第6章 图形基础知识知识归纳与题型训练（5类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（浙教版2024）

第6章 《图形基础知识》知识归纳与题型训练（5题型清单） 一、几何图形 几何图形：从实物中得到的点、线、面、体称为几何图形； 立体图形：图形所表示的各个部分不在同一个平面内，这样的几何图形称为立体图形； 平面图形：图形所表示的各个部分都在同一个平面内，这样的几何图形称为平面图形； 要点诠释： 各种几何图形间的联系是：点动成线，线动成面，面动成体； 二、线段、射线和直线 线段、射线、直线基本知识： 图像 名称 端点个数 能否延伸/延长 直线 直线AB（或直线a） 0 可两方向无限延伸，不能延长 射线 射线AB 1 可向AB方向无限延伸，可沿AB反向延长 线段 线段AB 2 不能延伸，可向两方向延长 性质 两点确定一条直线 要点诠释： （1）若一条线段里面有n个点，则该图形中线段总条数是： （2）若一条直线上共有n个点，则该图形有射线条，有线段条； 三、线段的长短比较 基本事实：在所有连结两点的线中，线段最短。简称：两点之间线段最短； 距离：连结两点的线段的长度叫作这两点间的距离； 要点诠释： 线段长短比较的常用方法：度量法、尺规比较法等； 四、线段的和差 两条线段的和：一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，你那么这条线段就叫作另两条线段的和； 两条线段的差：如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差。 线段中点： 如图，点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫作线段AB的中点，这时 要点诠释： （1）线段三等分点： 如图，点C、D把线段AB分成相等的三条线段AC、CD与DB，点C、D叫作线段AB的三等分点；这时 （2）线段的有关计算常结合方程来解决，列方程的等量关系为线段间的和、差、倍、分关系！ （3）不确定是分类讨论的起点，当题目中出现以下两种情况时，常常需要分类讨论： ①线段中点的位置没有直接给明时； ②直线上的两点不给定左右关系时。 五、角与角的度量 1、角的定义：由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫作这个角的顶点； 角用“∠”表示，读作“角”，角的表示方法共有3种： 如上右图：把图中用数字表示的角改用大写字母 表示是: ∠1=∠AFE、∠2=∠CFE、∠3=∠CEF、∠4=∠B、∠5=∠A。 2、角的度量：连结两点的线段的长度叫作这两点间的距离； 角的度量单位有：度°、分′、秒″， 要点诠释： 角的动态定义：角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边 如图： 类似有：当一条射线绕着它的端点旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫平角（如上图中）；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫作周角（如上图右）； 六、角的大小比较 角的分类：等于90°的角是直角，小于直角的角是锐角，大于直角而小于平角的角是钝角； 角的大小比较常用方法：度量法、叠合法； 七、角的和差 两个角的和：一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和；两个角的差：如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差 角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线； 如图，OC是∠AOB的平分线， 八、余角和补角 余角：如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角； 补角：如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的补角； 余角与补角的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。 要点诠释： （1）角的运算其实是角的加减、角平分线、互余互补等相关概念与性质的综合运用， （2）直角三角板上各角的读数为：30°、60°、90°；45°、45°、90° 题型一　几何图形与线段、射线、直线的基础知识 例题： 1．（2023秋•萧山区月考）如图，下列说法错误的是（　　） A．直线AC还可以表示为直线CA或直线m B．射线AC与射线CA不是同一条射线 C．点B在直线m上 D．图中有直线1条，射线4条，线段1条 2．（2023•婺城区模拟）如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是（　　） A．过一点有无数条直线 B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 3．（2023•镇海区校级开学）如图，甲是一个直角三角形，乙是一个长方形，如果将图绕MN旋转一周，扫过的空间形成立体图形，此时甲和乙的体积比是（　　） A．1：3 B．2：3 C．1：1 D．1：2 4．（2023秋•双峰县月考）如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，可以弹出一条笔直的墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 　 　． 巩固训练 5．（2023秋•鄞州区校级月考）在下列生活，生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．会场摆直茶杯 D．弯河道改直 6．（2023秋•定海区校级月考）在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 7．（2023秋•临海市期末）下列实物中，能抽象成圆柱体的是（　　） A． B． C． D． 8．（2022秋•临平区月考）如图，平面上有A、B、C、D四个点，请根据下列语句作图． （1）画直线AC； （2）线段AD与线段BC相交于点O； （3）射线AB与射线CD相交于点P． 题型二　线段的运算 例题： 1．（2023秋•鄞州区校级月考）已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（　　） A．AC＝BC B．AB＝2AC C．AC+BC＝AB D． 2．（2023秋•泗洪县期末）如图，已知线段AB＝10cm，M是AB中点，点N在AB上，NB＝2cm，那么线段MN的长为（　　） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 3．（2023秋•镇海区期末）已知线段AB，延长AB至点C，使得，量得AC＝9cm，则线段AB的长是 　 　． 4．（2023秋•南浔区期末）如图，P是线段MN上一点，Q是线段PN的中点．若MN＝5，MP＝3，则MQ的长是 　 　． 5．（2023秋•越城区校级期末）如图，已知线段AB＝a，延长BA至点C，使，D为线段BC的中点，则AD的长为 　 　．（用含a的代数式表示） 6．（2023秋•西湖区校级月考）如图，已知线段AB＝6，延长线段AB到C，使BC＝2AB，点D是AC的中点．求： （1）AC的长； （2）BD的长． 巩固训练 7．（2023秋•椒江区校级期末）如图，点C，D为线段AB上两点，AC+BD＝9，且，则CD＝（　　） A．15 B．9 C．6 D． 8．（2023秋•松阳县期末）如图，C为线段AB的中点，AC＝6，D是线段AB的三等分点，则BD的长是 　 　． 9．（2023秋•玉环市期末）如图，小华认为从A点到B点的三条路线中，②是路程最短的，他判断的依据是 　 　． 10．（2023秋•慈溪市期末）如图，已知线段AB＝10cm，点C是AB上任一点，点M、N分别是AC和CB的中点，则MN的长度为　 　cm． 