精品解析：江苏省苏州市2024-2025学年八年级数学上学期期中摸底调研卷

2024-2025年八年级上学期期中摸底调研卷 数学学科 （总分：130分；考试时长：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组数中为勾股数是（ ） A. 3，4，12 B. 6，6，72 C. 9，40，41 D. 9，15，17 3. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（     ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 4. 如图，在中，，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，长方形中，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为( ) A. B. C. 2 D. 6. 如图，在边长为6正方形内作交于点E，交于点F，连接．若，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（　　） A. 5 B. 7 C. 12 D. 6 8. 如图，在中，已知，于点，于点，为边中点，连接，，则下列结论：①；②；③为等边三角形；④当时，，其中正确的是( ) A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 9. 如图，镜子中号码的实际号码是____________． 10. 二次根式有意义，则的取值范围是________． 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则________． 12. 如图，在锐角△ABC中，∠A＝75°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为 ___°． 13. 如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h的取值范围为________． 14. 如图，纸片的直角边AC落在直线l上，，，，平面内一点O到直线l的距离为9，纸片沿直线l左右移动，则的最小值是________． 15. 如图，在中，，且是内一点，若的最小值为，则_____． 16. 如图，四边形，，分别是以的三边为一边的正方形，过点作的垂线，交于点，交于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④．正确的有________．（填序号） 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 18. 求下列各式中的： （1）； （2）． 19. 已知的平方根为，的立方根为，求的值． 20. 已知，求值． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在格点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′； （2）在直线l上找一点P，使PB+PC最小，则最小值为_____； （3）若点Q在格点上，使得△ABQ的三边长分别为4，，，则图中这样的格点共有______个． 22. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高． （1）试说明AD垂直平分EF； （2）若AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15，求DE的长． 23. 如图，中，是高，是中线，点G是的中点，，点G为垂足． （1）求证：； （2）请探究与关系． 24. 阅读：我们已经学习了平方根，立方根等概念．例如：如果x2＝a（a＞0），那么x叫做a的平方根，即x＝，通过无理数的学习，我们了解：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道“负数没有平方根”，即在实数范围内的任何一个数x都无法使得x2＝﹣1成立．现在，我们设想引入一个新数i，使得i2＝﹣1成立，且这个新数i与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数b与i的相乘记作bi，任意实数a与bi相加记作a+bi．由此，我们将形如a+bi（a，b均为实数）的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．对于复数a+bi（a，b均为实数），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它是纯虚数．例如3+2i，，﹣，i都是虚数，它们的实部分别是3，，，0，虚部分别是2，，，，并且以上虚数中只有i是纯虚数． 阅读理解以上内容，解决下列问题： （1）化简：﹣2i2＝ ；（﹣i）3＝ ． （2）已知复数：m2﹣1+（m+1）i（m是实数） ①若该复数是实数，则实数m＝ ； ②若该复数是纯虚数，则实数m＝ ． （3）已知等式：（x﹣y+3）+（x+2y﹣1）i＝0，求实数x，y的值． 25. 在中，，，点为线段的中点，动点以2cm/s的速度从点出发在射线上运动． （1）若，求出发几秒后，为等边三角形？ （2）若，求出发几秒后，为直角三角形？ （3）若，点与点同时出发，其中点以（且）的速度从点出发在线段上运动，当a为何值时，和全等？ 26. 如图①，等腰中，． 点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． 问题思考 在图①中，求证：； 问题再探 若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 问题拓展 若且平分，如图③，请直接写出的值为 ． 27. 【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”， 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． （1）【巩固新知】如图①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3，则四边形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形． （2）【深度理解】在图①中，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC=90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=4，AB=3时，则边BC的长是______． （3）如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线．求证：AC=BE． （4）【拓展提高】在图3中，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025年八年级上学期期中摸底调研卷 数学学科 （总分：130分；考试时长：120分钟） 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1. 改革开放以来，我国众多科技实体在各自行业取得了举世瞩目的成就，大疆科技、华为集团、太极股份和凤凰光学等就是其中的杰出代表．上述四个企业的标志是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【详解】A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2. 