23.3 相似三角形（10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第二十三章 图形的相似 23.3 相似三角形（10大题型提分练） 知识点01、相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 知识点02、相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 题型一 证明两三角形相似 1．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 ． 4．如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） 5．如图，相交于的点，且．求证： ． 题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，若点P为的边上一点（），下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 4．如图，中，P为上的点，请你添加一个条件： ，使和相似． 5．如图，点分别是延长线上的点，请添加一个条件：____________________，使得，并写出证明过程． 题型三 重心的有关性质 1．如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，且的面积为，则的面积为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 2．如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．如图，在中，点D是的中点，点G为的重心，，则 ． 4．如图，中，点、分别为、的中点，连接，线段、相交于点，若，则 ． 5．如图①，是某教材七年级下册某一页的插图，这幅插图告诉我们可以用铅笔支起一张均匀的三角形卡片．请用尺规作图法，在图②的中找到这个支点P（保留作图痕迹，不写作法）． 题型四 相似三角形的判定与性质综合 1．如图，，，，则的长为（   ） A．9 B．15 C．18 D．12 2．如图，D是的边上一点，已知，，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h应为 ． 4．如图，分别是的边上的点，，若，则的值等于 ． 5．如图，平分，D为上一点，．若D为中点，，求的长． 题型五 利用相似三角形的性质求解 1．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（　　） A． B． C． D． 2．已知，的周长是周长的一半，，，则边上的高等于（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为 ． 4．两个相似三角形的相似比为，周长之差为，则较大三角形的周长为 ． 5．如图，已知，，求的长． 题型六 证明三角形的对应线段成比例 1．如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 2．如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 4．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米． 5．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G． （1）求证：DF•AB=BC•DG； （2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG． 题型七 在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于 ． 4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ． 5．在的网格中，画一个格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上），使得它与相似但不全等，请画出两种不同相似比的情况．（所画图形不能超出虚线范围） 题型八 相似三角形--动点问题 1．如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（     ） A． B． C．或3 D．或4 2．如图，已知在边长为4的菱形ABCD中，∠C＝60°，E是BC边上一动点（与点B，C不重合）．连接DE，作∠DEF＝60°，交AB于点F，设CE＝x，△FBE的面积为y．下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（　　）    A．   B．   C．   D．   3．如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 4．如图，在钝角中，，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过 秒时，与相似． 5．如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动如果与同时出发，那么经过几秒和相似？    题型九 相似三角形的综合问题 1．如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 2．如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 3．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为 . 4．如图，在△ABC中点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8，则AD：AB＝ ． 5．如图，如果，，和是位似图形吗？请说明理由. 题型十 相似三角形应用举例 1．如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（   ）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 2．小孔成像法在我国古代天文历法中得到了广泛的应用，如制造圭表和日晷，测量日影的长短和方位，以确定时间、冬至点、夏至点．如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 4．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．旗杆高度为 m． 5．如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高． 1．已知：在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，下列条件中不能判定和相似的是（   ）    A． B． C． D． 3．如图，中，，，点是的中点，连接交于点．若，，则的长为（   ） A．16 B．24 C．20 D．12 4．已知的三边长分别是有一边长是1，若和相似，则的另两边长不可能为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．一个三角形的三边长分别为1，，2，另一个三角形的两边长分别为和2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为 ． 7．如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为 ． 