专题05平面直角坐标系（基础+中等类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

专题05平面直角坐标系思维导图 【类型覆盖】 类型一、用有序数对表示位置与路线 【解惑】小青坐在教室的第4列第3行，用表示，小明坐在教室的第3列第1行应当表示为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，小明从家到达学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是正南或正东方向，则小明走下列线路不能到达学校的是(　　) A．(0,4)→(0,0)→(4,0) B．(0,4)→(4,4)→(4,0) C．(0,4)→(3,4)→(4,2)→(4,0) D．(0,4)→(1,4)→(1,1)→(4,1)→(4,0) 2．如果用有序数对表示第一单元号的住户，那么第二单元号的住户用有序数对表示为 ． 3．如图，李老师家在2街与2巷的十字路口附近，如果用(2，2)→(2，3)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(5，4)表示李老师从家到学校上班的一条路线．请你用同样的方式写出从家到学校的另外一种路线： ． 类型二、写出直角坐标系中点的坐标 【解惑】若y轴上的点P到x轴的距离为5，则点P为（   ） A． B．或 C． D． 或 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，垂直x轴，垂直y轴，且，，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 3．如图，等边△的顶点，顶点在轴上．则点的坐标是 ． 类型三、求点到坐标轴的距离 【解惑】在平面直角坐标系中，点P在第二象限，若点P到x轴的距离为7，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（      ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．点M到x轴的距离是2，到y轴距离是3，且在y轴的左侧，则点M的坐标是（     ） A． B． C．或 D． 2．若第四象限内的点到y轴的距离为5，到原点的距离为13，则点P的坐标是 ． 3．已知点在轴的上方，且到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是 ． 类型四、判断点所在的象限 【解惑】在下面四个点中、位于第四象限的点是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知点，且，，则点P在第 象限； 3．若点在轴上，则点所在象限是第 象限． 类型五、用方位确定物体的位置 【解惑】第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都市举行．以下能够准确表示成都市地理位置的是（　　） A．与北京市直线距离1500多千米 B．在四川省 C．紧靠德阳市 D．东经，北纬 【融会贯通】 1．小明和小文相约去游乐园游玩，以下是他们的一段对话，根据两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（    ） A．向北直走，再向西直走 B．向北直走，再向西直走 C．向北直走，再向西直走 D．向南直走，再向西直走 2．按要求画图形，并填一填． （1）在☆的东南面画△； （2）在☆的西面画□； （3）在☆的东北面画○； （4）在☆的( )面，☆在的( )面． 3．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B．C．D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负、如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中( ， )，( ， )， (， )； （2）若图中另有两个格点M．N，且，，则应记为 ． 类型六、求沿x轴，y轴平移后的坐标 【解惑】在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，，则叶柄底部点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．的顶点A的坐标为，将沿x轴向右平移2个单位，沿y轴向下平移3个单位后，顶点A对应的坐标变为 ． 3．在平面直角坐标系中，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是 ． 类型七、根据图形的平移求坐标 【解惑】已知点，，将线段平移至，若点，点，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【融会贯通】 1．如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．已知的顶点，，将三角形平移后得到，其中点A的对应点，则坐标是 ． 3．平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标依次为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐为 ． 类型八、点坐标中的规律 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，第1次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；第2次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；…，依此规律，得到，则点的坐标是（    ）．    A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点其顺序按图中“”方向排列，如．根据这个规律探索可得，第2024个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右向上向右向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到第次移动到．则的面积是 ． 3．如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点，再向正东方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正西方向走到达点，…按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为 ．    