11．（2023秋•西湖区校级月考）如图，已知线段AB＝23，BC＝15，点M是AC的中点． （1）求线段AM的长； （2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求线段MN的长． 题型三　线段运算中的分类讨论 例题： 1．（2023秋•德清县期末）已知点A，B，C，D在直线l上，AB＝4，AC＝6，D为BC的中点，则AD的长为（　　） A．3 B．5 C．3或7 D．1或5 2．（2023秋•金东区期末）已知在直线AB上有两点C，D（点A在点B的左侧），若AB＝12，CB＝4，且D是AC中点，则AD的长等于 　 　． 3．（2023秋•镇海区期末）如图，已知线段AB＝12，点C为线段AB上一动点，点D在线段CB上且满足CD：DB＝1：2． （1）当点C为AB中点时，求CD的长； （2）若E为AD中点，当DE＝2CE时，求AC的长． 4．（2023秋•东阳市期末）如图①，已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在射线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且|m﹣14|+（7﹣n）2＝0 （1）若BC＝4，求AD的长． （2）当CD在线段AB的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段AD，BC的中点，求MN的长． （3）当CD运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段AB延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 巩固训练 5．（2023秋•南浔区期末）已知线段AB＝5，点C在直线AB上，AC＝2，则BC的长为（　　） A．3 B．7 C．3或7 D．5或7 6．（2023秋•衢江区期末）一根绳子AB长为20cm，C，D是绳子AB上任意两点（C在D的左侧）．将AC，BD分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在CD上的点E，F处． （1）当CD＝12cm时，E，F两点间的距离为 　 　． （2）当E，F两点间的距离为2cm时，CD的长为 　 　． 7．（2023秋•长兴县期末）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，BC＝4，AB＝12． （1）求点A、B对应的数； （2）动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为t（t＞0）． ①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）； ②t为何值时，OM＝2BN． 8．（2023秋•孝昌县期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为 　 　； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　 　；点Q表示的数为 　 　． （2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； （3）求当t为何值时，PQ＝AB； （4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 题型四　角与角的运算 例题： 1．（2022秋•西湖区期末）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（　　） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定 2．（2023秋•嘉兴期末）如图，射线OC，OD在∠AOB的内部．若∠AOB＝α，∠AOD＝∠BOC＝β（β＜α），则∠COD为（　　） A．α﹣β B．2α﹣β C．2α﹣2β D．2β﹣α 3．（2023秋•舟山期末）已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算的结果依次是72°、26°、50°、90°，其中有一名同学计算正确，这名同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．（2023秋•东阳市期末）比较大小：46.25° 　 　46°25′（用＞，＜或＝连结）． 5．（2023秋•长兴县期末）如图，两直线AB，CD相交于点O，已知OE平分∠BOD，且∠AOC：∠AOD＝3：7， （1）求∠DOE的度数； （2）若OF⊥OE，求∠COF的度数． 6．（2023秋•娄底期末）如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE． （1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数； （2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由． 巩固训练 7．（2023秋•宁波期末）如图，将一副三角尺60°角和90°角的顶点A叠放在一起，将三角板ADE绕点A旋转，在旋转过程中三角板ADE的边AD始终在∠BAC的内部，则∠BAE﹣∠CAD的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．无法确定 8．（2023秋•海曙区期末）如图，已知，，且∠COD＝10°，则∠AOB等于（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 9．（2022秋•德清县期末）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ＝x，则∠MON用含x的代数式表示为（　　） A．或3x或 B．或3x或9x C．或或9x D．3x或或9x 10．（2023秋•义乌市期末）将20°30′转化为度的形式，即：20°30′＝　 　°． 11．（2023秋•仙居县期末）已知：两块三角尺（直角三角形ABC和直角三角形ADE，∠BAC＝45°，∠DAE＝30°）按如图1摆放，点E、A、B在同一条直线上，AM、AN分别平分∠BAE和∠CAD． （1）求∠DAC的度数； （2）求∠MAN的度数； （3）将三角尺ADE绕点A按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，∠MAN的度数是否发生变化？如果不变化，请求出∠MAN的度数；如果变化，请说明理由． 题型五　余角和补角相关 例题： 1．（2023秋•杭州期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•南浔区期末）将一把直尺的一部分和一块三角板按如图所示方式摆放，若∠1比∠2小20°，则∠1的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 3．（2024•临安区一模）已知∠α＝42°12′，与∠α互余的角的度数是（　　） A．132°12′ B．137°48′ C．57°48′ D．47°48′ 4．（2023秋•钱塘区期末）（1）已知∠α＝42°32′，∠β＝27°18′，求∠α+∠β，∠α﹣∠β的值． （2）如果∠α的补角是∠α的余角的3倍，求∠α的度数． 5．（2023秋•义乌市期末）定义：如果有三个角α，β，γ，满足α+β﹣γ＝90°，则称γ是α和β的“减余角”． （1）已知∠1＝37°，∠2＝66°，若∠3是∠1和∠2的“减余角”，则∠3＝　 　． （2）现有一张正方形纸片ABCD，如图1所示，点E为线段BC上一点（不与B、C重合）．连结AE，将纸片沿着AE对折，使点B落在正方形纸片的内部且对应点为B′． ①若∠B′EC是∠AEB和∠AEB′的“减余角”，求∠AEB的度数． ②再将此正方形纸片沿着B′E所在直线对折，使点C落在正方形纸片的内部且对应点为C′，如图2所示．