的关键，在（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】 【典例4】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且． (1)求点B与点C的坐标； (2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒，的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)，且 (3)存在，或5 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）分别求出、点坐标，再由题意求出，可求点坐标； （2）根据点的运动特点先求出点坐标为，再求三角形面积即可； （3）分两种情况讨论：当时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，通过证明，可得，再将点代入直线的解析式：，求的值；当时，过点作轴交于点，同理可得，求出，即可求． 【详解】（1）当时，， ， 当时，， ， ， ， ， ； （2），动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动， ， ， ， ，且； （3）存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 如图1，当时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 解得； 如图2，当时，过点作轴交于点， 同理可得， ，， ， ， 解得； 综上所述：的值为或5． 【变式4-1】如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，点A是x轴负半轴上一点，并且，点E是线段上一动点（不与端点重合），过点E作轴，交于F． (1)求所在直线的解析式； (2)若轴于点D，点D的坐标为，请用含m的代数式表示与的长； (3)在x轴上是否存在一点P，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，； (3)，或，或，． 【分析】（1）由直线可求得、坐标，再结合，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）根据直线解析式可求得点的纵坐标，由轴则可得出点纵坐标，代入直线解析式可求得点横坐标，从而可表示出及的长； （3）设，由为等腰直角三角形，分、和三种情况进行讨论，分别求得点坐标． 【详解】（1）在中，令可得，令可得，解得， ，， ，， ， ，即， 解得:， ， 设直线解析式为， ， 解得:， 直线解析式为． （2）轴，且， 点横坐标为， 在中，令，可得， ， 轴， 点纵坐标为， 在中，令，可得， 解得：， ， ，， ． （3）假设存在满足条件的点，设其坐标为， 为等腰直角三角形， 有、和三种情况， ①当时，则有， 由（2）可得，， ，解得， ，； ②当时，则有， 在中，令可得， ， 在中，令，可得，解得， ， ，解得， ，； ③当时，如图，过作于点，则， 由（2）可知，， ，解得， ，， ， ，； 综上可知存在满足条件的点，其坐标为，或，或，． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及三角形的面积、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想．在（1）中求得点坐标是解题的关键，在（2）中分别表示出、的坐标是解题的关键，在（3）中确定出点的位置，利用等腰直角三角形的性质得到关于点坐标的方程是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 【变式4-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且与直线交于点，点的横坐标为2． (1)求直线的解析式； (2)在轴上取点，过点作轴的垂线交直线于点，交直线于点．若，求点的坐标； (3)在第二象限内，是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)M的坐标为或 (3)的坐标为或或， 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定与性质等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）求出，再用待定系数法可得直线的解析式为； （2）设，则，，由，得，解得或，从而的坐标为，或，； （3）求出，①当为直角顶点时，过作轴于，证明，可得，，故的坐标为；②当为直角顶点时，过作轴于，同理可得的坐标为；③当为直角顶点时，过作轴于，过作于，同理可得，，，设，有，可解得的坐标为，． 【详解】（1）在中，令得， ； 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为； （2）如图： 设，则，， ， ， 或， 解得或， 的坐标为，或，； （3）在中，令得， ， ①当为直角顶点时，过作轴于，如图： 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 的坐标为； ②当为直角顶点时，过作轴于，如图： 同理可得， ，， ， 的坐标为； ③当为直角顶点时，过作轴于，过作于，如图： 同理可得， ，， 设， ， 解得， 的坐标为，； 综上所述，的坐标为或或 【变式4-3】如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点是线段上的一个动点（不与，重合），连接． (1)求，两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时，第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2) (3)或． 【分析】（1）分别求出当时，y的值，当时，x的值即可得到答案； （2）如图所示，过点作轴，先求出，，再根据三角形面积公式进行求解即可； （3）先求出出点坐标为，再分当、 时两种情况，利用一线三垂直模型证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， 解得：， ∴点坐标为，点坐标为； （2）解：如图所示，过点作轴， ∵点是线段上的一个动点（不与，重合）， ∴，， ∴的面积， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得：， ∴点坐标为， 当时，过点作轴于，过点作于， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 当时，如图所示，过点作轴于M， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，列函数关系式等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别落在轴、轴上，点，一次函数的图像与轴、边交于点、． (1)求的长； (2)若点是轴上一动点，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标； (3)点是一次函数图像上一动点，且点在第二象限，点是轴上一个动点，点是平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的坐标是或 (3)的坐标是或 【分析】本题考查了一次函数条件下的平行四边形和正方形的存在性，熟练掌握一线三直角是解题的关键． （1）过点作轴，垂足为，根据直线的解析式求出点的坐标，再求出，最后根据勾股定理即可求解； （2）画出图像，分为点在直线的上方和下方两种情况讨论； （3）分为两种情况讨论，利用一线三直角证明三角形全等，求出点、的坐标，再利用平移的性质得到点的坐标． 