下列各组数中为勾股数的是（ ） A. 3，4，12 B. 6，6，72 C. 9，40，41 D. 9，15，17 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股数定义，熟知满足的三个正整数a、b、c称为勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、∵，∴3，4，12不是勾股数，故此选项不符合题意； B、∵，∴6，6，72不是勾股数，故此选项不符合题意； C、∵，∴9，40，41是勾股数，故此选项符合题意； D、∵，∴9，15，17不是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位围成一个，在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在的（     ） A. 三边垂直平分线的交点 B. 三边中线的交点 C. 三个内角角平分线的交点 D. 三边高的交点 【答案】A 【解析】 【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上． 【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：要放在三边垂直平分线的交点上． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键． 4. 如图，在中，，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 5. 如图，长方形中，在数轴上，若以点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为( ) A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴；首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数． 【详解】解：，， 点为圆心，的长为半径作弧交数轴于点， 点表示， 点表示的数为： 故选：A． 6. 如图，在边长为6的正方形内作交于点E，交于点F，连接．若，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】如图，首先把旋转到，然后利用全等三角形的性质得到，，然后根据题目中的条件，可以得到，再根据，和勾股定理，可以求出的长，本题得以解决． 【详解】解：如图，把绕A逆时针旋转90°得到， ∴， ∴， ∴， ∴G、B、E三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴的长为2． 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 7. 如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的最小距离为（　　） A. 5 B. 7 C. 12 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作CH⊥AB于点H，连接OC，OH，根据等腰三角形的性质，可得 ，再由勾股定理，可得CH=12，然后根据直角三角形的性质，可得OH=5，得到当C、O、H三点共线时，OC最小，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，连接OC，OH， ∵AC＝BC＝13，AB＝10， ∴ ，即H为AB的中点， 在 中， ， 在 中， ， ∵ ， ∴当C、O、H三点共线时，OC最小，最小值为7． 故选：B 【点睛】本题主要考查了等腰三角形和直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解题的关键． 8. 如图，在中，已知，于点，于点，为边的中点，连接，，则下列结论：①；②；③为等边三角形；④当时，，其中正确的是( ) A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①②正确；先根据直角三角形两锐角互余的性质求出，再根据三角形的内角和定理求出，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，从而得到，又由①得，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确；当时，，由P为BC边的中点，得出，判断④正确． 【详解】①于点，为边的中点， ， 正确，故①正确； ②于点，于点，为边的中点， ，， ，故②正确； ③，于点，于点， ， 在中，， 点是的中点，，， ， ，， ， ， 是等边三角形，故③正确； ④当时，于点， ，， ， 为边的中点， ，为等腰直角三角形， ，故④正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 9. 如图，镜子中号码的实际号码是____________． 【答案】3265 【解析】 【详解】试题解析：根据镜面对称的性质，在镜子中的真实数字应该是3265, 故答案为3265. 10. 二次根式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式被开方数的非负性、解不等式，根据二次根式的被开方数非负性求解是解题的关键． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，根据“把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式”求解是解题的关键． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 如图，在锐角△ABC中，∠A＝75°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为 ___°． 【答案】15 【解析】 【分析】连接DA、DC，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=100°，根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，DA=DC，进而得到DB=DC，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA，根据等腰三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：连接DA、DC， ∵∠BAC=75°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=105°， ∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC， ∴DA=DB，DA=DC， ∴DB=DC，∠DBA=∠DAB，∠DAC=∠DCA， ∴∠DBA+∠DCA=∠DAB+∠DAC=75°， ∴∠DBC=∠DBC=×（105°-75°）=15°， 故答案为：15． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 13. 如图，将一根长12cm的筷子置于底面半径为3cm，高为8cm的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度h的取值范围为________． 【答案】2cm≤h≤4cm 【解析】 【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出h的取值范围． 【详解】解：如图， 当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴h＝12﹣8＝4（cm）； 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在Rt△ABD中，AD＝6cm，BD＝8cm， ∴AB2＝AD2＋BD2＝62＋82＝102（cm2），即AB＝10cm， ∴此时h＝12﹣10＝2（cm）， ∴h的取值范围是：2cm≤h≤4cm． 故本题答案为：2cm≤h≤4cm． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键． 14. 如图，纸片的直角边AC落在直线l上，，，，平面内一点O到直线l的距离为9，纸片沿直线l左右移动，则的最小值是________． 【答案】13 【解析】 【分析】过点O做直接m平行直线l，作点B关于直线m的对称点B1，当A、O、B1共线时，最小，即可求得． 【详解】过点O做直接m平行直线l，作点B关于直线m的对称点B1 当A、O、B1共线时，最小 C B1=9+9－6=12 根据勾股定理得 A B1==13 ∴的最小值是13 故答案为：13 【点睛】本题考查轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键． 15. 如图，在中，，且是内一点，若的最小值为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图将绕点顺时针旋转得到．连接．首先证明当共线时，值最小，最小值为线段的长，由等腰直角三角形求得的长，进而求得，由勾股定理求得结果． 【详解】解：如图将绕点顺时针旋转得到．连接， 则， 是等边三角形， ， ， ∴当共线时，的值最小，最小值为线段的长， 的最小值为， ， ， ， ， 作于．则 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用两点之间线段最短解决问题，属于中考常考题型． 16. 如图，四边形，，分别是以的三边为一边的正方形，过点作的垂线，交于点，交于点，连接，．则下列结论：①；②；③；④．正确的有________．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．由“”可证，故①正确；由平行线间的距离处处相等，可得，故②正确；同理可证，故③正确；由勾股定理可得，故④错误，即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ，， ∴， 故②正确； ，， ∴， 故③正确； ， ∴ ， ∴， 故④错误， 综上可知，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，零指数幂，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方与开方，再计算加减即可； （2）先运算二次根式乘法与除法法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 求下列各式中的： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根的应用， （1）根据求平方根求解； （2）根据求立方根求解； 熟练掌握求一个数的平方根、立方根是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 19. 已知的平方根为，的立方根为，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根定义的应用，根据题意得出算式和求解是解题的关键． 【详解】解∶∵的平方根为， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∴． 20. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根与平方的非负性、解二元一次方程组、代数式求值，根据算术平方根与平方的非负性得出方程组求解是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在格点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′； （2）在直线l上找一点P，使PB+PC最小，则最小值_____； （3）若点Q在格点上，使得△ABQ的三边长分别为4，，，则图中这样的格点共有______个． 【答案】（1）见解析 （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可； （2）连接BC′交直线l于点P，连接CP，此时PB+PC的长最小，最小值为线段BC′的长； （3）利用数形结合的思想画出图形即可． 【小问1详解】 解：如图，△A'B'C′即为所求； 【小问2详解】 解：如图，点P即为所求，最小值=BC′的长， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵，， ∴符合三边长分别为4，，的△ABQ有△ABQ1、△ABQ2、△ABQ3、△ABQ4， ∴这样的格点Q共有4个，如图所示， 故答案为：4． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题，学会利用数形结合的思想思考问题． 22. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高． （1）试说明AD垂直平分EF； （2）若AB＝6，AC＝4，S△ABC＝15，求DE的长． 【答案】（1）见解析（2）3 【解析】 【分析】（1）根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答． （2）根据 可以求得的长度． 【详解】（1）∵平分 ， ， 在和中， ， ∴≌ 又 ∴≌ 是线段的垂直平分线； （2） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题． 23. 如图，中，是高，是中线，点G是的中点，，点G为垂足． （1）求证：； （2）请探究与的关系． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线的性质与垂直平分线的性质得出，则可得出结论； （2）由等腰三角形的性质及外角的性质可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵是高， ∴， ∵是中线， ∴E为的中点， ∴， ∵G为的中点，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 24. 阅读：我们已经学习了平方根，立方根等概念．例如：如果x2＝a（a＞0），那么x叫做a的平方根，即x＝，通过无理数的学习，我们了解：有理数和无理数统称为实数，即数从有理数扩充到了实数范围．在学习过程中我们又知道“负数没有平方根”，即在实数范围内的任何一个数x都无法使得x2＝﹣1成立．现在，我们设想引入一个新数i，使得i2＝﹣1成立，且这个新数i与实数之间，仍满足实数范围内加法和乘法运算，以及交换律、结合律，包括乘法对加法的分配律．把任意实数b与i的相乘记作bi，任意实数a与bi相加记作a+bi．由此，我们将形如a+bi（a，b均为实数）的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．对于复数a+bi（a，b均为实数），当且仅当b＝0时，它是实数；当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；当b≠0时，它叫做虚数；当a＝0且b≠0时，它是纯虚数．例如3+2i，，﹣，i都是虚数，它们的实部分别是3，，，0，虚部分别是2，，，，并且以上虚数中只有i是纯虚数． 阅读理解以上内容，解决下列问题： （1）化简：﹣2i2＝ ；（﹣i）3＝ ． （2）已知复数：m2﹣1+（m+1）i（m是实数） ①若该复数是实数，则实数m＝ ； ②若该复数是纯虚数，则实数m＝ ． （3）已知等式：（x﹣y+3）+（x+2y﹣1）i＝0，求实数x，y的值． 【答案】（1）2，；（2）①；②1；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用化简各式即可得； （2）①根据题中定义可得，解方程即可得； ②根据题中的新定义可得，，利用平方根解方程即可得； （3）根据题中的新定义列出关于的方程组，解二元一次方程组即可得． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：2，； （2）①若该复数是实数，则， 解得， 故答案为：； ②若该复数是纯虚数，则， 解得， 故答案为：1； （3）由题意得：， 解得． 【点睛】本题考查了利用平方根解方程、解二元一次方程组，理解题中的新定义是解题关键． 25. 在中，，，点为线段的中点，动点以2cm/s的速度从点出发在射线上运动． （1）若，求出发几秒后，为等边三角形？ （2）若，求出发几秒后，为直角三角形？ （3）若，点与点同时出发，其中点以（且）的速度从点出发在线段上运动，当a为何值时，和全等？ 【答案】（1）5秒 （2）2.5秒或10秒 （3）cm/s或2cm/s 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的判定求解即可； （2）设运动时间为x秒，分两种情况进行讨论：①当时，由，得到，求得，求出；②当时，根据三角形的内角和定理得到，求出；即可得到当出发2.5秒或10秒后， 为直角三角形； （3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，为等边三角形， ∵，点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∵动点以2cm/s的速度运动， ∴动点的运动时间为：（秒）， 即出发5秒后，为等边三角形； 【小问2详解】 解：设运动时间为x秒， ①当时， ∵， ∴， ∵，点为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵动点以2cm/s的速度运动， ∴， 解得，； ②当时， ∵， ∴， ∵，点为线段中点， ∴， ∴， ∵动点以2cm/s的速度运动， ∴， 解得，； ∴当出发2.5秒或10秒后，为直角三角形； 【小问3详解】 解：设运动时间为t秒， ∵， ∴， ∵，是的中点， ∴， ①当，时，， 则有，， ∵， ∴， ∵动点以2cm/s的速度运动， ∴， ∴， ∵点以的速度从点出发在线段上运动， ∴． ∵， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∴， 解得，cm/s， ②当，时，， ∵，动点以2cm/s的速度运动， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴ 解得，， ∴，， ∴， 综上所述，当cm/s或时，和全等． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的内角和，直角三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定、等边三角形的判定、直角三角形的判定是解题的关键． 26. 如图①，等腰中，． 点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． 问题思考 图①中，求证：； 问题再探 若，如图②，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； 问题拓展 若且平分，如图③，请直接写出的值为 ． 【答案】问题思考：见解析；问题再探：，证明见解析；问题拓展： 【解析】 【分析】问题思考：证，推出，根据等腰三角形性质推出，即可得出答案； 问题再探：在上截取，连接，证，为等边三角形，再证明，推出，即可得出答案； 问题拓展：延长交于点H，证，推出，证，推出，即可得出答案． 【详解】问题思考：证明：∵，， ∴， 又∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 问题再探：，理由如下： 在上取点G，使，连接CG，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形 又∵，， ∴为等边三角形， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴； 问题拓展：延长交于点H，如下图 ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度偏大． 27. 【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”， 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． （1）【巩固新知】如图①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=3，则四边形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形． （2）【深度理解】在图①中，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且∠BDC=90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=4，AB=3时，则边BC的长是______． （3）如图②，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且∠BDC=90°，∠ADE=90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线．求证：AC=BE． （4）【拓展提高】在图3中，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=3，AB=4，∠BAD=45°，求AC的长． 【答案】（1）是 （2）4或3 （3）见解析 （4）AC=或． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠BDC=90°，从而△BDC是等腰直角三角形，又因为△ABD是等腰三角形，即可得出结论； （2）由题意知△ABD是等腰三角形，当AD=BD=4时，由勾股定理得：BC=4，当BD=AB=3时，由勾股定理得：BC=3； （3）利用SAS证明△ADC≌△EDB，得AC=BE； （4）分∠BDC=90°和∠DBC=90°，分别构造等腰直角三角形，利用（3）中全等进行转化，从而解决问题． 【小问1详解】 解：∵AD=3，AD=DB=DC， ∴BD=CD=3， ∵BD2+CD2=18，BC2=（3）2=18， ∴BD2+CD2=BC2， ∴△BDC是等腰直角三角形， ∵△ABD是等腰三角形， ∴四边形ABCD是真等腰直角四边形， 故答案为：是； 【小问2详解】 解：∵对角线BD是这个四边形的真等腰直角线， ∴△ABD是等腰三角形， 当AD=BD=4时，由勾股定理得：BC==4， 当BD=AB=3时，由勾股定理得：BC==3， 综上：BC=4或3， 故答案为：4或3； 【小问3详解】 解：由题意知：△BDC和△ADE都是等腰直角三角形， ∴BD=CD，AD=DE，∠BDC=∠ADE=90°， ∴∠ADC=∠EDB， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC=BE； 【小问4详解】 解：由题意知：△BDC是等腰直角三角形， 当∠BDC=90°时，如图，作DE⊥AD，取DE=AD，连接AE，BE， 由（3）同理得△ADC≌△EDB（SAS）， ∴AC=BE， ∵AD=3，△ADE是等腰直角三角形， ∴AE=3，∠EAD=45°， ∵∠DAB=45°， ∴∠EAB=90°， 由勾股定理得BE=， ∴AC=； 当∠DBC=90°时，如图，同理可得 AE=4， DE=AC=， 综上：AC=或． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，读懂题意，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意问题设置的层次性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$