是否存在∠AEB，∠AEC′，∠B′EC中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出∠AEB的度数；若不存在，请说明理由． 巩固训练 6．（2023秋•临海市期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，∠α与∠β互余的是（　　） A． B． C． D． 7．（2023秋•义乌市期末）已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．67.5° 8．（2023秋•仙居县期末）如图，点O在直线AE上，∠AOB＝∠COD＝90°，则图中除了直角外，一定相等的角有（　　） A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 9．（2023秋•拱墅区期末）已知∠y是∠α的补角，∠β是∠y的补角，若∠a＝（2n﹣30）°，∠β＝（60﹣n）°，则∠y的度数为 　 　． 10．（2023秋•余姚市期末）将一副三角板如图放置，已知∠CAB＝∠AED＝90°，∠C＝45°，∠DAE＝30°．现将三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转，三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转． （1）求图中起始位置时∠CAE的度数． （2）若两块三角板以相同速度旋转，当AC与AE第一次在一条直线上时，求AC转过的角度． 11．（2023秋•海曙区期末）如图1，在直线AB上取一点O，向上作一条射线OC，使∠BOC＝n°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD在射线OB上，另一边OE在直线AB的上方．如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针转动，当OD与OA第一次重合时停止． （1）如图2，n＝54时，若∠COD和∠AOE互余，且满足OD始终在∠BOC内部，求此时∠COE的度数； （2）如图2，当OD始终在∠BOC内部时，猜想∠COD与∠AOE有怎样的数量关系（用含n的等式表示），并说明理由； （3）如图2，当n＝54时，若直角三角板DOE绕点O以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，OD与OA第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 　 　秒．（直接写出结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6章 《图形基础知识》知识归纳与题型训练（5题型清单） 一、几何图形 几何图形：从实物中得到的点、线、面、体称为几何图形； 立体图形：图形所表示的各个部分不在同一个平面内，这样的几何图形称为立体图形； 平面图形：图形所表示的各个部分都在同一个平面内，这样的几何图形称为平面图形； 要点诠释： 各种几何图形间的联系是：点动成线，线动成面，面动成体； 二、线段、射线和直线 线段、射线、直线基本知识： 图像 名称 端点个数 能否延伸/延长 直线 直线AB（或直线a） 0 可两方向无限延伸，不能延长 射线 射线AB 1 可向AB方向无限延伸，可沿AB反向延长 线段 线段AB 2 不能延伸，可向两方向延长 性质 两点确定一条直线 要点诠释： （1）若一条线段里面有n个点，则该图形中线段总条数是： （2）若一条直线上共有n个点，则该图形有射线条，有线段条； 三、线段的长短比较 基本事实：在所有连结两点的线中，线段最短。简称：两点之间线段最短； 距离：连结两点的线段的长度叫作这两点间的距离； 要点诠释： 线段长短比较的常用方法：度量法、尺规比较法等； 四、线段的和差 两条线段的和：一般地，如果一条线段的长度是另两条线段的长度的和，你那么这条线段就叫作另两条线段的和； 两条线段的差：如果一条线段的长度是另两条线段的长度的差，那么这条线段就叫作另两条线段的差。 线段中点： 如图，点C把线段AB分成相等的两条线段AC与BC，点C叫作线段AB的中点，这时 要点诠释： （1）线段三等分点： 如图，点C、D把线段AB分成相等的三条线段AC、CD与DB，点C、D叫作线段AB的三等分点；这时 （2）线段的有关计算常结合方程来解决，列方程的等量关系为线段间的和、差、倍、分关系！ （3）不确定是分类讨论的起点，当题目中出现以下两种情况时，常常需要分类讨论： ①线段中点的位置没有直接给明时； ②直线上的两点不给定左右关系时。 五、角与角的度量 1、角的定义：由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫作这个角的顶点； 角用“∠”表示，读作“角”，角的表示方法共有3种： 如上右图：把图中用数字表示的角改用大写字母 表示是: ∠1=∠AFE、∠2=∠CFE、∠3=∠CEF、∠4=∠B、∠5=∠A。 2、角的度量：连结两点的线段的长度叫作这两点间的距离； 角的度量单位有：度°、分′、秒″， 要点诠释： 角的动态定义：角可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边 如图： 类似有：当一条射线绕着它的端点旋转到和始边成一条直线时，所成的角叫平角（如上图中）；旋转到终边和始边再次重合时，所成的角叫作周角（如上图右）； 六、角的大小比较 角的分类：等于90°的角是直角，小于直角的角是锐角，大于直角而小于平角的角是钝角； 角的大小比较常用方法：度量法、叠合法； 七、角的和差 两个角的和：一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫作另两个角的和；两个角的差：如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫作另两个角的差 角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线； 如图，OC是∠AOB的平分线， 八、余角和补角 余角：如果两个锐角的和是一个直角，我们就说这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角； 补角：如果两个角的和是一个平角，我们就说这两个角互为补角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的补角； 余角与补角的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。 要点诠释： （1）角的运算其实是角的加减、角平分线、互余互补等相关概念与性质的综合运用， （2）直角三角板上各角的读数为：30°、60°、90°；45°、45°、90° 题型一　几何图形与线段、射线、直线的基础知识 例题： 1．（2023秋•萧山区月考）如图，下列说法错误的是（　　） A．直线AC还可以表示为直线CA或直线m B．射线AC与射线CA不是同一条射线 C．点B在直线m上 D．图中有直线1条，射线4条，线段1条 【分析】根据直线、射线、线段的定义与表示进行判断作答即可． 【解答】解：由题意知，直线AC还可以表示为直线CA或直线m，A正确，故不符合要求； 射线AC与射线CA不是同一条射线，B正确，故不符合要求； 点B不在直线m上，C错误，故符合要求； 图中有直线1条，射线4条，线段1条，D正确，故不符合要求； 故选：C． 2．（2023•婺城区模拟）如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是（　　） A．过一点有无数条直线 B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可． 【解答】解：因为“两点确定一条直线”，所以他在衣架两端各用一个钉子进行固定． 故选：C． 3．