类型九、在坐标中描点 【解惑】如图所示，在平面直角坐标系中，已知． (1)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______； (2)在平面直角坐标系中画出，求的面积． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，三角形 三个顶点的坐标分别是． (1)在平面直角坐标系中画出三角形； (2)若将（1）中的三角形 进行平移，使点的对应点坐标为，画出平移后的三角形； (3)求三角形的面积． 2．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)请在图中画出； (2)将先向右平移6个单位，再向下平移5个单位得到，请在图中画出平移后的； (3)连接，，请直接写出的面积． 3．在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为，，． (1)请你在平面直角坐标系中描出点A，B，C，并依次连接得到三角； (2)若将点A向下平移5个单位长度，得到点，则点的坐标为______； (3)画出将先向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度后的． 类型十、轴对称中的坐标 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． (1)将向上平移4个单位长度得到，请画出； (2)请画出与关于y轴对称的； (3)请写出点的坐标． 【融会贯通】 1．已知点，． (1)若点，关于轴对称，求，的值； (2)若点，关于轴对称，求的值． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)在图中作出关于y轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)在坐标轴上有个点P，画图找出使得取得最小值时点P的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 3．如图，在平面直角坐标系中，依已知，，． (1)作出关于轴对称的； (2)求的面积； (3)若点在轴上，求的最小值． 【一览众山小】 1．在平面直角坐标系中，则与点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点 ，“車”位于 ，则“炮”位于点 (      ) A． B． C． D． 3．已知，如图在直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线的对称点恰好在上，点与点关于直线对称，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．已知和关于轴对称，则 ． 5．在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称图形，其中点的对称点坐标为，点为图象上的一点，则点在图象上的对称点坐标为 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点B，C在x轴上，Q是y轴上一点． （1） ； （2）点P从点A出发，先沿y轴到达点Q，再沿到达点B后停止运动，点P在y轴上运动的速度是它在直线上运动的速度的2倍，若点P按上述要求到达点B所用时间最短，则点Q的坐标为 ． 7．如图， (1)请画出关于轴对称的，并直接写出 三点的坐标： (2)求的面积． 8．如图，三个顶点的坐标分别为，， (1)画出关于y轴对称的； (2)写出三个顶点坐标； (3)求的面积． 9．已知点是平面直角坐标系中第一象限的点，点，分别是轴负半轴和轴正半轴上的点，连接，，． (1)如图①，若，，且，，在同一条直线上，求的值； (2)如图②，当，时，求的值； (3)如图③，点、、在一条直线上，点是上一点，．若，直接写出m＋n的值为 ． 10．如图，点，且满足． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，点C在线段上（不与重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，且，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段长为定值，请求出该定值 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05平面直角坐标系思维导图 【类型覆盖】 类型一、用有序数对表示位置与路线 【解惑】小青坐在教室的第4列第3行，用表示，小明坐在教室的第3列第1行应当表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了数对和位置的表示，掌握有序数对的意义是解答本题的关键．根据题意可知用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此即可解答． 【详解】解：小青坐在教室的第4列第3行，用表示，小明坐在教室的第3列第1行应当表示为． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，小明从家到达学校要穿过一个居民小区，小区的道路均是正南或正东方向，则小明走下列线路不能到达学校的是(　　) A．(0,4)→(0,0)→(4,0) B．(0,4)→(4,4)→(4,0) C．(0,4)→(3,4)→(4,2)→(4,0) D．(0,4)→(1,4)→(1,1)→(4,1)→(4,0) 【答案】C 【分析】根据点的坐标的定义结合图形对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、（0，4）→（0，0）→（4，0）都能到达，故本选项错误； B、（0，4）→（4，4）→（4，0）都能到达，故本选项错误； C、（3，4）→（4，2）不都能到达，故本选项正确； D、（0，4）→（1，4）→（1，1）→（4，1）→（4，0）都能到达，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了坐标确定位置，熟练掌握点的坐标的定义并准确识图是解题的关键． 2．如果用有序数对表示第一单元号的住户，那么第二单元号的住户用有序数对表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有序数对表示位置；由题意知第个数字表示单元，第个数字表示号数，据此可得． 