第7课时　分式方程及其应用 课件 2025年九年级中考数学一轮总复习

第一部分　考点梳理 第二章　方程组与不等式组 第7课时　分式方程及其应用 知识点1 分式方程 分母中含有 ⁠的方程叫做 分式方程. 未知数　 知识点2 解分式方程 解分式方程的基本思想是把分式方 程转化为整式方程，其一般步骤是： （1）去分母：分式方程两边同时乘方程 中各分母的 ⁠，把分式方 程转化为整式方程. 注：最简公分母：①系数取最小公倍 数；②出现的字母取最高次幂；③出现 的因式取最高次幂. 最简公分母　 （2）解方程：解整式方程，得到方程 的根. （3）验根：将整式方程的解代入 ⁠ ，如果最简公分母的值不为0， 则整式方程的解是原分式方程的解；否 则，这个解不是原分式方程的解，是原 分式方程的增根.如果分式本身约分了， 也要代进去检验. （4）得出结论. 最简 公分母　 知识点3 增根与无解 在分式方程变形时，扩大了未知数 的取值范围，所以可能产生不适合原方 程的根，使方程中的分母为 ⁠，此 时这个根就是分式方程的增根，因此解 分式方程要验根. 产生增根的两个条件：①是分式方 程去分母后整式方程的解；②使最简公 分母的值为零. 零　 无解的两种情况：①方程去分母后 整式方程无解；②为增根. 知识点4 分式方程的应用 分式方程的应用与一元一次方程的 应用类似，不同的是分式方程的应用题 的验根有两次： （1）检验所求的解是不是原分式方程 的解； （2）检验所求的解是否符合题意. 名师指津 1. 分式方程有增根与无解并不是同一概 念.分式方程无解可能有两种情形：一是 有增根产生，二是变形后的整式方程无 解，比如ax＝b（a＝0，b≠0）. 2. 在含参数的分式方程问题中，要特别 注意分母不为零的隐含条件，一定要注 意增根所对应的参数的值一定要排除. 3. 分式方程应用题的验根是易错点，注 意解分式方程应用题需要验根两次. 考点一　分式方程的解法 例1　 （1）（2024·泸州）分式方程 －3＝ 的解是（　D　） A. x＝－ B. x＝－1 C. x＝ D. x＝3 D （2）解方程： ① ＝ ＋1； [答案] 解：方程两边同乘3（x＋1）， 得3x＝x＋3（x＋1），解得x＝－3. 检验：当x＝－3时，3（x＋1）≠0， ∴x＝－3是原分式方程的解. ② －1＝ . [答案] 解：方程两边同乘（x＋2）（x －2）， 得（x－2）2－（x＋2）（x－2）＝ 16，解得x＝－2. 检验：当x＝－2时，（x＋2）（x－ 2）＝0， ∴x＝－2是原分式方程的增根， ∴原分式方程无解. 考点二　含参数的分式方程 例2　 （1）若关于x的方程 ＝ ＋ 1有增根，则m的值是（　D　） A. 3 B. 0或3 C. 7 D. －7 D （2）（2024·达州）若关于x的方程 － ＝1无解，则k的值为 ⁠ ⁠； （3）若关于x的分式方程 －2＝ 的解为正数，则k的取值范围为 ⁠ ⁠； －1或 2　 k＞－ 2且k≠－1　 （4）若关于x的不等式组 的解集为x＞1，且 关于y的分式方程3－ ＝ 有非负整 数解，则所有满足条件的整数m的值之 和是 ⁠. －7　 考点三　分式方程的应用 例3　 （1）（2024·绥化）一艘货轮在静 水中的航速为40km/h，它以该航速沿江 顺流航行120km所用时间，与以该航速 沿江逆流航行80km所用时间相等，则江 水的流速为（　D　） A. 5km/h B. 6km/h C. 7km/h D. 8km/h D （2）（2024·南开）春风轻拂，万物复 苏，青团成为这个季节不可或缺的美食. 它不仅是一种食物，更是一种情感的寄 托，承载了人们对春天的赞美和怀念.某 甜品店开业当天推出了爆珠榴莲和麻辣 牛肉两种青团. ①上午，两种青团共卖出300个，销售额 为2800元，其中爆珠榴莲的单价为10 元，麻辣牛肉的单价为8元，求卖出两种 青团各多少个； [答案] 解：①设卖出爆珠榴莲x个，则 卖出麻辣牛肉（300－x）个，根据题 意，得 10x＋8（300－x）＝2800，解得x＝ 200， ∴300－x＝100. 答：卖出爆珠榴莲200个，卖出麻辣牛肉 100个. ②下午，该店调整了两种青团的价格， 结果爆珠榴莲的单价比麻辣牛肉的单价 贵3元，售出爆珠榴莲的个数比麻辣牛肉 的个数多50％，爆珠榴莲的销售额为 1050元，麻辣牛肉的销售额为400元，求 爆珠榴莲的单价是多少元. [答案] 解： ②设麻辣牛肉的单价是m元，则爆珠榴莲的单价是（m＋3）元，根据题意，得 ＝ ×（1＋50％），解得m＝4， 经检验，m＝4是原方程的解，且符合 题意， ∴m＋3＝7. 答：爆珠榴莲的单价是7元. 1. （2024·德阳）分式方程 ＝ 的解是 （　D　） A. 3 B. 2 C. D. D 2. 某农场开挖一条长360米的水渠，开工 后每天效率是原计划每天效率的1.5倍， 结果少花3天完成任务.若设原计划每天挖x米，那么下列方程中正确的是（　A　） A. － ＝3 B. － ＝3 C. ＝ ×1.5 D. ＝ ×1.5 A 3. （1）若关于x的方程 ＋ ＝1有 增根，则这个增根为x＝ ，m的值 为 ⁠； （2）若关于x的分式方程 ＋1＝ 的解为正整数，则满足条件的整数 a的值为 ⁠. 2　 5　 －3　 4. 解方程： （1） ＝ －2； 解：（1）方程两边同乘（x－2）， 得1－x＝－1－2（x－2），解得x＝2. 检验：当x＝2时，x－2＝0， ∴x＝2是原方程的增根，∴原方程无解. （2） － ＝ . 解：（2）方程两边同乘x（x＋1），得x＋1－3x＝2， 解得x＝－ . 检验：当x＝－ 时，x（x＋1）≠0， ∴x＝－ 是原方程的解. $$