（2023•镇海区校级开学）如图，甲是一个直角三角形，乙是一个长方形，如果将图绕MN旋转一周，扫过的空间形成立体图形，此时甲和乙的体积比是（　　） A．1：3 B．2：3 C．1：1 D．1：2 【分析】根据题意得：将图绕MN旋转一周，甲扫过的空间形成高为3的圆柱减去高为3的圆锥部分图形，乙扫过的空间形成高为3的圆柱，再由圆锥，圆柱的体积，即可求解． 【解答】解：根据题意得：将图绕MN旋转一周，甲扫过的空间形成高为3的圆柱减去高为3的圆锥部分图形，乙扫过的空间形成高为3的圆柱， 设甲，乙重合的边长为d，则 此时甲和乙的体积比是， 即此时甲和乙的体积比是2：3． 故选：B． 4．（2023秋•双峰县月考）如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，可以弹出一条笔直的墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 　经过两点有且只有一条直线　． 【分析】根据“经过两点有且只有一条直线”即可得出结论． 【解答】解：∵经过两点有且只有一条直线， ∴经过木板上的A、B两个点，只能弹出一条笔直的墨线． 故答案为：经过两点有且只有一条直线． 巩固训练 5．（2023秋•鄞州区校级月考）在下列生活，生产现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（　　） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．会场摆直茶杯 D．弯河道改直 【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案． 【解答】解：第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识． 故选：D． 6．（2023秋•定海区校级月考）在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了（　　） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，即可解答． 【解答】解：在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这说明了：点动成线， 故选：A． 7．（2023秋•临海市期末）下列实物中，能抽象成圆柱体的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据常见几何体的特征逐项判断即可． 【解答】解：A，抽象出来是六棱柱，不合题意； B，抽象出来是球，不合题意； C，抽象出来是圆柱，符合题意； D，抽象出来是圆锥，不合题意． 故选：C． 8．（2022秋•临平区月考）如图，平面上有A、B、C、D四个点，请根据下列语句作图． （1）画直线AC； （2）线段AD与线段BC相交于点O； （3）射线AB与射线CD相交于点P． 【分析】根据直线，射线，线段的定义画出图形即可． 【解答】解：（1）直线AC如图所示． （2）线段AD与线段BC相交于点O，如图所示． （3）射线AB与射线CD相交于点P，如图所示． 题型二　线段的运算 例题： 1．（2023秋•鄞州区校级月考）已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（　　） A．AC＝BC B．AB＝2AC C．AC+BC＝AB D． 【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A、B、D都可以确定点C是线段AB中点 【解答】解：A、AC＝BC，则点C是线段AB中点； B、AB＝2AC，则点C是线段AB中点； C、AC+BC＝AB，则C可以是线段AB上任意一点； D、BC＝AB，则点C是线段AB中点． 故选：C． 2．（2023秋•泗洪县期末）如图，已知线段AB＝10cm，M是AB中点，点N在AB上，NB＝2cm，那么线段MN的长为（　　） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 【分析】根据M是AB中点，先求出BM的长度，则MN＝BM﹣BN． 【解答】解：∵AB＝10cm，M是AB中点， ∴BM＝AB＝5cm， 又∵NB＝2cm， ∴MN＝BM﹣BN＝5﹣2＝3cm． 故选：C． 3．（2023秋•镇海区期末）已知线段AB，延长AB至点C，使得，量得AC＝9cm，则线段AB的长是 　6cm　． 【分析】由BC＝AB，可得AC＝AB，已知AC＝9cm，可得线段AB的长． 【解答】解：∵BC＝AB，AC＝AB+BC， ∴AC＝AB， ∵AC＝9cm， ∴AB＝6cm， 故答案为：6cm． 4．（2023秋•南浔区期末）如图，P是线段MN上一点，Q是线段PN的中点．若MN＝5，MP＝3，则MQ的长是 　4　． 【分析】已知MN＝5，MP＝3，可得NP的长，因为Q是线段PN的中点，可得PQ的长，因为MQ＝MP+PQ，可得MQ的长． 【解答】解：∵MN＝5，MP＝3， ∴NP＝2， ∵Q是线段PN的中点， ∴PQ＝1， ∵MQ＝MP+PQ， ∴MQ＝4， 故答案为：4． 5．（2023秋•越城区校级期末）如图，已知线段AB＝a，延长BA至点C，使，D为线段BC的中点，则AD的长为 　　．（用含a的代数式表示） 【分析】根据题意先求出，可得，再由D为线段BC的中点，可得，即可求解． 【解答】解：∵线段AB＝a，， ∴， ∴， ∵D为线段BC的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2023秋•西湖区校级月考）如图，已知线段AB＝6，延长线段AB到C，使BC＝2AB，点D是AC的中点．求： （1）AC的长； （2）BD的长． 【分析】由已知条件可知，BC＝2AB，AB＝6，则BC＝12，故AC＝AB+BC可求；又因为点D是AC的中点，则AD＝AC，故BD＝BC﹣DC可求． 【解答】解：（1）∵BC＝2AB，AB＝6， ∴BC＝12， ∴AC＝18； （2）D是AC的中点，AC＝18， ∴AD＝9， ∴BD＝BC﹣DC＝12﹣9＝3． 故答案为18、3． 巩固训练 7．（2023秋•椒江区校级期末）如图，点C，D为线段AB上两点，AC+BD＝9，且，则CD＝（　　） A．15 B．9 C．6 D． 【分析】先根据已知条件，把线段CD用AB表示出来，然后再根据AC+BD＝9，列出关于AB的方程，求出AB，再根据CD＝AB﹣（AC+BD）进行计算即可． 【解答】解：∵AD+BC＝， ∴， ， ， ∵AC+BD＝9， ∴AB﹣（AC+BD）＝CD， ， ， AB＝15， ∴CD＝AB﹣（AC+BD）＝15﹣9＝6， 故选：C． 8．（2023秋•松阳县期末）如图，C为线段AB的中点，AC＝6，D是线段AB的三等分点，则BD的长是 　4或8　． 【分析】分点D在线段AC上、点D在线段BC上两种情况讨论． 【解答】解：∵C为线段AB的中点，AC＝6， ∴AB＝12， 当点D在线段AC上时， ， ∵D是线段AB的三等分点， ∴BD＝AB＝8， 当点D在线段BC上时， ， ∵D是线段AB的三等分点， ∴BD＝AB＝4， 故答案为：4或8． 9．（2023秋•玉环市期末）如图，小华认为从A点到B点的三条路线中，②是路程最短的，他判断的依据是 　两点之间线段最短　． 【分析】根据两点之间线段最短解答即可． 【解答】解：由题意得：②是路程最短的，因为两点之间线段最短 故答案为：两点之间线段最短． 10．（2023秋•慈溪市期末）如图，已知线段AB＝10cm，点C是AB上任一点，点M、N分别是AC和CB的中点，则MN的长度为　5　cm． 【分析】由已知条件可知，MN＝MC+CN，又因为M是AC的中点，N是BC的中点，则MC+CN＝+＝AB． 【解答】解：∵M是AC的中点，N是BC的中点， ∴MC＝AM＝AC，CN＝BN＝BC， ∴MN＝MC+CN＝AC+BC＝（AC+BC）＝AB＝5cm． 故答案为：5． 11．（2023秋•西湖区校级月考）如图，已知线段AB＝23，BC＝15，点M是AC的中点． （1）求线段AM的长； （2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求线段MN的长． 