8．如图，在中，若，，，则的长为 .    9．如图所示， 在中， ， ， 点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒．当能与相似，x的值为 ． 10．宁霞做测量阳光下旗杆长度的试验时发现学校的旗杆是在一个台座上的（如图所示）．经测量旗杆底部点到台座边缘的距离为1，每级台阶高，阶面长，旗杆落在水平地面上的影长，此时，竖直放在水平地面上1长的测杆的影长为，则学校的旗杆高度是 ． 11．如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 12．如图，已知点D在的边上，交于点E，，点F在上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 13．如图，是的边上的一点，连接，已知，，， (1)证明； (2)求线段的长． 14．如图，的顶点均为网格中的格点． (1)选择合适的格点（包括边界）为点和点，请画出一个，使（相似比不为1）． (2)在图2中画一个，使其与相似，且面积为2． 15．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在培上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十三章 图形的相似 23.3 相似三角形（10大题型提分练） 知识点01、相似三角形的判定 预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定1 有两个角对应相等的两个三角形相似． 判定2 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定3 三边对应成比例的两个三角形相似 直角三角形 的特殊判定 若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 知识点02、相似三角形的性质 性质1 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2 相似三角形的周长比等于相似比。 ∽，则 由比例性质可得： 类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。 性质3 相似三角形的面积比等于相似比的平方。 ∽，则分别作出与的高和，则 要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。 如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到： 相似多边形面积的比等于相似比的平方。 性质4 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。 题型一 证明两三角形相似 1．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、，两三角形的对应边成比例，且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，两三角形不相似，故本选项符合题意； 故选：D． 2．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据网格中的数据求出，，的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．此题考查了相似三角形的判定，网格与勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：根据勾股定理，得，， 又， 的三边的值从大到小分别为， A、图中的三角形的三边从大到小分别为， ∵， ∴图中的三角形（阴影部分）不与相似， 故该选项不符合题意； B选项中，同理得出图中的三角形三边从大到小为， ∵， ∴图中的三角形（阴影部分）与相似， 故该选项符合题意； C选项中，同理得出图中的三角形三边从大到小为， ∵， 图中的三角形（阴影部分）与不相似， 该选项不符合题意； D选项中，同理得出图中的三角形三边从大到小为， ∵， 图中的三角形（阴影部分）与不相似， 故该选项不符合题意； 故选：B 3．如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 ． 【答案】①② 【分析】本题是考查了三边对应成比例的两个三角形相似，掌握“三边对应成比例的两个三角形相似”这一知识点是解决本题的关键． 分别求出每个三角形的三边长，若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似． 【详解】解：①三边分别为：， ②三边分别为：， ③三边分别为：， ④三边分别为：， ⑤三边分别为：， ， 图形中的阴影三角形相似的序号为①②． 故答案为：①②． 4．如图，在中，是上一点．下列四个条件中：“①；②；③；④”，一定能满足与相似的条件是 ．（只填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用“两角对应相等，两三角形相似”，“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”去判断． 【详解】解：①，而， ∴，故①正确； ②，只能得到，故②错误； ③由， 得， 又∵， ∴，故③正确， ④由， 得到， 不满足两边对应成比例且夹角相等，故④错误， 故答案为：①③． 5．如图，相交于的点，且．求证： ． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵相交于的点， ∴， 又∵， ∴． 题型二 选择或补充条件使两个三角形相似 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法． 【详解】解：， ， A．添加，可用两角法判定，故本选项错误； B．添加，可用两角法判定，故本选项错误； C．添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项错误； D．添加，不能判定，故本选项正确； 故选：D． 2．如图，若点P为的边上一点（），下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．根据相似三角形的判定条件求解即可． 【详解】解∶A．添加条件，再由，可以判断，故A不符合题意； B．添加条件，再由，可以判断，故B不符合题意； C．添加条件，再由，可以判断，故C不符合题意； D．添加条件，再由，不可以判断，故D符合题意； 故选：D． 3．如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是 ．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 4．如图，中，P为上的点，请你添加一个条件： ，使和相似． 【答案】或或，（答案不唯一） 【分析】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：在和中，； 若两个三角形相似，可添加的条件为： ①，符合两角相等的两个三角形相似； ②，符合两角相等的两个三角形相似； ③，即，符合两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； 故答案为：或或，（答案不唯一）． 5．如图，点分别是延长线上的点，请添加一个条件：____________________，使得，并写出证明过程． 