第1章直角三角形的边角关系 单元综合测试题 2024—2025学年北师大版九年级数学下册

2024-2025学年北师大版九年级数学下册《第1章直角三角形的边角关系》 单元综合测试题（附答案） 一、单选题（满分30分） 1．如图，在中，，，则的正切值为（    ） A．1 B． C． D． 2．的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 3．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．在中，，，，则（　　） A．12 B．14 C．15 D．16 5．将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，则的值等于（    ） A．2 B． C． D． 6．在综合与实践活动中，某数学兴趣小组要测量操场上空一个气球A的高度．如图，地面上点B，C，D在同一条直线上，，在点B，C分别测得气球A的仰角为，为，则气球离地面的高度约为（　　）（其中） A． B． C． D． 7．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为80米，那么这两根标杆在坡面上的距离为（    ） A． B． C． D． 9．如图所示，用构图法可以较简便地计算出的值，请你仿照这种方法，求出的值为（   ）    A． B． C． D． 10．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为，高度为．人笔直站在离摄像头水平距离的点B处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（   ）（参考数据：） A． B． C． D． 二、填空题（满分30分） 11．在中，，则的度数为 12．如图，在中，，，，则 ． 13．矩形中，，，将沿过点A的一条直线折叠，折痕交直线于点（点P不与点B重合），点的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则长为 ． 14．如图所示，河堤横断面迎水坡的坡度，堤高，则坡面的长度是 ． 15．如图，，分别表示的是一个湖泊的南、北两端和正东方向的两个村庄，村庄位于村庄的北偏东方向上．若，则该湖泊南北两端的距离为 （结果保留根号）．    16．如图，在平行四边形中，，点为边的中点，若，则的值为 ． 17．如图，在菱形中，点E，F分别是，的中点，连接，．若，，则的长为 ． 18．综合实践课上，航模小组用无人机测量古树的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为，古树底部A的俯角为，则古树AB的高度约为 米（结果精确到0.1米；参考数据：，，）． 19．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点A落在反比例函数上，点B落在反比例函数上，则 ．    20．某型号飞机的机翼形状如图所示，，根据图中数据计算得到的长度是 ．（精确到米，参考数据：，） 三、解答题（满分60分） 21．计算： (1) (2)． 22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形；（可以使用计算器） （1）c＝8，∠A＝30°； （2）b＝7，∠A＝15°； （3）a＝5，b＝12． 23．如图，在平行四边形中，O为对角线的中点，过点O作，分别交于点E，F，连接． (1)请判断四边形的形状，并说明理由； (2)连接，若，，，求四边形的面积． 24．为了打造和美社区，增强民众生活幸福感，“善美”党群服务队为小区的超市安装了一个遮阳棚．如图在侧面横截示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为．作交于点F（点B、F、C在同一直线上，且点A、B、F、C、D在同一平面内）． (1)求和的长； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，） 25．如图，某小区门口安装了车辆出入道闸．道闸关闭时，如图①，为固定立柱，四边形为矩形，，，点D距地面；道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行． (1)如图②，当道闸打开至时，上一点P到地面的距离为，求点P到立柱的距离的长； (2)已知一辆货车宽，高，当道闸打开至时，请通过计算说明这辆货车能否驶入小区．（参考数据：，，） 26．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点处测得大树顶端的仰角为，再从点出发沿斜坡走米到达斜坡上点，在点处测得树顶端的仰角为，若斜面的坡度为：点、、在同一水平线上． (1)求王刚同学从点到点的过程中上升的高度； (2)求大树的高度（结果保留根号）． 27．如图，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，有一艘渔船在点P处，从B处测得渔船在其东北方向，且测得B、P两点之间的距离为20海里，渔船从点P处沿射线的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时从B测得渔船在北偏西的方向． (1)填空：=_______度，=_______度； (2)求观测站A、B之间的距离（结果保留根号）； (3)在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达处．（参考数据：） 28．问题情境：如图1，在正方形中，点是对角线上一点，连接，过点分别作，的垂线，分别交直线，于点，． 数学思考：（1）线段和的数量关系； 问题解决：（2）如图2，在图1的条件下，将“正方形”改为“矩形”，其他条件不变．若，，求线段和的数量关系； 问题拓展：（3）在（2）的条件下，当点为的中点时，请直接写出的面积． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B B D C C B C 1．解：设， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．解： ． 故选：B． 3．解： ， ， ，， ，， ， 故选：D． 4．解：过作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B． 5．解：如图，先标注顶点，∵， ∴， 在中，， ∴． 