【分析】（1）根据图示知，AC＝AB﹣BC，AM＝AC，根据上两式即可求解； （2）根据已知条件求得CN＝5，MC＝4，然后根据图示知MN＝MC+NC＝4+5＝9． 【解答】解：（1）线段AB＝23，BC＝15， ∴AC＝AB﹣BC＝23﹣15＝8． 又∵点M是AC的中点． ∴AM＝AC＝×8＝4，即线段AM的长度是4． （2）∵BC＝15，CN：NB＝1：2， ∴CN＝BC＝×15＝5． 又∵点M是AC的中点，AC＝8， ∴MC＝AC＝4， ∴MN＝MC+NC＝4+5＝9， 即MN的长度是9． 题型三　线段运算中的分类讨论 例题： 1．（2023秋•德清县期末）已知点A，B，C，D在直线l上，AB＝4，AC＝6，D为BC的中点，则AD的长为（　　） A．3 B．5 C．3或7 D．1或5 【分析】分C在线段AB的反向延长线上和C在线段AB的延长线上两种情况求解即可． 【解答】解：当C在线段AB的反向延长线上时，如图1， 由线段的和差，得BC＝AB+AC＝4+6＝10， 由线段中点的性质，得，AD＝BD﹣AB＝5﹣4＝1； 当C在线段AB的延长线上时，如图2， 由线段的和差，得BC＝AC﹣AB＝6﹣4＝2， 由线段中点的性质，得，AD＝AB+BD＝4+1＝5． 综上可知，AD的长为1或5． 故选：D． 2．（2023秋•金东区期末）已知在直线AB上有两点C，D（点A在点B的左侧），若AB＝12，CB＝4，且D是AC中点，则AD的长等于 　4或8　． 【分析】分两种情况画出图形，利用线段的中点和线段的和差分别进行求解即可． 【解答】解：如图1，当点C在点B的左边， ∵AB＝12，CB＝4， ∴AC＝AB﹣CB＝8， ∵D是AC中点， ∴； 如图1，当点C在点B的右边， ∵AB＝12，CB＝4， ∴AC＝AB+CB＝16， ∵D是AC中点， ∴； 综上可知，AD的长等于4或8． 故答案为：4或8． 3．（2023秋•镇海区期末）如图，已知线段AB＝12，点C为线段AB上一动点，点D在线段CB上且满足CD：DB＝1：2． （1）当点C为AB中点时，求CD的长； （2）若E为AD中点，当DE＝2CE时，求AC的长． 【分析】（1）根据线段中点的性质计算即可； （2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算． 【解答】解：（1）∵点C为AB中点，AB＝12， ∴BC＝AB＝6， ∵CD：DB＝1：2， ∴CD＝BC＝2； （2）如图， ∵E为AD中点， ∴AE＝DE＝AD， ∵DE＝2CE， ∴CD＝CE， ∵CD：DB＝1：2， ∴BD＝2CD＝2CE＝DE， ∴AE＝DE＝BD＝AB＝4， ∴CE＝＝2， ∴AC＝AE+CE＝4+2＝6． 如图， ∵E为AD中点， ∴AE＝DE＝AD， ∵DE＝2CE， ∴CD＝3CE， ∵CD：DB＝1：2， ∴BD＝2CD＝6CE＝3DE， ∴AE＝DE＝BD， ∴AB＝BD＝12， ∴BD＝7.2， ∴AE＝DE＝2.4，CE＝＝1.2， ∴AC＝AE﹣CE＝1.2． 综上所述，AC的长为6或1.2． 4．（2023秋•东阳市期末）如图①，已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在射线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且|m﹣14|+（7﹣n）2＝0 （1）若BC＝4，求AD的长． （2）当CD在线段AB的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段AD，BC的中点，求MN的长． （3）当CD运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段AB延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【分析】先根据非负数的性质求出m＝14，n＝7，则AB＝14，CD＝7． （1）若BC＝4，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则BD＝CD﹣BC＝3，根据AD＝AB+BD可得AD的长；②当点C在点B的右侧时，根据AD＝AB+BC+CD可得AD的长； （2）设BC＝a，则AD＝AB+BC+CD＝21+a，根据线段中点定义得，AM＝AD＝（21+a），BN＝BC＝a，从而得BM＝AM﹣AB＝（a﹣7），由此可得MN的长； （3）设PB＝t，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段AB上，再根据点P在线段AB的延长线上画出图形，结合图形得PA＝14+t，PC＝7+t，则PA+PB＝2（7+t），据此可得出结论． 【解答】解：∵|m﹣14|≥0，（7﹣n）2≥0，|m﹣14|+（7﹣n）2＝0， ∴m﹣14＝0，7﹣n＝0， 解得：m＝14，n＝7， ∴AB＝m＝14，CD＝n＝7， （1）若BC＝4，则有以下两种情况， ①当点C在点B的左侧时，如图1①所示： ∵AB＝14，CD＝7，BC＝4， ∴BD＝CD﹣BC＝7﹣4＝3， ∴AD＝AB+BD＝14+3＝17； ②当点C在点B的右侧时，如图1②所示： ∵AB＝14，CD＝7，BC＝4， ∴AD＝AB+BC+CD＝14+4+7＝25； 综上所述：线段AD的长为17或25． （2）设BC＝a，如图2所示： ∴AD＝AB+BC+CD＝14+a+7＝21+a， ∵点M，N分别是线段AD，BC的中点， ∴AM＝AD＝（21+a），BN＝BC＝a， ∴BM＝AM﹣AB＝（21+a）﹣14＝（a﹣7）， ∴MN＝BN﹣BM＝a﹣（a﹣7）＝； （3）为定值，理由如下： 设PB＝t， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧， ∴点C在线段AB上， 又∵点P在线段AB的延长线上，如图3所示： ∴PA＝PB+PD＝14+t，PC＝CD+PB＝7+t， ∴PA+PB＝14+t+t＝2（7+t）， ∴＝2． 巩固训练 5．（2023秋•南浔区期末）已知线段AB＝5，点C在直线AB上，AC＝2，则BC的长为（　　） A．3 B．7 C．3或7 D．5或7 【分析】根据题意，分两种情况讨论：（1）点C在A右边时；（2）点C在点A的左边时；求出线段BC的长为多少即可． 【解答】解：（1）点C在A右边时， BC＝AB﹣AC＝5﹣2＝3； （2）点C在点A的左边时， BC＝AB+AC＝5+2＝7， ∴BC的长为3或7． 故选：C． 6．（2023秋•衢江区期末）一根绳子AB长为20cm，C，D是绳子AB上任意两点（C在D的左侧）．将AC，BD分别沿C，D两点翻折（翻折处长度不计），A，B两点分别落在CD上的点E，F处． （1）当CD＝12cm时，E，F两点间的距离为 　4cm　． （2）当E，F两点间的距离为2cm时，CD的长为 　11cm或9cm　． 【分析】（1）由已知AC+BD＝8cm，翻折后AC+BD＝CE+DF＜CD，则E，F两点间的距离为CD﹣（CE+DF），由此即可求解； （2）分两种情况：AC+BD＜CD及AC+BD＞CD，即可求解． 【解答】解：（1）∵AB＝20cm，CD＝12cm， ∴AC+BD＝AB﹣CD＝8cm， 由于翻折，如图，则AC＝CE，BD＝DF， ∴AC+BD＝CE+DF＝8cm＜CD＝12cm， ∴E，F两点间的距离为CD﹣（CE+DF）＝12﹣8＝4（cm）； （2）当AC+BD＜CD时，如图， 由于翻折，则AC＝CE，BD＝DF， 由图知，AE+EF+BF＝20，即2CE+2+2DF＝20， ∴CE+DF＝9， ∴CD＝CE+DF+EF＝9+2＝11（cm）； 当AC+BD＞CD时，如图， 则AE+BF﹣EF＝20，即2CE+2DF﹣2＝20， ∴CE+DF＝11， ∴CD＝CE+DF﹣EF＝11﹣2＝9（cm）； 综上，CD的长为11cm或9cm． 7．