培优(3)第十三章 轴对称(课件PPT)-【宝典训练】2024-2025学年八年级上册数学高效课堂(人教版)

培优(3)——第十三章　 轴对称 一、轴对称 1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB′关于直线AD对称，点B的对称点是点B′，若∠CAB′＝14°，则∠B的度数为______． 52° 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 2．如图是一个经过改造的规格为3×5的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过台球边缘多次反弹)，那么球最后将落入的球袋是(　　) A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 A 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 3．如图，在2×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形，此网格中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 4．如图，在2×2正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请找出格纸上所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形有___个． 5 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 5．如图，在3×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形． (1)请你在图1、图2、图3中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影；(注：所画的三幅图不能重复) 图1　　　 图2　 　　　图3 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 解：如答图所示； 答图 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (2)格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有___个． 6 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 6．如图，设点P是∠AOB内一个定点，分别画点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，若P1P2＝5 cm，则△PMN的周长为多少？ 解：答图即为所求作，△PMN的周长为P1P2的长， 根据题意得，PM＝P1M，PN＝P2N， ∴△PMN的周长为：PM＋PN＋MN＝ P1M＋MN＋P2N＝P1P2＝5 cm． 答图 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 7．如图，在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA． (1)求证：∠BAD＝∠EDC； 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝∠ACB＝60°． 又∵∠BAD＋∠DAC＝∠BAC，∠EDC＋∠DEC＝∠ACB， ∴∠BAD＋∠DAC＝∠EDC＋∠DEC． ∵DE＝DA，∴∠DAC＝∠DEC， ∴∠BAD＝∠EDC． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (2)作出点E关于直线BC的对称点M，连接DM，AM，猜想DM与AM的数量关系，并说明理由． 解：猜想：DM＝AM．理由如下：如答图，连接CM， ∵点M，E关于直线BC对称， ∴∠MDC＝∠EDC，DE＝DM． 又由(1)知∠BAD＝∠EDC， ∴∠MDC＝∠BAD． ∵∠ADC＝∠BAD＋∠B， 即∠ADM＋∠MDC＝∠BAD＋∠B， 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 ∴∠ADM＝∠B＝60°． 又∵DA＝DE＝DM， ∴△ADM是等边三角形， ∴DM＝AM． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 8．如图，AD，BE在AB的同侧，AD＝2，BE＝2，AB＝4，点C为AB的中点，若∠DCE＝120°，求DE的最大值． 解：如答图，作点A关于直线CD的对称点M， 作点B关于直线CE的对称点N，连接DM，CM，CN，MN，NE． 由题意AD＝EB＝2，AC＝CB＝2，DM＝CM＝CN＝EN＝2， ∴∠ACD＝∠ADC，∠BCE＝∠BEC， ∵∠DCE＝120°，∴∠ACD＋∠BCE＝60°， ∵∠DCA＝∠DCM，∠BCE＝∠ECN， ∴∠ACM＋∠BCN＝120°，∴∠MCN＝60°， 答图 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 ∵CM＝CN＝2，∴△CMN是等边三角形，∴MN＝2， ∵DE≤DM＋MN＋EN，∴DE≤6， ∴当点D，M，N，E共线时，DE的值最大，最大值为6． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 9．如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点，BD＝8，AB＝2，DE＝8，若∠ACE＝120°，求线段AE长度的最大值． 解：如答图，作点B关于AC的对称点F，点D关于EC的对称点G，连接AF，FC，CG，EG，FG， 答图 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 ∵△ACB≌△ACF(SAS)，∴CF＝CB，∴∠BCA＝∠FCA． 同理可证：CD＝CG，∴∠DCE＝∠GCE， ∵CB＝CD，∴CG＝CF， ∵∠ACE＝120°， ∴∠BCA＋∠DCE＝180°－120°＝60°． ∴∠FCA＋∠GCE＝60°．∴∠FCG＝60°． ∴△FGC是等边三角形．∴FC＝CG＝FG＝4， ∵AE≤AF＋FG＋EG， ∴当点A，F，G，E共线时，AE的值最大，最大值为14． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 二、线段的垂直平分线 10．如图，在△ABC中，OD，OE分别是AB，BC边上的垂直平分线，OD，OE交于点O，连接OA，OC，已知∠B＝40°，则∠OAC＝____°． 50 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 11．如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠1＝37°，则∠AOC＝______． 74° 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E，连接BE． (1)求证：AE＝2CE； 证明：连接BE，如答图1， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°， ∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝30°， 在Rt△BCE中，BE＝2CE， ∴AE＝2CE； 答图1 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (2)连接DC，试判断△BCD的形状，并说明理由． 解：△BCD是等边三角形，理由如下： 连接CD，如答图2， ∵DE垂直平分AB，∴D为AB的中点， ∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△BCD是等边三角形． 