14.2.2完全平方式（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

14.2.2 完全平方公式（第1课时） 主讲： 人教版数学八年级上册 第十四章 整式的乘法 与因式分解 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释. 2.灵活应用完全平方公式进行计算. 学习目标 多项式与多项式相乘的法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加. (a+b)( p+q)=ap+aq+bp+bq 平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2. 即：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 复习引入 探究 计算下列多项式的积,你能发现什么规律? (p+1)2 =(p+1)(p+1)=___________； (m+2)2=_____________; (p-1)2=(p-1)(p-1)=_____________; (m-2)2=______________. p2+2p+1 m2+4m+4 p2-2p+1 m2-4m+4 你发现了什么？ 新知探究 结论： 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍. 猜想：(1)(a+b)2= . (2)(a-b)2= . 你能验证这一结果吗？ a2+2ab+b2 a2-2ab+b2 该用什么知识来验证呢？ 新知探究 解:(1)(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2 解:(2)(a-b)2 =(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2 . 新知探究 (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2. 完全平方公式： 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上 （或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式. 完全平方公式的特征： （1）左边是二项式的完全平方；右边是二次三项式； （2）右边第一项是左边第一项的平方，右边最后一项是左边第二项的平方，中间一项是它们两个乘积的2倍； （3）左边如果为“+”号，右边全是加号，左边如果为“-”号，它们两个乘积的2倍就为“-”号，其余都为“+”号； （4）其中a,b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式. 新知探究 思考：你能根据图1和图2中的面积说明完全平方公式吗? 问1 图1中最大正方形的面积有几种方法可以求出？ 方法一：(a+b)2 方法二：a2+2ab+b2 由此你可以得出什么结论？ (a+b)2=a2+2ab+b2 图 1 图2 新知探究 图 1 图2 ① 问1 图2中正方形①的面积有几种方法可以求出？ 方法一：(a-b)2 方法二：a2-2ab+b2 由此你可以得出什么结论？ (a-b)2=a2-2ab+b2 新知探究 (a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2. 完全平方公式： 首平方，尾平方，积的2倍在中央，中间符号同前方. 完全平方公式的常见变形 总结归纳 例3 运用完全平方公式计算： (1)(4m+n)2 ; (2)(y- )2 . 解: (4m+n)2= =16m2+8mn+n2 (a +b)2= a2 + 2ab + b2 (4m)2 +2•(4m)•n +n2 典例精析 =y2 -y + 解： = + -2•y• y2 (a -b)2 =a2 - 2ab + b2 典例精析 例4 运用完全平方公式计算： (1)1022 ; (2)992 . 解:(1)原式=(100+2)2 =1002+2×100×2+22 =10000+400+4 =10404. (2):原式=(100–1)2 =1002-2×100×1+12 =10000-200+1 =9801. 典例精析 思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗?(a-b)2与(b-a)2相等吗?(a-b)2与a2-b2相等吗?为什么? (1)∵(a+b)2=a2+2ab+b2 (-a-b)2=a2+2ab+b2 ∴(a+b)2 =(-a-b)2 (2)∵(a-b)2=a2-2ab+b2 (b-a)2=a2-2ab+b2 ∴(a-b)2=(b-a)2 (3)∵(a-b)2=a2-2ab+b2 ∴(a-b)2与a2-b2不一定相等 当a=b或b=0时，(a-b)2=a2-b2 新知探究 1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ (1)(x+y)2 =x2+y2 (2)(x-y)2=x2-y2 (3)(-x+y)2=x2+2xy+y2 (4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2 × × × × x2+2xy+y2 x2-2xy+y2 x2-2xy+y2 4x2+4xy+y2 随堂检测 2.计算：(2x-y)2=（　 ） A.4x2-4xy+y2 B.4x2-2xy+y2 C.4x2-y2 D.4x2+y2 3.将1052变形正确的是（ ） A.1052=1002+52 B.1052=(100-5)(100+5) C.1052=1002+2×100×5+52 D.1052=1002+100×5+52 A C 随堂检测 解：(1)原式= x2+2·x·6+62 = x2+12x+36 (2)原式= y2-2·y·5+52 = y2-10y+25 (3)原式=(5-2x)2 = 52-2·5·2x+(2x)2 = 25-20x+4x2 (4)原式= 4.运用完全平方公式计算： (1)(x+6)2 (2)(y-5)2 (3)(-2x+5)2 (4) 随堂检测 1.化简求值：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， 原式 ， ∵， ∴原式． 能力提升 2.已知m+n=8，mn=6，求m2+n2，(m-n)2 . 解：因为m+n=8，mn=6， 所以m2+n2=(m+n)2-2mn=82-2×6=52， (m-n)2=(m+n)2-4mn=82-4×6=40. 能力提升 (a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a-b)2=a2-2ab＋b2. 可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 完全平方公式： 简记为：“首平方，尾平方，积的2倍在中央.” 课堂小结 1.若，则的值为（   ） A.26 B.24 C.20 D.28 2.如果是一个完全平方式，那么k的值是（ 　） A.4 B.±8 C.8 D.±4 3.已知，则等于（    ） A. B. C. D. D B B 课后作业 4.利用乘法公式计算： (1) 20232－2022×2024； (2) 20232－2023×4044＋20222. 解：(1)原式=20232-(2023＋1)(2023-1) =20232-20232＋1=1. (2)原式=20232-2×2022×2023＋20222 =(2023-2022)2=1. 课后作业 主讲： 人教版八年级数学上册 感谢聆听 $$