（2023秋•长兴县期末）如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，BC＝4，AB＝12． （1）求点A、B对应的数； （2）动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为AP的中点，N在线段CQ上，且CN＝CQ，设运动时间为t（t＞0）． ①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）； ②t为何值时，OM＝2BN． 【分析】（1）点B表示的数是6﹣4，点A表示的数是2﹣12，求出即可； （2）①求出AM，CN，根据A、C表示的数求出M、N表示的数即可；②求出OM、BN，得出方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）∵点C对应的数为6，BC＝4， ∴点B表示的数是6﹣4＝2， ∵AB＝12， ∴点A表示的数是2﹣12＝﹣10． （2）①∵动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度，时间是t， ∴AP＝6t，CQ＝3t， ∵M为AP的中点，N在CQ上，且CN＝CQ， ∴AM＝AP＝3t，CN＝CQ＝t， ∵点A表示的数是﹣10，C表示的数是6， ∴M表示的数是﹣10+3t，N表示的数是6+t． ②∵OM＝|﹣10+3t|，BN＝BC+CN＝4+t，OM＝2BN， ∴|﹣10+3t|＝2（4+t）＝8+2t， 由﹣10+3t＝8+2t，得t＝18， 由﹣10+3t＝﹣（8+2t），得t＝， 故当t＝18秒或t＝秒时OM＝2BN． 8．（2023秋•孝昌县期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB＝　10　，线段AB的中点表示的数为 　3　； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为 　﹣2+3t　；点Q表示的数为 　8﹣2t　． （2）求当t为何值时，P、Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数； （3）求当t为何值时，PQ＝AB； （4）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t＝2，于是得到当t＝2时，P、Q相遇，即可得到结论； （3）由t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t，于是得到PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|，列方程即可得到结论； （4）由点M表示的数为 ＝﹣2，点N表示的数为 ＝+3，即可得到结论． 【解答】解：（1）①10，3； ②﹣2+3t，8﹣2t； （2）∵当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等 ∴﹣2+3t＝8﹣2t， 解得：t＝2， ∴当t＝2时，P、Q相遇， 此时，﹣2+3t＝﹣2+3×2＝4， ∴相遇点表示的数为4； （3）∵t秒后，点P表示的数﹣2+3t，点Q表示的数为8﹣2t， ∴PQ＝|（﹣2+3t）﹣（8﹣2t）|＝|5t﹣10|， 又PQ＝AB＝×10＝5， ∴|5t﹣10|＝5， 解得：t＝1或3， ∴当：t＝1或3时，PQ＝AB； （4）不变． ∵点M表示的数为 ＝﹣2， 点N表示的数为 ＝+3， ∴MN＝|（﹣2）﹣（+3）|＝|﹣2﹣﹣3|＝5． 题型四　角与角的运算 例题： 1．（2022秋•西湖区期末）如图，用同样大小的三角板比较∠A和∠B的大小，下列判断正确的是（　　） A．∠A＞∠B B．∠A＜∠B C．∠A＝∠B D．没有量角器，无法确定 【分析】由图知/A∠45°，∠B＞45°，故可比较大小． 【解答】解：∵图中三角尺为等腰直角三角形， ∴∠A＜45°，＜B＞45°， ∴∠A＜∠B， 故选：B． 2．（2023秋•嘉兴期末）如图，射线OC，OD在∠AOB的内部．若∠AOB＝α，∠AOD＝∠BOC＝β（β＜α），则∠COD为（　　） A．α﹣β B．2α﹣β C．2α﹣2β D．2β﹣α 【分析】由∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD可得结论． 【解答】解：设∠AOB＝α，∠AOD＝∠BOC＝β（β＜α）， 而∠AOB＝∠AOD+∠BOC﹣∠COD， ∴α＝β+β﹣∠COD， ∴∠COD＝2β﹣α， 故选：D． 3．（2023秋•舟山期末）已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四名同学计算的结果依次是72°、26°、50°、90°，其中有一名同学计算正确，这名同学是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】根据α、β都是钝角，求出的取值范围，再看哪个同学所求的结果在范围内即可． 【解答】解：∵α、β都是钝角， ∴90°＜α＜180°，90°＜β＜180° ∴180°＜α+β＜360°， ∴30°＜＜60°， 在甲、乙、丙、丁四名同学计算的结果中只有丙同学的结果在范围内， 故选：C． 4．（2023秋•东阳市期末）比较大小：46.25° 　＜　46°25′（用＞，＜或＝连结）． 【分析】先把46.25°化为46°15′从而可得答案． 【解答】解：∵46.25°＝46°+0.25×60′＝46°15′， 而46°15′＜46°25′， 故答案为：＜． 5．（2023秋•长兴县期末）如图，两直线AB，CD相交于点O，已知OE平分∠BOD，且∠AOC：∠AOD＝3：7， （1）求∠DOE的度数； （2）若OF⊥OE，求∠COF的度数． 【分析】（1）根据∠AOC：∠AOD＝3：7，可求出∠AOC的度数，再根据对顶角的性质可求出∠DOB的度数，根据角平分线的性质即可解答． （2）根据垂直的定义可求出∠DOF的度数，再根据平角的定义解答即可． 【解答】解：（1）∵两直线AB，CD相交于点O，∠AOC：∠AOD＝3：7， ∴∠AOC＝180°×＝54°， ∴∠BOD＝54°， 又∵OE平分∠BOD， ∴∠DOE＝54°÷2＝27°． （2）∵OF⊥OE，∠DOE＝27°， ∴∠DOF＝63°， ∠COF＝180°﹣63°＝117°． 6．（2023秋•娄底期末）如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE． （1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数； （2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据补角的定义可得∠AOD＝120°，再根据角平分线的定义可得答案； （2）设∠COE＝x，则∠DOE＝60﹣x，再利用AOE＝2∠DOE，然后整理可得结论． 【解答】解：（1）∵∠BOD＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∵∠AOE＝2∠DOE， ∴∠DOE＝∠AOD＝40°， ∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝60°﹣40°＝20°； （2）∠BOD＝3∠COE， 设∠COE＝x，则∠DOE＝60°﹣x， ∵∠AOE＝2∠DOE， ∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60°﹣x）＝180°﹣3x， ∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣3x）＝3x， ∴∠BOD＝3∠COE． 巩固训练 7．（2023秋•宁波期末）如图，将一副三角尺60°角和90°角的顶点A叠放在一起，将三角板ADE绕点A旋转，在旋转过程中三角板ADE的边AD始终在∠BAC的内部，则∠BAE﹣∠CAD的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．