【详解】解：若用有序数对表示第一单元号的住户，那么第二单元号的住户用有序数对表示为， 故答案为：． 3．如图，李老师家在2街与2巷的十字路口附近，如果用(2，2)→(2，3)→(2，4)→(3，4)→(4，4)→(5，4)表示李老师从家到学校上班的一条路线．请你用同样的方式写出从家到学校的另外一种路线： ． 【答案】答案不唯一：如(2，2)→(3，2)→(4，2)→(5，2)→(5，3)→(5，4) 【分析】李老师从家到学校上班的路线可以沿走2巷走到5街，然后到学校，即（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）→（5，4）． 【详解】李老师从家到学校上班的路线可以沿走2巷走到5街，然后到学校，即（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）→（5，4）． 故答案为（2，2）→（3，2）→（4，2）→（5，2）→（5，3）→（5，4）． 【点睛】本题考查了坐标确定位置：直角坐标平面内点的位置由有序实数对确定，有序实数对与点一一对应． 类型二、写出直角坐标系中点的坐标 【解惑】若y轴上的点P到x轴的距离为5，则点P为（   ） A． B．或 C． D． 或 【答案】D 【分析】本题考查了坐标轴上的点的坐标，解题关键是牢记x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，依此即可求解． 【详解】解：∵y轴上的点P到x轴的距离为5， ∴当点P在y轴正半轴时，；当点P在y轴负半轴时，； 故选：D ． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，垂直x轴，垂直y轴，且，，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，象限内点的符号特征，根据图象，得到点在第四象限，根据点到坐标轴的距离为点的横纵坐标的绝对值，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，且点在第四象限， ∴， ∴点P的坐标为； 故选D． 2．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，过点和分别作于，于，证明，由全等三角形的性质和已知数据即可求出点的坐标．解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形． 【详解】解：过点和分别作于，于， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 3．如图，等边△的顶点，顶点在轴上．则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，等边三角形的性质，根据等边三角形性质得，由此可得点的坐标． 【详解】解：△为等边三角形，点， . 点在轴上， ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 类型三、求点到坐标轴的距离 【解惑】在平面直角坐标系中，点P在第二象限，若点P到x轴的距离为7，到y轴的距离为3，则点P的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点到坐标轴的距离、点所在的象限，根据点到x轴的距离为，到y轴的距离为，结合点所在的象限求解即可． 【详解】解：设点P坐标， ∵点P到x轴的距离为7，到y轴的距离为3， ∴，， ∴，， ∵点P在第二象限， ∴，， ∴点P坐标为， 故选：A． 【融会贯通】 1．点M到x轴的距离是2，到y轴距离是3，且在y轴的左侧，则点M的坐标是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离．根据点M到x轴的距离是2，到y轴距离是3，得到点M的横坐标为，纵坐标为，再结合点M在y轴的左侧，即可解答． 【详解】解：∵点M到x轴的距离是2，到y轴距离是3， ∴点M的横坐标为，纵坐标为， ∵点M在y轴的左侧， ∴点M的坐标为或． 故选：C 2．若第四象限内的点到y轴的距离为5，到原点的距离为13，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，勾股定理，根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得答案． 【详解】解：由点P到y轴的距离是5，得， ∴， ∵点P到原点的距离为13， ∴， 由第四象限内点的横坐标大于零，纵坐标小于零，得，， ∴点P的坐标是， 故答案为：． 3．已知点在轴的上方，且到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查点的坐标，解题的关键是先判断出点在第一或第二象限，再根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值求解即可． 【详解】解：∵点在轴的上方， ∴点在第一或第二象限，即点的纵坐标为正数， ∵点到轴的距离是，到轴的距离是， ∴点的横坐标为或，纵坐标为， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 类型四、判断点所在的象限 【解惑】在下面四个点中、位于第四象限的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是各象限内点的坐标特点，各象限内点的坐标特点：第一象限点的坐标为，第二象限点的坐标为，第三象限点的坐标为，第四象限点的坐标为，据此回答即可． 【详解】解：．是第二象限的点，故该选项不符合题意； ．是第四象限的点，故该选项符合题意； ．是第三象限的点 ，故该选项不符合题意； ．是第一象限的点，故该选项不符合题意； 故选：B． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】此题主要考查了关于轴、轴对称的点的坐标规律，根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特点解答即可． 【详解】解：点关于轴的对称点是，点在第四象限， ∴关于轴的对称点在第四象限． 故选：D． 2．已知点，且，，则点P在第 象限； 【答案】三 【分析】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据有理数的乘法、有理数的加法，可得a、b的符号，根据第三象限内点的横坐标小于零，纵坐标小于零，可得答案． 