【答案】 (答案不唯一)；证明见解析 【分析】本题考查了三角形相似，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意，得到两个三角形有个对顶角，根据相似三角形的判定方法，添加条件即可． 【详解】 (答案不唯一) 证明：∵点分别是延长线上的点， ∴， 当时， ∴根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得：； 当时， ∴根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得：； 当时， ∴根据两直线平行内错角相等可得：， ∴根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得：． 题型三 重心的有关性质 1．如图，点为的重心，，，分别为，，的中点，且的面积为，则的面积为（　　） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形中线的性质，由线段的比例关系和的面积即可得的面积为，进而可得的面积为9，根据中线的性质，即可求解． 【详解】解：∵点为的重心， ∴ ∵的面积为， 的面积为， 的面积为， 点为的中点， 的面积等于的面积， 的面积为． 故选：C． 2．如图，在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，熟记重心的性质是解题的关键．根据重心性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是边上的中线，点是重心， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，点D是的中点，点G为的重心，，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．根据三角形的重心的性质解答即可． 【详解】 解：点G为的重心， 故答案为：1． 4．如图，中，点、分别为、的中点，连接，线段、相交于点，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．根据重心定义得到点为的重心，再根据重心的性质得，所以． 【详解】解：点、分别为、的中点， 点为的重心， ， 而， ． 故答案为4 5．如图①，是某教材七年级下册某一页的插图，这幅插图告诉我们可以用铅笔支起一张均匀的三角形卡片．请用尺规作图法，在图②的中找到这个支点P（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．作和的垂直平分线得到三角形的两条中线，它们的交点为P． 【详解】解：如图，点P即为所求． 题型四 相似三角形的判定与性质综合 1．如图，，，，则的长为（   ） A．9 B．15 C．18 D．12 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．如图，D是的边上一点，已知，，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，先证出，得到，代入数值计算即可． 【详解】, ，， 故选：B． 3．已知：如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则球拍击球的高度h应为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先根据题意证明，根据相似三角形对应边成比例得到，据此代值计算即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴球拍击球的高度h应为， 故答案为：． 4．如图，分别是的边上的点，，若，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 5．如图，平分，D为上一点，．若D为中点，，求的长． 【答案】2 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，由中点的定义可得出，证明，由相似三角形的性质得出，代入即可得出． 【详解】解：∵D为中点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 题型五 利用相似三角形的性质求解 1．如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为，且三角板的一边长为．则投影三角板的对应边长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的性质的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解． 【详解】解：设投影三角板的对应边长为x， ∵三角板与投影三角板比为， ∴， 解得． 故选：A． 2．已知，的周长是周长的一半，，，则边上的高等于（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据，的周长是周长的一半，得出面积比，进而求得的面积，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵，的周长是周长的一半， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为， ∵， ∴的面积为 ∵，则边上的高等于 故选：B． 3．两个相似三角形的面积比为4：9，其中较小三角形的周长为4，则较大三角形的周长为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，先根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”，求出相似比，再根据“相似三角形的相似比等于周长比”求出答案． 【详解】∵两个相似三角形的面积比为， ∴这两个三角形的相似比为． ∵较小三角形的周长为4，两个三角形的相似比为， ∴较大的三角形的周长为6． 故答案为：6． 4．两个相似三角形的相似比为，周长之差为，则较大三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据周长比等于相似比，设较大三角形的周长为，则较小三角形的周长为，因为周长之差为，所以列式，解出，即可作答． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴设较大三角形的周长为，则较小三角形的周长为， 依题意，， 解得， ∴， 故答案为：． 5．如图，已知，，求的长． 【答案】9 【分析】题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是关键．根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 题型六 证明三角形的对应线段成比例 1．如图，则下列式子中不成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质得出，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A，B，C正确,D错误 故选：D． 2．如下图所示，在△ABC中，点D在线段AC上，且△ABC∽△ADB，则下列结论一定正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解． 【详解】解：∵△ABC∽△ADB， ∴， ∴AB2=AC•AD． 