第27课时　相似三角形 课件 2025年中考数学一轮总复习

第一部分　考点梳理 第五章　图形的变换与作图 第27课时　相似三角形 知识点1 比例线段和黄金分割 定义 防错提醒 比 例 线 段 在四条线段a，b，c，d 中，如果 ⁠，那 么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 求两条线 段的比时，对这 两条线段 要用同一 长度单位 ＝ 　 定义 防错提醒 黄 金 分 割 在线段AB上，点C把线 段AB分成两条线段AC 和BC（AC＞BC），如 果 ⁠，那么称 线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，黄金为 ⁠ 一条线段 的黄金分 割点有 个 ＝ 　 　 两　 知识点2 比例的性质 基本 性质 如果 ＝ ，那么ad＝ ⁠ 合比 性质 如果 ＝ ，那么 ＝ ⁠ 等比 性质 如果 ＝ ＝…＝ （b＋d ＋…＋n≠0），那么 ＝ 　 　 bc　 　 　 知识点3 平行线分线段成比例的基本事 实两条直线被一组平行线所截，所得 的对应线段 ⁠. 成比例　 知识点4 相似三角形（多边形）的性质 相似 三角 形 （1）相似三角形周长的比等于相似比； （2）相似三角形面积的比等于相似比的平方； （3）相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比 相似 多边 形 （1）相似多边形周长的比等于相似比； （2）相似多边形面积的比等于相似比的平方 知识点5 相似三角形的判定 判 定 1 平行于三角形一边的直线和其他两 边相交，所构成的三角形与原三角 形 ⁠ 判 定 2 如果两个三角形三组对应边的 ⁠相等，那么这两个三角形相似 判 定 3 如果两个三角形的两组对应边的比 相等，并且 ⁠相等，那么这 两个三角形相似 相似　 比　 夹角　 判 定 4 如果一个三角形的两个角与另一个 三角形的两个角对应 ⁠，那 么这两个三角形相似 相等　 知识点6 相似的基本图形及结论 【A字模型】 已知 图示 结论（性质） DE ∥BC ①△ADE∽△ABC； ② ＝ ＝ 已知 图示 结论（性质） ∠1＝ ∠2 或∠3 ＝∠4 或 ＝ [反A字模 型] ①△ADE∽△ABC； ② ＝ ＝ 已知 图示 结论（性质） ∠1＝ ∠2 [共边反A 字模型] ①△ADC∽△ACB； ②AC2＝AB·AD [补充]该模型也被称为 子母模型，即子母模 型可以看作有一组公 共边的反A字模型 已知 图示 结论（性质） ∠1＝ ∠2 ＝∠3 [双反A字 模型] ①△AEB∽△DEA∽ △DAC； ②AB·AC＝BE·CD； ③ ＝ 【8字模型】 已知 图示 结论（性质） AB∥CD ①△AOB∽△COD； ② ＝ ＝ ∠1＝∠2 或∠3＝∠4 或 ＝ [反8字模型] ①△AOB∽△DOC； ② ＝ ＝ 【射影定理】 已知 图示 结论（性质） ∠ABC ①△ABC∽△ADB∽ △BDC； ②AB2＝AC·AD， BD2＝AD·CD， BC2＝AC·CD； ③AB·BC＝BD·AC（面积法） 已知 图示 结论（性质） ＝ ∠ADB＝90° ①△ABC∽△ADB∽ △BDC； ②AB2＝AC·AD， BD2＝AD·CD， BC2＝AC·CD； ③AB·BC＝BD·AC（面积法） 【一线三等角】 已知 图示 结论（性质） ∠B ＝∠D ＝ ∠ACE＝ 90° 图1 图2 ①△ABC∽△CDE； ② ＝ ＝ 或BC·CD ＝AB·DE（可看作底·底＝腰·腰）； ③特别地，如图2，当点C为BD的中点时， △ABC∽△CDE∽△ACE 已知 图示 结论（性质） ∠B ＝ ∠D ＝ ∠A CE ＝α 图1 图2 ①△ABC∽△CDE； ② ＝ ＝ ； ③特别地，如图2，当点C为BD的中点时， △ABC∽△CDE∽△ACE 【线束模型】 已知 图示 结论（性质） DE ∥ BC 图1 图2 ① ＝ （图1）； ②DF∶FG∶EG＝BH∶HI∶CI（图2） 已知 图示 结论（性质） AB ∥ CD 图1 图2 ① ＝ （图1）； ②AE∶EF∶BF＝ DH∶HG∶CG（图2） 【三角形内接矩形模型】 已知 图示 结论（性质） 四边 形DE FG为矩形 ，AN ⊥BC ①△ABC∽△ADG； ② ＝ ＝ ＝ ； ③若四边形DEFG为正方 形，假设DG＝x，则 ＝ ，若已知BC，AN的 长，即可求出x的值 【三平行线模型】 已知 图示 结论（性质） AB ∥ EF ∥ CD ① ＋ ＝ ； ② ＋ ＝ 知识点7 位似图形的概念及性质 概 念 对应顶点的连线相交于一点的两个相 似多边形是位似图形，这个点叫位似 中心 性 质 （1）位似图形上任意一对对应点到 位似中心的距离之比等于相似比； （2）位似图形对应点的连线或延长 线相交于一点； （3）位似图形对应线段平行或共线 且成比例； （4）位似图形的对应角相等 名师指津 1. 证明等积式的常用方法是把等积式转 化为比例式，要证明比例式，就要证明 对应的三角形相似. 2. 实际应用中常见的相似三角形模型： （1）利用投影、平行线、标杆等构造相 似三角形求解； （2）测量底部可以到达的物体的高度； （3）测量底部不可以到达的物体的高度； （4）测量不可以到达的物体的宽度. 3. 重庆中考虽然降低了四条线段成比例 的证明，但是利用线段成比例来求线段 长度这一基本能力还是广泛应用在重庆 中考压轴题中.相似三角形的对应边成比 例是动点问题中得到线段长度间函数关 系式的重要手段，在解决问题时，先用 自变量和函数表示一些线段的长，然后 利用相似三角形对应边成比例建立方 程，从而求得（表示出）所求线段. 考点一　比例线段及相关性质 例1　 （1）下列四组线段中，是成比例 线段的是（　C　） A. 4cm，5cm，6cm，7cm B. 3cm，4cm，5cm，8cm C. 3cm，5cm，9cm，15cm D. 1cm，3cm，4cm，8cm C （2）已知 ＝ ，则 ＝（　C　） A. B. C. D. C （3）（2024·云南）如图，AB与CD交 于点O，且AC∥BD. 若 ＝ ，则 ＝ 　 　. 　 考点二　相似三角形的性质和判定 例2　 （1）（2024·重庆A卷）若两个相 似三角形的相似比是1∶3，则这两个相 似三角形的面积比是（　D　） A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶6 D. 1∶9 D （2）（2024·陕西）如图，正方形 CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD 上，AF与DC交于点H. 若AB＝6，CE ＝2，则DH的长为（　B　） A. 2 B. 3 C. D. B 例3　 （2024·上海）如图所示，在矩形 ABCD中，E为边CD上一点，且AE⊥BD. （1）求证：AD2＝DE·DC； [答案]解：证明：（1）在矩形ABCD中，∠BAD＝90°，∠ADE＝90°， AB＝DC， ∴∠ABD＋∠ADB＝90°. ∵AE⊥BD，∴∠DAE＋∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝∠DAE. ∵∠BAD＝∠ADE＝90°，∴△ADE∽△BAD， ∴ ＝ ，即AD2＝DE·BA. ∵AB＝DC，∴AD2＝DE·DC. （2）F为线段AE延长线上一点，且满 足EF＝CF＝ BD，求证：CE＝AD. [答案]解证明：（2）如答案图，连接AC交BD于点O. 