答图2 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 13．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，MD，NE的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由； 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 解：点O在BC的垂直平分线上，理由如下： 连接AO，BO，CO，如答图， ∵DM，EN分别是AB，AC的垂直平分线， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上； 答图 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (2)若BC＝8，求△ADE的周长； 解：∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋CE＝BC＝8； 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (3)若∠BAC＝100°，求∠BOC的度数． 解：∵OM，ON分别垂直平分AB，AC， ∴∠BOM＝∠AOM，∠CON＝∠AON， ∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴∠AMO＝∠ANO＝90°， ∵∠BAC＋∠AMO＋∠MON＋∠ANO＝360°， ∠BAC＝100°，∴∠MON＝360°－90°－90°－100°＝80°， ∴∠BOC＝∠BOM＋∠AOM＋∠AON＋∠CON＝2∠MON＝160°． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 14．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O． (1)如图1，当∠ABC＝∠ACB＝25°时，直接写出∠DAE的度数为______； 80° 图1 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (2)如图2，当AB≠AC，且90°≤∠BAC<180°． ①若∠BAC＝120°，则∠DAE＝____°； ②当AD⊥AE时，求∠BAC的度数； 解：当AD⊥AE时，∠DAE＝90°， ∵AB边的垂直平分线l1交BC于点D， ∴DA＝DB，∴∠BAD＝∠ABD， 同理：∠EAC＝∠ACE， ∴∠BAD＋∠EAC＝∠ABD＋∠ACE， ∵∠BAD＋∠EAC＋∠ABD＋∠ACE＋∠DAE＝180°， ∴∠BAC＝∠BAD＋∠EAC＋∠DAE＝90°＋45°＝135°． 60 图2 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (3)如图2，连接OA，OB，OC．若△ADE的周长为9 cm，△OBC的周长为21 cm，则BC＝___cm；OB＝___cm． 9 6 图2 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 15．如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N．若点M在PA的垂直平分线上，点N在PC的垂直平分线上，求∠APC的度数． 解：∵∠ABC＝50°， ∴∠BMN＋∠BNM＝180°－∠ABC＝180°－50°＝130°． ∵∠BMN＋∠AMP＝180°，∠BNM＋∠CNP＝180°， ∴∠AMP＋∠CNP＝360°－(∠BMN＋∠BNM)＝360°－130°＝230°． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 ∵点M在PA的垂直平分线上，点N在PC的垂直平分线上， ∴AM＝PM，PN＝CN， ∴∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN， ∴∠MAP＋∠APM＋∠CPN＋∠PCN＝360°－230°＝130°， ∴2∠APM＋2∠CPN＝130°， ∴∠APM＋∠CPN＝65°， ∴∠APC＝180°－(∠APM＋∠CPN)＝180°－65°＝115°． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 16．如图，在锐角△ABC中，∠C＝30°，点D是AC的中点，DE⊥AC交BC于点E．点O在DE上，且OA＝OB． (1)求证：△AOB是等边三角形； 证明：如答图，连接OC，作OF⊥BC， ∵点D是AC的中点，DE⊥AC， ∴OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA， ∵OA＝OB，∴OB＝OC， ∴OF为BC的垂直平分线，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠OAC＋∠OBC＝∠ACB＝30°，∠CAB＋∠CBA＝150°， ∴∠OAB＋∠OBA＝120°，∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形； 答图 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (2)猜想BE，OD，OE三者之间的数量关系，并证明． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 ＝4DE－OE－2OD－2OE ＝4(OD＋OE)－OE－2OD－2OE ＝4OD＋4OE－OE－2OD－2OE ＝2OD＋OE． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 三、等腰三角形 17．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE＝BD＋CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，则∠BFC＝130°．其中正确的有__________．(填正确的序号) ①②③⑤ 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 18．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，若△ABC，△AMN周长分别为13 cm和8 cm． (1)求证：△MBE为等腰三角形； 证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠MBE＝∠EBC， ∵MN∥BC，∴∠MEB＝∠EBC， ∴∠MBE＝∠MEB，∴MB＝ME， ∴△MBE为等腰三角形； 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (2)线段BC的长． 解：同理可证NE＝NC， ∴△AMN的周长＝AM＋ME＋EN＋AN＝(AM＋MB)＋(NC＋AN)＝AB＋AC＝8 cm， 又∵C△ABC＝AB＋AC＋BC＝13 cm， ∴BC＝13－8＝5 cm． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 19．如图，AB＝AC，∠1＝∠2．AE⊥CD交于点F，交BC于点E，求证：AB＝CE． 证明：∵在△AFC和△EFC中， ∴△AFC≌△EFC(ASA)， ∴AC＝EC， ∵AB＝AC，∴AB＝CE． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 20．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE⊥BD于点F，交BC于点E．