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握对应顶点的字母放在对应位置上并准确确定出对应边是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝6，D为AB边上一点，且△ABC∽△ACD，则AD＝ ． 【答案】4． 【分析】根据相似三角形性的性质得到对应边成比例，列式求出AD的长． 【详解】∵△ABC∽△ACD，∴， ∵AB＝9，AC＝6，∴，解得：AD＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质． 4．两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为 厘米． 【答案】3 【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高 【详解】∵两个三角形面积比为9:25 ∴两个三角形相似比为3:5 设：另一三角形对应边上的高为x ∴，解得x=3 故答案为：3 【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键． 5．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G． （1）求证：DF•AB=BC•DG； （2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）由BC2=BF•BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可判断，所以，然后利用相似三角形的性质即可得到结论； （2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，易得AH∥DE，由点E为AC的中点得AH=2EG，再利用AH∥DG可判定，则根据相似三角形的性质得，然后利用等线段代换即可． 【详解】证明：（1）∵BC2=BF•BA， ∴BC：BF=BA：BC， 而∠ABC=∠CBF， ∴， ∵DE∥BC， ∴， ∴， ∴DF：BC=DG：BA， ∴DF•AB=BC•DG； （2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图， ∵DE∥BC， ∴AH∥DE， ∵点E为AC的中点， 为的中位线， ∴AH=2EG， ∵AH∥DG， ∴， ∴， ∴， 即2DF•EG=AF•DG． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系． 题型七 在网格中画与已知三角形相似的三角形 1．如图，在边长为1的正方形网格中，所有三角形的顶点都在格点上，下列选项中的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定．由相似三角形的判定，三角形的三边对应成比例，两三角形相似即可判断． 【详解】根据勾股定理可知： ， 三边比为： 根据格点图及勾股定理知 A．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； B．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； C．三角形的三边比为：，故本选项符合题意； D．三角形的三边比为：，故本选项不符合题意； 故选择：C 2．如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定定理(两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似)即可判断． 【详解】解：中，是正方形的对角线， ∴，且，， 即， 要使， 则， 观察图形，是正方形的对角线，即， 且，， 即， ∴点符合题意， 故选：A． 3．在正方形网格纸上，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．在4×4网格中（每个小正方形网格的边长为1）画格点三角形，它的三边比是1：：，这种三角形可以画若干个，其中面积的最大值等于 ． 【答案】2.5 【分析】画出图形，利用数形结合的思想，画出相似比为1：的三角形，求出面积即可． 【详解】解：如图△ABC是面积最小的格点三角形，△DEF是面积最大的格点三角形， =2.5 故答案为：2.5． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 4．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ． 【答案】 【分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴△ABC∽△DEF， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似． 5．在的网格中，画一个格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上），使得它与相似但不全等，请画出两种不同相似比的情况．（所画图形不能超出虚线范围） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了在网格中画相似三角形，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用勾股定理画出一个使得，且相似比为2即可； （2）利用勾股定理画出一个使得，且相似比为即可． 【详解】解：如图(1)所示，即为所求； ∵，，， ，，， ∴， ∴， ∴即为所求； 如图(2)所示，即为所求； ∵，，， ，，， ∴， ∴， ∴即为所求． 题型八 相似三角形--动点问题 1．如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为（     ） A． B． C．或3 D．或4 【答案】C 【分析】首先由∠ACD=∠ABC，得出∠A=∠DCE，然后由相似三角形的性质得出或，代入即可得解. 【详解】∵∠ACD=∠ABC， ∴∠A=∠DCE， ∵△DCE和△ABC相似， ∴或 ∵AC=6，AB=4，CD=2， ∴或 ∴CE的长为或3 故选：C. 【点睛】此题主要考查相似三角形的性质，解决此问题要注意分类讨论. 2．如图，已知在边长为4的菱形ABCD中，∠C＝60°，E是BC边上一动点（与点B，C不重合）．连接DE，作∠DEF＝60°，交AB于点F，设CE＝x，△FBE的面积为y．下列图象中，能大致表示y与x的函数关系的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】如图，延长CB至H，使，通过证明，可得，可得，由三角形面积公式可求函数解析式，即可求解． 【详解】如图，延长CB至H，使BH=BF，    ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD=4，AB∥CD， ∴∠ABH=∠C=60°， ∴△BFH是等边三角形， ∴∠H=60°，BF=BH=FH， ∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠DEF+∠FEB，且∠DEF=60°=∠C， ∴∠FEB=∠EDC，且∠H=∠C=60°， ∴△DEC∽△EFH， ∴， ∴， ∴HF=x， ∴S=×(4﹣x)×x=(x﹣2+， ∴该函数图象开口向下，当x=2时，最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点函数的图象，相似三角形的判定和性质，求出HF=x是本题的关键． 3．如图，在中，， ．