【详解】解：∵点，且，， ∴，， 点在第三象限， 故答案为：三． 3．若点在轴上，则点所在象限是第 象限． 【答案】二 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特点，根据在横轴上的点，纵坐标为0，可得a的值，代入计算，再根据象限点的特点“”判定即可求解． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴，即， ∴点在第二象限， 故答案为：二 ． 类型五、用方位确定物体的位置 【解惑】第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都市举行．以下能够准确表示成都市地理位置的是（　　） A．与北京市直线距离1500多千米 B．在四川省 C．紧靠德阳市 D．东经，北纬 【答案】D 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据点的坐标的定义，确定一个位置需要两个数据解答即可． 【详解】解：能够能够准确表示成都市地理位置的是：东经，北纬． 故选：D． 【融会贯通】 1．小明和小文相约去游乐园游玩，以下是他们的一段对话，根据两人的对话纪录，小文能从M超市走到游乐园门口的路线是（    ） A．向北直走，再向西直走 B．向北直走，再向西直走 C．向北直走，再向西直走 D．向南直走，再向西直走 【答案】A 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据题意，画出坐标系，利用数形结合的思想进行求解即可． 【详解】解：根据题意建立直角坐标系， 由图可知：小文向北直走，再向西直走就能到游乐园门口了； 故选A． 2．按要求画图形，并填一填． （1）在☆的东南面画△； （2）在☆的西面画□； （3）在☆的东北面画○； （4）在☆的( )面，☆在的( )面． 【答案】 西北 东南 【分析】依据地图上的方向辨别方法，即“上北下南，左西右东”，以及图上标注的其他信息，即可进行填写． 【详解】解：（1）在☆的东南面画△如，下图所示； （2）在☆的西面画□，如图所示； （3）在☆的东北面画○，如图所示； （4）在☆的西北面，☆在的东南面． 故答案为：西北，东南． 【点睛】本题主要考查了方向和方位的知识，熟练掌握“上北下南，左西右东”是解题关键． 3．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B．C．D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负、如果从A到B记为：，从B到A记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中( ， )，( ， )， (， )； （2）若图中另有两个格点M．N，且，，则应记为 ． 【答案】 【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负分别写出各点的坐标即可； （2）根据已知条件，可知，，从而得到点向右走个格点，向上走个格点到点，反过来即可得到答案． 【详解】解：（1）∵规定：向上向右走为正，向下向左走为负 ∴记为，记为，记为； （2）∵， ∴， ∴点向右走个格点，向上走个格点到点 ∴应记为． 故答案是：（1），，，，，；（2） 【点睛】本题考查了利用坐标确定点的位置的方法，解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示． 类型六、求沿x轴，y轴平移后的坐标 【解惑】在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移．熟练掌握点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，是解题的关键． 根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答，即可判断． 【详解】∵点向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点， ∴，， ∴． 故选：B． 【融会贯通】 1．如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，，则叶柄底部点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，根据点与点的相对位置即可求解． 【详解】解：由图可知：点向右移动3个单位长度，向上移动1个单位长度即可得到点， 故点C的坐标为，即：， 故选：D 2．的顶点A的坐标为，将沿x轴向右平移2个单位，沿y轴向下平移3个单位后，顶点A对应的坐标变为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形的平移变换．熟练掌握点的平移规律是解题的关键．平移点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 直接利用平移点的变化规律求解即可． 【详解】解：根据点的平移规律可知：将沿x轴向右平移2个单位，沿y轴向下平移3个单位后，顶点A对应的坐标变为，即． 故答案为：． 3．在平面直角坐标系中，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标与图形变化-平移，熟知“右移加，左移减，上移加，下移减”是解题的关键． 利用点平移的坐标规律，把A点的横坐标加1，纵坐标减3即可得到点B的坐标． 【详解】解：点先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点B，则点B的坐标是，即． 故答案为：． 类型七、根据图形的平移求坐标 【解惑】已知点，，将线段平移至，若点，点，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了点的平移规律，根据平移规律“左加右减，上加下减”可得的值，代入计算即可求解． 【详解】解：将线段平移至，点，，点，点， ∴，， ∴平移规律为：向左平移2个单位，向下平移1个单位， ∴，， ∴， ∴， 故选：C ． 【融会贯通】 1．如图，经过一定的变换得到，若上一点M的坐标为，那么M点的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与平移，根据图形，得到是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到，再根据点的平移规则，左减右加，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：观察图形可知，是由先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到， ∴点M的对应点的坐标为， 故选C． 