4.2.1 指数函数的概念 （教学课件）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第 4 章 4.2.1 指数函数的概念 人教A版2019必修第一册 指数函数的概念 学习目标 1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性. 2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用． 3.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 目录 CATALOG 01.指数函数的概念 03.题型强化训练 02.指数函数在实际问题中的应用 04.小结及随堂练习 01 指数函数的概念 4.2.1 指数函数的概念 第1天，杰米支出1分钱，收入10万元。 第2天，杰米支出2分钱，收入10万元。 第3天，杰米支出4分钱，收入10万元。 第10天，杰米支出512分钱(5.12元)，收入10万元；共得100万元。 指数的故事-与百万富翁的交易 杰米是百万富翁。一天，他碰到上一件奇怪的事。一个叫韦伯的人对他说：“我想和你订个合同，我将在整整一个月中每天给你10万元，而你第一天只需给我1分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍。”杰米说：“真的？你说话算数？”合同开始生效了，杰米欣喜若狂。 1 1×2 1×2×2 1×29 到了第20天，杰米共得200万元，而韦伯才得5千多(219)元。 杰米想：要是合同订两三个月该多好！可从24天起，情况发生了转变。 第24天，杰米支出8万多(223)元，收入10万元。 第28天，杰米支出134万多(227)元，收入10万元。 结果，杰米在一个月(31天)得到310万元的同时，共给韦伯2100多万元！杰米破产了。 一个人永远赚不到认知之外的钱。凭运气得来的钱，也会凭实力输掉。 导入新知 指数的故事-折纸问题 导入新知 假设一层纸的厚度为0.1mm， 对折1次，共2层。 对折2次，共4层。 对折3次，共8层。 以此类推，对折24次，共_____层；厚度为1600多米； 21×2=22 21 22×2=23 224 对折39次，厚度达54975多千米，超过地球赤道长度； 对折42次，厚度达4398多万千米，超过地球至月球的距离； 对折51次厚度达22亿千米，超过地球至太阳的距离； 对折82次厚度为51113光年，超过银河系半径的长度。 不过，只是一个不符合实际的数学理论推理数字。 在现实生活中，一张纸究竟能折多少次呢？ 美国德克萨斯州圣马克中学师生们将一张长达1.3万英尺(接近4km)的厕纸对折了13次，一举打破了2002年创下的旧记录——12次。 为了放下如此一长卷的厕纸，数学老师、折纸天才James Tanton和他的十五位学生借用了麻省理工学院长度达250米的无尽走廊(Infinite Corridor)。集体折腾了四个多小时，总算是大功告成。在这里折纸，主要是不用担心被风吹散。 最终对折13次的厕纸已经有了213＝8192层，缩成了不怎么好看的一大团，而且无法长时间保持这种形状。 指数的故事-国王与棋盘 导入新知 古印度有个叫锡塔的大臣发明了一种棋子，国王百玩不厌，决定重赏锡塔。 锡塔说：“陛下，我只要一点麦子。请您让人将麦子放在我发明的棋盘的64个格子内，第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒，第5格放16粒……照这样放下去，每格麦粒数是前1格的2倍，直到把64个棋格放满就行。” 国王听了哈哈大笑，他觉得锡塔这个人真是有趣，放着金银财宝不要，反而提出这个“笨”要求，谷仓里的麦子多着呢，填完64个棋格实在是小意思。 便传令粮食大臣：“答应锡塔的要求，现在就从粮库 把麦子拉过来。”在场每个人都认为一小袋麦子就能 填满棋盘上的十几个方格，一些人甚至忍不住笑起来。 往第16格上放米粒时，就需要拿出1公斤的大米， 到了第20格时，则需要满满一推车的米。 若1000粒米有1g重，折算一下，第64格就需要放92 2337 2036吨米。 学习新知 幂函数的概念 对于幂ax(a>0)，我们已经把指数的范围拓展到了任意实数，通过函数性质的学习和对幂函数的研究，我们掌握了研究函数的一般方法： 背景 概念 图像与性质 应用 这节课开始，我们将继续研究其他类型的基本初等函数. 学习新知 问题１　随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票． 下表给出了Ａ，Ｂ两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量． 学习新知 时间／年 Ａ地景区 Ｂ地景区 人次／万次 年增加量／万次 人次／万次 年增加量／万次 2001 600 278 2002 609 9 309 31 2003 620 11 344 35 2004 631 11 383 39 2005 641 10 427 44 2006 650 9 475 48 2007 661 11 528 60 2008 671 10 588 60 2009 681 10 655 67 2010 691 10 729 74 2011 702 11 811 82 2012 711 9 903 92 2013 721 10 1005 102 2014 732 11 1118 113 2015 743 11 1244 126 学习新知 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？ 为了有利于观察规律，根据表4.2-1，分别画出A，B 两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象（图4.2-1和图4.2-2）． 为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来。 学习新知 观察图象和表格，可以发现，A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为10万次）；B地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律． 探究 我们知道，年增长量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试． 学习新知 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，B地景区的游客人次近似于指数增长． 学习新知 学习新知 问题２ 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间 称为“半衰期”.按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，则： ··· ··· ··· ··· 学习新知 常数 这也是一个函数，其中其中底数是一个常数，指数x是自变量. 