无法确定 【分析】根据∠BAE和∠CAD都与∠BAD组成一个角，将组成的两个角相减即可得到答案． 【解答】解：∵∠BAE+∠BAD＝90° ∠CAD+∠BAD＝60°， ∴∠BAE+∠BAD﹣（∠CAD+∠BAD）＝90°﹣60°， 即∠BAE﹣∠CAD＝30°， 故选：A． 8．（2023秋•海曙区期末）如图，已知，，且∠COD＝10°，则∠AOB等于（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【分析】找到题中∠COD的度数是∠AOB的度数的几分之几，再根据∠COD＝10°，用分数除法求出结果． 【解答】解：∵，， ∴∠COD＝（）∠AOB＝∠AOB， ∴∠AOB＝10＝120°， 故选：B． 9．（2022秋•德清县期末）定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC，把∠AOB分成1：2的两部分，射线OC叫做∠AOB的三等分线．若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OQ是∠MOP的三等分线，设∠MOQ＝x，则∠MON用含x的代数式表示为（　　） A．或3x或 B．或3x或9x C．或或9x D．3x或或9x 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【解答】解：如图：射线OP是∠MON（∠MOP＝2∠NOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP（∠QOP＝2∠MOQ）的三等分线， 则∠QOP＝2x，∠NOP＝＝， ∴＝； 如图：射线OP是∠MON（∠MOP＝2∠NOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP（∠MOQ＝2∠QOP）的三等分线， 则，， ∴； 如图：射线OP是∠MON（∠NOP＝2∠MOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP（∠MOQ＝2∠QOP）的三等分线， 则，， ∴； 如图：射线OP是∠MON（∠NOP＝2∠MOP）的三等分线，射线OQ是∠MOP（∠QOP＝2∠MOQ）的三等分线， 则∠QOP＝2x，∠NOP＝2∠MOP＝2×（x+2x）＝6x， ∴∠MON＝∠MOQ+∠QOP+∠NOP＝x+2x+6x＝9x； 综上，∠MON为或或9x， 故选：C． 10．（2023秋•义乌市期末）将20°30′转化为度的形式，即：20°30′＝　20.5　°． 【分析】根据度分秒的进制进行计算，即可解答． 【解答】解：∵1°＝60′， ∴30′＝0.5°， ∴20°30′＝20.5°， 故答案为：20.5． 11．（2023秋•仙居县期末）已知：两块三角尺（直角三角形ABC和直角三角形ADE，∠BAC＝45°，∠DAE＝30°）按如图1摆放，点E、A、B在同一条直线上，AM、AN分别平分∠BAE和∠CAD． （1）求∠DAC的度数； （2）求∠MAN的度数； （3）将三角尺ADE绕点A按顺时针方向转动至如图2的位置，在转动过程中，∠MAN的度数是否发生变化？如果不变化，请求出∠MAN的度数；如果变化，请说明理由． 【分析】（1）根据题意，数形结合，利用平角定义求解即可得到答案； （2）根据题意，利用角平分线性质，数形结合，用已知角表示出所求角即可得到答案； （3）根据题意，设∠NAD＝x°，利用角平分线性质，数形结合，用已知角表示出所求角即可得到答案． 【解答】解：（1）∵E、A、B在同一条直线上， ∴∠BAE＝180°， ∵∠BAC＝45°，∠DAE＝30°， ∴∠DAC＝180°﹣∠BAC﹣∠DAE＝105°； （2）∵∠BAE＝180°，AM平分∠BAE， ∴， 由（1）知∠DAC＝105°， ∵AN平分∠CAD， ∴， ∴∠MAN＝∠MAE﹣∠DAE﹣∠NAD＝90°﹣30°﹣52.5°＝7.5°； （3）∠MAN的度数在转动过程中不会变化， 设∠NAD＝x°， ∵AN平分∠CAD，则∠CAD＝2x°，∠BAE＝∠EAD+∠DAC+∠CAB＝30°+2x°+45°＝（75+2x）°， ∵AM平分∠BAE， ∴， ∴∠MAN＝∠MAE﹣∠DAE﹣∠NAD＝（37.5+x）°﹣30°﹣x°＝7.5°． 题型五　余角和补角相关 例题： 1．（2023秋•杭州期末）将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定相等的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一副三角板中每一个角的度数，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：A、由题意得：∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°， 但∠α≠∠β， 故A不符合题意； B、如图： 由题意得： ∠α＝90°﹣∠1，∠β＝90°﹣∠1， ∴∠α＝∠β， 故B符合题意； C、由题意得： ∠α＝90°﹣45°＝45°，∠β＝90°﹣30°＝60°， ∴∠α≠∠β， 故C不符合题意； D、由题意得： ∠α＝45°，∠β＝30°， ∴∠α≠∠β， 故D不符合题意； 故选：B． 2．（2023秋•南浔区期末）将一把直尺的一部分和一块三角板按如图所示方式摆放，若∠1比∠2小20°，则∠1的度数是（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【分析】根据已知可得：∠2＝∠1+20°，再根据题意可得：∠CAB＝90°，然后利用平角定义可得∠1+∠2＝90°，从而可得∠1+∠1+20°＝90°，最后进行计算即可解答． 【解答】解：如图： ∵∠1比∠2小20°， ∴∠2＝∠1+20°， 由题意得：∠CAB＝90°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠CAB＝90°， ∴∠1+∠1+20°＝90°， 解得：∠1＝35°， 故选：D． 3．（2024•临安区一模）已知∠α＝42°12′，与∠α互余的角的度数是（　　） A．132°12′ B．137°48′ C．57°48′ D．47°48′ 【分析】如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角，由此计算即可． 【解答】解：∵∠α＝42°12′， ∴∠α互余的角的度数是90°﹣42°12′＝89°60′﹣42°12′＝47°48′， 故选：D． 4．（2023秋•钱塘区期末）（1）已知∠α＝42°32′，∠β＝27°18′，求∠α+∠β，∠α﹣∠β的值． （2）如果∠α的补角是∠α的余角的3倍，求∠α的度数． 【分析】（1）利用角的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用补角和余角的定义可得180°﹣∠α＝3（90°﹣∠α），然后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）∵∠α＝42°32′，∠β＝27°18′， ∴∠α+∠β＝42°32′+27°18′＝69°50′， ∠α﹣∠β＝42°32′﹣27°18′＝15°14′， 即：∠α+∠β＝69°50′；∠α﹣∠β＝15°14′； （2）∵∠α的补角是∠α的余角的3倍， ∴180°﹣∠α＝3（90°﹣∠α）， 解得：∠α＝45°． 5．（2023秋•义乌市期末）定义：如果有三个角α，β，γ，满足α+β﹣γ＝90°，则称γ是α和β的“减余角”． （1）已知∠1＝37°，∠2＝66°，若∠3是∠1和∠2的“减余角”，则∠3＝　13°　． （2）现有一张正方形纸片ABCD，如图1所示，点E为线段BC上一点（不与B、C重合）．连结AE，将纸片沿着AE对折，使点B落在正方形纸片的内部且对应点为B′． ①若∠B′EC是∠AEB和∠AEB′的“减余角”，求∠AEB的度数． ②再将此正方形纸片沿着B′E所在直线对折，使点C落在正方形纸片的内部且对应点为C′，如图2所示．