2．已知的顶点，，将三角形平移后得到，其中点A的对应点，则坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是图形的平移法则，掌握点的平移与坐标变化规律：左减右加，上加下减，是解题的关键． 首先根据点A和点的坐标得出平移的方向和平移的数量，然后根据平移法则得出点的坐标． 【详解】解：∵，， ∴平移法则为：先向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∵ ∴， 故答案为： 3．平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标依次为，，将线段平移后，点A的对应点的坐标为，则点B的对应点的坐为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键．根据点A到确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点的坐标． 【详解】解：∵，点A的对应点的坐标为， ∴平移方法为横坐标加1，纵坐标减3， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 类型八、点坐标中的规律 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，第1次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；第2次变换：先将关于x轴对称，再向右移动1个单位长度，得到；…，依此规律，得到，则点的坐标是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查图形类规律探索，先根据前面几个点的坐标发现并总结出规律是解题的关键．根据题意得出，，，，总结得出坐标规律，则，最后写出结果即可． 【详解】解：由题意可得，点，将先关于x轴对称，再向右平移一个单位长度得到，继续对称平移后得到，，， ∴由点坐标规律可得， ∴的坐标为． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图在平面直角坐标系中，有若干个整数点其顺序按图中“”方向排列，如．根据这个规律探索可得，第2024个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律判断，根据已知图中点的坐标规律，应先判断出第2024个点在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解，得出答案即可． 【详解】解：把第一个点作为第一列，和作为第二列， 依此类推，则第一列有1个点，第二列有2个点，， 第n列有n个点，则n列共有个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上， ∵， ∴第2024个点一定在第64列，由下到上是第8个点， 因而第2024个点的坐标是， 故选：C． 2．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右向上向右向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到第次移动到．则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查点的坐标的变化规律，由知，据此利用三角形的面积公式计算可得． 【详解】解：由题意知， ，， ，的纵坐标为， 则 的面积是 ， 故答案为：． 3．如图，一个机器人从点出发，向正西方向走到达点；再向正北方向走到达点，再向正东方向走到达点，再向正南方向走到达点，再向正西方向走到达点，…按如此规律走下去，当机器人走到点时，点的坐标为 ．    【答案】 【分析】此题考查了点在平面直角坐标系的坐标规律，解题的关键是发现规律，利用规律解决问题． 观察点的坐标规律即可求解． 【详解】观察图象可知，下标为偶数时在二四象限，下标为奇数时在一、三象限， 由，，，… ，，， … ，，， ∵， ∴， 故答案为：． 类型九、在坐标中描点 【解惑】如图所示，在平面直角坐标系中，已知． (1)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______； (2)在平面直角坐标系中画出，求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查的是关于y轴对称的点的坐标，三角形的面积，熟知关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键． （1）根据关于y轴对称的点的坐标特点解答即可； （2）在坐标系内描出各点，再利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵．点D与点C关于y轴对称， ∴点D的坐标为． 故答案为：； （2）如图，即为所求作： ∴ ． 【融会贯通】 1．在平面直角坐标系中，三角形 三个顶点的坐标分别是． (1)在平面直角坐标系中画出三角形； (2)若将（1）中的三角形 进行平移，使点的对应点坐标为，画出平移后的三角形； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析； (3)10． 【分析】本题考查了坐标与图形，平移作图．熟练掌握坐标与图形，平移作图是解题的关键． （1）描点，然后顺次连接即可； （2）根据平移的性质作图即可， （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）如图1，即为所求； （2）由平移作图，如图2，即为所求， （3）∵， ∴的面积为． 2．在平面直角坐标系中，已知，，． (1)请在图中画出； (2)将先向右平移6个单位，再向下平移5个单位得到，请在图中画出平移后的； (3)连接，，请直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了描点，平移的性质，坐标与图形等知识．熟练掌握描点，平移的性质，坐标与图形是解题的关键． （1）描点、连线即可； （2）由平移的性质作图即可； （3）根据网格特点，利用割补法，计算求解即可． 【详解】（1）解：描点、连线，如图1，即为所作；                  图1 （2）解：由平移的性质作图，如图1，即为所作； （3）解：如图1，由题意知，， ∴的面积为． 