故选B． 6．解：由题意得：， 设米，则米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴（米）， ∴， 解得：， ∴（米）， ∴气球离地面的高度约为， 故选：D． 7．解：取格点E，连接AE、BE，如图： 设网格中的小正方形的边长为1， 则BE＝， AE＝， AB=． ∵BE2+AE2＝2+8＝10， AB2＝10， ∴BE2+AE2＝AB2． ∴∠AEB＝90°． 由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°． ∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD， ∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD， ∴∠APD＝∠ABE． 在Rt△ABE中，cos∠ABE＝． ∴cos∠APD＝． 故选：C． 8．解：由题意得：， 则， 故选：C． 9．解：构造，其中，，延长到，使，连接，    则， ， 设则，， ， ， ， 故选：B． 10．解：过点作，垂足为，延长交于点，如图： 由题意得：，， 在中，， ， ， 若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过， 故选C． 11．解： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 12．解：在中，∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．解：①点的对称点落在矩形对角线上，如图1， ∵在矩形中，，， 由折叠性质可知：， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴； ②点的对称点落在矩形对角线上，如图2， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴ ∴； ③点的对称点落在矩形对角线延长线上，如图3， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴ ∴； 综上所述：则长为或或10． 故答案为：或或10． 14．解：中，，； ， ． 故答案为：． 15．解：如图，过作于，    ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， 则， ∴， 故答案为：． 16．解： 过E作交延长线于H， ，点E为边的中点 令，则 四边形是平行四边形 ， 故答案为：． 17．解：延长，交于点M， 在菱形中，点E，F分别是，的中点， ，，，， 在和中 ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 过E点作于N点， ，， ，， ， ， 在中 ， 即， ， ， 故答案为：． 18．解：如图，过点D作，交的延长线于点M， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴米， 在中，（米）， ∴（米）， ∴古树的高度约为米． 故答案为：． 19．解：过点作轴的垂线，垂足分别为，如图，    ∵， ∴， ∴设，则， ∴点， ∵点A在反比例函数上， ∴， ∴（负值已舍），则点， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴点， ∵点B落在反比例函数上， ∴， 故答案为：8． 20．解：如图所示，过点C作交的延长线于点E，过点B作交的延长线于点F． 在中，，， ∴． 在中，， ， ∴ 故答案为：． 21．（1）解： ； （2）解： ． 22．解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴ac＝4，∠B＝60°， ∴ba＝4． （2）∵∠C＝90°，∠A＝15°， ∴∠B＝90°﹣15°＝75°， ∵b＝7， ∴a＝btan15°＝7×0.27≈1.9，c7.2． （3）∵∠C＝90°，a＝5，b＝12， ∴c13， ∴tanA， ∴∠A≈22.6°， ∴∠B＝90°﹣22.6°＝87.4° 23．（1）解：四边形是菱形． 理由：∵O为的中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵O为的中点， ∴． ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，即． 在中， ∴，， ∴． 由（1）知四边形是菱形， ∴， ∴． 24．（1）解：在中，米，， ∴（米） （米）， 答：约为米，约为米； （2）解：过点A作，垂足为G， 由题意得：，米， ∵米， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵， ∴四边形为矩形， ∴米， ∴（米）， 答：遮阳篷靠墙端离地高的长为米． 25．（1）解：如图，过点D作，垂足为点Q． 由题意，得，，， ∴， ∴． 所以，的长为． （2）解：不能，理由如下： 由，时， 可得，． 在中，， ∴． ∴． 所以，这辆货车不能驶入小区． 26．（1）解：如图：过点D作交于点H， 由题意知米， 斜面的坡度为， ， 设米，米， 在中，， ，解得：，舍， 米． 答：王刚同学从点到点的过程中上升的高度为米． （2）解：如图，过点作交于点， 设米， ， 四边形为矩形， 米，米， ， 米， 米， ， 在中，， ，解得：， 米． 答：大树的高度是米． 27．（1）解：由题意得：， ， ， 故答案为：60；45； （2）过点作，垂足为， 在中，， 海里， 海里， 在中，， 海里， 海里， ∴观测站、之间的距离为海里； （3）补给船能在83分钟之内到达C处， 理由：过点作，垂足为， 在中，，海里， 海里， 在中，， 海里， 补给船从B到C处需要的时间小时（分钟）， 分钟分钟， 补给船能在83分钟之内到达C处． 28．解：（1）； 四边形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2），理由见解析； 四边形是矩形， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， 在中，， ， ， ； （3）过点作于，于点， 为的中点， ， ，， ∴， ， ， 同理可得， 由（2）知， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$