动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，连接．若与相似，求的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定及性质等，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 根据题意得出，，易得，，分类讨论当时，利用相似三角形的性质得，解得；当时，，解得，综上所述，与相似，得的值． 【详解】解：由题意知，，， ，， 当时，， ，解得：； 当时，， ，解得：， 故答案为：或． 4．如图，在钝角中，，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动，如果两点同时移动，经过 秒时，与相似． 【答案】3或 【分析】解答时，分和两种情况解答即可．本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设经过，与相似． ∵，，点D从A点出发沿以的速度向B点移动，点E从C点出发沿以的速度向A点移动， ∴，，， 当时，则即， 解得； 当时，则即， 解得； 故答案为：3或． 5．如图，在中，厘米，厘米，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动，点从点出发，沿着边向点以厘米秒的速度运动如果与同时出发，那么经过几秒和相似？    【答案】秒或秒 【分析】本题主要利用相似三角形的判定，设经过秒和相似，先求出，，再利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设经过秒，两三角形相似，则，， ①当与是对应边时，， 即， 解得； ②当与是对应边时，， 即， 解得． 故经过秒或秒，两个三角形相似． 题型九 相似三角形的综合问题 1．如图，和位似，且相似比为．则与的面积比为（    ） A．2：3 B．4：9 C．1：4 D．4：3 【答案】B 【分析】根据两三角形相似，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与位似，点O是它们的位似中心，且相似比为， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 2．如图，与是位似图形，相似比为1：3，已知，则AD的长为（    ） A．4 B．6 C．9 D．15 【答案】B 【详解】∵与是位似图形，相似比为1：3， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，平行线分线段成比例等知识，掌握位似图形的性质是解答本题的关键． 3．如图，在等腰△ABC中，AB=AC=4，BC=6点D在底边BC上，且∠DAC=∠ACD，将△ACD沿着AD所在直线翻折，使得点C落到点E处，联结BE，那么BE的长为 . 【答案】1 【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得，只要求出BM、BD即可解决问题． 【详解】 ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵∠DAC=∠ACD， ∴∠DAC=∠ABC， ∵∠C=∠C， ∴△CAD∽△CBA， ∴ ∴， ∴CD=，BD=BC-CD=6-=， ∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB， ∴△ADM∽△BDA， ∴，即， ∴DM=，MB=BD-DM=-=， ∵∠ABM=∠C=∠MED， ∴A、B、E、D四点共圆， ∴∠ADB=∠BEM，∠EBM=∠EAD=∠ABD， ∴△ABD∽△MBE， ∴， ∴． 【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是充分利用相似三角形的性质解决问题，本题需要三次相似解决问题. 4．如图，在△ABC中点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8，则AD：AB＝ ． 【答案】1：3． 【分析】根据相似三角形的性质与判定即可求出答案． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△AEC， ∴=()2 ∵S△ADE＝1，S四边形DBCE＝8， ∴S△ABC＝9， ∴=， ∴， 故答案为1：3． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型． 5．如图，如果，，和是位似图形吗？请说明理由. 【答案】和是位似图形.理由见解析 【分析】由，，得到，，从而得到.由对应点的连线都过O点，得到答案. 【详解】和是位似图形.理由如下： ∵，， ∴，，，. ∴，. ∴. 又∵对应点的连线都过O点， ∴和是位似图形. 【点睛】本题考查位似图形的判断，解题的关键是掌握位似图形的判断方法. 题型十 相似三角形应用举例 1．如图，小涵为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），把一面镜子放置在水平地面处（镜子厚度忽略不计），她站在离镜子2米处的点（即）刚好从镜子中看到凉亭的顶端．测得的长为12米，若小涵眼睛离地面距离为1.6米，则塔高（   ）米． A．9.6 B．10 C．7.2 D．8 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，根据求解即可得到结论． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即塔高为米， 故选：D． 2．小孔成像法在我国古代天文历法中得到了广泛的应用，如制造圭表和日晷，测量日影的长短和方位，以确定时间、冬至点、夏至点．如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像的长是，则像到小孔的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，还有会用相似三角形对应边成比例． 据小孔成像原理可知，利用它们的对应边成比例就可以求出之长． 【详解】解：如图过O作直线，交于F，    依题意， ∴， ∴， 由可以得， ∵分别是它们的高， ∴，即： ∴， 故选：B． 3．如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：，， ，， 在与中，，， ， ， 即， 解得． 故答案为：10 4．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．旗杆高度为 m． 【答案】8 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直证；然后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，作，    由图可知，，， ． 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， ． ，，， ． ． 故答案为：8． 5．如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 1．已知：在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．