3．在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为，，． (1)请你在平面直角坐标系中描出点A，B，C，并依次连接得到三角； (2)若将点A向下平移5个单位长度，得到点，则点的坐标为______； (3)画出将先向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度后的． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—平移： （1）平面直角坐标系中描出点A，B，C，再依次连接，即可求解； （2）根据平移的性质，即可求解； （3）找到点A，B，C的对应点，再依次连接，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：点的坐标为； 故答案为： （3）解：如图，即为所求； 类型十、轴对称中的坐标 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． (1)将向上平移4个单位长度得到，请画出； (2)请画出与关于y轴对称的； (3)请写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称和平移： （1）把A、B、C三点的横坐标不变，纵坐标分别加上4即为的坐标，据此描出，再顺次连接即可； （2）根据关于y轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数得到A、B、C对应点的坐标，描出，再顺次连接即可； （3）根据（1）（2）所求即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由图可知． 【融会贯通】 1．已知点，． (1)若点，关于轴对称，求，的值； (2)若点，关于轴对称，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列出二元一次方程组，然后解方程即可求解； （）把，的值代入求值即可； 本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，解二元一次方程组，求代数式的值，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，掌握解二元一次方程组． 【详解】（1）解：∵点与关于轴对称， ∴，解得：， ∴，； （2）解：由（）得：，， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知． (1)在图中作出关于y轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)在坐标轴上有个点P，画图找出使得取得最小值时点P的位置．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)作图见解析， (2)见解析 【分析】本题考查的是坐标与图形，画关于坐标轴的轴对称图形，关于坐标轴对称的点的坐标规律，轴对称的性质，两点之间线段最短，熟练的利用轴对称的性质并应用于画图是解本题的关键． （1）分别确定关于轴的对称点，再顺次连接，再根据轴对称的性质可得其坐标； （2）如图，分为当在轴上时和当在轴上分别画图求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； ； （2）解：①当在轴上时，作关于轴对称点，连接交轴于点；取得最小值时． ②当在轴上，连接交轴于点．取得最小值时． 点即所求． 3．如图，在平面直角坐标系中，依已知，，． (1)作出关于轴对称的； (2)求的面积； (3)若点在轴上，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，勾股定理； （）根据轴对称的性质作图即可； （）利用割补法求三角形的面积即可； （）连接，与轴的交点即为所求的点，则的最小值即为的长，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）的面积为：； （3）解：如图，连接， ∴的最小值即为的长， 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 【一览众山小】 1．在平面直角坐标系中，则与点关于轴对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标规律，根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解，解题的关键是熟记，关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴的坐标为， 故选：． 2．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“将”位于点 ，“車”位于 ，则“炮”位于点 (      ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系和点的坐标，根据棋子的位置确定坐标系的原点，进而判断即可． 【详解】解：在象棋盘上建立直角坐标系，使“将”位于点，“車”位于点， 则原点位于“将”向左平移一个单位，再向上两个单位的位置， “炮”的坐标是， 故选：B． 3．已知，如图在直角坐标系中，点在轴上，轴于点，点关于直线的对称点恰好在上，点与点关于直线对称，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形、轴对称的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，理解并掌握轴对称的性质和垂直平分线的性质是解题关键．连接，根据题意可知轴于点，首先解得，的值，根据题意可知是线段的垂直平分线，可得，进而可得，再推导是的垂直平分线，可得，然后由可得答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵轴于点，， ∴， ∴， ∴， ∵点关于直线的对称点恰好在上， ∴是线段的垂直平分线，即， ∴， ∴， ∴， ∵点与点关于直线对称， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． 答案：C． 4．已知和关于轴对称，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查关于轴对称的点的特征，根据题意得：，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 5．