如果生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么: 学习新知 如果用字母a代替上面两式中的底数1.11和 ，那么都可以表示 为：y=ax的形式,其中指数x是自变量,底数a是一个大于0且不等于1的常量． 一般地，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R. 总结新知-指数函数的概念 ①底数a为常数，a>0且a≠1；系数为1； ②指数x为自变量，定义域为___. 1.指数函数：形如y=ax(a>0且a≠1)的函数. 探究：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1? R ③形如y=k·ax(k∈R且k≠1,a>0且a≠1)的函数属于指数型函数. 如：y=－4x，y=3x+2=9·3x， 倍增模型 02 指数函数在实际 问题中的应用 4.2.1 指数函数的概念 学习新知 学习新知 【感悟提升】　求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)； (2)利用已知条件求底数a； (3)写出指数函数的解析式． 学习新知 例2 （1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况． （2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 学习新知 学习新知 学习新知 （2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？ 所以，生物死亡10 000年后，它体内碳14含量衰减为原来的约30% 学习新知 学习新知 总结新知 【感悟提升】　常见的几类函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． 03 题型强化训练 4.2.1 指数函数的概念 能力提升 题型一：指数函数的概念 【感悟提升】判断指数函数的关键： (1)指数函数的定义域是实数集R； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上，且指数位置只能有x这一项； (3)底数a只能有一项，且其系数必须为1； (4)底数是大于0且不等于1的常数，底数.a的范围是a>0且a≠1 能力提升 题型二　指数函数的解析式及应用 【感悟提升】求指数函数解析式的步骤 (1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0，且a≠1)； (2)利用已知条件求底数a； (3)写出指数函数的解析式． 能力提升 题型三　指数型函数的实际应用 能力提升 题型三　指数型函数的实际应用 04 小结及随堂练习 4.2.1 指数函数的概念 课堂小结 1.指数函数的概念： 一般地，形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域为R． 2.指数函数需要注意的几个点： ①指数函数的定义域是实数集； ②自变量是指数，且指数位置只能有这一项； ③底数只能有一项，且其系数必须为1； ④底数的范围是且. (3)幂函数与指数函数的区别. 课堂小结 课堂小结 作业 1.课本P115的练习1——3题； 2.课本P119习题4.2的练习2、4、5、7、8题. 4.2.1 指数函数的概念 练习（第115页） C 练习（第115页） 练习（第115页） 3．在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？（可以使用计算工具） 所以该湖泊的蓝藻变为原来的6.16倍． 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【变式】已知函数 ，且 ），其图象像经过点（-1，5），（0，4）， 则 的值为 . 【答案】7 【详解】 由已知得 ，解得 ， 所以 ，所以 ．故答案为7 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式及求函数值，属于基础题． 【变式2】按复利计算利息的一种储蓄，本金为a（单位：元）， 每期利率为r，本利和为y（单位：元），存期数为x. （1）写出本利和y关于存期数x的函数解析式； （2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和. 【答案】（1） .（2） （元）. 【详解】解：（1）根据题意可得 ； （2）由（1）可知，当 时， EMBED Equation.DSMT4 ， ∴5期后的本利和约为 元． 【练习1】函数 是指数函数，则有（    ） A． 或 B． C． D． ，且 【答案】C 【详解】由指数函数的概念得 ，解得 或 ． 当 时，底数是1，不符合题意，舍去；当 时，符合题意. 故选：C． 【练习2】若指数函数 的图象经过点 ，求 ． 【答案】 。 【详解】设 且 ，因为函数 的图象经过点 ，代入可得 ， 解得 或 (舍去)．故 ． 【练习3】我国工农业总产值从 年到 年的 年间翻了两番，设平均每年的增长率为 ，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题为增长率模型函数，为指数函数形式. 设 年总产值为 ，由于我国工农业总产值从 年到 年的 年间翻了两番， 说明 年的工农业总产值是 年工农业总产值的 ，则 .故选D. 【感悟提升】常见的几类函数模型 (1)指数增长模型 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． (2)指数减少模型 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． (3)指数型函数 把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． (1)涉及单位时间内变化率一定的问题可用公式y＝a(1＋α)x来计算，其中a为初始值，α为变化率，x为自变量，x∈N*，y为x年变化后的函数值． (2)作函数的图象应先列表再作出图象，从左向右看，若图象上升，则函数是增函数；若图象下降，则函数是减函数．其实可总结出当a＞0，α＞0时，y＝a(1＋α)x是增函数．　　 指数增长模型: 设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． 指数减少模型: 设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则y＝N(1－p)x(x∈N)． 指数型函数: 把形如y＝kax(k≠0，a＞0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用的函数模型． $$