【详解】（1）如图1，过点作轴，垂足为，则， （图1） 对于一次函数， 当时，， ， 当时，， ， ， ； （2）如图2，以、、、为顶点的四边形是平行四边形， （图2） 且， ， 或， 点的坐标是或； （3）分两种情形： ①如图3，过点作于，则， （图3）四边形是正方形， ，， ， ，， ， 点的坐标是， 将代入得：， 点的坐标是， 点的坐标是， 由平移可得点的坐标是； ②如图4，过点作轴于． （图4）四边形是正方形， ，， ， ，． 设，则， 则， 点的坐标是， ， ， 点的坐标是， 点的坐标是， 由平移可得点的坐标是， 综上所述，点的坐标是或． 【变式5-1】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象分别交轴、轴于、两点．点在上，且，作直线．    (1)A点坐标为_________，B点坐标为_________； (2)求直线的解析式； (3)在直线上找一点，使得，请直接写出点的坐标； (4)在坐标平面内是否存在这样的点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)或 (4)存在：，， 【分析】（1）根据函数的图象分别交轴、轴于、两点，即可求出点，点； （2）由（1）得，点的坐标，根据，求出点的坐标，设直线的解析式为：，把点，的坐标代入，即可求解； （3）设点，分类讨论：点在直线的右侧时；点在直线的左侧时，再根据，求出即可； （4）根据平行四边形的性质，分类讨论：当以，为平行四边形的边，为对角线时；当，为平行四边形的边，为对角线时；当，为平行四边形的边，为对角线时；根据中点坐标，即可求解． 【详解】（1）∵函数的图象分别交轴、轴于、两点， ∴当时，， ∴点； ∵当时，， ∴点； 故答案为：，． （2）由（1）得，点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为：，点， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：． （3）∵点在直线上， ∴设点， ∵点，点， ∴，， ∴， 当点在直线的右侧时，过点作交于点，过点作轴于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当点在直线的左侧时，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上所述：当或时，．    （4）存在： ∵点，，， ∴线段的中点坐标为：，线段的中点坐标为：，线段的中点坐标为：， 设， 当以，为平行四边形的边，为对角线，为对角线时， ∴的中点坐标为：， ∵， 解得：， ∴点， 当，为平行四边形的边，为对角线，为对角线时， ∴的中点坐标：， ∴， 解得：， ∴点； 当，为平行四边形的边，为对角线，为对角线时， ∴线段的中点坐标为：， ∴， 解得：， ∴点； 综上所述：当或或时，存在点为顶点的四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查一次函数和几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，注意分类讨论． 【变式5-2】如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋4交x轴于点A，直线y＝﹣x＋2交x轴于点B，两直线交于点C． （1）求证：△ABC是直角三角形． （2）平面直角坐标系内是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，点D的坐标为（﹣，），（，﹣）或（，） 【分析】（1）根据题目中的直线解析式，可以得到点A、B、C的坐标，然后利用勾股定理，即可得到AC、BC长，再根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状； （2）先判断是否存在点D，然后画出相应的图形，利用分类讨论的方法求出点D的坐标即可． 【详解】解：（1）∵直线y＝2x＋4交x轴于点A， ∴当y＝0时，x＝﹣2， ∴点A的坐标为(﹣2，0)， ∵直线y＝﹣x＋2交x轴于点B， ∴当y＝0时，x＝4， ∴点B的坐标为(4，0)， 由，得， ∴点C的坐标为(﹣，)， ∴AC＝＝， BC＝＝， AB＝4﹣(﹣2)＝4＋2＝6， ∵AC2＋BC2＝()2＋()2＝62＝AB2， ∴△ABC是直角三角形； （2）平面直角坐标系内存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为(﹣，)，(，﹣)或(，)， 如右图所示， 当CD1//AB时， ∵点A的坐标为(﹣2，0)，点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(﹣，)， ∴AB＝CD1＝6， ∵﹣-6=﹣， ∴D1的坐标为(﹣，)； 当AC//BD2时， 设直线AC的函数解析式为y＝kx＋b， ，得， 即直线AC的函数解析式为y＝2x＋4， 设直线BD2对应的函数解析式为y＝2x＋c， ∵点B(4，0)在该直线上， ∴0＝2×4＋c，得c＝﹣8， ∴直线BD2对应的函数解析式为y＝2x﹣8， ∵点D2的纵坐标为， ∴＝2x﹣8， 解得x＝， ∴D2的坐标为(，﹣)； 当CD3//AB时， ∵点A的坐标为(﹣2，0)，点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(﹣，)， ∴AB＝CD3＝6， ∵﹣+6=， ∴D3的坐标为(，)； 由上可得，点D的坐标为(﹣，)，(，﹣)或(，)． 【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法、勾股定理、勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论和数形结合的思想解答． 【变式5-3】已知：直线y＝与x轴、y轴分别相交于点A和点B，点C在线段AO上．将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处． （1）直接写出点A、点B的坐标： （2）求AC的长； （3）点P为平面内一动点，且满足以A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，请直接回答： ①符合要求的P点有几个？ ②写出一个符合要求的P点坐标． 【答案】（1）B（0，6），A（﹣8，0）．（2）5；（3）①3个；②P1（﹣5，6），P2（﹣11，﹣6），P3（5，6）． 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可． （2）由翻折不变性可知，OC=CD，OB=BD=6，∠CDB=∠BOC=90°，推出AD=AB-BD=4，设CD=OC=x，在Rt△ADC中，根据AD2+CD2=AC2，构建方程即可解决问题． （3）①根据平行四边形的定义画出图形即可判断． ②利用平行四边形的性质求解即可解决问题． 【详解】（1）对于直线y＝x+6，令x＝0，得到y＝6， ∴B（0，6）， 令y＝0，得到x＝﹣8， ∴A（﹣8，0）． （2）∵A（﹣8，0）．B（0，6）， ∴OA＝8，OB＝6，∵∠AOB＝90°， ∴AB＝＝＝10， 由翻折不变性可知，OC＝CD，OB＝BD＝6，∠CDB＝∠BOC＝90°， ∴AD＝AB﹣BD＝4，设CD＝OC＝x， 在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴42+x2＝（8﹣x）2， 解得x＝3， ∴OC＝3，AC＝OA﹣OC＝8﹣3＝5． （3）①符合条件的点P有3个如图所示． ②∵A（﹣8，0），C（﹣3，0），B（0，6）， 可得P1（﹣5，6），P2（﹣11，﹣6），P3（5，6）． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题 【变式5-4】如图,Rt△OAC是一张放在平面直角坐标系中的直角三角形纸片,点O与原点重合,点A在x轴上,点C在y轴上,OA和OC是方程x−(3+)x+3=0的两根(OA>OC),∠CAO=30°，将Rt△OAC折叠，使OC边落在AC边上，点O与点D重合，折痕为CE. (1)求点D的坐标； (2)设点M为直线CE上的一点,过点M作AC的平行线,交y轴于点N,是否存在这样的点M，使得以M、N、D．C为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）D(,)；（2）M(− ,)； 【分析】（1）由折纸可以知道CD=OC，从而求出AD，作DF⊥OA于F解直角三角形可以求出D点的坐标． （2）存在满足条件的M点，利用三角形全等和平行线等分线段定理可以求出M点对应的坐标． 【详解】(1) 解方程x−(3+)x+3=0得： x =,x=3 ∵OA>OC ∴OA=3,OC=； 在Rt△AOC中，由勾股定理得： AC= =2， 由轴对称得：CO=CD=，作DF⊥OA于F， ∴AD=,作DF⊥OA,且∠CAO=30°， ∴DF=，由勾股定理得： AF= ， ∴OF=，∴OF=AF ∴D(,)； (2)∵MN∥AC， ∠NMF=∠ADF,∠FNM=∠FAD ∵OF=AF ∴△ADF≌△NMF(AAS)， ∴MF=DF=,NF=AF=， ∴M (,− )，作MG⊥OA， ∵四边形MCDN和四边形CNMD是平行四边形 ∴MC=ND,ND=CM∴MC=CM ∴GO=OF=，OE=1 ∴GE= ， ∴EOC△∽△EGM ∴ ∴ 解得： MG= ， ∴M(− ,) 【点睛】此题考查一次函数综合题，解题关键在于求出AD然后作辅助线. 【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】 【典例6】如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴于、两点，，且、的长分别是一元二次方程的两根． （）求直线的函数表达式． （）点是轴上的点，点是第一象限内的点，若以、、、为顶点的四边形是菱形，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）（3，5）或（3，）． 【详解】试题分析：（1）首先解方程，求得OA、OB的长度，即求得A、B的坐标，利用待定系数法即可求解. （2）分P在B点的上边和在B的下边两种情况进行讨论，求得Q的坐标． 试题解析：（1）解得x1=3，x2=4． ∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）． ∵设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0） ∴，解得. ∴直线AB的函数表达式为. （2）当P在B的下边时，AB是菱形的对角线，AB的中点D坐标是， 设过D的与直线AB垂直的直线的解析式是，则，解得：. ∴P的坐标是. 设Q的坐标是（x，y），则，解得：x=3，y=. ∴Q点的坐标是：（3，）． 当P在B点的上方时，， ∴AQ="5." ∴Q点的坐标是（3，5）． 综上所述，Q点的坐标是（3，5）或（3，）． 考点：1.一次函数综合题；2.解一元二次方程；3.待定系数法的应用；4.直线上点的坐标与议程的关系；5.菱形的性质；6.分类思想的应用． 【变式6-1】如图1，直线y＝﹣x+6与y轴于点A，与x轴交于点D，直线AB交x轴于点B，△AOB沿直线AB折叠，点O恰好落在直线AD上的点C处． （1）求点B的坐标； （2）如图2，直线AB上的两点F、G，△DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点G的坐标； （3）如图3，点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且P、Q均在第四象限，点E是x轴上一点，若四边形PQDE为菱形，求点E的坐标． 【答案】（1）B（3，0）（2）G（2，2）;（3）E（﹣2，0）． 【分析】（1）根据题意可先求出点A和点D的坐标，然后根据勾股定理求出AD，设BC=OB=x，则BD=8-x，在直角三角形BCD中根据勾股定理求出x，即可得到点B的坐标； （2）由点A和点B的坐标可先求出AB的解析式，然后作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N，求证△DMG≌△FND，从而得到GM＝DN，DM＝FN，又因为G、F在直线AB上，进而可求点G的坐标； （3）设点Q（a，-a+6），则点P的坐标为（a，-a+6），据此可求出PQ，作QH⊥x轴于H，可以把QH用a表示出来，在直角三角形中，根据勾股定理也可以用a把QH表示出来，从而求出a的值，进而求出点E的坐标. 【详解】解：（1）对于直线y＝-x+6，令x＝0，得到y＝6，可得A（0，6）， 令y＝0，得到x＝8，可得D（8，0）， ∴AC＝AO＝6，OD＝8，AD＝＝10， ∴CD＝AD﹣AC＝4，设BC＝OB＝x，则BD＝8﹣x， 在Rt△BCD中，∵BC2+CD2＝BD2， ∴x2+42＝（8﹣x）2， ∴x＝3， ∴B（3，0）． （2）设直线AB的解析式为y＝kx+6， ∵B（3，0）， ∴3k+6＝0， ∴k＝﹣2， ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6， 作GM⊥x轴于M，FN⊥x轴于N， ∵△DFG是等腰直角三角形， ∴DG＝FD，∠1＝∠2，∠DMG＝∠FND＝90°， ∴△DMG≌△FND（AAS）， ∴GM＝DN，DM＝FN，设GM＝DN＝m，DM＝FN＝n， ∵G、F在直线AB上， ∴ ， 解得 ， ∴G（2，2）． （3）如图，设Q（a，﹣a+6）， ∵PQ∥x轴，且点P在直线y＝﹣2x+6上， ∴P（a，﹣a+6）， ∴PQ＝a，作QH⊥x轴于H， ∴DH＝a﹣8，QH＝a﹣6， ∴＝， 由勾股定理可知：QH：DH：DQ＝3：4：5， ∴QH＝DQ=PQ＝a， ∴a＝a﹣6， ∴a＝16， ∴Q（16，﹣6），P（6，﹣6）， ∵ED∥PQ，ED＝PQ，D（8，0）， ∴E（﹣2，0）． 【点睛】一次函数解析式的综合运用是本题的考点，此题综合性比较强，用到了勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识点，能作出辅助线并熟练运用所学知识是解题的关键. 【变式6-2】如图1，直线l1：y=﹣x+3与坐标轴分别交于点A，B，与直线l2：y=x交于点C． （1）求A，B两点的坐标； （2）求△BOC的面积； （3）如图2，若有一条垂直于x轴的直线l以每秒1个单位的速度从点A出发沿射线AO方向作匀速滑动，分别交直线l1，l2及x轴于点M，N和Q．设运动时间为t（s），连接CQ． ①当OA=3MN时，求t的值； ②试探究在坐标平面内是否存在点P，使得以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）A（6，0）B（0，3）；（2）S△OBC=3；（3）①t=或；②t=（6+2）s或（6﹣2）s或2s或4s时，以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形． 【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）构建方程组确定点C坐标即可解决问题； （3）根据绝对值方程即可解决问题； （4）分两种情形讨论：当OC为菱形的边时，可得Q1 Q2Q4（4，0）；当OC为菱形的对角线时，Q3（2，0）； 【详解】（1）对于直线，令x=0得到y=3，令y=0，得到x=6， A（6，0）B（0，3）． （2）由解得 ， ∴C（2，2）， ∴ （3）①∵ ∴ ∵OA=3MN， ∴ 解得t=或 ②如图3中，由题意 当OC为菱形的边时，可得Q1（﹣2，0），Q2（2，0），Q4（4，0）； 当OC为菱形的对角线时，Q3（2，0）， ∴t=（6+2）s或（6﹣2）s或2s或4s时，以O、Q、C、P为顶点的四边形构成菱形． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，直线：分别与x轴、y轴交于点A、点B，且与直线：于点C． Ⅰ如图，求出B、C两点的坐标； Ⅱ若D是线段OC上的点，且的面积为4，求直线BD的函数解析式． Ⅲ如图，在Ⅱ的条件下，设P是射线BD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(Ⅰ)B(0,4);(Ⅱ) ;(Ⅲ) Q的坐标为(2√2,-2√2)或(-2,2)或(4,4)． 【分析】(1) 令，得到，可求B坐标，解方程组可得得解得C的坐标；（2）由面积求出D的坐标，再由待定系数法求BD函数解析式;(3)当OB为菱形的边时，，可得，当为菱形的对角线时，四边形是正方形，此时．当OB为菱形的边时，点与D重合，P、Q关于y轴对称，. 【详解】解：Ⅰ对于直线：，令，得到， ， 由，解得， Ⅱ点D在直线上，设， 的面积为4， ， 解得， ． 设直线BD的解析式为，则有， 解得， 直线BD的解析式为． Ⅲ如图中， 当OB为菱形的边时，，可得， 当为菱形的对角线时，四边形是正方形，此时． 当OB为菱形的边时，点与D重合，P、Q关于y轴对称，， 综上所述，满足条件的Q的坐标为或或． 【点睛】本题考核知识点：一次函数与菱形. 解题关键点：熟记一次函数与菱形性质，数形结合分析题目. 【题型7 一次函数中矩形的存在性问题】 【典例7】如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)点P为坐标平面内的点，在x轴上是否存在点M，使得四边形是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入，可得，再用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据矩形的性质得，设，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵将点代入， ∴ ∴， ∴， 将，代入一次函数的解析式为得：， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：在x轴上存在点M，平面内存在一点P，使得四边形是矩形， 设， ∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，勾股定理等，熟练掌握待定系 数法，矩形的性质是解题的关键． 【变式7-1】如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点C为线段AB的中点．    （1）求点B的坐标； （2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式； （3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点B（0，3）；（2）S＝m2﹣m；（3）点N的坐标为（4，3）或（﹣，）． 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）S＝PQ•|xP|，即可求解； （3）分OB是矩形的边、OB是矩形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）将点A的坐标（4，0）代入y＝﹣x+n 得0＝﹣×4+n 解得：n＝3， 故直线的表达式为：y＝﹣x+3， 令x＝0，则y＝3，故点B（0，3）； （2）点C为线段AB的中点， 则由中点公式得，点C（2，），则直线OC的表达式为：y＝x， 设点P（m，﹣m+3），则点Q（m，m）， 当点P在y轴右侧时， S＝PQ•|xP|＝（m+m﹣3）•m＝m2﹣m； 当点P在y轴左侧时， 同理可得：S＝m2﹣m； 故S＝m2﹣m； （3）设P（m，﹣m+3），点N（s，t），而点O、B的坐标分别为（0，0）、（0，3）； ①当OB是矩形的边时， 则点P与点A重合，故点P（4，0），故点N（4，3）； ②当OB是矩形的对角线时， 由中点公式得：m+s＝0且﹣m+3+t＝3+0①， 由矩形的对角线相等得：OB＝PN，即（m﹣s）2+（﹣m+3﹣t）2＝32②， 联立①②并解得：，故点N（﹣，）； 综上，点N的坐标为（4，3）或（﹣，）． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、矩形的性质、面积的计算等，其中（2）、（3），要注意分类求解，避免遗漏． 【变式7-2】如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，B点坐标，是绕点O顺时针旋转90°得到，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F． (1)求直线BD的解析式 (2)求的面积 (3)点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)N点坐标为或或． 【分析】（1）根据旋转的性质得出D点的坐标，再用待定系数法求出直线BD的解析式即可； （2）根据直线BD的解析式求出F点的坐标，根据B点和C点的坐标得出BC和CF的长度，即可计算面积； （3）分∠MFD=90°，∠MDF=90°，∠FMD=90°三种情况分别讨论求出点N的坐标即可． 【详解】（1）解：∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，， ∴OD=OC=2，DE=BC=1， ∴D（2，0）， 设直线BD的解析式为y=kx+b， 把B点和D点的坐标代入可得 ， 解得 ∴直线BD的解析式为； （2）由（1）知，直线BD的解析式为， ∴， ∵B（-1，2），， ∴， ∴S△BCF=BC•CF=×1×=； （3）存在， ∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形， ∴△DFM是直角三角形， ①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如下图， 设 而 则 ∴ 解得： 即 由平移的性质可得： 即 ②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如下图， 设 同理可得： ∴ 解得： 即 由平移可得： 即 ③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如下图， ∵四边形MFND为矩形， ∴NF=OD=2，ND=OF=， ∴此时； 综上可知，存在满足条件的N点，其坐标为或或． 【点睛】本题为一次函数的综合题型，主要考查待定系数法，旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用等，注意分类讨论思想的应用是解题的关键． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，已知的两直角边、分别在轴的负半轴和轴的正半轴上，且、的长满足，的平分线交轴于点，过点作的垂线，垂足为点，交轴于点. （1）求线段的长. （2）求直线所对应的函数关系式. （3）若是射线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）10；（2）；（3）P点的坐标为P1（3，2）或P2（-4，8）． 