第一章 直角三角形的边角关系2023—2024学年北师大版数学九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系2023-2024学年九年级下册数学北师大版 锐角三角函数 专题一 锐角三角函数的概念 【典例精讲】 题型1 求锐角的正切值 【例 1】将一副三角尺(Rt△ABC与Rt△BDC) 按如图所示摆放在一起,连接AD, 试求 的正切值. 举一反三 1.如图,在△ABC中,∠B=90°,D是BC边上一点,E是AD的中点,若求tan∠BAC的值. 题型2求锐角的正弦值 【例2】如图，点E是正方形ABCD的边 BA 延长线上的一点， 连接CE, DE, 求: 的值. 举一反三 2. 如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上， 求 的正弦值. 题型3 求锐角的余弦值 【例3】如图所示，在等腰 中， , D为AC上一点, 求∠DBC的余弦值. 举一反三 3. 如图, 在矩形ABCD中, , 点 E 在 DC 上, 将矩形ABCD 沿AE折叠, 点 D 恰好落在BC边上的点 F 处，求 的值. 题型 4 等角转换求三角函数值 【例4】如图,矩形ABCD的对角线AC, BD 相交于点 O, 过点O作 交AB于E,若 的面积为5，求 的值. 举一反三 4. 如图, 在△ABC中,若 试求 tan∠BPC的值. 题型5 利用已知三角函数，求线段的长 【例5】如图,点 D 是 的边AC上一点， 于点 E，若 求AE 的长. 举一反三 5. 如图, 在 中， D 是 BC 边上一点, 于E, AC+CD=18, 求BC的长. 专题二 特殊角的三角函数值 【典例精讲】 题型1 特殊角的三角函数值的计算 【例1】计算: 举一反三 1. 计算: 题型 2 利用特殊角的三角函数值求锐角 【例2】如图, 中， D 是边 BC上一点, 求 的度数及AC的长. 举一反三 2. 已知: 如图, 四边形ABCD中, 于点E, 交AB于点F, 且 求 的度数. 题型 3 利用特殊角求三角函数值 【例3】如图, 在 中， (1) 求 BC的长; (2) 利用此图形求： 的值(精确到0.1，参考数据： 举一反三 3. 利用 角的正切，求 的值. 题型4 特殊角的三角函数值的简单应用 【例4】将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点 P时停止倒入. 图2是它的平面示意图，请根据图中的信息，求出容器中牛奶的高度(结果精确到0.1cm). (参考数据: 举一反三 4. 如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B 地须经C地沿折线A—C—B 行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB 行驶，已知 ，则隧道开通后，汽车从A到B地比原来少走多少千米? (精确到0.1km，参考数据： 专题三 三角函数与几何的综合 【典例精讲】 题型1 折叠问题 【例1】如图, 点 E 是菱形ABCD 的边 CD 上一点, 将△ADE沿AE 折叠, 点D的对应点F落在 BC的延长线上，AF 的垂直平分线交 AE 于点 G，若 试求△ACF 的面积. 举一反三 1. 在梯形ABCD中, 点E是腰AB 上一点，且 把 沿EC折叠，点D 恰好落在BC边上的点 F 处，试求 的值. 题型 2 旋转问题 【例2】如图，在等边 内有一点 D， 将 绕A 点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点 E，试求 的正切值. 举一反三 2. 如图, 点P在等边. 的内部，且 ，将线段PC绕点 C 顺时针旋转得到P'C, 连接AP', 试求: 的值. 题型3 与三角函数有关的几何综合探究 【例3】如图, 中， 点E在 BC上, 且 (1) 如图1. 若 求证： (2) 如图2, 连接BD, 若 求CE 的长; (3) 如图3, 连接BD,若 且 求 举一反三 3. 如图, 四边形 ABCD 是矩形, 点 P 是对角线AC 上一动点(不与点A, C 重合). 连接PB, 过点 P 作PE⊥PB, 交线段DC 于点E, 已知 设 PC=nAC. (1) 如图1,当 时, 求证: PB=BC; (2) 如图2, 用含n的式子表示 tan∠PBC的值; (3) 如图3, 当PE平分∠BED时, 直接写出n的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$