是否存在∠AEB，∠AEC′，∠B′EC中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出∠AEB的度数；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由“减余角”得∠1+∠2﹣∠3＝90°，再计算即可． （2）由“减余角”得∠AEB+∠AEB′﹣∠B′EC＝90°，再利用平角∠AEB+∠AEB′+∠B′EC＝180°计算即可． （3）分两种情况讨论：当∠AEB+∠AEC′﹣∠B′EC＝90°时，当∠AEB+∠B′EC﹣∠AEC′＝90°时，再利用“减余角”定义计算即可． 【解答】解：（1）∵∠3是∠1和∠2的“减余角”， ∴∠1+∠2﹣∠3＝90°， ∴∠3＝13°， 故答案为：13°． （2）∵∠B′EC是∠AEB和∠AEB′的“减余角”， ∴∠AEB+∠AEB′﹣∠B′EC＝90°， ∵∠AEB+∠AEB′+∠B′EC＝180°， ∴（∠AEB+∠AEB′﹣∠B′EC）+（∠AEB+∠AEB′+∠B′EC）＝90°+180°， ∴∠AEB+∠AEB′＝135°， 由对折得∠AEB＝∠AEB′， ∴∠AEB＝67.5°． （3）存在∠AEB，∠AEC′，∠B′EC中的一个角是其它两个角的“减余角”． 理由如下： 由对折设∠B'EC'＝∠B'EC＝α， ∠AEB'＝β， ∴∠AEB＝α+β． 当∠AEB+∠AEC′﹣∠B′EC＝90°时， α+β+β﹣α＝90°， ∴β＝45°， 由平角∠AEB+∠AEC'+∠B'EC'+∠B'EC＝180°， ∴α+β+β+2α＝180°， ∴α＝30°， ∴∠AEB＝α+β＝75°． 当∠AEB+∠B′EC﹣∠AEC′＝90°时， α+β+α﹣β＝90°， ∴α＝45°， 由平角∠AEB+∠AEC'+∠B'EC'+∠B'EC＝180°， ∴β＝22.5°， ∴∠AEB＝67.5°． 综上所述，∠AEB＝75°或67.5°． 巩固训练 6．（2023秋•临海市期末）如图，将一副三角尺按不同位置摆放，∠α与∠β互余的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据余角和补角的概念、结合图形进行判断即可． 【解答】解：A，∠α与∠β互余，故本选项正确； B，∠α＝∠β，故本选项错误； C，∠α＝∠β，故本选项错误； D，∠α与∠β互补，故本选项错误， 故选：A． 7．（2023秋•义乌市期末）已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．67.5° 【分析】设这个角为α，由题意列出180°﹣α＝4（90°﹣α），求解即可． 【解答】解：设这个角为α， 由题意得，180°﹣α＝4（90°﹣α）， 解得α＝60°， 即这个角的度数是60°， 故选：C． 8．（2023秋•仙居县期末）如图，点O在直线AE上，∠AOB＝∠COD＝90°，则图中除了直角外，一定相等的角有（　　） A．3对 B．2对 C．1对 D．0对 【分析】根据同角的余角相等，找到相等的角即可． 【解答】解：由图可知：∠AOC+∠COB＝∠COB+∠BOD＝∠BOD+∠DOE＝∠AOC+∠DOE＝90°， ∴∠AOC＝∠BOD，∠COB＝∠DOE． 故选：B． 9．（2023秋•拱墅区期末）已知∠y是∠α的补角，∠β是∠y的补角，若∠a＝（2n﹣30）°，∠β＝（60﹣n）°，则∠y的度数为 　150°　． 【分析】根据题意∠a和∠β的度数相等，解出n的值，求出∠a的度数，再根据互为补角的两个角的和为180度，求出∠y的度数． 【解答】解：∵（2n﹣30）°＝（60﹣n）°， ∴n＝30°， ∴∠a＝2×30°﹣30°＝30°， ∴∠y＝180°﹣30°＝150°， 故答案为：150°． 10．（2023秋•余姚市期末）将一副三角板如图放置，已知∠CAB＝∠AED＝90°，∠C＝45°，∠DAE＝30°．现将三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转，三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转． （1）求图中起始位置时∠CAE的度数． （2）若两块三角板以相同速度旋转，当AC与AE第一次在一条直线上时，求AC转过的角度． 【分析】（1）由图可知∠CAE＝∠CAB+∠DAE可直接得出结论； （2）设AC转过的角度为α，则AE转过的角度也是α，由题意可知，α+α+120°＝360°，解之即可． 【解答】解：（1）由题意可知：图中起始位置时∠CAE＝∠CAB+∠DAE， ∵∠CAB＝90°，∠DAE＝30°， ∴∠CAE＝90°+30°＝120°； （2）设AC转过的角度为α，则AE转过的角度也是α， 由题意可知，α+α+120°＝180°， ∴α＝30°．即AC转过的角度为30°． 11．（2023秋•海曙区期末）如图1，在直线AB上取一点O，向上作一条射线OC，使∠BOC＝n°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD在射线OB上，另一边OE在直线AB的上方．如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针转动，当OD与OA第一次重合时停止． （1）如图2，n＝54时，若∠COD和∠AOE互余，且满足OD始终在∠BOC内部，求此时∠COE的度数； （2）如图2，当OD始终在∠BOC内部时，猜想∠COD与∠AOE有怎样的数量关系（用含n的等式表示），并说明理由； （3）如图2，当n＝54时，若直角三角板DOE绕点O以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，OD与OA第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 　25.2或54　秒．（直接写出结果） 【分析】（1）因为∠COD和∠AOE互余，∠EOD＝90°，可得∠EOC＝∠AOE，所以∠AOE＝∠AOC，已知∠COB＝54°，可得∠COE的度数； （2）∠EOC＝∠EOD﹣∠COD，因为∠BOC＝n°，所以∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC，即∠AOE＝180°﹣n°﹣（90°﹣∠COD）＝90°+∠COD﹣n°，可得∠COD与∠AOE的数量关系； （3）分OE在直线AB上方、OE不在直线AB上方两种情况讨论． 【解答】解：（1）∵∠COD和∠AOE互余， ∴∠COD+∠AOE＝90°， ∵∠EOD＝90°， ∴∠COD+∠EOC＝90°， ∴∠EOC＝∠AOE， ∴∠AOE＝∠AOC， ∵∠COB＝54°， ∴∠AOC＝126°， ∴∠COE＝63°； （2）∵∠EOD＝90°， ∴∠EOC＝90°﹣∠COD， ∵∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝180°﹣n°， ∴∠AOE＝180°﹣n°﹣（90°﹣∠COD）＝90°+∠COD﹣n°， ∴∠AOE﹣∠COD＝90°﹣n°； （3）设旋转的时间为t秒， ①OE在直线AB上方时， ∠BOC＝54°，∠BOD＝3t°， ∴∠COD＝3t°﹣54°， ∠AOE＝180°﹣3t°﹣90°＝90°﹣3t°， ∵， ∴3t°﹣54°＝（90°﹣3t°）， 解得：t＝25.2， ∠BOC＝54°，∠BOD＝3t°， ∴∠COD＝54°﹣3t°， ∠AOE＝180°﹣3t°﹣90°＝90°﹣3t°， ∵， ∴54°﹣3t°＝（90°﹣3t°）， 解得：t＝54， ②OE不在直线AB上方时， ∠BOC＝54°，∠BOD＝3t°， ∴∠COD＝3t°﹣54°， ∠AOE＝3t°﹣90°， ∵， ∴3t°﹣54°＝（3t°﹣90°）， 解得：t＝54， 故答案为：25.2或54． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$