如图，下列条件中不能判定和相似的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐项排除即可，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴，此选项不符合题意； 、∵，， ∴，此选项不符合题意； 、由不能判定和，此选项符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴，此选项不符合题意； 故选：． 3．如图，中，，，点是的中点，连接交于点．若，，则的长为（   ） A．16 B．24 C．20 D．12 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，延长与交于点，根据可得，，，即可由求出的长． 【详解】延长与交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 4．已知的三边长分别是有一边长是1，若和相似，则的另两边长不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟悉掌握对应边成比例是解题关键．分长是1的一边分别和为对应边，设另外两边长分别为，根据相似三角形的性质：对应边相互成比例，即可得出答案． 【详解】解：和相似，的三边长分别是有一边长是1， 设另外两边长分别为， 当长是1的一边和为对应边时，则或， 解得：或，故A选项不符合题意； 当长是1的一边和为对应边时，则或， 解得：或，故B选项不符合题意； 当长是1的一边和为对应边时，则或， 解得：或，故D选项不符合题意； ∵，故C选项符合题意； 综上，的另两边长不可能为 故选：C． 5．如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】设网格的边长为1，则①三角形的三边之比是，分别求出五个三角形的三边的比，符合这个结果就是与①相似的． 【详解】解：①三角形的三边之比是， ②中，， ③中， ④中， ⑤中， ⑥中， 故与①相似的三角形的序号是③④⑤． 故选C． 【点睛】本题主要考查两三角形相似，从“三边对应成比例，两三角形相似”的角度考虑． 6．一个三角形的三边长分别为1，，2，另一个三角形的两边长分别为和2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定分情况列比例式进行分析解答即可． 【详解】解：设另一个三角形的第三边长为x， 当2为最长边时，， 解得， 当为最长边时，， 解得，， 当和对应时，，，，即此种情况不存在， 综上可知，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为或， 故答案为：或 7．如图，已知中，，，，是的中点，是边上一个动点．将沿折叠，使点落在处，如果与原相似，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，分当时，当时，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，， 为中点， ∴， ∴， ∴；   当时，， ∴， ∴， 综上，的长为或， 故答案为：或． 8．如图，在中，若，，，则的长为 .    【答案】8 【分析】根据平行线证出三角形相似，得出对应边成比例，即可得出结果． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ 即 ∴BC=8（cm） 故答案是：8 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；根据平行线证出三角形相似是关键． 9．如图所示， 在中， ， ， 点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒．当能与相似，x的值为 ． 【答案】5或 【分析】解答时，分和两种情况解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设经过，能与相似． ∵， ，点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒， ∴，，， 当时，则即， 解得； 经检验，是方程的根； 当时，则即， 解得，； 经检验，，都是方程的根； 但是舍去， 故， 故答案为：5或． 10．宁霞做测量阳光下旗杆长度的试验时发现学校的旗杆是在一个台座上的（如图所示）．经测量旗杆底部点到台座边缘的距离为1，每级台阶高，阶面长，旗杆落在水平地面上的影长，此时，竖直放在水平地面上1长的测杆的影长为，则学校的旗杆高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 如图，记延长线的交点为，由题意知，，，则，依题意得，，即，可求，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，记延长线的交点为， 由题意知，，， ∴， ∵竖直放在水平地面上1长的测杆的影长为， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 11．如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【答案】不相似，或或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解  不一定相似，因为，不是成比例的两边的夹角， 可添加：或或． 12．如图，已知点D在的边上，交于点E，，点F在上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，可得，从而得到，即可证明结论； （2）根据，可得，又由从而得到．又由即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． 13．如图，是的边上的一点，连接，已知，，， (1)证明； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定， （1）已知，，根据两组对应角相等的三角形相似证明结论； （2）利用相似三角形对应边成比例先求出的长，再算出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∴，解得， ∴． 14．如图，的顶点均为网格中的格点． (1)选择合适的格点（包括边界）为点和点，请画出一个，使（相似比不为1）． (2)在图2中画一个，使其与相似，且面积为2． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据要求，画出一个△，利用勾股定理求出各边长，利用三组对应边对应成比例，即可得△△； （2）根据题意可知，进而可知△△的相似比为，求出边长即可作图． 【详解】（1）解：如图所示：△即为所求，理由如下： 设小正方形的边长为：1，由图可知：，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， △△． （2）解：，，且△△， 则， △△的相似比为， 则，，， 如图所示，即为所求． 15．如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在培上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求灯泡到地面的高度． 【答案】(1) (2)灯泡到地面的高度为 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【详解】（1）解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：； （2）解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$