由①知，△ADE∽△BAD， ∴∠ADB＝∠AED. ∵∠FEC＝∠AED， ∴∠ADO＝∠FEC. 在矩形ABCD中，OA＝OD＝ BD， ∵EF＝CF＝ BD， ∴OA＝OD＝EF＝CF， （答案图） ∴∠ADO＝∠OAD，∠FEC＝∠FCE. ∵∠ADO＝∠FEC， ∴∠ADO＝∠OAD＝∠FEC＝∠FCE. 在△ODA和△FEC中， ∴△ODA≌△FEC（AAS）， ∴CE＝AD. （答案图） 考点三　相似三角形的应用 例4　 （1）（2024·扬州）物理课上学过 小孔成像的原理，它是一种利用光的直 线传播特性实现图像投影的方法.如图 1，燃烧的蜡烛（竖直放置）AB经小孔 O在屏幕（竖直放置）上成像A'B'.已知 AB＝36cm，A'B'＝24cm，小孔O到AB 的距离为30cm，则小孔O到A'B'的距离 为 cm； 20　 图1 （2）在一个阳光明媚的下午，小华和小红相约去测量一座古塔MN的高.如图2，他们在塔周围的平地上找到塔尖点M的影子点B，并在点B处竖立一根3m长的标杆AB，测得其影长BC为2m.随后后退到点D处放置了一面小平面镜，小华站在点F处正好看到镜子中的塔尖M，且点F，D，C，B，N在同一条直线上.已知小华的身高EF为1.62m，FD为1.8m，BD为4.4m，求古塔MN的高.（平面镜的厚度忽略不计） 图2 [答案] 解：设古塔MN的高为xm.由题意，得△DEF∽△DMN， ∴ ＝ ，即 ＝ ，∴DN＝ xm. ∵BD＝4.4m，∴BN＝DN－BD＝（ x－4.4）m. 由题意，得△ABC∽△MNB，∴ ＝ ， 即 ＝ ，∴x＝9.9.（经检验，符 合题意） 答：古塔MN的高为9.9m. 考点四　位似及位似变换 例5　 （1）（2024·浙江）如图1，在平 面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是 位似图形，位似中心为点O. 若点A （－3，1）的对应点为A'（－6，2），则点B（－2，4）的对应点B'的坐标 为（　A　） A A. （－4，8） B. （8，－4） C. （－8，4） D. （4，－8） 图1 （2）（2024·凉山州）如图2，一块面积 为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1.若OB∶BB1＝2∶3，则△A1B1C1的面积是（　D　） A. 90cm2 B. 135cm2 C. 150cm2 D. 375cm2 D 图2 （3）如图3，在平面直角坐标系xOy 中，点A在第一象限内，点B在x轴正半 轴上，△OCD是以点O为位似中心，且 与△OAB的相似比为 的位似图形.若点 A的坐标为（3，2），则点C的坐标 为 ⁠. （1， ）或（－1，－ ）　 图3 1. 如图，已知△ABC∽△EDC， AC∶EC＝2∶3.若AB的长度为6，则 DE的长度为（　B　） A. 4 B. 9 C. 12 D. 13.5 （第1题） B 2. （2024·湖南）如图，在△ABC中，点 D，E分别为边AB，AC的中点.下列结 论中，错误的是（　D　） A. DE∥BC B. △ADE∽△ABC C. BC＝2DE D. S△ADE＝ S△ABC D （第2题） 3. （2024·绥化）如图，矩形OABC各顶 点的坐标分别为O（0，0），A（3，0），B（3，2），C（0，2），以原点 O为位似中心，将这个矩形按相似比 缩 小，则顶点B在第一象限对应点的坐标 是 .　 （1， ）　 （第3题） 4. 如图，在△ABC中，点D，E分别在 BC，AC上，且CD＝2BD，CE＝ 2AE，BE交AD于点F，则AF∶FD ＝ ，S△BFD∶S△ABC＝ ⁠. （第4题） 3∶2　 2∶15　 $$