在平面直角坐标系中摆放着一个轴对称图形，其中点的对称点坐标为，点为图象上的一点，则点在图象上的对称点坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟练掌握对应点的连线被对称轴垂直平分是解题的关键． 先求出对称轴的表达式，设点在图象上的对称点坐标为，根据对应点的连线被对称轴垂直平分即可得出答案 【详解】解：点的对称点坐标为， 对称轴为：， 设点在图象上的对称点坐标为， 则有：，， ， 点在图象上的对称点坐标为， 故答案为：． 6．如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点，点B，C在x轴上，Q是y轴上一点． （1） ； （2）点P从点A出发，先沿y轴到达点Q，再沿到达点B后停止运动，点P在y轴上运动的速度是它在直线上运动的速度的2倍，若点P按上述要求到达点B所用时间最短，则点Q的坐标为 ． 【答案】 30 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、坐标与图形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质即可得解； （2）过点Q作于H，设点P在y轴的速度为x，则点P在上的速度为，表示出点P到达点B所用时间得到当有最小值时，点Q，点B，点H三点共线时，有最小值为的长，再由等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，， ∴， 故答案为：30； （2）如图，过点Q作于H， 设点P在y轴的速度为x，则点P在上的速度为， ∴点P到达点B所用时间， ∴当有最小值时，点P到达点B所用时间最短， ∵， ∴， ∴， ∴当点Q，点B，点H三点共线时，有最小值为的长， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∴点， 故答案为：． 7．如图， (1)请画出关于轴对称的，并直接写出 三点的坐标： (2)求的面积． 【答案】(1)作图见解析，，， (2) 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，关于坐标轴对称的点的坐标特征． （1）先分别作点，，关于轴的对称点，，，再顺次连接即可求解，先确定点，，的坐标，再根据两点关于轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数即可求解． （2）利用割补法解即可． 【详解】（1）解：作图如图： 如图所示可知：，，， 由关于轴对称的点坐标的特点可得：，，； （2）解：． 8．如图，三个顶点的坐标分别为，， (1)画出关于y轴对称的； (2)写出三个顶点坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，关于y轴对称的点的坐标特点，求解网格三角形的面积等知识点， （1）分别确定A，B，C关于y轴对称的点，，，再顺次连接即可； （2）根据点，，在坐标系内的位置可得其坐标； （3）由长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； 熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特点是解决此题的关键． 【详解】（1）如图，即为所求作的三角形， （2）根据点在坐标系内的位置可得： ，，； （3）． 9．已知点是平面直角坐标系中第一象限的点，点，分别是轴负半轴和轴正半轴上的点，连接，，． (1)如图①，若，，且，，在同一条直线上，求的值； (2)如图②，当，时，求的值； (3)如图③，点、、在一条直线上，点是上一点，．若，直接写出m＋n的值为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，三线合一，角平分线的性质 （1）过点作于点，证明，进而得出，求得点的坐标，即可求解； （2）延长至，根据题意得出，则平分作，垂足分别为，根据角平分线的性质得出，作轴于点，在轴上找一点，使，证明，，得出，进而根据全等三角形的性质即可求解； （3）过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，根据等腰三角形的性质，得出，根据，得出，，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）如图，延长至 ∵， ∴， ∴平分 作，垂足分别为， ∴， 作轴于点，在轴上找一点，使， ∵ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴ 则， 故 ． （3）解：如图，过点，分别作轴的垂线，垂足分别为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．如图，点，且满足． (1)如图1，求的面积； (2)如图2，点C在线段上（不与重合）移动，，且，猜想线段之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接，且，直线交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段长为定值，请求出该定值 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)2 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，得到，，可得到结果； （2）将绕点逆时针旋转得到，根据已知条件得到，由，，可得，求出，推出≌，根据全等三角形的性质得到； （3）作于，在上截取，由，得到，，根据余角的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质得到，得到．即：，从而由等腰直角三角形的性质得到结论． 【详解】（1）解：（1）∵， ，， ，， 、， ，， 的面积； （2），证明如下： 如图2，将绕点逆时针旋转得到， ，， ，即，，共线， ，， ， ， 在与中， ， ∴≌， ， ， ； （3）解：作于，在上截取，如图 且， ， ， ， 在与中， ， ∴≌， ， ，即， ， ， ， ． 线段为定值2． 【点睛】本题考查了几何变换综合题，需要掌握全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，三角形面积的计算等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$