【分析】（1）根据非负数的性质求得OA和OB的长，然后根据勾股定理求得AB的长； （2）证明△ACD∽△AOB，则OC=CD，然后根据△ACD∽△AOB，利用相似三角形的对应边的比相等求得OC的长，从而求得C的坐标，然后根据CD⊥AB，求得AB的解析式，即可求得CE的解析式； （3）根据勾股定理求出M点的坐标，进一步根据中点坐标公式求出P点的坐标． 【详解】解：（1）∵， ∴，， 在直角中，； （2）在和中，平分，于点，于点，∴， 设，则，. 在和中， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：. 即，， 则的坐标是. 设AB的解析式是y=kx+b，根据题意得 解得： 则直线AB的解析式是 设所对应的解析式是，则4+m=0，则m=-4． 则直线所对应的解析式是. （3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B， 易知BC的直线方程为y=2x+6，设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（-8，0），B（0，6），则AM12=（m+8）2+（2m+6）2，=5m2+40m+100，BM12=m2+（2m+6-6）2=5m2， AB=10， 根据AB2+AM12=BM12得100+5m2+40m+100=5m2，m=-5， ∴M1（-5，-4），BM1中点坐标为, BM1中点同时也是AP1中点，则有， 解得P1（3，2） ②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2=AM22+BM22，即100=5m2+40m+100+5m2，m=-4或m=0（舍去）， ∴M2（-4，-2），AB中点坐标为（-4，3）， AB中点同时也是P2M2中点，则有， 解得P2（-4，8） 综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（-4，8）． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式以及三角形的全等的判定和性质，以及中点坐标公式的应用． 【变式7-4】已知如图，直线y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线y=3x交于点C，且|OA-6|+=0，将直线y=kx+b沿直线y=3x折叠，与x轴交于点D，与y轴交于点E． （1）求直线y=kx+b的解析式及点C的坐标； （2）求△BCE的面积； （3）若点P是直线y=3x上的一个动点，在平面内是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P、点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）C（2，6）；（2）；（3）P（-，-），Q（，）或P（-，-），Q（-，）． 【分析】（1）利用非负性求出OA，OB，进而得出点A，B坐标，用待定系数法求出直线AB解析式，再联立直线OC的解析式即可求出点C的坐标； （2）联立直线MN和直线AB的解析式求出点M的坐标，利用对称求出点N的坐标，进而求出直线CE的解析式即可； （3）分AC为矩形的边和对角线，利用矩形的对角线互相平分且相等，借助中点坐标公式即可解决． 【详解】解：（1）∵|OA-6|+=0， ∴OA=6，OB=， ∴A（-6，0），B（0，）， ∴ ∴， ∴直线AB的解析式为y=x+①， ∵点C是直线AB与OC：y=3x②的交点， 联立①②解得， ， ∴C（2，6）； （2）如图1， 过点O作直线MN⊥OC交直线AB于M，直线CE于N， ∵直线OC的解析式为y=3x， ∴直线MN的解析式为y=-x①， ∵直线AB的解析式为y=x+②， 联立①②解得，x=-，y=， ∴M（-，）， 由折叠知，M，N关于原点对称， ∴N（，-）， ∵C（2，6）， ∴直线CE的解析式为y=-x+， ∴E（0，）， ∴BE=-=， ∴S△BCE=BE×|xC|=××2=； （3）如图2， 当AC为矩形的边时，AP⊥AC， ∵直线AC的解析式为y=x+， ∴直线AP的解析式为y=-x-8① ∵点P在直线y=3x②上， 联立①②解得，P（-，-）， ∵C（2，6） ∴PC的中点M（，）， ∵四边形APQC是矩形， ∴M是AQ的中点， ∴Q（，）； 当AC为矩形的对角线时，AP'⊥OC， ∵直线OC的解析式为y=3x， ∴直线AP'的解析式为y=-x-2③， ∵点P'在直线OC上， ∴点P'的坐标满足y=3x④，联立③④解得，P'（-，-）， ∵A（-6，0），C（2，6）， ∴AC的中点坐标M'（-2，3）， ∵四边形AP'CQ'是矩形， ∴M'是P'Q'的中点， ∴Q'（-，）， 即：满足条件的点P（-，-），Q（，）或P（-，-），Q（-，）． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了非负性，待定系数法，三角形的面积公式，矩形的性质，折叠的性质，解本题的关键是利用待定系数法求直线解析式，解（3）的关键是分类讨论的思想思考问题． 【题型8 一次函数中正方形的存在性问题】 【典例8】综合与探究 如图1，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交x轴于点，交y轴于点D，交直线于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，是平面内一点，是否存在以A，E，M，N为顶点的正方形？若存在，求出所有满足条件的N点坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，，则的最小值是__________． 【答案】(1) (2)100 (3)存在、． (4) 【分析】（1）令解方程得出，即可得解， （2）如图，作轴于H，轴于K，先用含n的代数式表示出点E的坐标，将E的坐标代入得出n值，进而即可得解； （3）先证为等腰直角三角形，分以A，E，M，N为顶点的正方形，共有两种情况讨论即可得解； （4）先确定F点的运动轨迹，然后作A点关于直线的对称点，连，得出最小值即为的长，求出的长即可得解； 【详解】（1）令得， 解得， ∴； （2）如图，作轴于H，轴于K， 设， 令得， ∴， ∵点B为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴,， 将,代入得： ， ∴， ∴直线， 令得， 解得， ∴， ∴，， ∴； （3）存在，理由如下： 由（2）知，， ∴， ∴， ∴，， ∴，, 又∵， ∴和都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴以A，E，M，N为顶点的正方形，共有下列两种情况，①如图所示，过作轴交x轴于点F， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图所示， ∵四边形为正方形， ∴点E和点N关于x轴对轴，， ∴； （4）如图所示，过点F作轴交x轴于点G， ∵线段绕点P逆时针方向旋转至， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴F点在直线上运动， ∴令得，，令得， ∴，， 作A点关于直线的对称点，连， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段过点R， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，即 ∴， ∵， ∴最小值即为的长， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，最短距离问题,勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点． (1)求出点的坐标． (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设是射线上的点，在轴的上方是否存在点，使以为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在满足条件的点的Q，其坐标为或 【分析】本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点、一次函数图象与性质、正方形的性质及分类讨论思想等．