求证： (1)AB＝BE； 证明：∵BD平分∠ABC，AE⊥BD， ∴∠ABF＝∠EBF，∠AFB＝∠EFB＝90°， 在△ABF和△EBF中， ∴△ABF≌△EBF(ASA)， ∴AB＝BE； 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 证明：∵∠BAC＝90°， ∴∠CAE＋∠BAF＝90°，而∠BAF＋∠ABF＝90°， 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (3)AD＝CE． 证明：连接DE，如答图， 在△ABD和△EBD中 ∴△ABD≌△EBD(SAS)， ∴AD＝DE，∠DEC＝∠BAC＝90°， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠C＝45°，∴CE＝DE， ∴AD＝CE． 答图 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F．试说明△CEF是等腰三角形． 解：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°， ∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B， ∵AE是∠BAC的平分线， ∴∠CAE＝∠EAB， ∵∠EAB＋∠B＝∠CEA，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE， ∴△CEF是等腰三角形． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 22．如图，DE∥BC，CG＝GB，∠1＝∠2，求证：△DGE是等腰三角形． 解：连接AG，如答图， ∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠1，∠ACB＝∠2， 又∵∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC， 又∵CG＝GB，∴AG⊥BC，∴AG⊥DE， ∵∠1＝∠2，∴AD＝AE，∴AG垂直平分DE，∴DG＝GE． ∴△DGE是等腰三角形． 答图 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 23．如图，在△ABC中，AC＝BC，点F为AB的中点，边AC的垂直平分线交AC，CF，CB于点D，O，E，连接OB． (1)求证：△OBC为等腰三角形； 证明：连接OA，如答图， ∵AC＝BC，点F为AB的中点， ∴CF⊥AB，∴CF垂直平分AB，∴OA＝OB， ∵DE垂直平分AC，∴OA＝OC，∴OB＝OC， ∴△OBC为等腰三角形； 答图 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (2)若∠ACF＝23°，求∠BOE的度数． 解：∵CA＝CB，CF⊥AB， ∴CF平分∠ACB，∴∠BCF＝∠ACF＝23°， ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝23°， ∵∠EDC＝90°∴∠DEC＝90°－∠DCE＝90°－23°－23°＝44°， ∵∠OEC＝∠OBE＋∠BOE， ∴∠BOE＝44°－23°＝21°． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 24．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于点F，交CA的延长线于点P，CH∥AB交AD的延长线于点H．求证： (1)△APF是等腰三角形； 证明：∵EF∥AD， ∴∠1＝∠4，∠2＝∠P， ∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2， ∴∠4＝∠P， ∴AF＝AP， 即△APF是等腰三角形； 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (2)AB＝PC． 证明：∵CH∥AB，∴∠5＝∠B，∠H＝∠1， ∵EF∥AD，∴∠1＝∠3，∴∠H＝∠3， 在△BEF和△CDH中， ∴△BEF≌△CDH(AAS)， ∴BF＝CH， ∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠H， ∴AC＝CH，∴AC＝BF， ∵AB＝AF＋BF，PC＝AP＋AC，AF＝AP， ∴AB＝PC． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 25．在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于点D． (1)如图1，若AE⊥BC于点E，∠C＝75°，求∠DAE的度数； 解：∵∠C＝3∠B，∠C＝75°，∴∠B＝25°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝80°， ∴∠ADE＝∠BAD＋∠B＝65°， ∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°， ∴∠DAE＝90°－∠ADE＝90°－65°＝25°， 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (2)如图2，若DF⊥AD交AB于点F，求证：BF＝DF． 证明：设∠B＝α，则∠C＝3α，∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－4α， ∵DF⊥AD，∴∠ADF＝90°， ∴∠AFD＝90°－∠BAD＝2α， ∵∠AFD＝∠B＋∠BDF， ∴∠BDF＝α＝∠B，∴BF＝DF． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 26．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动(点P不与点B，C重合)，连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q． (1)如图，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由； 解：△APB是直角三角形， ∵AB＝AC，∠B＝30°， ∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ， ∵PQ∥CA，∴∠BPQ＝∠C＝30°， ∴∠APB＝∠BPQ＋∠APQ＝30°＋30°＝60°， ∴∠BAP＝180°－∠B－∠APB＝180°－30°－60°＝90°， ∴△APB是直角三角形； 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (2)在点P的运动过程中，当△APQ的形状是等腰三角形时，请求出∠BQP的度数． 解：当AQ＝QP时，∠QAP＝∠APQ＝30°， ∴∠BQP＝∠QAP＋∠APQ＝30°＋30°＝60°； ∴∠BQP＝180°－∠AQP＝180°－75°＝105°； 当AQ＝AP时，∠AQP＝∠APQ＝30°， ∵点P不与点B，C重合， ∴此种情况不存在， 综上所述：∠BQP＝60°或105°． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 四、等边三角形 27．如图，在等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的两个动点，且总使BD＝CE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则以下结论：①△ACE≌△CBD；②∠AFG＝60°；③AF＝2FG；④AC＝2CE．其中正确的结论有(　　) A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 B 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 28．