精品解析： 湖北省枣阳市2024-2025学年 九年级上学期数学期中考试试题

2024-2025学年度湖北省枣阳市九年级上册期中考试试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 3. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ） A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019 4. 正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为（　　） A 30° B. 60° C. 120° D. 180° 5. 对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确的是（ ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最小值为1 C. 图象的对称轴为直线x=﹣2 D. 图象的顶点坐标是（1，2） 6. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A. 4 B. 3 C. D. 7. 抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，设修建的路宽应x米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知三点都在二次函数图象上，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 10. 小强从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条结论：你认为其中正确结论的个数有（　　） （1）a＜0；（2）b＞0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＜0． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点关于原点对称点为点B，则点B的坐标为_________． 12. 我市某楼盘2013年房价为每平方米4500元，经过两年连续降价后，2015年房价为3645元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________． 13. 抛物线与x轴正半轴交点的坐标为_____________． 14. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则常数c的值是___________． 15. 当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为______． 三、解答题（共75分） 16. 解一元二次方程： （1） （2） 17. 已知关于 x 的一元二次方程 ． 求证：方程有两个不相等的实数根． 18. 如图，周长为矩形，把长截去剩余的面积刚好比把宽截去剩余的面积多，求原矩形的面积． 19. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求度数． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21. 如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围． 22. 2011年长江中下游地区发生了特大旱情．为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系． 型 号 金 额 投资金额x（万元） Ⅰ型设备 Ⅱ型设备 x 5 x 2 4 补贴金额y（万元） （） 2 （） 2.4 3.2 （1）分别求和的函数解析式； （2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额． 23. 在等边中，D为延长线上一点，F为上一点，过B作，连接，，且． （1）如图1，若，，求的长；（提示：在的延长线上取点M，使，连接．） （2）如图2，若F为延长线上一点，试探究、、的关系，并说明理由； （3）如图3，若F为延长线上一点，且，请直接写出的值． 24. 如图，抛物线的与轴交于点，与轴交于点， （1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设时，的面积为．求关于的函数关系式；若有最大值，请求出的最大值，若没有，请说明理由； （3）若是轴上一个动点，过作射线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以 、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度湖北省枣阳市九年级上册期中考试试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项错误； B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，选项正确； C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，选项错误； D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形． 2. 关于x的一元二次方程的一个根为1，则m的值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根，把一元二次方程的根代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一个根为1， ∴， 解得， 故选：C． 3. 若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ） A. 2016 B. 2017 C. 2018 D. 2019 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程解的定义得到，再由，利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 正三角形绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 180° 【答案】C 【解析】 【分析】求出正三角形的中心角即可得解 【详解】正三角形的中心角为120°， 所以它绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为120°， 故选C． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，掌握正多边形的中心角的求解是解题的关键． 5. 对于二次函数y=2（x﹣2）2+1，下列说法中正确是（ ） A. 图象的开口向下 B. 函数的最小值为1 C. 图象的对称轴为直线x=﹣2 D. 图象的顶点坐标是（1，2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，可以判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：二次函数y=2（x-2）2+1，a=2＞0， ∴该函数的图象开口向上，故选项A错误， 函数的最小值是y=1，故选项B正确， 图象的对称轴是直线x=2，故选项C错误， 抛物线的顶点坐标为（2，1），故选项D错误， 故选：B． 【点睛】考查二次函数性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 6. 若，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系直接作答即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，若，是一元二次方程的两个根，则有，． 7. 抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题．先整理成顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：， 抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 所得到的抛物线解析式为， 故选：C． 8. 如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，设修建的路宽应x米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键．假设出修建的路宽应x米，利用图形的平移法，将种植地平移拼接为长方形，即可列出方程，进一步求出x的值即可． 【详解】解：设修建的路宽应x米，根据题意可列方程为， 故选：C． 9. 已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点到对称轴的距离大小关系求解． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵三点都在二次函数的图象上， ∴到对称轴的距离最远，在对称轴上， ∴． 故选：B． 10. 小强从如图所示的二次函数y＝ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面五条结论：你认为其中正确结论的个数有（　　） （1）a＜0；（2）b＞0；（3）a﹣b+c＞0；（4）2a+b＜0． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而判断出正确的结论即可． 【详解】 （1）如图，抛物线开口方向向下，则a<0，故结论正确； （2）如图，抛物线对称轴位于y轴右侧，即，则a、b异号，由此可得b>0，故结论正确； （3）如图，当x＝时，y<0，即a−b+c<0，故结论错误； （4）如图，抛物线对称轴是直线，且，结合a<0可得，则2a+b<0，故结论正确． 综上所述，正确的结论有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的基本性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 点关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，即可得解． 【详解】解：关于原点的对称点的坐标为； 故答案为：． 12. 我市某楼盘2013年房价为每平方米4500元，经过两年连续降价后，2015年房价为3645元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设该楼盘这两年房价平均降低率为x，则2014年房价为元，2015年房价为元，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 13. 