其中（3），确定出P点的位置是解题的关键． （1）令，求出的值即可得出点C的坐标； （2）设点，根据三角形面积公式结合的面积为12列式求出m的值即可得出点D的坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内存在点Q，使以为顶点的四边形是正方形，如图所示，分两种情况考虑：（i）当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；（ii）当四边形为正方形时分别求出P坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线，当时，， ∴点C的坐标为 （2）解：∵是线段上的点， ∴设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把点代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为； （3）解：存在点Q，使以为顶点的四边形是正方形， 如图所示，分两种种情况考虑： （i）对于，当时，， ∴, ∴ 当四边形为正方形，此时， ∴； （ii）当四边形为正方形时，直线 ∵ ∴是中点， ∵ ∴，即 由对称性可得， 综上可知存在满足条件的点的Q，其坐标为或． 【变式8-2】综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点．把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕交轴于点．直线与直线相交于点． (1)求的长： (2)求直线的解析式： (3)在轴上存在点，当的值最小时，点的坐标为__________； (4)在轴上方的平面内存在一点，平面内存在一点，使以、、、为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)点的坐标为 【分析】（1）由折叠得，结合点的坐标得，运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）运用全等性质以及勾股定理列式，得出，再运用待定系数法解直线的解析式为，即可作答． （3）取点B的对称点，连接交轴于一点，把和代入，得直线的解析式为，令，则，得； （4）结合正方形的性质运用分类讨论思想，则当为对角线时，当为对角线时；当为对角线时，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处， ∴ ∴ ∵直线与轴、轴分别交于、两点 ∴当 ∴ ∴ ∴在中， ∴； （2）解： 依题意， ∴ 由（1）知 ∴ 设 则 ∴ 解得 ∴ 设直线的解析式为 把和代入 得出 解得、 ∴直线的解析式为 （3）解：依题意， 解得 把代入 解得 ∴ 如图：取点B的对称点，连接交轴于一点 该点P是满足的值是最小的 则 ∵ ∴ ∵ ∴设直线的解析式为 把和代入 得出 解得、 ∴直线的解析式为 令，则 ∴ ∴ （4）解：设点 ∵点在轴上方 ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 综上：点的坐标为 【点睛】本题考查了一次函数的几何运用，正方形的性质，勾股定理，最短路径，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【变式8-3】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．    (1)求出点A的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设P是射线上的点，在x轴的上方是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点或 【分析】（1）根据，解方程组得，得； （2）根据得到，根据点D是直线上一点，设，根据，确定点D坐标，设解析式解答即可； （3）分是正方形的一边和一条对角线两种情形，结合正方形的性质解答即可． 【详解】（1）根据题意，得， 解方程组，得， 故点； （2）∵， ∴， ∵点D是直线上一点， 设， 根据题意，得， 解得或， ∵点D在线段上， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为． （3）∵，，设， ∵四边形是正方形， 当是正方形的一边时， ∵， ∴且． ∴点一定位于x轴上， ∴． 解得， ∴， 根据正方形的性质，得；    当是正方形的对角线时， ∵， ∴其中点坐标为． ∴点一定位于直线， ∴． 解得， ∴， 根据正方形的对称性质，得； 综上所述，符合题意的点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正方形的性质，中点坐标公式，熟练掌握待定系数法，正方形的性质是解题的关键． 【题型9 一次函数与相等角/2倍角的问题】 【典例9】如图，正方形的边长为2，在轴上，在轴上，且，，点C为的中点，直线交轴于点F．    (1)求直线的函数关系式； (2)过点C作，交轴于点E，求证：； (3)点P是直线上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1)直线的函数关系式为 (2)见解析 (3)的最小值为 【分析】（1）结合正方形的性质与边长确定C、D的坐标，再利用待定系数法求解； （2）结合已知证明，由全等三角形的性质得到垂直平分，结合垂直平分线与平行线的性质推理解答； （3）连接交直线于点P，由轴对称的性质不难得到的最小值为的长，从而解题． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ， ， 为的中点， ， ， 设直线解析式为， 所以， 解得， ∴直线的函数关系式为； （2）证明：是的中点， ， ∵四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接交直线于点P， 由（2）可知点D与点F关于直线对称， ， ， 的最小值为的长． ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，掌握求一次函数解析式和求坐标点的坐标是解题关键． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点，且a、b满足．    (1)如图1，求的面积； (2)如图2，若P为的中点，点M，N分别是边上的动点，点M从顶点A出发向O运动，点N从顶点O向点B运动，且他们的速度都是1个单位长度/秒，在点M和点N的运动过程中，探究线段和之间的位置和数量关系，并证明你的结论； (3)若P为线段上异于A、B的任意一点，过点B作垂直于直线于点F，并延长交x轴于点D，E为x轴上一点，且（与不平行），设，请直接写出y与x的数量关系式． 【答案】(1)2； (2)，，证明过程见解析； (3)． 【分析】 （1）利用非负数的性质可求得：、，再运用三角形面积公式即可求得答案； （2）如图2，连接，运用等腰直角三角形性质和题意可证得，运用全等三角形性质即可得出答案； （3）如图3，过点作交的延长线于点，先证得，再证得，设，，则，利用，即可得出；如图4，过点作交的延长线于点，先证得，再证得，得出，设，，则，由，即可得出． 