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A2 023B2 023A2 024的边长为________． 22 023 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 29．请证明，在等边三角形ABC中，只要满足BD＝CE，连接AD，BE交于点F，则∠AFE是定值． 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC， 在△ABD和△BCE中， 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 ∴△ABD≌△BCE(SAS)， ∴∠BAD＝∠EBC， ∵∠AFE＝∠ABF＋∠BAF， ∴∠AFE＝∠ABF＋∠EBC＝∠ABC＝60°， ∴∠AFE是定值． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 30．如图，在等边△ABC中，AB＝8，E是BA延长线上一点，且EA＝4，D是BC上一点，且DE＝EC，求BD的长． 解：过点E作EF⊥BC于点F，如答图所示， 则∠BFE＝90°，∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°，BC＝AB＝8， ∴∠FEB＝90°－60°＝30°， ∵BE＝AB＋AE＝8＋4＝12， ∵ED＝EC，EF⊥BC，∴DF＝CF＝2， ∴BD＝BF－DF＝4； 答图 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 31．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝40 cm，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为vP＝2 cm/s，vQ＝1 cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s． (1)BP＝__________cm，BQ＝___cm(用含t的式子表示)，BC＝____cm； (40－2t) t 20 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (2)当t为何值时，△PBQ为等边三角形？ 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (3)当t为何值时，△PBQ为直角三角形？ 解：当∠BQP＝90°时， ∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BP＝2BQ， ∴40－2t＝2t，解得t＝10； 当∠BPQ＝90°时， ∵∠B＝60°，∴∠BQP＝30°，∴BQ＝2BP， ∴2(40－2t)＝t，解得t＝16； 综上所述，当t为10或16时，△PBQ为直角三角形． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 32．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，CD＝AD，∠ADC＝60°，对角线BD平分∠ABC交AC于点P，CE是∠ACB的平分线，交BD于点O． (1)请求出∠BAC的度数； 解：∵CD＝AD，∠ADC＝60°， ∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD＝60°， ∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝60°； 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 (2)试用等式表示线段BE，BC，CP之间的数量关系，并说明理由． 解：BC＝BE＋CP，理由如下： 在BC上截取BF＝BE，如答图 ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBO＝∠OBF， ∵OB＝OB， ∴△BEO≌△BFO(SAS)， ∴∠BOE＝∠BOF， 答图 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 ∵∠BAC＝60°，CE是∠ACB的平分线， ∴∠OBC＋∠OCB＝60°，∴∠POC＝∠BOE＝60°， ∵△BEO≌△BFO，∴∠BOE＝∠BOF＝60°， ∴∠COF＝∠BOC－∠BOF ＝180°－60°－60° ＝60° ∴∠COF＝∠POC， 又∵OC＝OC，∠OCP＝∠OCF， ∴△CPO≌△CFO(ASA)，∴CP＝CF， ∴BC＝BF＋CF＝BE＋CP． 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 五、最短路径问题 33．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足是D，且AD＝5，点E，F分别是线段AD，AC上的动点，则EC＋EF的最小值是___． 5 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 34．如图，AD是等边△ABC的中线，点E，F分别是AD，AC上的动点，当EC＋EF最小时∠ACE的度数为______． 30° 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 35．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM＋DM的最小值为____． 10 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 36．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，且CD＝5，AD＝13，直线EF是边AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为____． 18 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 37．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，△ABC的面积为16，AD⊥BC于点D，直线EF垂直平分AB交AB于点E，交BC于点F，P为直线EF上一动点，则△PBD周长的最小值为___． 8 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 38．如图，在△ABC中，AB＝7 cm，BC＝5 cm，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上的任意一点，则△BCF周长的最小值是____cm． 12 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 39．如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝15，若在OA，OB上分别有动点M，N，则△PMN周长的最小值是____． 15 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 40．如图，∠AOB＝25°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP＋PQ＋QN的值最小时，β－α的度数为____度． 50 第 ‹#› 页 培优(3)——第十三章　轴对称 返回首页 本节内容到此结束！ logo 解：∵∠ACB＝30°，DE⊥AC， ∴DE＝EC，∠DEC＝60°， ∵OF⊥BC，∴∠EOF＝30°，∴EF＝OE， ∴BE＝BC－EC ＝2CF－2DE ＝2(EC－EF)－2(OD＋OE) ＝2－2(OD＋OE) 当AP＝PQ时，∠AQP＝∠PAQ＝×(180°－∠APQ)＝×(180°－30°)＝75°， ∴BF＝BE＝6，∴CF＝BC－BF＝2， $$