抛物线与x轴正半轴交点的坐标为_____________． 【答案】（6，0） 【解析】 【分析】令y=0，解方程x2﹣6x＝0，求出抛物线与x轴的交点坐标,，然后取正半轴上的点即可． 【详解】解：当y＝0时，x2﹣6x＝0， 解得：x1＝0，x2＝6， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（6，0）， ∴抛物线与x轴正半轴交点坐标为（6，0）． 故答案为：（6，0）． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标与一元二次方程解的关系，二次函数与x轴的交点横坐标是ax2+bx+c=0时方程的解，纵坐标是y=0． 14. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则常数c的值是___________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到判别式等于零，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：16． 【点睛】本题考查根的判别式．熟练掌握判别式等于零时，一元二次方程有两个相等的实数根，是解题的关键． 15. 当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为______． 【答案】2或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．求出二次函数对称轴为直线，再分三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大， 二次函数对称轴为直线， ①时，取得最大值，， 解得，不合题意，舍去； ②时，取得最大值，， 解得， ∵不满足的范围， ∴； ③时，取得最大值，， 解得． 综上所述，或时，二次函数有最大值4． 故答案为：2或． 三、解答题（共75分） 16. 解一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是本题的解题关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 则或， 解得：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 则或， 解得：． 17. 已知关于 x 的一元二次方程 ． 求证：方程有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，表示出方程根的判别式，判断其值大于即可得证． 【详解】证明： ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 18. 如图，周长为的矩形，把长截去剩余的面积刚好比把宽截去剩余的面积多，求原矩形的面积． 【答案】原矩形的面积是 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是关键．设矩形的长是，则宽是，根据把长截去剩余的面积刚好比把宽截去剩余的面积多，即可列方程求得x的值，进而求得宽，则面积即可求解． 【详解】解：设矩形的长是，则宽是，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 则， 原矩形的面积为：， 答：原矩形的面积是． 19. 如图，D是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形判定与的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边三角形的性质，旋转的性质，可得出，然后根据证明即可； （2）证明是等边三角形，得出，根据全等三角形的性质得出，最后根据角的和差求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，， 由旋转得，， ∴， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 20. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨0.2元/个，则月销售量将减少2个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为每个50元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元，根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【小问1详解】 解： 设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价为y元， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔的实际售价应定为每个50元． 21. 如图，已知抛物线经过点． （1）求m的值，并求出此抛物线的顶点坐标； （2）当时，直接写出y的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围等知识．熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式，根据自变量的取值范围确定函数值的取值范围是解题的关键． （1）把代入，可求，则，进而可求顶点坐标； （2）由，可知抛物线开口向下，有最大值4，当时，，当时，，进而可求y的取值范围． 【小问1详解】 解：把代入得，， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，，当时，， ∴当时，y的取值范围是． 22. 2011年长江中下游地区发生了特大旱情．为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系． 型 号 金 额 投资金额x（万元） Ⅰ型设备 Ⅱ型设备 x 5 x 2 4 补贴金额y（万元） （） 2 （） 2.4 3.2 （1）分别求和的函数解析式； （2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额． 【答案】（1）， （2）当购买Ⅰ型用7万元、Ⅱ型为3万元时能获得的最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元 【解析】 【分析】（1）根据图表得出函数上点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据得出关于x的二次函数，求出二次函数最值即可． 【小问1详解】 解：设，将代入，得， 解得：，故， 设， 将，代入，得：， 解得：，， ∴； 【小问2详解】 解：假设投资购买Ⅰ型用x万元、Ⅱ型为万元， 则：； ， ∵a=-0.2>0， 当时，y有最大值为万元， 此时10-x=3， ∴当购买Ⅰ型用7万元、Ⅱ型为3万元时能获得的最大补贴金额，最大补贴金额为5.8万元． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数的最值问题，利用函数解决实际问题是考试的中热点问题，同学们应重点掌握． 23. 在等边中，D为延长线上一点，F为上一点，过B作，连接，，且． （1）如图1，若，，求的长；（提示：在的延长线上取点M，使，连接．） （2）如图2，若F为延长线上一点，试探究、、的关系，并说明理由； （3）如图3，若F为延长线上一点，且，请直接写出的值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）在的延长线上取点， 使， 连接， 证明， 由全等三角形的性质得出，则可得出答案； （2）在的延长线上取点， 使， 连接， 证明， 由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）在上取点， 使， 连接， 同理可知， 得出， 设， 求出， 则可得出答案. 【小问1详解】 解：在的延长线上取点， 使连接， ∵三角形是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：. 理由： 在的延长线上取点， 使， 连接， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 在上取点， 使， 连接， 同理可证， ， 设， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24. 如图，抛物线的与轴交于点，与轴交于点， （1）求该抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）若是线段上一动点，过作轴的平行线交抛物线于点，交于点，设时，的面积为．求关于的函数关系式；若有最大值，请求出的最大值，若没有，请说明理由； （3）若是轴上一个动点，过作射线交抛物线于点，随着点的运动，在轴上是否存在这样的点，使以 、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2），当时，有最大值，最大值是；（3）存在，点为，， 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法即可求出抛物线的解析式，把一般式转化为顶点式即得顶点坐标； （2）如图1，先求出点B坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，由，则点H、N的横坐标都可以用含t的代数式表示，由即可得到S与t的函数关系式，进一步即可根据二次函数的性质求出S的最大值； （3）设，分两种情况：①如图2，当在轴下方时，作轴于，由平行四边形的性质可证得，从而可得，由此可得关于x的方程，解方程即可求x的值，进而可得点P坐标；②如图3，当在轴上方时，作轴于，同①的方法解答即可． 【详解】解（1）将，代入， 得，解得：， ∴抛物线的表达式为：； ∴抛物线的顶点坐标为； （2）由，得x=3或x=﹣1，则点， 如图1，连接、、，设直线解析式为，代入，，得： ，解得：， ∴直线的解析式为； ∵，∴，， ∴， 则当时，有最大值，最大值是； （3）存在，P点坐标为，，； 理由如下：设， ①如图2，当在轴下方时，作轴于， ∵ ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 解得：或（与点重合，舍去）， ∴； ②如图3，当在轴上方时，作轴于， ∵ ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∴，； 综上所述，点为，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及一元二次方程的解法等知识，具有一定的综合性，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$