【详解】（1） ， ，， 解得：，， 、， ， ， ； （2） 如图2，连接，    ，，为的中点， ，，， 点从顶点出发向运动，点从顶点向点运动，且他们的速度都是1个单位长度秒， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 综上所述，，； （3） 如图3，过点作交的延长线于点，    则， 于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； 设，，则， ， ， ， 如图4，过点作交的延长线于点，    则， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设，，则， ， ， ， 综上所述，与的数量关系式为． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，非负数的性质，等腰直角三角形性质等，解题关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 【变式9-2】如图，平面直角坐标系中，，A、B在x轴上，连接，点E在上，连接． (1)请直接写出与的位置关系； (2)请应用（1）中结论求证：； (3)连接，若点，请直接写出三角形的面积． 【答案】(1) ，证明见解析； (2)证明见解析； (3)10． 【分析】（1）根据纵坐标相同的两点的连线平行于x轴，即可证明 ； （2）根据和平行线的性质，利用三角形内角和定理即可证明； （3）设CE的函数关系式为y=kx+b，求出点B的坐标，根据求解即可． 【详解】（1）解： ， 证明：∵，C、D两点的纵坐标相同， ∴CD平行x轴，即 ； （2）证明：∵ ， ∴， ∵，∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，∠D+∠DCE+∠CED=180°， ∴； （3）设CE的函数关系式为y=kx+b， 代入点C（0，5），E（2，1）， 得：， 解得：， ∴CE的函数关系式为， 当y=0时，x=， 即点B（，0），AB=， ∴ ． 【点睛】本题考查一次函数的解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 【变式9-3】如图，已知一次函数y＝3x+3与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC与x正半轴交于点C，且AC＝BC． （1）求直线AC的解析式； （2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF交x轴于点G，求证：AD＝BG； （3）在（2）的条件下，线段EF、DG分别与y轴交于点M、N，若∠AFD＝2∠BAO，求线段MN的长． 【答案】（1）y＝﹣x+3；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）先求得A、B两点的坐标，设OC＝x，则AC＝BC＝x+1，在Rt△AOC中，依据勾股定理可求得x的值，从而可求得点C的坐标，最后，利用待定系数法求解即可； （2）过点D作DH∥x轴，则∠HDF＝∠BGF．由平行线分线段成比例定理可得到FG＝DF，接下来，再证明△BGF≌△HDF，从而可得到HD＝BG，然后再证明△ADH为等腰三角形，最后，通过等量代换可得到问题的答案； （3）连接AG，过点C作CH⊥AB，垂足为H，先求得AB、AH、CN的长，从而可证明△FAD∽△CAB，则△GAD为直角三角形，然后可求得OG的长，从而得到点G的坐标，然后，再求得点D的坐标，从而可求得DG的解析式，然后可求得ON的长，最后，再依据MN＝ON﹣OM求解即可． 【详解】解：（1）当x＝0时，y＝3， ∴A（0，3）． 令y＝0得：3x+3＝0，解得：x＝﹣1， ∴B（﹣1，0）． 设OC＝x，则AC＝BC＝x+1． 在Rt△AOC中，由勾股定理可知：OA2+OC2＝AC2， 即32+x2＝（x+1）2，解得：x＝4， ∴C（4，0）． 设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得：k＝，b＝3， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3． （2）如图所示：过点D作DH∥x轴，则∠HDF＝∠BGF． ∵HD∥EF∥CG，E为CD的中点， ∴F为DG的中点． ∴FG＝DF． ∵在△BGF和△HDF中，∠HDF＝∠BGF，DF＝FG，∠HFD＝∠GFB， ∴△BGF≌△HDF（ASA）． ∴HD＝BG． ∵AC＝BC， ∴∠CAB＝∠ABC． ∵HD∥CG， ∴∠AHD＝∠ABC， ∴∠HAD＝∠AHD． ∴AD＝DH， ∴AD＝BG． （3）如下图所示：连接AG，过点C作CH⊥AB，垂足为H． 在Rt△AOB中，依据勾股定理可知AB＝． ∵CB＝CA，CH⊥AB， ∴AH＝AB＝，∠BCA＝2∠ACH Rt△BCH中，依据勾股定理可知CH＝ ∴tan∠BAO＝tan∠ACH＝． ∴∠BAO＝∠ACH ∴∠BCA＝2∠BAO 又∵∠AFD＝2∠BAO ∴∠AFD＝∠BCA 又∵∠FAD＝∠BAC ∴△FAD∽△CAB ∴AF＝DF 又∵GF＝FD ∴△GAD为直角三角形 ∴OG•OC＝OA2 ∴OG＝ ∴G(，0) ∴AD＝BG＝ ∴D点的横坐标＝AD＝1，D点的纵坐标＝3﹣AD＝ ∴D（1，） 设直线DG的解析式为y＝kx+b， 则 解得k＝，b＝ ∴直线DG的解析式为 ∴ON＝ 又∵OM＝|Dy|＝ ∴MN＝ON﹣OM＝． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式和全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线作法是解题的关键． 【题型10 一次函数中45°角问题】 【典例10】已知，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)如图①，点A的坐标为　　，点B的坐标为　　； (2)如图②，点C是直线上不同于点B的点，且． ①点C的坐标为　　； ②过动点且垂直于x轴的直线与直线交于点E，若点E在线段上，则m的取值范围是　　； (3)若，求直线的解析式． 【答案】(1)； (2)①；② (3)或 【分析】（1）利用函数解析式和坐标轴上点的坐标特征即可求出答案； （2）①如图②，过点C作轴，垂足是E．证明，得出，，则可求得点C的坐标； ②如图②，作轴于D．求出点D坐标即可判断； （3）分两种情况：①作，使得，作轴于H，则是等腰直角三角形，．利用全等三角形的性质求出点N坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可；②过B点作，交的延长线于N则．作轴于G点，先证明，则可得．再证明，则可得，，由此可求出的坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式． 【详解】（1）如图①，令，则，得． ， 令，则， ∴． 故答案为：；； （2）①：如图②， 过点C 作轴，垂足是D， ∵， ， ，， ； ②：如图②，由①可知， ∵E在线段上，轴， ∴m的取值范围是：． 故答案为：； （3）如图③， 作，且使，作轴于H，则是等腰直角三角形，． ， ，， ， 又， ， ，， ， ， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为． 过B点作，交的延长线于N， 则， 作轴于G点， ，，， ， ． 又，， ， ，． ， ， ． 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为：． ∴满足条件的直线的解析式为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式10-1】如图1，直线交x轴于点A，交y轴于点C，，点M 在直线上，． (1)求直线的函数解析式． (2)如图1，点N在的延长线上，，连接交x轴于点P，求点P的坐标． (3)如图2，连接 ，在直线 上是否存在点 K，使得．若存在，求点K的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数、全等三角形的性质与判定、勾股定理，解决本题的关键是用待定系数法求一次函数的解析式，在（3）中，根据直线的斜率判定点K的存在是关键，并注意数形结合思想的应用． （1）根据直线交x轴于点A，交y轴于点C，得到，，进而得到点，过点M作轴于点E，证明，所以，，所以点M的坐标为，设直线的解析式为，把点M的坐标为，点代入得，即可解答； （2）根据点N在直线直线上，设点N的坐标为，根据，求出点N的坐标为，设直线的解析式为，把点N的坐标为，代入得：，所以直线的解析式为，当时，，所以点P的坐标为． （3）①将线段绕点M逆时针旋转得到，连接交于K，此时满足条件．②将线段绕点M顺时针旋转得到，作直线交直线于，此时满足条件． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点C， 令，则；令，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点， 如图①，过点M作轴于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， 设直线的解析式为， 把点点M的坐标为，点代入得， 解得， ∴直线的解析式为：． （2）解：∵点N在直线直线上， ∴设点N的坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∵点N在的延长线上， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， 设直线的解析式为， 把点N的坐标为，代入得：， 解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为． （3）解：将线段绕点M逆时针旋转得到，连接交于K， ∵ ∴是等腰直角三角形， 此时满足条件． 过点作轴于点，过点作于点， ∴， 又 ∴, 又， ∴ ∵M点坐标为 ∴                 ∴ ∴， ∴设直线 的解析式为 把代入得， 解得， ∴直线 的解析式为， 由，解得， ∴K点的坐标为． ②将线段绕点M顺时针旋转得到，作直线交直线于，此时满足条件 同法可得直线的解析式为， 由， 解得， ∴． 综上所述，满足条件的点K的坐标为或． 【变式10-1】已知，平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，直线：（，为常数，且）与轴正半轴及直线分别交于点，． (1)如图1，若点在轴上，且． ①填空：点的坐标为________，点的坐标为________，直线的解析式为________； ②为直线上一点，且，求点的坐标； (2)如图2，若，，求直线的解析式． 【答案】(1)①；；；②点坐标为或． (2)或 【分析】（1）①根据题意点、分别为直线和轴和轴的交点，分别将和代入解析式即可得到、的坐标，从而由得到点坐标，将、坐标代入解析式即可求得答案；②根据题意可知有两个点满足题意，根据可证明，得到点坐标，求出直线的解析式，最后根据是直线和直线的交点，求出的坐标即可，同理可得到的坐标； （2）过点作交于点，在取，设与轴交点为，不妨设点坐标为，点坐标为，通过计算出的长度，利用两点距离公式，计算出点坐标，再次利用两点距离公式，计算出点坐标，最后利用待定系数法求得直线的表达式． 【详解】（1）①直线：与x轴交于点，点在轴上 当时，，解得，当，， ， ，且直线：（）与轴正半轴点， 将、代入（），得 解得：， 故答案为：；； ②为直线上一点，且 符合题意的点有两个，如图、，连接、分别交轴于、 在和中 设直线的解析式为：，将，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为： 是直线和直线的交点 ，解得：， 同理可得， 直线的解析式为： 是直线和直线的交点 ，解得：， 综上所述，点坐标为或． （2）过点作交于点，在取，连接，设与轴交点为，如图所示： ， 不妨设点坐标为，点坐标为 将代入，得到，那么点坐标为 将代入，得到，那么点坐标为 ， 解得 那么 点坐标为 解得， 当，，此时点坐标为 设直线的表达式为，代入， ，解得 故直线的表达式为 当，，此时点坐标为 设直线的表达式为，代入， ，解得 故直线的表达式为 综上所述，故直线的表达式为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，两点距离公式，等腰直角形的性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． 【变式10-2】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点，． (1)求一次函数的解析式． (2)若将直线绕点B顺时针旋转，交x轴于点C，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）过点A作交于点E，过点E作轴于点F，则，可得是等腰直角三角形，再证明，可得，，从而得到，进而得到点E的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图， 过点A作交直线于E，过点E作轴于F， ∵点，， ∴， 根据题意得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴点E的坐标为， 设直线的函数解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为． 39．【基础模型】 如图，等腰直角三角形中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明，我们将这个模型称为“形图”．    【模型应用】 （1）如图1所示，已知，，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，点在第一象限，则点的坐标为________；    【模型构建】 （2）如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，交轴于点．    ①请求出直线的函数解析式； ②为轴上一点，连接，若，求坐标． 【答案】（1）；（2）①②或 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，该模型以等腰直角三角形为几何背景，通过作垂线构造全等三角形，熟记模型的相关结论是解题关键． （1）作轴，证即可求解； （2）①由直线求出点，的坐标，设点，根据求出点的坐标即可求解；②分类讨论当点在左侧时和当点在右侧时两种情况，根据模型结论即可求解． 【详解】解：（1）作轴，如图所示：    ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为 故答案为：； （2）①∵直线与轴，轴分别交于点，， ∴令，则； 令，则； 即： 设点 ∴，， ∵， ∴ 即：， 解得： ∴ 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ②当点在左侧时： 作轴，如图所示：    则：为等腰直角三角形， 由模型可得：， ∴ ∴ 即：点 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则； ∴ 当点在右侧时： 作轴，如图所示：    同理 ∴ ∴ 即：点 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 令，则； ∴ 综上所述：或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$